PROJETO DE PONTE CONCRETO ARMADO COM DUAS LONGARINAS, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia Civil

Baixe PROJETO DE PONTE CONCRETO ARMADO COM DUAS LONGARINAS e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas Daniel de Lima Araújo Apostila da disciplina Pontes do curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás. Goiânia Março de 1999 2 APRESENTAÇÃO Este texto foi elaborado para servir como material didático aos alunos da disciplina de pontes, ministrada no 5o ano do curso de engenharia civil. Ele tem por objetivo detalhar, de forma didática, o projeto estrutural de uma ponte em concreto armado com duas longarinas. Foi escolhido para análise um dos projetos de ponte realizados pelo autor quando de sua atuação como projetista em escritórios de cálculo em Goiânia. O projeto escolhido foi o da ponte sobre o rio Pau Seco, localizado na TO-373 no trecho entre Alvorada (TO) e Araguaçu (TO), o qual foi encomendado pela Secretaria de Estado da Infraestrutura do estado do Tocantins e foi desenvolvido pela GEOSERV - Serviços de Geotecnia e Construção Ltda - sob a responsabilidade do autor. Esta ponte possui um comprimento total de 64 m, distribuído em um vão central de 20 m, dois vãos adjacentes de 18 m e dois balanços de 4 m. A estrutura é simétrica, com duas vigas principais, e o tabuleiro tem uma largura total de 9 m. Os aparelhos de apoio são constituídos por rótulas de concreto e a fundação é constituída por tubulões encamisados executados com auxílio de ar comprimido. No primeiro capítulo são abordados os elementos necessários para a elaboração de um projeto de ponte. No segundo capítulo são realizados o dimensionamento e o detalhamento da superestrutura, e no terceiro capítulo são realizados o dimensionamento e o detalhamento da mesoestrutura (pilares e aparelhos de apoio). Espera-se com este texto contribuir na formação dos alunos do curso de engenharia civil da UFG, na medida em que eles adquiram conhecimentos suficientes para o projeto de uma das mais simples pontes em concreto armado e também da mais corriqueira em nossa região. Goiânia, março de 1999 Daniel de Lima Araújo 8 em geral adotam-se acostamentos de 2,50 m de largura, resultando a largura total do terrapleno igual a 2,50 + 7,00 +2,50 = 12 m. Tabela 1.3 - Rampas máximas (%) em rodovias federais. Região Classe I Classe II Classe III plana 3 3 3 ondulada 4,5 5 5 montanhosa 6 7 7 1.2.1 Elementos geométricos das pontes 1.2.1.1 Largura das pontes rodoviárias As pontes rodoviárias podem ser divididas quanto à localização em urbanas e rurais. As pontes urbanas possuem pistas de rolamento com largura igual a da via e passeios com largura igual a das calçadas. As pontes rurais são constituídas com finalidade de escoar o tráfego nas rodovias e possuem pistas de rolamento e acostamentos. Durante muitos anos, as pontes rodoviárias federais de classe I foram construídas com pista de 8,20 m e guarda-rodas laterais de 0,90 m de largura, perfazendo a largura total de 10 m (Figura 1.1.a). Havia, portanto, um estrangulamento da plataforma da estrada que provocava uma obstrução psicológica nos motoristas que causava acidentes. Nos últimos anos, o DNER passou a adotar para a largura das pontes rurais a largura total da estrada (pista + acostamento) e guarda-rodas mais eficientes (Figura 1.1.b). Em regiões com pouco tráfego, alguns órgãos públicos ainda recomendam a redução da largura da ponte. Dessa forma, o Departamento de Estradas de Rodagem do Tocantins ainda adota a largura de 9,00 m para as pontes, conforme mostrado na Figura 1.2. 9 8,20 m 10,0 m 0,90 0,90 12,2 m 13,0 m 0,4 0,4 a) b) Figura 1.1 - Exemplos de seções transversais de pontes rodoviárias federais. 8,2 m 9,0 m 0,4 0,4 Figura 1.2 - Exemplo de seção transversal de ponte rodoviária empregada no estado do Tocantins. 1.2.1.2 Gabarito das pontes Denomina-se gabarito o conjunto de espaços livres que deve apresentar o projeto de uma ponte de modo a permitir o escoamento do fluxo. A largura das pontes indicadas nas figuras 1 e 2 é um exemplo de gabarito das pistas de pontes de modo a permitir o fluxo de veículos sobre elas. As pontes localizadas sobre rodovias devem respeitar espaços livres necessários para o tráfego de caminhões sob elas(Figura 1.3). As pontes construídas sobre vias navegáveis também devem atender aos gabaritos de navegação dessas vias. Por exemplo, em vias navegáveis a chatas e rebocadores, é comum prever-se a altura livre de 3,5 m a 5,0 m acima do nível máximo a que pode atingir o curso d’água. A largura deve atender a, pelo menos, duas vezes a largura máxima das embarcações mais um metro. 10 Nas pontes construídas sobre rios não navegáveis, adota-se, normalmente, uma altura livre acima do nível máximo d’água de acordo com as recomendações do órgão oficial responsável pela obra. No estado do Tocantins, por exemplo, a altura livre recomendada é de 1,5 m. pistaacostamento acostamento 12,0 m 2,5 m 2,5 m7,0 m 5,5 m Figura 1.3 - Gabarito para pontes sobre rodovias federais. 1.3 Elementos topográficos O levantamento topográfico, necessário ao estudo de implantação de uma ponte, deve constar dos seguintes elementos: • Planta, em escala de 1:1000 ou 1:2000; perfil em escala horizontal de 1:1000 ou 1:2000 e escala vertical de 1:100 ou 1:200 do trecho da rodovia em que ocorrerá a implantação da obra em uma extensão tal que ultrapasse seus extremos prováveis de, pelo menos, 1000 metros para cada lado. • Planta do terreno no qual será implantada a ponte, em uma extensão tal que exceda de 50 metros, em cada extremidade, seu comprimento provável e largura de 30 m, desenhada na escala de 1:100 ou 1:200, com curvas de nível de metro em metro, contendo a posição do eixo locado e a indicação de sua esconsidade. • Perfil ao longo do eixo locado na escala de 1:100 ou 1:200 e numa extensão tal que exceda de 50 metros, em cada extremidade, o comprimento provável da obra. • Quando se tratar de transposição de curso d’água, seção do rio segundo o eixo locado, na escala 1:100 ou 1:200, com as cotas de fundo do rio em pontos distanciados cerca de 5 metros. 13 calculada a área necessária para escoar a vazão máxima de projeto do curso d’água. A fórmula de Manning é expressa por: V n R IH= 1 23 12. . (1.1) V : velocidade média de escoamento (m/s); n : rugosidade do canal; R A PH = : raio hidráulico; A : área da seção de escoamento (m2); P : perímetro molhado (m); I : declividade média do leito. A vazão de escoamento é dada por: Q = V. A (m3/s) Na fórmula de Manning, a área da seção de escoamento empregada é uma simplificação da seção real. Para ilustrar o procedimento de cálculo, é mostrado a seguir a determinação da cota de máxima cheia do rio Pau Seco. Nesse projeto a cota superior do tabuleiro já era conhecida do projeto de terraplanagem. A altura de construção foi obtida pelo pré-dimensionamento da estrutura lançada. A cota de máxima cheia foi calculada pela fórmula de Manning e a altura livre assim obtida foi comparada com o valor mínimo exigido pelo órgão contratante do projeto (nesse projeto, igual a 1,5 m). Dados de projeto: Q = 691,02 m3/s n = 0,035 (canal com vegetação) I = 0,0016 (obtido da topografia) cota de fundo: 208,68 (m) Cota superior do tabuleiro (220,000) M.C.C. (216,080) Altura de construção (1,8 m) Altura livre (2,12 m) A Figura 1.5 - Seção transversal do rio Pau Seco empregada no cálculo da máxima cheia. 14 Tabela 1.4 - Dados da seção transversal do rio Pau Seco Lado esquerdo Lado direito afastamento (m) cota (m) afastamento (m) cota (m) 10,23 209,00 10,00 209,00 10,80 210,00 10,60 210,00 12,60 211,00 11,00 211,00 15,90 212,00 11,70 212,00 18,70 213,00 13,60 213,00 21,80 214,00 17,50 214,00 29,00 214,40 24,00 214,20 34,40 218,00 29,00 213,40 35,90 218,00 Tabela 1.5 - Cálculo da máxima cheia do rio Pau Seco pela fórmula de Manning. Cota (m) Área (m2) Perímetro (m) RH (m) V (m/s) Q (m 3/s) 209,08 4,859 20,425 0,238 0,439 2,133 209,68 17,264 21,816 0,791 0,977 16,875 210,08 25,771 22,808 1,130 1,240 31,953 211,08 48,453 26,067 1,859 1,728 83,721 212,08 74,375 30,772 2,417 2,058 153,086 213,08 104,708 36,065 2,903 2,326 243,521 214,08 142,999 52,340 2,732 2,233 319,383 215,08 201,915 65,798 3,069 2,414 487,332 216,08 264,955 69,404 3,818 2,792 739,698 Da Tabela 1.5 obtêm-se para a máxima cheia calculada a cota de 216,08, a qual fornece uma altura livre de 2,12 m, maior que a altura mínima exigida de 1,5 m. 1.5 Elementos geotécnicos Os elementos geotécnicos necessários à elaboração do projeto de uma ponte são: • Relatório de prospecção de geologia aplicada no local de provável implantação da obra, considerando seu esboço estrutural, e realçando peculiaridades geológicas porventura existentes. 