cinemática e dinâmica do sólido

cinemática e dinâmica do sólido

(Parte 1 de 3)

Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica Aplicada I Licenciatura em Engenharia Mecânica

Autor:

Joaquim Alexandre O. Carneiro (Dep. de Física, Universidade do Minho)

Colaboração de Francisco J. Queirós de Melo,Rui P.R.Cardoso, Ricardo Sousa e Robertt Valente

(Dep de Eng. Mecânica, Universidade de Aveiro)

Departamento de Engenharia MecânicaCinemática da partícula –1ª Parte

1.1 –Derivada de um vector em ordem a um escalar

Seja um vector Ar função de um escalar g :)(gAA r =

Define-se

gAg gAggAdg

)(gAr Notar que sendo

A uAuAuAA r

vem

dg udAudgdAdg udAudgdAdg udAudgdAdg pois osversorespodem depender de g !

Considere-se o caso particular em que o vector Ar é o vector posição r de um ponto P que se se desloca no espaço quando o tempo decorre e em que o escalar (g) é o tempo t.

Departamento de Engenharia Mecânica r urururr r

A sua derivada em ordem ao tempo chama-se velocidadedo ponto P:

dt udrudtdrdt udrudtdrdt udrudtdrdt rdt

Ao quociente tr∆

∆r chama-se velocidade média durante o intervalo de tempo ∆t.

1.2 –Representação intrínseca da velocidade e da aceleração

Vamos estudar um sistema de coordenadas a que se chama “intrinseco” pelo facto de ser definido a partir da própria trajectória. Notar que, assim sendo, osversoresirão depender não só da posição do ponto mas também da maneira como essa posição varia (trajectória).

r τr ηrb r yz O ητ r a) Versor da tangente )(τr ds rdrr=τÉ tangente, pois rdr o é;

Év ersor, pois 1=⇒= τr dsrd

Departamento de Engenharia Mecânica b) Versor da normal )(ηr dsdK τη r 1=

KCurvatura da linha no ponto considerado.

ds dR τη r =

RRaio de curvatura da linha no ponto considerado.

XPor definição é ds dKR

==1, pelo que o vector ηr acima definido tem módulo 1, i.é, éversor.

XVerifiquemos que éτηr⊥

dsddsddsddsdds d ds d cte

Notar que não foi o facto de o módulo ser 1 que foi relevante, mas sim o facto de o módulo ser constante!

“ Se um vector depende de um escalar mas tem módulo constante (i.é, se só a sua direcção varia) a sua derivada em relação ao escalar dá um vector que lheé perpendicular”.

τττ r r vdt sddt sdds rddt rdv v

A velocidade é um vector dirigido segundo a direcção tangente à trajectória.

Departamento de Engenharia Mecânica d) Aceleração )(ar

av R dv d d v dav v dt dt dt dt d d s v vcomo a a dt ds dt R R dva aceleração tangencial dt va aceleração normal ou centrípta R r r r r rr

À aceleração normal também pode chamar-secentríptaporque ela aponta para o centro de curvatura da trajectória.

O “centro de curvatura” por definição situa-se sobre a recta normal, a uma distância da curva, “para dentro”, igual ao raio de curvatura.

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@A componente tangencial da aceleração estáassociada (éigual, aliás) àvariação do módulo da velocidade isto é, àvariação da “rapidez”.

@A componente normal da aceleração estáassociada àvariação da direcção da velocidade:

dt dvan

Assim, as acelerações ( ⇒forças ) são necessárias não sópara fazer variar a rapidez de um movimento mas também necessárias para fazer variar a direcção da trajectória.

Casos particulares

adt vddt dvdt vdvdtddt vda teconsdirecçãocte

È claro que neste caso a trajectória é uma recta como se pode verificar

KRRv dt dvaécasoneste geralRvdt dva τ ητ r

Uma linha com curvatura nula (ou, equivalentemente, com raio de curvatura infinito) é uma recta.

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2º v=cte. (movimento “uniforme” no que respeita à rapidez)

aRvdt dvdt vdvdtddt

O caso R =const. ⎯movimento circular⎯éum caso particular deste caso particular.

