Algarismos Significativos

Algarismos Significativos

Física I

  • Profa. Sarah Alves

  • 2009

Notação Científica

  • O número é escrito como o produto de um número entre 1 e 10 e uma potência de 10.

  • Exemplo: 102 = 100 ; 105 = 100.000; 10-1 = 0,1; 3 × 10-3 = 0,003

  • Multiplicação:

    • 102 × 104 = 106
  • Divisão:

    • 102 ÷ 104 = 10-2
  • Exercício: Um litro (L) é o volume de um cubo com 10 cm de arestas. Quando se bebe 1 litro de água, qual o volume em centímetros cúbicos em metros cúbicos ocupado pelo líquido no estômago?

Notação Científica

Incerteza e Algarismos Significativos

Algarismos Significativos

  • Regras:

    • não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero.
      • m = 523,1 g e m=0,5231 kg representam a mesma medida e tem 4 algarismos significativos
      • 9 = 0,9x10 = 0,09x102 = 0,009 x 103 (1 A. S. )
      • 0,00034606 = 0,34606 x 10-3 = 3,4606 x 10-4 (5 A. S.)‏
    • zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo.
      • x = 65,5 m e x = 65,50 m são diferentes
      • x = 65,5 m ( 3 A. S.) e x = 65,50 m (4 A. S.)‏
    • E signicativo o zero situado entre algarismos significativos.
      • x = 65,5 m ( 3 A. S.) e x = 65,05 m (4 A. S.)‏
    • Arredondamento: quando o último algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; quando o último algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior.
      • Ex. 8,234 cm e arredondado para 8,23 cm
      • Ex. 8,235 cm e arredondado para 8,23 cm
      • Ex. 8,238 cm e arredondado para 8,24 cm

Algarismos Significativos

    • 6. Operacões com algarismos significativos:
      • a) Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todas as parcelas a mesma unidade. Após realizar a soma, resultado deve apresentar apenas um algarismo duvidoso.
        • 2,653 m + 53,8 cm +375 cm + 3,782 m = 2,653 m + 0,538 m + 3,75 m +3,782 m = 10,72 m.
        • 3,765 cm + 2,8 cm + 3,21 cm = 9,775 cm = 9,8 cm.
        • 133,35 cm - 46,7 cm = 86,65 cm = 86,6 cm.
      • b) Produto e divisão: a regra é dar ao resultado da operação o mesmo numero de algarismos signicativos do fator que tiver o menor numero de algarismos significativos.
        • 32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm2 = 825 cm2.
        • 32,74 cm2 x 3,8 cm = 124,412 cm3 = 1,2 x 102 cm3.
        • 37,32 m/ 7,45 s = 5,00940 m/s = 5,01 m/s.

Erros e Incertezas

  • Os termos incertezas e erros representam conceitos completamente diferentes.

  • O erro de uma medição é a sua diferença para o valor verdadeiro (que em geral não é acessível).

    • O erro aleatório tem origem em variações imprevisíveis, ou seja, os efeitos aleatórios são a causa de variações em observações repetidas da grandeza física. O erro aleatório não pode ser compensado, mas pode ser reduzido aumentando o número de observações.
    • O erro sistemático, em geral, não pode ser eliminado, mas pode ser eventualmente reduzido modificando o processo de medição ou, caso seja identificado, deve ser corrigido.
  • A incerteza é um parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser atribuídos à grandeza física.

Propagação de Erros e Incertezas

  • O Guia para Expressão de Incertezas (Inmetro 1998) define:

    • Mensurando: Grandeza a ser determinada num processo de medição.
    • Valor verdadeiro: Valor consistente com a definição de uma determinada quantidade. Em princípio, apenas obtido num processo de medição perfeito, que em geral não existe.
    • Incerteza: Parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão dos valores que podem satisfatoriamente ser atribuidos ao mensurando. Reflete o desconhecimento do valor exato do mensurando.
    • Erro: É a diferença entre a medida, isto é, o valor experimental (Vexp) e o valor verdadeiro (Vv). Quanto menor o erro, maior a exatidão (acurácia). Usualmente é dado em porcentagem

Abordagem Estatística

  • Numa abordagem estatística o ponto de partida é medir várias vezes a mesma grandeza e calcular sua média (aritmética) dada pela equação abaixo. Neste caso, a média é a melhor estimativa do valor mais provável de um conjunto de medidas

  • onde n é o número total de medidas e xi representa o valor individual de cada medida.

  • O desvio padrão é uma espécie de média das diferenças quadráticas de cada medida até a média. O desvio padrão é um parâmetro que caracteriza a dispersão das medidas e expressa a qualidade das medições.

Abordagem Estatística

  • Uma vez calculado o desvio padrão de um conjunto de medidas, podemos obter o desvio padrão da média que expressa a incerteza do valor médio de n medições em condições de repetitividade. O desvio padrão da média, dado na equação abaixo, é um excelente candidato para expressar a incerteza da média de um conjunto de medidas.

  • Podemos expressar o resultado de n medições por:

  • A principal razão de se repetir uma medida várias vezes é para estimar o desvio padrão do processo de medição em que a metade da menor divisão da escala ou não é adequada, ou não é acessível.

Propagação de Erros e Incertezas

    • Erro sistemático: Erro constante característico do processo ou instrumento (por ex.: a calibração do instrumento de medida).
    • Erro padrão: Desvio padrão dos valores médios em relação ao valor verdadeiro. Outro parâmetro quase impossível de ser determinado.

Propagação de Incertezas

Cálculo da propagação de incerteza

  • No caso de mais de uma variável, todas independentes entre si, a fórmula geral é dada por:

Resumo das expressões matemáticas usadas na propagação de incertezas, incluindo aquelas empregadas na multiplicação e divisão de grandezas experimentais.

  • Resumo das expressões matemáticas usadas na propagação de incertezas, incluindo aquelas empregadas na multiplicação e divisão de grandezas experimentais.

  • Nas expressões x e y são as variáveis e a, m, p e q constantes.

Bibliografia

  • Guia para Expressão da Incerteza de Medição, ABNT, INMETRO, SBM, Rio de Janeiro, Ed. Revisada 1998

  • O. Helene e V.R. Vanin, “Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental”, Edgard Blucher, 2ª ed. (1991).

  • M. H. Tabacniks, Texto: “Conceitos Básicos da Teoria de Erros”, IFUSP, 2003.

  • Apostila de exercícios de Medidas Fisicas – Departamento de Física – Universidade de Juiz de Fora.

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