15 • Relatório de sondagem de reconhecimento do subsolo compreendendo os seguintes elementos: a) Planta de locação das sondagens, referida ao eixo da via; a) Descrição do equipamento empregado - peso, altura, etc.; a) Sondagens de reconhecimento do subsolo, em toda a extensão provável da futura obra de arte, ao longo de duas linhas paralelas ao eixo locado da via, uma de cada lado, e distantes deste de, aproximadamente, três metros; a) As sondagens devem ser em número suficiente para permitir uma definição precisa quanto a natureza e distribuição das camadas constituintes do subsolo. Devem, ainda, atingir uma profundidade que permita a garantia de não haver, abaixo dela, camadas de menor resistência. Conforme a importância da obra, um certo número de sondagens, ou mesmo sua totalidade, deverá atingir a rocha, que deverá ser investigada por meio de sondagens rotativas em uma espessura de, pelo menos, três metros. Quando já existir o anteprojeto da obra, poderão ser realizadas duas sondagens em cada linha transversal de apoio. Serão realizadas sondagens rotativas ou mistas (sondagem a percussão na parte em solo e rotativas na parte em rocha), no caso de fundações em rocha ou em terreno que apresente matacões. a) Perfis em separado de todas as sondagens, nos quais se indiquem a natureza e a espessura das diversas camadas atravessadas, suas profundidades em relação a uma referência de nível, índices de resistência à penetração e nível d’água, inicial e vinte e quatro horas após a conclusão da sondagem. A referência de nível da sondagem deve relacionar a cota da boca do furo à referência de nível da obra; a) A fixação das profundidades das sondagens poderá ser feita com critérios alternativos a serem obedecidos no campo como, por exemplo, os enunciados a seguir: F Sondagem de percussão - prosseguir até: resistências à penetração iguais ou superiores a N golpes/ 30 cm em cinco cravações consecutivas, ou até atingir material impenetrável à peça de lavagem, ou até Z m de profundidade máxima. Os valores de N e Z poderão ser fixados, em cada caso, conforme a natureza do solo e o 18 1.6.2 Informações de interesse construtivo ou econômicos • condições de acesso ao local da obra; • procedência dos materiais de construção, custo e confiabilidade do transporte; • épocas favoráveis para execução dos serviços, considerando os períodos chuvosos e o regime do rio; • possível interferência de serviços de terraplanagem ou desmonte de rocha, nas proximidades da obra; • condições de obtenção de água potável. 1.7 Elementos normativos A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é uma entidade oficial encarregada de elabora e editar os regulamentos técnicos adotados no Brasil. As principais normas que devem ser consultadas quando da elaboração de pontes rodoviárias em concreto armado são: • NBR 7187 - Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido; • NBR 7188 - Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre; • NBR 6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado. 1.8 Algumas indicações para projeto de pontes sobre rios Como já foi mencionado anteriormente, para pontes sobre pequenos rios sua localização é definida pelo projetista de estrada quando da elaboração do traçado da via. Contudo, quando a via cruza médios ou grandes rios, a posição da ponte pode determinar o traçado da via. Neste caso, algumas recomendações sobre com escolher a melhor posição para a ponte podem ser úteis: • Transpor o canal principal ou o vale no ponto mais estreito possível e não muito distante do traçado original da via; • O canal principal ou o vale deve ser transposto, de preferência, perpendicularmente à direção de escoamento, o que permite que se obtenha o menor comprimento possível para a ponte. No caso dela ser esconsa, os pilares em contato com o fluxo d’água devem ter sua menor dimensão perpendicular a esse fluxo de forma a evitar ou diminuir a erosão localizada na 19 base do pilar (Figura 1.7). Deve-se também evitar eixos localizados no meio do rio onde a velocidade de escoamento d’água é maior. Vista lateral da erosão na base de um pilar Vista superior de uma ponte esconsa Figura 1.7 - Erosão localizada na base de um pilar em contato com a água. • Deve-se evitar transpor um rio logo após a região onde deságua um afluente de modo a evitar a deposição de sedimentos sob a ponte (seção I-I da Figura 1.8). Também deve-se evitar transpor à montante dessa região, uma vez que nesse caso haveria a necessidade de duas pontes (seção II-II da Figura 1.8), o que acarretaria em aumento do custo da obra. A melhor posição para transposição do rio é um pouco a jusante da região onde deságua seu afluente. I I II II Deposição de sedimentos Figura 1.8 - Transposição de rio com afluente. • Deve-se evitar transpor em regiões onde possa haver, ao longo da vida útil da ponte, mudanças na seção transversal do rio. Essas mudanças normalmente ocorrem em função das características geológicas da região. Um exemplo são rios em regiões sedimentares onde, devido à acumulação de detritos no seu leito, ocorre uma alteração na seção de escoamento. 20 • Quando do cruzamento de rios de pequena vazão, é recomendável evitar curvas para transposição desses rios. Em alguns casos, como o mostrado na Figura 1.9, pode ser realizada uma alteração no curso natural do rio através da construção de um canal devidamente dimensionado. Eixo da estrada Canal artificial Eixo da estrada Canal artificial Figura 1.9 - Correção do leito de rios de pequena vazão. 23 momentos fletores da viga. Além disso, ele também aumenta a área de contato das longarinas com os aparelhos de apoio. 900 82040 40 480170 17040 40 80 120 20 20 20 25 15 140 180 Seção transversal no meio do vão 900 82040 40 170 60 440 60 170 120 20 20 20 80 140 180 25 15 Seção transversal no apoio A A 50 180 50 195 20 20 1 1.5 20 20 20 Ala e viga de fechamento Corte AA Figura 2.1 (b) - Principais dimensões da ponte sobre o rio Pau Seco (em centímetros) 24 Figura 2.2 - Vista inferior com detalhe da mísula horizontal. Observa-se, também, que tanto as transversinas de apoio quanto as transversinas de vão são separadas da laje. Esta solução é adotada para uniformizar a armadura de flexão (longitudinal e transversal) da laje do tabuleiro, a qual passa a comporta-se como apoiada apenas em dois lados, ou seja, apenas sobre as longarinas. O espaçamento entre transversinas é tomado, aproximadamente, igual ao espaçamento entre as longarinas. Sua função é promover o travamento das longarinas e impedir a rotação das mesmas em torno de seu eixo longitudinal. Neste projeto foi empregada a solução de alas fechadas, ou seja, orientadas na direção longitudinal. Frequentemente são encontrados projetos com alas perpendiculares ao eixo da ponte, também conhecidas como alas abertas (Figura 2.3). A função das alas é conter o aterro junto às extremidades da superestrutura. As alas fechadas têm a vantagem de diminuir o comprimento da saia do aterro na direção do eixo da ponte, mas possuem a desvantagem de necessitarem ser dimensionadas também ao empuxo de terra provocada pela carga móvel sobre o aterro de acesso. Para cálculo do peso próprio da estrutura é necessário conhecer, além das dimensões da seção transversal, as dimensões e pesos dos elementos acessórios que vão estar sobre a ponte: • Área da seção transversal no meio do vão: 3,495 m2 • Área da seção transversal no apoio: 4,135 m2 • Área da seção transversal do guarda-rodas: 0,23 m2 • Peso do guarda-corpo: 0,1 kN/m • Espessura média do pavimento: 0,08 m 25 Figura 2.3 - Posição das alas na extremidade da ponte. 