1.3 –Lei do movimento

Descrever um movimento é fornecer a lei do movimento,isto é, especificar a posição do ponto em estudo num dado sistema de referência em todos os instantes de tempo por meio de uma expressão

coorddesistqq tzz tyy txx trr Lrr

È claro que as equações anteriores são as equações paramétricas da trajectória, sendo o parâmetro o tempo. As equações cartesianas da trajectória obtêm-se pois por eliminação do tempo.

atrajectórida cartesianaeq atrajectórida asparamétriceq z xyz ty txt t jtitr

1.3.1 –Problemas fundamentais da cinemática

0 geralcasono tempodofunção dadott iniciaiscondições o tavrDados r 321

Departamento de Engenharia Mecânica()

Determinar r t y t lei do movimento

È o problema mais frequente. Vejamos o método de resolução no caso particular de o vector aceleração ser constante.

tsetavv ttavv dtavd dtavddt vda ttv v r r r r t t ttr r dtvrr dtvrd dtvrddt rdv r r

1, tatvrr

Ex .

yx tgt t tgtt r tatvrr r .

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A equação cartesianada trajectória obtém-se como vimos, por substituição do parâmetro t;

1.3.2 –Alguns casos particulares

Neste caso, e escolhendo para eixo do xa própria recta sobre a qual se efectua o movimento, temos que aevvrrrrrrr 0;;;têm todos a mesma direcção, tendo componentes apenas segundo aquele eixo. Notar em particular que ar tem a direcção de vr (de outro modo, a trajectória encurvaria !!).

Podemos pois escrever a seguinte relação escalar:

Não esquecer que pode ser a > 0 ⇒aceleração positiva⇒(movimento uniformemente acelerado) a < 0 ⇒aceleração negativa⇒(movimento uniformemente retardado)

Departamento de Engenharia Mecânica1.3.2.2 –Movimento circular

Neste caso é preferível utilizar a representação polar:

xy R τθ r ≡u θ r ru ds

Velocidade / aceleração:

uRuRa

Então

RRdtddt sddt

Rvdt dva cteRRdt dRvdRdsdt dsv vdt dsv

& r

Departamento de Engenharia MecânicaDefine-se:

θ−ângulo de rotação [rad] ω−velocidade angular [rad/s]

angularAceleraçãodtddt d angularVelocidadedt d

Vector velocidade angular, ou Vector rotação Define-se vector velocidadeangularcomo um vector tal que

1º ωω 2º ω vR Notar rR trajectória r r r

Existe uma dualidade entre os movimentos de rotação e os detranslação, que pode ser expressa pelas correspondências:

oua ouv x

dtd dt dva dtddt xyyx zxxz yzzy z y x z y x z y x r r r r r r v v v

Rv r ∧=ω x y

R r

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Assim, e por exemplo, sabendo que para um movimento detranslaçãocom aceleração constante se tem

tavv tatvxx pode escrever-se imediatamentea expressãopara um movimento derotação comaceleração constante:

to αωω ±=

Exemplo de aplicação:Determinar para a posição representada a seguir, a velocidade linear de uma partícula que executa uma trajectória circular com um raio de 1,5 m e com velocidade angular constante de 10 rad/s.

krjrirr zyx rvrr ++= r r r z y xr kji zyx r ωωωω ++= z y x

kvjvivv zyx rrrv ++= rv v v z yx θ

& r rv r ×ω= r r

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Vesfera/Carro vcarro

Vesfera/carro-Velocidade da esfera em relação ao carro

Vesfera/solo-Velocidade do carro + Velocidade da esfera em relação ao carro

2 -Cinemática da partícula –2ª Parte 2.1 -Movimento Relativo detranslacção

yo x1

Ar r

B Br

A/Brr Referencial fixo

Referencial móvel solidário com A

Na figura seguinte estão representados a posição de duas partículas onde os vectores rAe rB são as posições absolutas dessas partículas. A posição relativa entre as duas partículas é definida pelo vector rB/A, e representa a posição da partícula B em relação à partícula A.

Trajectória da partícula A

Arr -Posição absoluta da partícula A

Brr -Posição absoluta da partícula B

-Posição relativa da partícula B em relação à partícula A e ao eixo móvel. A/Brr

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¾Posição:A posição da partícula B é definida como a soma vectorial da posição absoluta da partícula A e a posição relativa da partícula B em relação à partícula A

Ar r

Br r

A/Brr

ABAB r / r +=

¾Velocidade:A velocidade da partícula B é determinada a partir das derivadas dos vectores posição em ordem ao tempo.