2.3 Idealização para o cálculo das solicitações As estruturas das pontes em vigas são formadas por elementos verticais (vigas) e horizontais (lajes) ligados monoliticamente. A análise da estrutura espacial, embora possível, ainda é complexa e requer programas computacionais que nem sempre o projetista tem a disposição. Simplifica-se então a estrutura decompondo-a em elementos lineares (as vigas) e de superfície (as lajes). O cálculo do quinhão das cargas móveis que cada viga recebe é feito de forma aproximada. Colocam-se as cargas móveis numa seção próxima ao meio do vão, na posição transversal mais desfavorável para a viga estudada, e obtêm-se o trem-tipo da mesma. Para as seções próximas aos apoios, o quinhão de carga da viga - para a mesma posição da carga móvel na seção transversal - sofre alterações. Para maior simplicidade, contudo, admite-se que o trem-tipo calculado próximo ao meio do vão não se altera ao longo da viga. As ações devido ao peso próprio são mais fáceis de distribuir entre as vigas. No caso de seção transversal com duas vigas, cada uma recebe metade do peso próprio da superestrutura. Os esforços devidos ao peso próprio e à carga móvel são calculados em diversas seções de cálculo ao longa da viga. O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-se cinco seções para vão pequenos (da ordem de 10 m a 15 m) e dez seções para vãos médios (da ordem de 25 m a 30 m). 2.4 Dimensionamento da viga principal 2.4.1 Solicitações devido ao peso próprio A seguir são mostrados os cálculos para determinação do carregamento devido ao peso próprio sobre cada viga principal (ou longarina). Foram adotados para o 28 b.3) A viga de fechamento aplica na ponta do balanço uma força de: b.4) O peso de cada ala, incluindo guarda-rodas e guarda-corpo, vale: ∴ P = 29,025 kN b.5) A terra sobre a viga inferior da viga de fechamento aplica na ponta do balanço uma força de: 29 Logo, a força total aplicada na ponta do balanço, para cada longarina, vale: P = 47,25 + 29,025 + 37,2 = 113,5 kN Na Figura 2.5 são mostradas as seções de cálculo e o carregamento devido ao peso próprio em uma longarina. Os momentos fletores e os esforços cortantes resultantes desse carregamento são mostrados na Tabela 2.1, e na Tabela 2.2 são mostradas as reações de apoio da superestrutura sobre a mesoestrutura. Figura 2.5- Seções de cálculo e carregamento devido ao peso próprio em uma longarina. Tabela 2.1 - Momento fletor e esforço cortante, em uma longarina, devido ao peso próprio. Seção a b 0esq 0dir 1 2 3 4 5 6 Mg (kN.m) -254 -542 -929 -136 435 817 995 979 779 Vg (kN) -204 -288 -356 492 390 263 161 42 -60 -162 Seção 7 8 9 10esq 10dir 11 12 13 14 15 Mg (kN.m) 385 -214 -1001 -2011 -903 -70 532 881 994 Vg (kN) -281 -384 -510 -612 611 497 358 244 114 0 Tabela 2.2 - Reação de apoio, em uma longarina, devido ao peso próprio. Eixo 1 2 3 4 30 Rg (kN) 875 1249 1249 875 2.4.2 Solicitações devido à carga móvel 2.4.2.1 Determinação do trem-tipo As cargas móveis podem ocupar qualquer posição sobre o tabuleiro da ponte. Assim, para cada longarina, é necessário procurar a posição do carregamento que provoque a máxima solicitação em cada uma das seções de cálculo. Esse procedimento é por demais trabalhoso e inviável de ser realizado manualmente. Dessa forma, utiliza-se do conceito de trem-tipo, o qual simplifica o carregamento sobre as longarinas e torna o processo de cálculo dos esforços menos trabalhoso. Denomina-se trem-tipo de uma longarina o quinhão de carga produzido na mesma pelas cargas móveis de cálculo, colocadas na largura do tabuleiro, na posição mais desfavorável para a longarina em estudo. Nessas condições, o trem-tipo é o carregamento de cálculo de uma longarina levando-se em consideração a geometria da seção transversal da ponte, como, por exemplo, o número e espaçamento das longarinas e a posição da laje do tabuleiro. O trem-tipo, suposto constante ao longo da ponte, pode ocupar qualquer posição na direção longitudinal. Assim, para cada seção da viga estudada, é necessário determinar as posições do trem-tipo que produzem valores extremos das solicitações. Nos casos mais gerais, empregam-se as linhas de influência, diagramas que permitem definir as posições mais desfavoráveis do trem-tipo e calcular as respectivas solicitações. Com os valores extremos das solicitações, calculados nas diversas seções de cálculo da viga, é possível traçar as envoltórias de solicitações da carga móvel. Como os valores das envoltórias são determinados para as situações mais desfavoráveis das cargas, quaisquer outras posições do carregamento produzirão solicitações menores. Assim, se a longarina for dimensionada para os valores das envoltórias, sua segurança fica garantida para qualquer posição da carga móvel. A ponte sobre o rio Pau Seco é da classe 45, logo deve ser empregado para cálculo do trem-tipo o veículo tipo especificado pela NBR-7188 com 450 kN de peso total. A distribuição da carga móvel entre as longarinas depende da rigidez transversal do tabuleiro. Como a ponte em estudo é constituída por apenas duas longarinas, a posição mais desfavorável para as solicitações é quando o veículo tipo está posicionado no bordo da pista, encostado no guarda-rodas, conforme mostrado na Figura 2.6. A reação na 33 O trem-tipo empregado no cálculo dos esforços nas longarinas é o mostrado na Figura 2.8. Vale ressaltar que nesse caso, como não há passeio para pedestres, multiplicou-se todo o trem-tipo, obtido pelo posicionamento do veículo tipo na seção transversal, pelo coeficiente de impacto. Caso houvesse contribuição no cálculo do trem- tipo de carregamento no passeio, essa parcela do carregamento não poderia ser multiplicada pelo coeficiente de impacto, uma vez que o carregamento proveniente de pedestres sobre a ponte não provoca efeitos dinâmicos nela. Figura 2.8 - Trem-tipo, com impacto, das longarinas da Ponte sobre o rio Pau Seco. 2.4.2.2 Cálculo do momento fletor e do esforço cortante Para cada seção de cálculo da longarina, são traçadas as linhas de influência de momento fletor e esforço cortante e, em seguida, é posicionado o trem-tipo calculado nas posições mais desfavoráveis (ou seja, nas posições que provocam os maiores esforços), obtendo-se assim as envoltórias de momento fletor e esforço cortante. Sendo a viga dimensionada para os valores dessas envoltórias, a resistência estará garantida para qualquer posição da carga móvel sobre o tabuleiro, uma vez que as solicitações correspondentes a esta posição particular serão inferiores às que foram empregadas no dimensionamento. Na Figura 2.9 são ilustradas as linhas de influência das seções 4, 10 e 15 das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco, bem como as posições mais desfavoráveis do trem-tipo para cada seção. A seguir é exemplificado o cálculo do maior momento fletor positivo na seção 4. Após posicionado o trem-tipo, é necessário obter as ordenadas da linha de influência sobre as forças concentradas e as áreas compreendidas entre a linha de influência e o eixo da viga sobre as forças distribuídas. Dessa forma, obtêm-se: 34 Figura 2.9 - Linhas de influência das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco. 35 Procedendo de modo semelhante, obtêm-se os esforços nas demais seções da longarina. Na Tabela 2.3 estão resumidos os momentos fletores e os esforços cortantes, máximos e mínimos, obtidos a partir do carregamento móvel. Tabela 2.3 - Momento fletor e esforço cortante, em uma longarina, devido à carga móvel. Seção a b 0esq 0dir 1 2 3 4 5 6 Mq + (kN.m) - - - 1015 1721 2167 2398 2375 2120 Mq - (kN.m) -361 -879 -1615 -1475 -1335 -1195 -1055 -915 -851 Vq + (kN) - - - 677 572 473 382 300 227 164 Vq - (kN) -426 -437 -653 -74 -63 -119 -194 -273 -356 -440 Seção 7 8 9 10esq 10dir 11 12 13 14 15 Mq + (kN.m) 1661 1032 452 570 489 1090 1706 2096 2229 Mq - (kN.m) -957 -1063 -1354 -1927 -1328 -1008 -902 -802 -702 Vq + (kN) 137 128 123 121 772 678 582 486 393 306 Vq - (kN) -525 -610 -693 -773 -89 -91 -99 -157 -226 -306 2.4.2.3 Cálculo das reações de apoio As reações de apoio provocadas pela carga móvel são obtidas com as linhas de influência de reação de apoio, procedendo-se de forma semelhante à indicada no cálculo dos momentos fletores e esforços cortantes. Na Figura 2.10 é mostrada a linha de influência no apoio 2 e as posições mais desfavoráveis do trem-tipo. Na Tabela 2.4 são mostrados os valores de reação de apoio das longarinas devido à carga móvel. Figura 2.10 - Linha de influência da reação de apoio na seção 10. 38 As seções submetidas à momento fletor positivo comportam-se como viga “T”, sendo a mesa representada pela laje do tabuleiro que contribui na resistência à flexão da seção. Na Figura 2.12 é mostrada a determinação da largura da mesa, segundo os critérios sugeridos pela NBR-6118, em uma seção situada no meio do vão. ∴ bf = ba + b1 + b3 = 72,5 + 120 + 120 = 312,5 cm Figura 2.12 - Determinação da largura da mesa da viga “T” na seção do meio do vão da longarina. Para efeito de exemplificação, é calculado a armadura de flexão na seção 15 onde atuam os seguintes momentos fletores: Mg = 994 kN.m Mq += 2229 kN.m Mq - = -702 kN.m O momento fletor de cálculo (positivo) nessa seção vale: 39 A altura total da seção vale (h) 1,80 m e a altura útil (d) é admitida igual a 1,60 m, a qual posteriormente será verificada. O dimensionamento da viga T é feito admitindo inicialmente que a linha neutra corte a seção transversal na altura da mesa. Dessa forma, o dimensionamento pode ser feito substituindo a seção original por uma seção retangular de largura igual à largura da mesa (bf). Usando as tabelas de dimensionamento apresentadas por SUSSEKIND (1989) obtêm-se: Kx = 0,114 ⇒ x = Kx.d = 18 cm < hf = 20 cm Como a linha neutra está localizada na mesa de compressão, a hipótese inicial é verdadeira e pode-se prosseguir no cálculo admitindo uma seção retangular. A armadura de flexão vale, portanto, na seção 15: As + = 66,6 cm2. No tramo1, a seção mais solicitada por momentos fletores positivos é a de número 4, onde atuam os seguintes momentos fletores: Mg = 995 kN.m Mq += 2398 kN.m O momento fletor de cálculo (positivo) nessa seção vale: Admitindo para a seção 4 as mesmas dimensões da viga T da seção 15 (Figura 2.12), bem como a substituição da seção por uma retangular, obtêm-se: Kx = 0,11 ⇒ x = Kx.d = 17,6 cm < hf = 20 cm As + = 70,2 cm2 As seções submetidas a momento fletor negativo têm seção retangular, uma vez que nestas seções a laje do tabuleiro situa-se na região tracionada. A seção da longarina 40 mais solicitada a momento fletor negativo é a de número 10 situada sobre o apoio entre os tramos 1 e 2. Nessa seção atuam os seguintes momentos com valores em serviço: Mg = -2011 kN.m Mq += 570 kN.m Mq - = -1927 kN.m O momento fletor de cálculo (negativo) nessa seção vale: É admitido para a altura útil dessa seção um valor superior ao adotado para as seções submetidas a momentos fletores positivos devido à colocação de parte da armadura de flexão da longarina na laje do tabuleiro, o que reduz a distância entre o centro de gravidade das armaduras e a fibra mais tracionada. Inicialmente será adotada uma altura útil (d) de 1,65 m que posteriormente será verificada. Sabendo que a largura da alma nessa seção (bw) vale 60 cm, chega-se a uma área de aço à tração igual a As - =96,7 cm2. As seções até aqui dimensionadas estão submetidas a momento fletor em apenas um sentido, ou seja, momento positivo ou momento negativo. Algumas seções, contudo, são submetidas tanto a momento fletor positivo quanto a momento fletor negativo, devendo, portanto, serem dimensionadas para resistir a ambos. Esse é o caso, por exemplo, da seção 2, cujos momentos fletores com valores em serviço são: Mg = 435 kN.m Mq += 1721 kN.m Mq - = -1335 kN.m Combinando Mg com Mq + obtêm-se o momento fletor positivo de cálculo e a seção resistente é em forma de “T”. 43 a) Barras dobradas: o dobramento das barras reduz a sua resistência à fadiga, em relação à barras reta, devido à introdução de tensões localizadas nas regiões dobradas. Esta redução é função da relação entre o diâmetro de dobramento e o diâmetro da barra. a) Emendas por traspasse: ensaios experimentais com traspasse de 20 a 35 vezes o diâmetro das barras mostraram que este tipo de emenda não apresenta redução significativa de resistência à fadiga, em relação às situações similares sem emendas. a) Emendas por solda: nas barras emendadas por solda, por eletrodo ou por caldeamento, ocorre uma redução da resistência à fadiga de até 50% em relação à barra sem emenda. As estruturas de concreto armado são estruturas compostas nas quais o aço absorve as tensões de tração quando o concreto fissura. Dessa forma, seu comportamento à fadiga está intimamente relacionado com as propriedades de seus materiais componentes, aço e concreto, e da interação entre eles (aderência). Assim, para elementos sub-armados sob a ação de momento fletor, o comportamento à fadiga está diretamente relacionado com a resistência à fadiga da armadura. Para elementos super-armados ou aqueles em que o cisalhamento e a aderência são fatores determinantes, a previsão do comportamento é mais complicada. No Brasil, a única norma em vigência a tratar do assunto é a NBR-7187 - Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido -, sendo que ela aborda apenas a fadiga do aço. Segundo essa norma, as variações de tensões, em serviço, das barras da armadura longitudinal devem ficar limitadas a valores admissíveis (∆fsk = 150 MPa para barras de alta aderência) a fim de prevenir a ruptura por fadiga, a qual é perigosa por sua natureza frágil, ou seja, sem aviso decorrente de deformações inelásticas. Quando a variação de tensão nas armaduras longitudinais, em serviço, ∆σs for superior à ∆fsd = ∆fsk/γfat (γfat = 1,5), as áreas de aço calculadas, no estádio III, para resistir aos momentos fletores devem ser multiplicadas por um coeficiente de fadiga K (K = ∆σs/∆fsd). As armaduras assim majoradas terão as variações de tensões limitadas a ∆fsd. Ainda segundo a NBR-7187, a verificação à fadiga pode ser realizada através de análise baseada em métodos elásticos desprezando-se a resistência à tração do concreto após a fissuração. A variação de tensão pode ser obtida por uma combinação freqüente de ações, com seus valores máximos e mínimos. Neste texto preferiu-se adotar a 44 combinação freqüente recomendada pela NBR-8681 à combinação freqüente da NBR- 7187 por considerar que a primeira superpõe-se à segunda. 2.4.4.2.2 Aplicação à ponte sobre o rio Pau Seco A seguir é analisada a seção 12 da longarina da ponte sobre o rio Pau Seco, por ser esta a seção que apresenta as maiores variações de momento fletor. Os momentos fletores, em serviço, que atuam nessa seção são: Mg = -70 kN.m Mq += 1090 kN.m Mq - = -1008 kN.m A variação de tensão na seção é definida como ∆σs = σs,max - σs,min. A tensão σs,max é obtida a partir da combinação de Mg com Mq + que resulta num momento tracionando as fibras inferiores (momento fletor positivo). A tensão σs,min é obtida a partir da combinação de Mg com Mq - que resulta num momento tracionando as fibras superiores (momento fletor negativo). Para calcular a tensão na armadura, é admitido que a seção se encontra no limite do estádio II, ou seja, o concreto tracionado não resiste aos esforços e a distribuição de tensões na região comprimida é linear. Na Figura 2.13 são mostradas as seções transversais empregadas no cálculo, considerando a atuação de momentos fletores positivo e negativo, e os diagramas de tensão e de deformação na seção. 45 Figura 2.13 - Seções de cálculo da seção 12 da longarina. Inicialmente é analisada a seção 12 quando submetida a momento fletor positivo (Md,max). Admitindo que a linha neutra esteja na mesa de compressão (o que implica em admitir bw = bf), sua posição pode ser obtida por (SUSSEKIND (1989)): Essa expressão fornece a posição da linha neutra, no estádio II, em uma seção retangular com armaduras de tração e compressão. Nessa expressão, As é a área de aço de tração, As ’ é a área de aço de compressão, n é a relação entre os módulos de deformação longitudinal do aço e do concreto, bw é a largura da seção, d é a altura útil da seção (distância da armadura tracionada à fibra mais comprimida da seção), t é o cobrimento da armadura comprimida (distância da armadura comprimida à fibra mais comprimida da seção). Quando a seção 12 está submetida ao momento fletor positivo (Md,max) têm-se: As = As + = 22 cm2, As ’ = As - = 22,6 cm2, n ≈ 7,5, bw = 312,5 cm, d = 160 cm e t = 15 cm. Substituindo esses valores na expressão anterior obtêm-se x = 12,58 cm, menor que hf, o que confirma a hipótese inicial da linha neutra encontrar-se na mesa de compressão. A inércia da seção é obtida, então, por: Essa expressão fornece a inércia de uma seção retangular no estádio II com armaduras de tração e compressão. A tensão na armadura tracionada (As +) vale, portanto: 48 M1 e M2 são os valores algébricos dos momentos fletores de maior e menor valor absoluto, respectivamente, que ocorrem na seção transversal estudada. Quando houver alternância de esforços, tomar-se-á nessa expressão em lugar de M2. Analisando a seção 12 por essa expressão e tomando para M1 e M2 os valores obtidos da envoltória de momentos fletores em serviço (Tabela 2.5) obtêm-se: Observa-se que este valor é 53% superior ao valor de K- e 75% superior ao valor de K+. Apesar dessa diferença, a expressão da EB3/67 ainda é empregada devido a sua facilidade de utilização, o que resulta em simplificação dos cálculos. A seguir são analisadas as tensões na armadura inferior da seção 15. Os momentos fletores, em serviço, que