ABAB v / r +=

fixo. lreferencia dopartir a medidos são porque,absolutasvelociadessãodt rdvedt rdvOnde BBA A

//A velocidade relativa é observada a partir do referencial móvelBABAdrvdt = r

Bvr Avr

A/Bvr

¾Aceleração:Através da derivada no tempo da velocidade é obtido aceleração absoluta e relativa, cuja relação é semelhante à obtida com os vectores posição.

ABAB a / r +=

Aa r

Ba r

A/Bar z,y, xmóvel eixo o com solidário eA em colocado está se quando observamos que B aceleração a é dt vda Onderr=

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Exemplo de aplicação:

Um comboio desloca-se a uma velocidade constante de 60km/h, atravessando uma estrada conforme a figura mostrada a seguir. Se o carro se deslocar à velocidade de 45km/h, determine a velocidade relativa do comboio em relação aocarro.

ABAB v / r +=

Az Ay Ax

Bz By Bx v v v v v v v v v zAB yAB xAB v v v

v v v

Departamento de Engenharia Mecânica2.2 –Sistemas em movimento relativo de rotação

Considerem-se dois sistemas de referência centrados em O, um OXYZ fixo e outro rotativo em torno do eixo fixo OA; seja Ωa velocidade angular do sistemaOxyznum dado instante (ver figura). Considere-se agora uma função vectorial Q(t) representada pelo vector Qaplicado em O; como o tempo t varia, tanto o módulo como a direcção de Q variam. Como a variação de Qvista por um observador que usa o sistema OXYZ como referência édiferente da variaçãodeQvista por um que usa o sistemaOxyz,devese esperar que a derivada de Qdependa do sistema que for tomado como referência.

portanto, devemos designar por OXYZQ)(&a derivada de Qem relação ao sistema fixo OXYZ e por OxyzQ)(&a derivada em relação ao sistema rotativoOxyz.Propomo-nosdeterminar a relação entre estas duas derivadas.

Z z x y i j

Em primeiro lugar iremos decompor o vector Qem componentes segundo os eixos x, y e z do sistema rotativo. Designando por i, j e k osversorescorrespondentes, escrevemos kQjQiQQ zyx r ++=

Derivandoa expressão anterior em ordem ao tempo, e considerando osversoresi, j e k como fixos (pois para umobservadoremOxyzsão fixos), obtemos a derivada de Qem relação ao sistema rotativo Oxyz.

kQjQiQQ zyxOxyz r&r&r&r ++=

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Para obter a derivada de Qem relação ao sistema fixo OXYZ,devemos considerar os versoresi,j e k como varáveis (móveis) quando derivamos Q

dt kdQdt jdQdt idQkQjQiQQ dt kdQkQdt jdQjQdt idQiQQ kQjQiQdt dQ

zyxQ zyxOXYZ zzyyxxOXYZ zyxOXYZ

Oxyz r&r&r&r se o vector Qestivesse fixo dentro do sistemaOxyz, uma vez que Observamos que a derivada de OXYZQ)(&se reduziria aos três últimos termos da expressão anterior

Mas, neste caso,OXYZQ)(&representaria a velocidade de um ponto material localizado na ponta de Qe pertencente a um corpo rigidamente ligado ao sistemaOxyz.Então os três últimos termos da referida expressão representam a velocidade desse ponto material; como o sistema Oxyztem uma velocidade angular Ωem relação a OXYZ, no instante considerado, escrevemos

Qdt kdQdt jdQdt idQ kdt kd jdt jd idt id zyx r r r

Sendo assim, obtemos a relação fundamental:

Q OxyzOXYZ r&r ∧Ω+=

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2.2.1 –Movimento tridimensional de um ponto material em relação a um sistema rotativo. Aceleração deCoriolis

Vimos anteriormente que, uma dada função vectorial Q(t) e dois sistemas de referência centrados em O—um sistema fixo OXYZe um sistema móvelOxyz—as derivadas de Q em relação aos dois sistemas satisfazem a relação

Q OxyzOXYZ r&r ∧Ω+=

Suposemos, então, que o sistemaOxyzfora construído para girar em torno de um eixo fixo

OA. Entretanto, a derivada, permanece válida quando o sistemaOxyzé obrigado a ter somente um ponto fixo O. Sob estasuposiçãomais geral, o eixo OA representa o eixo instantâneode rotação do sistemaOxyz, e o vector Ω, a sua velocidade angular no instante considerado.