atuam nessa seção são: Mg = 994 kN.m Mq += 2229 kN.m Mq - = -702 kN.m As combinações freqüentes que produzem a máxima e a mínima tensão na armadura de tração, situada no bordo inferior da seção, são: 49 Essa seção, ao longo da vida útil da ponte, estará sempre submetida a momento fletor positivo com intensidade variando de 713 kN.m a 1886 kN.m. A seção transversal de cálculo empregada na avaliação das tensões na armadura é a mesma indicada na Figura 2.13. Admitindo, inicialmente, que a linha neutra esteja na mesa de compressão (bw = bf) e sabendo que As = As + = 66,6 cm2, As ’ = As - = 0, n ≈ 7,5, bw = 312,5 cm, d = 160 cm e t = 15 cm, obtêm-se, a partir da expressão para cálculo da linha neutra em seções retangulares com armaduras de tração e compressão, x = 21,07 cm. Este valor é maior que a altura da mesa (hf = 20 cm) o que indica que a hipótese inicial não é válida, devendo-se recalcular a posição da linha neutra considerando uma seção em forma de “T”. Se a contribuição da nervura for desprezada (válido para bf ≥ 5.bw) e não houver armadura de compressão na seção, a posição da linha neutra pode ser obtida por (SUSSEKIND (1989)): A inércia da seção no estádio II puro é obtida por (SUSSEKIND (1989)): As tensões máxima e mínima na armadura tracionada (As +) valem: 50 A variação de tensão na armadura tracionada vale, portanto: Como essa variação é maior que a admissível (∆fsd = 100 MPa), deve-se aumentar a área de aço multiplicando-a pelo coeficiente de fadiga: Analisando a seção 15 pelo critério da EB3/67, obtêm-se o seguinte coeficiente de fadiga (ver Tabela 2.5): Observa-se que este valor é muito próximo ao obtido segundo a NBR-7187. Neste texto o autor optou por avaliar o efeito da fadiga pelo critério da EB3/67. O leitor, quando da realização de seus projetos, tem a liberdade de escolher qual critério irá empregar. Na Tabela 2.7 são apresentados os coeficientes de fadiga e as áreas de aço finais majoradas pelo coeficiente de fadiga. Tabela 2.7 - Área de aço de flexão, com fadiga, em uma longarina. Seção a b 0 1 2 3 4 5 6 K 1,00 1,00 1,00 1,77 1,68 1,48 1,40 1,36 1,41 As + (cm2) - - - 34,3 74,6 91,5 98,3 94,4 84,7 53 O próximo passo é calcular a tensão na armadura. Para tanto são empregadas as mesmas expressões utilizadas no cálculo do coeficiente de fadiga (estádio II). Lembrando que a seção 15 está submetida a um momento fletor positivo, pode-se empregar para cálculo da posição da linha neutra a expressão deduzida para seções em T apenas com armadura de tração e com bf ≥ 5.bw. Dessa forma, sabendo que As = 83,9 cm2 obtêm-se x = 23,72 cm e J = 0,1307 m4, o que resulta numa tensão na armadura tracionada (σs) igual a 147 MPa. Substituindo esses valores nas expressões da NBR- 6118 para verificação do estado limite de fissuração obtêm-se: Observa-se, portanto, que está satisfeito o estado limite de fissuração na seção 15. Analisa-se, agora, o estado limite de fissuração na seção 0. Da combinação freqüente de ações nessa seção obtêm-se Md = -1575 kN.m. O cobrimento útil da armadura também vale 3,5 de modo que o limite de abertura de fissuras pode ser elevado para 2,5. Sabe-se que φ = 25 mm, ηb = 1,5 , ftk = 1,8 MPa, Es = 210000 MPa e As = 55,2 cm2. A taxa geométrica de armadura vale: 54 Empregando as expressões deduzidas para cálculo da posição da linha neutra em seções retangulares, com armaduras de tração e compressão, e sabendo que As = As - = 55,2 cm2, As ’ = As + = 0, n ≈ 7,5, bw = 60 cm e d = 165 cm, obtêm-se x = 41,31 cm e J = 0,0774 m4, o que resulta numa tensão na armadura tracionada igual a 189 MPa. Substituindo esses valores nas expressões da NBR-6118 para verificação do estado limite de fissuração obtêm-se: Observa-se que na seção 0 também está satisfeito o estado limite de fissuração. Esse procedimento deve ser repetido para todas as seções (momentos positivo e negativo). Se em alguma seção o estado limite de fissuração não for satisfeito, pode-se diminuir o diâmetro da armadura ou aumentar a quantidade de barras, ou mesmo tomar ambas as atitudes, até ser atendido o limite de abertura de fissuras. O leitor poderá verificar que nas demais seções da ponte a área de aço de flexão, já afetada pelo efeito de fadiga, é suficiente para garantir fissuras com abertura inferior a 0,2 mm. 2.4.4.4 Detalhamento da armadura de flexão das longarinas O dimensionamento das armaduras das seções é completado por um plano de distribuição das barras ao longo do tramo, garantindo, assim, a resistência de todas as seções do tramo. 2.4.4.4.1 Envoltórias de armação Quando do dimensionamento à flexão foram determinadas, em cada seção de cálculo, as áreas das armaduras positiva e negativa. A partir dessas áreas, podem ser traçadas, em cada tramo, duas envoltórias de armação (Figura 2.14). A primeira envoltória é obtida traçando-se a envoltória simples de armação, obtida diretamente do 55 dimensionamento (Tabela 2.6), e a esta adicionando o deslocamento horizontal destinado a cobrir as solicitações de tração do banzo inferior da treliça empregada no cálculo da armadura transversal (decalagem). Figura 2.14 - Envoltórias de armação de uma longarina. O deslocamento horizontal (al), ou decalagem, no caso de estribos verticais é dado por: , onde Não há, entretanto, necessidade de calcular um valor de al para cada seção, podendo-se tomar um valor constante para cada tramo ou trecho da viga. A escolha da relação pode ser feita com os valores da Tabela 2.8. Tabela 2.8 - Valores simplificados da relação segundo a NBR-6118. Tipo de armadura transversal Valor de η ≤ 0,6 0,6 a 0,8 ≥ 0,8 estribos verticais 1,00 0,75 0,50 estribos inclinados a 450 0,75 0,50 0,25 A seguir é apresentado o cálculo de al para o tramo de 20 m. O esforço cortante de cálculo junto ao apoio deste tramo vale: 58 2.4.4.4.2 Emendas por traspasse As emendas por traspasse, não utilizadas para barras com diâmetro superior a 25 mm e explicitamente proibidas em tirantes, têm como idéia básica transferir o esforço de uma barra para a outra através da ancoragem de ambas com o concreto, ou seja, tudo se passa como se uma das barras ancorasse no concreto e este, também por aderência, transferisse à outra barra o esforço que recebeu. Dessa forma, o comprimento lv dos trechos de traspasse é definido pelo produto do comprimento de ancoragem da barra (lb) por um coeficiente ψ ≥ 1 (Tabela 2.9) que leva em consideração o número de barras ancoradas na mesma seção e avalia a redução da tensão de aderência devido ao grande número de barras emendadas próximas umas das outras. Tabela 2.9 - Valores do coeficiente ψ para emendas por traspasse a b Porcentagem de barras tracionadas emendadas na mesma seção 20% 25% 33% 50% > 50% a ≤ 10 φ e/ou b ≤ 5 φ 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 a > 10 φ e b > 5 φ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Figura 2.15 - Distribuição das emendas por traspasse em corte ou em planta para determinação do coeficiente ψ. O comprimento de ancoragem retilíneo de uma barra (sem gancho) é avaliado por: 59 sendo: (τbu e fcd em MPa) a) Disposições complementares a.1) Considera-se como emendadas na mesma seção as barras cujas extremidades mais próximas estejam afastadas entre si de distância inferior a 0,2.lv , ou seja, é de boa técnica que, no sentido longitudinal da peça, se observe, para as barras tracionadas emendadas, um detalhe como o indicado na Figura 2.16. Figura 2.16 - Distância mínima entre emendas por traspasse na direção longitudinal. a.2) Para garantir uma boa aderência, exige-se que a espessura do concreto em torno da emenda seja, no mínimo, igual a 2φ ou a 2 cm (Figura 2.17). Dessa forma, na região de traspasse os espaçamentos mínimos horizontal e vertical são os mesmos exigidos para feixes de barras. Figura 2.17 - Espaçamento mínimo entre emendas por traspasse. a.3) As barras comprimidas podem ser todas emendadas na mesma seção com comprimento lv = lb. 60 a.4) Para que duas barras sejam consideradas emendadas por traspasse, a distância entre elas deve ser no máximo igual a 4φ (Figura 2.18). Figura 2.18 - Distância máxima entre duas barras adjacentes numa emenda por traspasse. 