Consideremos agorao movimento tridimensional de um ponto material P em relação ao sistema rotativoOxyzque tem uma origem fixa O. Se o vector Qrepresentar o vector posição r de um ponto P num dado instante e Ωa velocidade angular do sistemaOxyzem relação ao sistema fixo OXYZno mesmo instante (ver figura), então a velocidade absolutavPdo ponto material édefinida como a velocidade observada do sistema fixo OXYZe éigual àderivada OXYZr)(& de rem relação ao sistema.

MPpP v r += ′

móvelsistemaaorelaçãoemPdevelocidadev

Pcomcoincideque móvelsistemadoPpontodovelocidadev Pmaterialpontodoabsolutavelocidadevonde r r O X

Z z x y i j

Ω r P

Oxyzr&r Masdefine a velocidade MPvr do ponto P em relação ao sistema móvelOxyz.

Se considerarmosqueo ponto P foi ligado ao sistema móvel, entãovP/Mrepresentará a velocidade relativa. Por outro lado o termo Ω∧rrepresentaráa velocidadevP’dum ponto P’do sistema móvel que coincide com P no instante considerado e costuma designar-se por velocidade de transporte. Temos, então,

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A aceleração absolutaaPdo ponto material é definida como a derivada devPem relação ao sistema fixo OXYZ. Calculando as derivadas em relação a OXYZdos termos da relação fundamental, escrevemos

onde todas as derivadas estão definidas em relação a OXYZ,excepto onde for indicado de outro modo. Relembrando a relação fundamental, observamos que o últimotermo da expressão anterior pode ser expresso como:

Por outro lado, r&rrepresenta a velocidadevPe pode ser substituído pelo membro do lado direito da expressão representativa da velocidade absolutavPapresentada anteriormente. Assim, ficará

OxyzOxyzP

OxyzOxyzOxyzP rrrra rrrrra &r&r&&r

O primeiro termo desta última relação representa a aceleração relativaaP/Mdo ponto P em relação ao sistema rotativo. A aceleração de transporteserá a que existir quando a velocidade relativa (e portanto também a aceleração relativa) for nula e corresponde à soma do 2º e terceiro termo da expressão anterior e está associada à aceleraçãoaP’do ponto P’ do sistema móvel que coincide com P no instante considerado. Ao termo que “sobra” chama-se “aceleração complementar ou deCoriolis” em homenagem ao matemático francês DeCoriolis(1792 –1843).

Note-se que a aceleração deCoriolissó existe se existiremsimultâneamente:

toto vrelativomov transportedemov r→ Ω→

e se além disso, não for MPvrr//ΩcMPpPaaaarrrr++=′

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Exemplo de aplicação:Considere-se um ponto P materializado por uma cursor que se move em translação (parâmetro s) com velocidade constante u ao longo de uma barra OB, que por sua vez gira com velocidade angular constante ωem torno de O e no plano vertical.

Determinar a aceleração do ponto P.

cMPpP a r ++= ′

s P

MPc MP va constéupoisa r r r&r

Ficará:

uS a uS uSa uS a aaP cP

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2.2.2 –Sistema de referência em movimento geral

Considere-se um sistema fixo de referência OXYZe um sistemaAxyzque se desloca de maneira conhecida em relação a OXYZ(gira e translada). Seja P um ponto material que se movimenta no espaço. A posição de P é definida, em qualquer instante, pelovecto rPno sistema fixo, e pelo vectorrp/Ano sistema móvel. Designando porrAo vector posição de A no sistema fixo, virá

x y z X’

Arr Prr

APrrΩr APAAPAP

APAP vvrrv r r&r&r

Mas a velocidadevP/Ade P em relação a AX’Y’Z’ pode ser obtida aplicando a relação fundamental, bastando substituir o vector Qpelo vectorrP/A naquela equação. Assim virá:

APv AxyzAPAPAP rv =

A aceleração absolutaaP/Ado ponto material é obtida derivando-se a expressão anterior, e escrevemos

&r&r APA v

AxyzAPAxyzAPAPAPv

APAPP ra vvva

Departamento de Engenharia Mecânica 3 3 --Cinemática de Corpos Rígidos Cinemática de Corpos Rígidos

3.1 3.1 --Movimento no PlanoMovimento no Plano

O movimento plano de corpos rígidos pode ser decompostos em trêstipos de movimento diferentes, classificados a seguir por ordem crescente de complexidade:

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