2.4.4.4.3 Detalhamento do tramo 0 - 10 A seguir é exemplificado o detalhamento do tramo 0 – 10 que possui a maior quantidade de armadura positiva à flexão. Como esse tramo possui um comprimento de 18 m, não é possível cobrir toda a envoltória de armação (Figura 2.14) sem a execução de emendas em algumas barras. A área de aço requerida na seção 4 é de 98,3 cm2 (incluindo o efeito da fadiga) a qual é garantida se forem empregadas 22 barras com diâmetro de 25 mm (As = 4,91 cm 2). Dessa forma, a área de aço efetiva na seção é de As,ef = 22 x 4,91 = 108 cm 2. Vale ressaltar que apenas 21 barras seriam suficientes nessa seção (As,ef = 103,1 cm 2). Entretanto, optou-se por adotar um número par de barras de forma a facilitar o detalhamento das barras ao longo do vão. Definida a quantidade de barras que serão empregadas no detalhamento, pode- se dividir a envoltória final de armação por uma série de linhas, conforme mostrado na Figura 2.19, cuja distância entre si equivalem à área de n barras. O valor de n é definido pelo projetista quando do detalhamento da viga. Contudo, se ele for pequeno existirá um número elevado de posições de corte, o que dificultará a execução da viga. Porém, se for grande haverá um desperdício de barras devido às exigências de ancoragem para as barras. Neste projeto o autor optou por n = 2. Os pontos de interseção da envoltória de armação com o feixe de linhas definido anteriormente indicam, exatamente, em que seção pode-se ir retirando de trabalho as barras da armação, ancorando-as por ancoragem reta. O próximo passo é determinar o comprimento de ancoragem (reta) para as barras da armação de flexão. Por definição, o comprimento de ancoragem, por aderência, de uma barra é o comprimento mínimo necessário para que a mesma transmita ao concreto 63 ( ) cm 40 cm 5,395,2335,2415,22bw ≅=××+×++≥ De posse dessas informações, procede-se à definição da posição das emendas (ver Figura 2.22) respeitando os limites de no máximo 4 barras emendadas numa mesma seção e distância de 0,2 x 150 = 30 cm entre as emendas na direção longitudinal. Vale também lembrar que a NBR-6118 recomenda que 25% da armadura no meio do vão seja prolongada até os apoios, aí penetrando pelo menos 10φ. Sendo assim, as barras das posições 9,10 e 11 – num total de 6 barras, o que corresponde a 27% do total de barras – foram prolongadas até os apoios. Na Figura 2.22 também é mostrado um detalhe da disposição das barras na seção transversal do meio do vão. Observa-se que as barras mais curtas (sem emendas) são colocadas nas camadas superiores de forma que, quando retiradas de serviço, o centro de gravidade das armaduras tende a se aproximar da fibra mais tracionada, aumentando assim a altura útil da viga. Para o detalhamento do tramo 10 – 20 segue-se o mesmo procedimento empregado no detalhamento do tramo 0 – 10. Figura 2.20 - Determinação do número de barras emendadas por camada. 2.4.4.4.4 Detalhamento da armadura negativa sobre o eixo 2 Para o detalhamento da armadura negativa o procedimento é o mesmo apresentado no detalhamento da armadura positiva (tramo 0 – 10). Algumas diferenças são o maior espaço para distribuição das barras de aço na seção transversal, que podem ser colocadas na laje do tabuleiro, e o maior comprimento da emenda por traspasse devido às barras estarem situadas em região de má aderência. Na seção 10, situada sobre o eixo 2, a área de aço necessária para resistir aos momentos fletores, já computado o efeito da fadiga e também verificado o estado limite de abertura de fissuras, é de 96,7 cm2. Essa área pode ser garantida se forem empregadas 20 barras com diâmetro de 25 mm (As,ef = 98,2 cm 2). Em seguida, divide-se a envoltória final de armação sobre o eixo 2 por uma série de linhas, tomando-se como base a área de aço na seção 10 e escolhendo-se o número de posições de corte da 64 armadura (Figura 2.21). Os pontos de interseção da envoltória com essas linhas indicam, exatamente, em que posição pode-se retirar de trabalho as barras da armação, as quais podem ser ancoradas por aderência através de um trecho retilíneo. Nesse caso, como as barras estão localizadas numa região de má aderência, a NBR-6118 recomenda que o comprimento de ancoragem seja 50% superior ao comprimento de ancoragem calculado para a região de boa aderência. Dessa forma, têm-se: Até a posição 6 (Figura 2.21) as barras têm comprimento inferior a 11,5 m, não sendo, portanto, necessário emendas. A partir da posição 7 torna-se necessário a execução de emendas para cobrir a envoltória de armação. Arbitrando que no máximo 4 barras serão emendadas numa mesma seção, chega-se a uma porcentagem máxima de 20% de barras emendadas. Dessa forma, o comprimento de traspasse vale: Figura 2.21 - Disposição da armadura de flexão (negativa) sobre o eixo 2. 65 A seguir é definido o número de camadas horizontais em que a armação é disposta. Para tanto, é necessário conhecer a largura da longarina que abrigará as barras da armação. No apoio a largura é de 60 cm a qual decresce até 40 cm numa extensão de 6 m em um vão e 6,5 m no vão adjacente. Em função dessa variação, as posições de barras que forem maiores que 12,5 m necessariamente estarão situadas na região com 40 cm de largura. Além disso, essas barras também sofrerão emendas por traspasse, o que limita o número de barras por camada nessa região a apenas 4, conforme calculado para a seção 4. As barras de maior comprimento serão colocadas na alma da longarina, enquanto as menores serão colocadas na laje do tabuleiro de modo a reduzir a distância do centro de gravidade da armação ao bordo mais tracionado e diminuir a concentração de barras na alma da longarina, o que facilita a concretagem da região. De posse dessas informações, a última etapa consiste em definir: a posição das emendas, respeitando o limite de no máximo 4 barras emendadas numa mesma seção e distância de 0,2 x 225 = 45 cm entre emendas na direção longitudinal, o comprimento de cada barra e sua posição na direção longitudinal (início e fim de cada posição de corte com relação ao eixo do apoio 2). Na Figura 2.22 são mostrados o detalhamento longitudinal da armadura de flexão negativa e a distribuição das barras na seção transversal sobre o eixo 2 (seção 10). Para o detalhamento da armadura negativa sobre o eixo 1 segue-se o mesmo procedimento aqui empregado. 2.4.4.5 Dimensionamento ao esforço cortante A armadura transversal em uma viga, quando constituída apenas por estribos verticais, pode ser avaliada, de acordo com a analogia de treliça de Mörsch, por: yd wwd90s f b15,1 s A τη = sendo: db V w d wd =τ , wd cwd 15,1 15,1 τ τ−τ =η , ck1c fΨ=τ O coeficiente η pode ser adotado como constante nos trechos onde o esforço cortante mantêm o mesmo sinal, sendo calculado para o maior esforço cortante, em módulo, nesse trecho. Para τc é adotado um valor constante e igual a: 68 Na Tabela 2.10 são mostrados os principais valores para cálculo da armadura transversal e a área de aço obtida. Tabela 2.10 - Armadura transversal em uma longarina. Seção a b 0esq 0dir 1 2 3 4 5 6 dV (kN) 862 986 1377 1587 1308 1004 744 475 576 827 bw (cm) 48 54 60 54 48 42 40 40 40 τwd (MPa) 1,12 1,14 1,43 1,65 1,51 1,31 1,11 0,74 0,90 1,29 η 0,8 0,8 0,8 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,86 0,86 As90 (cm 2/m) 11,4 13,0 18,2 21,7 17,9 13,8 10,2 6,5 8,2 11,7 Seção 7 8 9 10esq 10dir 11 12 13 14 15 dV (kN) 1100 1353 1633 1878 1875 1595 1280 998 698 428 bw (cm) 42 48 54 60 53 47 41 40 40 τwd (MPa) 1,64 1,76 1,89 1,96 1,95 1,88 1,70 1,52 1,09 0,67 η 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 As90 (cm 2/m) 15,7 19,2 23,2 26,8 26,6 22,7 18,2 14,2 9,9 6,1 Obs.: d = 1,60 m; fy = 500 MPa; γs = 1,15 A máxima compressão admissível nas bielas, devido ao esforço cortante, vale, segundo a NBR-6118: MPa 3 5,1 18 25,0f25,0 cdwu =×==τ Como todos os valores de τwd da Tabela 2.10 são inferiores à τwu, não há problema de esmagamento do concreto nas bielas. Sendo assim, não há necessidade de aumento da largura da viga para resistir ao esforço cortante. A armadura transversal mínima, segundo a NBR-6118, vale: Asw,min = 0,14%.bw , para o CA-50 - Para bw = 40 cm ⇒ Asw,min = 0,14% x 40 x 100 = 5,6 cm 2/m - Para bw = 60 cm ⇒ Asw,min = 0,14% x 60 x 100 = 8,4 cm 2/m 69 2.4.4.6 Fadiga da armadura transversal Nas armaduras transversais também há necessidade de verificar a variação de tensão para as cargas em serviço. Nos estribos verticais, as tensões nas armaduras variam entre 0 e uma tensão máxima de tração, mesmo quando há inversão do sinal do esforço cortante. A variação de tensão pode ser calculada então por: • Havendo inversão de sinal do esforço cortante na seção: d.A d.b.V 15,10 sw wcmaxqg max,ssw τ− =−σ=σ∆ + • Não havendo inversão de sinal do esforço cortante na seção: maxqg minqgmaxqg sw wcmaxqg min,smax,ssw V VV d.A d.b.V 15,1 + +++ − × τ− =σ−σ=σ∆ A variação de tensão nos estribos deve ser inferior a ∆fsd que, segundo a NBR- 7187, vale: fat fsk fsd γ ∆ =∆ , com γfat = 1,5 e ∆fsk = 150 MPa (barras de alta aderência) No caso dos estribos, devido à sua forte curvatura nos cantos, a tensão ∆fsk deve ser reduzida pela aplicação do seguinte coeficiente: r 5,11f φ −= , sendo r o raio de curvatura. Adotando para os estribos o raio de curvatura mínimo da NBR-6118 (rmin = 2,5φ para φ ≤ 20 mm), tem-se: 4,0f 5,2 5,11f =⇒ φ φ −= Logo, a variação de tensão nos estribos deve ser inferior a: MPa 40 5,1 150 4,0fsd =×=∆ 70 Como exemplo, é calculada a variação de tensão na seção 10d, cujos esforços em serviço são: Vg = 611 kN Vq + = 772 kN Vq - = -89 kN Os esforços finais em serviço, segundo a combinação freqüente de ações, valem: kN 920V4,0VV qgqg =+= ++ + kN 575V4,0VV qgqg =+= −− + Como não há inversão do sinal do esforço cortante nessa seção, a variação de tensão no estribo vale (τc = 0,322 MPa = 322 kN/m 2;:bw = 0,6 m; d = 1,6 m; Asw = 26,6 x 10-4 m2/m): MPa 9,61kN/m 61900 V VV d.A d.b.V 15,1 2 qg qgqg sw wcqg sw == − × τ− =σ∆ + + − + + + + + Como ∆σsw > ∆fsd, deve-se aumentar a área de aço da armadura transversal, de forma a diminuir a variação de tensão, multiplicando-a pelo coeficiente de fadiga Ksw, ou seja: 55,1 40 9,61 K fsd sw sw ==∆ σ∆ = A antiga EB3/67 também apresentava uma forma simplificada para avaliação da fadiga na armadura transversal. A variação de tensão na armadura era considerada abaixo dos valores admissíveis quando a área da mesma era multiplicada por:    =σ =σ ≥ σ σ− = armadura na tensao MPa 280 ,1. V VV K s 1 1 s 1 21 sw V1 e V2 são os valores algébricos dos esforços cortantes de maior e menor valor absoluto, respectivamente, que ocorrem na seção transversal estudada. Quando houver alternância de esforços, tomar-se-á nessa expressão V2 = 0. 73 2.5 Laje do tabuleiro O tabuleiro das pontes em concreto é constituído por lajes ligadas de diversas maneiras aos demais elementos da superestrutura. Esses elementos, que servem de apoio paras as lajes, são as longarinas, as transversinas e as vigas de fechamento. As dimensões e as condições de apoio das lajes são função da distribuição dos demais elementos da superestrutura. A forma mais comum para as lajes de ponte são aquelas em que uma dimensão é muito maior que a outra. Quanto às condições de apoio, as lajes podem ser apoiadas, em balanço ou com engastamento parcial. Na Figura 2.24 é ilustrada uma seção típica de ponte com duas vigas retas e laje em balanço. Balanço ly lx ly >> lx Figura 2.24 - Forma típica da laje do tabuleiro de pontes com duas vigas retas e transversinas desligadas. Na Figura 2.24, a laje do tabuleiro pode ser dividida em três painéis: uma laje central, apoiada sobre as longarinas, e duas lajes em balanço nas extremidades. Esses painéis não podem ser considerados como funcionando isoladamente, uma vez que existe uma continuidade na direção transversal entre as lajes em balanço e a laje central. Essa continuidade, aliás, é essencial para o equilíbrio das lajes em balanço e pode ser levado em conta na prática com maior ou menor exatidão. O dimensionamento das lajes pode ser feito por métodos elásticos ou métodos baseados nas linhas de ruptura (ou charneiras plásticas). Os métodos elásticos baseiam- se na teoria da elasticidade levando em consideração a forma de distribuição das cargas móveis sobre o tabuleiro. Os métodos baseados nas linhas de ruptura definem uma provável configuração de fissuras na laje e, a partir do equilíbrio estático do painel, fornecem os momentos fletores empregados no dimensionamento da laje. Atualmente tem sido empregados métodos discretos para avaliação dos esforços em lajes de pontes. Dentre esses métodos, destaca-se o método dos elementos finitos que, empregado com o auxílio de microcomputadores, agiliza os cálculos dos esforços além de fornecer uma 74 visão mais completa do comportamento do tabuleiro. Neste texto serão apresentados, apenas, alguns métodos elásticos para cálculo dos esforços em lajes de pontes. O leitor poderá obter maiores detalhes sobre outros métodos de cálculo em publicações específicas. 2.5.1 Procedimento das superfícies de influência Nas pontes, as principais solicitações são provocadas pelas cargas concentradas das rodas dos veículos. Essas solicitações podem ser determinadas com auxílio de superfícies de influência, que constituem uma extensão do conceito de linha de influência para o espaço bidimensional da laje. A superfície de influência de uma solicitação Sm, na seção m, é uma superfície tridimensional em que a ordenada em um ponto qualquer (a) representa a solicitação Sm para uma força concentrada unitária aplicada no ponto a. Na Figura 2.25 é apresentada uma vista isométrica de uma superfície de influência de momento fletor, na seção do meio do vão, de uma laje isotrópica retangular simplesmente apoiada nos quatro lados. Pela definição de superfície de influência, admitindo-se uma força concentrada P aplicada num ponto a da laje, o momento fletor no meio do vão vale M = P.ya, onde ya representa a ordenada da superfície de influência no ponto a. Nessa figura observa-se que as ordenadas tendem para o infinito quando o ponto a se aproxima da seção do meio do vão. Teoricamente, uma força concentrada, aplicada no meio do vão, produz nesta seção um momento infinitamente grande. Contudo, como a força se distribui em uma certa área (em geral se considera o espalhamento da força a 450 até o plano médio da laje), o momento é dado pela ordenada média da superfície nessa área, cujo valor pode ser calculado numericamente. 75 x y x y Perspectiva Vista superior Figura 2.25 - Superfície de influência do momento fletor na seção do meio do vão de uma laje retangular apoiada nos quatro lados. O emprego das superfícies de influência no cálculo dos momentos fletores e esforços cortantes num ponto da laje é semelhante ao das linhas de influência no cálculo das solicitações nas seções de uma viga. Devido ao caráter bidimensional da superfície de influência, pode-se ter a necessidade de calcular áreas ou volumes interceptados pelas linhas ou áreas de aplicação das forças (Figura 2.26). Pode-se ter na laje forças concentradas (P), forças distribuídas em linha (p) e forças distribuídas em áreas (q). O esforço numa determinada seção pode ser obtido por: S V q A p Pi i i i i i= ∑ + ∑ + ∑ δ onde Vi e Ai são, respectivamente, os volumes e as áreas determinadas na superfície de influência pela projeção no plano da laje das áreas ou linhas de atuação das forças, e δi são as ordenadas dos pontos de atuação das forças concentradas. 2.5.2 Tabelas de Rüsch A aplicação do procedimento das superfícies de influência, embora simples e geral, envolve trabalho numérico de cálculo, devendo-se numa mesma laje pesquisar as solicitações em diversos pontos para poder convenientemente dimensioná-la. Entretanto, se o projetista dispor de programas computacionais que realizem esses cálculos, não há dificuldade em utilizar esse procedimento. 78 real de cada roda do veículo, p e p’ são a sobrecarga de multidão em volta do veículo (esses valores são fornecidos pela NBR-7188 em função da classe da ponte) e ϕ é coeficiente de impacto. Para entrada nas tabelas é necessário calcular os parâmetros lx a e t a , onde a é a distância entre as rodas do veículo na direção transversal, t é a largura de distribuição da pressão da roda (Figura 2.28) e lx é a menor dimensão em planta da laje. alx t t b b h45 0 Plano médio da laje t b h = + 2 2 . b = largura equivalente Vista superior Figura 2.28 - Parâmetros de entrada nas tabelas de Rüsch. De modo a melhor esclarecer o emprego das tabelas de Rüsch, é calculado os momentos fletores no meio do vão de uma laje apoiada nos quatro lados com ly = lx = 7,5 m e carregada com o veículo da classe 30 da NBR-7188. Neste caso, sabe-se que P= 50 kN, q = 5 kN/m2, a = 2,0 m e a área de contato da roda é de 0,40 m x 0,20 m. Admitindo que a laje tenha 30 cm de espessura, o valor de t, necessário para entrada nas tabelas, vale: b = × =0 40 0 20 0 28, , , m t = + × =0 28 2 0 30 2 0 58, , , m Logo, os parâmetros de entrada na tabela valem: l x a = = 7 50 2 0 3 75 , , , t a = = 0 58 2 0 0 29 , , , Utilizando a tabela de Rüsch anteriormente transcrita, obtêm-se: - Para Mxm : ML = 0,548 ; Mp = 0,105 ; Mp’ = 0,775 79 - Para Mym : ML = 0,509 ; Mp = 0,04 ; Mp’ =1,00 O coeficiente de impacto pode ser avaliado pela expressão da NBR-7187: ϕ = −14 0 007, , .l ⇒ ϕ = − × =14 0 007 7 5 1348, , , , Logo, os momentos no meio da laje devido à carga móvel valem: ( )Mxm = × × + × + × =1348 50 0 548 5 0 105 5 0 775 42 87, , , , , kN.m / m ( )Mym = × × + × + × =1348 50 0 509 5 0 04 5 100 4132, , , , , kN.m / m 2.5.3 Consideração da continuidade das lajes Para o emprego das tabelas de Rüsch na determinação das solicitações das lajes do tabuleiro de pontes, deve-se estabelecer condições de contorno ideais para os diversos painéis da laje. Esta escolha é, forçosamente, arbitrária dentro de certos limites. Existe ainda a necessidade de levar em conta a continuidade das lajes nos projetos, ao menos de forma aproximada, caso não se deseja fazer um cálculo rigoroso. Um procedimento simplificado para avaliação da continuidade de lajes contínuas é apresentado pela NB2 (1961) para lajes apoiadas em vigas no contorno e com vãos iguais, ou em que o menor vão não seja inferior a 70% do maior vão. Esse procedimento faz uso de certa liberdade na distribuição dos momentos entre o apoio e o vão das lajes contínuas. Cada painel é calculado isoladamente como simplesmente apoiado no contorno. Para este fim, pode-se empregar qualquer dos métodos já mencionados, dos quais obtêm-se o momento máximo M0,max no meio do vão. Adota-se a seguir um valor (Mb) para o momento negativo no apoio que deverá estar compreendido entre 2 3 e 1 3 de M0,max, sem ultrapassar 3 4 do maior momento na direção perpendicular à do momento máximo. Nos trechos em que M0 < Mb, adota-se para o dimensionamento momentos negativos avaliados por: M = M0 - Mb. Nos trechos em que M0 > 0,6.Mb, adota- se para o dimensionamento momentos positivos avaliados por: M = M0 - 0,6.Mb. Na é ilustrada a forma do diagrama de cobrimento obtido. Havendo placa ou balanço adjacente à placa considerada que obrigue a existência de armadura maior que a obtida para Mb, a NB2 (1961) recomenda que seja colocada armadura igual em todo o seu contorno, mas no cálculo dos momentos positivos não seja considerado valor de Mb maior que 2 3 Mo,max. 80 Para lajes contínuas em uma só direção e que não se apoiem em vigas paralelas a essa direção, também se pode aplicar o cálculo aproximado da NB2, desde que o momento negativo na borda esteja compreendido entre 1 2 e 2 3 de M0,max. M0,max0,6Mb M0 Mb Mb M0,max - 0,6.Mb + + _ _ _ _ 1 3 2 3 3 4 0 0 0 M M M M b,max ,max ,max ≤ ≤      da direcao perpendicular Figura 2.29 - Consideração da NB2 (1961) para a continuidade de lajes. 2.5.4 Dimensionamento da laje da ponte do rio Pau Seco Neste item é detalhado o dimensionamento da laje do tabuleiro da ponte sobre o rio Pau Seco. Ela é formada por duas lajes em balanço e uma laje central apoiada sobre as duas longarinas (Figura 2.24). Como as transversinas são desligadas da laje, esta pode ser considerada armada apenas em uma direção com ly/lx = ∞. 2.5.4.1 Laje central Para o cálculo da laje central é utilizada a tabela 1 de Rüsch transcrita na Tabela 2.13. lx ly lx = 5,20 m ly/lx = ∞ Figura 2.30 - Esquema de cálculo da laje central. Tabela 2.13 - Tabela de Rüsch para momentos fletores em laje apoiada com tráfego na direção y (ly/lx = ∞) Veículo de 30 t a 60 t Peso da roda igual a 1 t Peso da multidão igual a 1 t/m2 83 M Mb g xm g, , , ,= = × = 2 3 2 3 25 45 16 97 kN.m / m M Mb q xm q, , , ,= = × = 2 3 2 3 72 99 48 66 kN.m / m M M Mb b g b q= + =, , ,65 63 kN.m / m Mxm,max = 25,45 + 72,99 = 98,44 kN.m/m 0,2lx = 1,04 m + + _ _ Mb M1 X1 X2 1,04 m Diagrama de momento transversal - laje apoiada nos lados Diagrama de momento transversal - laje com continuidade no sentido transversal M M Mxm b1 0 6 98 44 0 6 65 63 59 06= − = − × =,max , , , , , kN.m / m x x1 2 3 0 2 0 69= × =, . ,l m x x2 10 6 0 42= =, . , m Figura 2.31 - Diagramas de momento fletor na laje central - sentido transversal e) Momento fletor no sentido longitudinal + Mym,max = 4,24 + 36,9 = 41,14 kN.m/m 0,5lx = 2,6 m Figura 2.32 - Diagrama de momento fletor na laje central - sentido longitudinal 84 2.5.4.2 Lajes em balanço Para o cálculo das lajes em balanço será utilizada a tabela 98 de RÜSCH (1960) definida para uma laje em balanço de comprimento infinito. lx ly lx ly/lx = ∞ engaste bordo livre Comprimento teórico do balanço: Lb = 1,90 m lx = Lb - largura do guarda rodas lx = 1,9 - 0,4 = 1,5 m Figura 2.33 - Esquema de cálculo das lajes em balanço. a) Cálculo do carregamento permanente • espessura da laje na extremidade do balanço: e1 = 15 cm • espessura junta à viga: e2 = 40 cm • espessura média: e e e m = + =1 2 2 27 5, cm • espessura média do pavimento: e3 = 8 cm • área do guarda rodas: 0,23 m2 • peso do guarda corpo: 1 kN/m b) Esforços devido ao carregamento permanente g1 g2 P1P2 1,5 m 1,7 m 1,9 m Figura 2.34 - Carregamento permanente no balanço. g1 = em . γc = 0,275 x 25 = 6,875 kN/m 2 g2 = e3 . γp = 0,08 x 22 = 1,76 kN/m 2 85 P1 = 1 kN/m P2 = 0,23 x 25 = 5,75 kN/m Momento no engaste: Me = 26,06 kN.m/m c) Esforços devidos à carga móvel Os parâmetros de entrada na tabela de Rüsch são: • Largura da roda equivalente: b = × =0 50 0 20 0 32, , , m • Projeção da roda no plano médio da laje: t b e em= + × +     =2 2 0 7553 , m • t a = = 0 755 2 0 0 38 , , , e l x a = = 15 2 0 0 75 , , , Entrando com esses parâmetros na tabela 98 de RÜSCH (1960) e realizando algumas interpolações, obtêm-se: Tabela 2.15 - Coeficientes para cálculo dos momentos fletores devido à carga móvel Mxe Myr Mxm,p Mym Mxm,n ML 0,834 0,227 0,056 0,081 0,230 Mp 0 0 0 0 0 Mp’ 0 0 0 0 0 O coeficiente de impacto vale: ϕ = − × =14 0 007 15 1390, , , , . Logo, os momentos fletores no balanço, devido à carga móvel, valem: ( )Mxe = − × × = −1390 75 0 834 86 94, , , kN.m / m ( )Myr = × × =1390 75 0 227 23 66, , , kN.m / m ( )Mxm p, , , ,= × × =1390 75 0 056 5 84 kN.m / m ( )Mym = × × =1390 75 0 081 8 44, , , kN.m / m ( )Mxm n, , , ,= − × × = −1390 75 0 230 23 98 kN.m / m O diagrama de momentos fletores, no sentido transversal do balanço, é mostrado na Figura 2.35. Nesse diagrama, o valor de x pode ser facilmente obtido por semelhança de triângulos, ou seja: 88 K M M M s= − × = − × =1 2 1 1 134 26 06 134 500 360 112 σ σ , , ⇒ As = 1,12 x 12,62 = 14,13 cm 2/m ⇒ φ 12,5 mm c/ 8,5 cm ou φ 16 mm c/ 14 cm • Seção do meio do vão da laje central (momento positivo) ( ) ( )Md = × − × + × − × =13 25 45 0 6 16 97 14 72 99 0 6 48 66 8116, , , , , , , , , kN.m / m Admitindo d = 16,5 cm ⇒ As = 13,53 cm 2/m - Fadiga devido à variação de momento na seção: K M M M s= − × = − × =1 2 1 1 59 06 15 27 59 06 500 360 103 σ σ , , , , ⇒ As = 1,03 x 13,53 = 13,94 cm 2/m ⇒ φ 12,5 mm c/ 8,5 cm ou φ 16 mm c/ 14 cm Na direção longitudinal, o momento fletor atuante, em serviço, na laje central vale 41,14 kN.m/m. Admitindo uma altura útil da seção de 16,5 cm, chega-se a conclusão que são necessários 10,89 cm2 de aço por metro linear, já incluindo o coeficiente de fadiga igual a 1,23. Essa quantidade de aço é garantida se forem colocadas barras de 12,5 mm a cada 11 cm (As,ef = 11,18 cm 2/m). No caso da laje em balanço, há dois momentos fletores na direção longitudinal (Mym e Myr). Por simplicidade pode-se dimensionar a laje para o momento que atua no bordo livre (Myr), admitindo-a com uma espessura constante e igual à espessura da laje na ponta do balanço, e distribuir essa armadura em toda a extensão do balanço. Dessa forma, com M = 23,66 kN.m/m (em serviço) e d = 11,5 cm obtêm-se As = 7,64 cm 2/m. Essa quantidade de aço é garantida adotando barras de 10 mm a cada 10 cm. Na Figura 2.40 é mostrada a seção transversal da ponte com indicação da armadura da laje. 2.5.4.4 Verificação ao esforço cortante Para a verificação da laje central ao esforço cortante é empregada a tabela 99 de RÜSCH (1960). Os parâmetros de entrada nessa tabela, calculados anteriormente, são t a = 0 34, e lx a = 2 60, , a partir dos quais obtêm-se QL = 1,235 , Qp = 0,102 e Qp’ = 0,268. O esforço cortante junto ao apoio da laje, devido à carga móvel, vale: 89 Figura 2.40 - Detalhe da armadura de flexão da laje do tabuleiro. ( )V P Q q Q q Qx q L p p, '= + +ϕ ( )Vx q, , , , , ,= × × + × + × =1364 75 1235 5 0 102 5 0 268 128 86 kN / m O esforço cortante junto ao apoio da laje, devido ao carregamento permanente, vale: V gg x= = × × =0 5 0 5 7 53 5 2 19 58, , , , ,l kN / m Logo, o esforço cortante de cálculo junto ao apoio da laje vale: V V Vd g x q= + =13 14 205 86, , ,, kN / m Devido à existência da mísula na ligação entre a laje central e a longarina, o esforço cortante de cálculo pode ser reduzido conforme orientação da NBR-6118, item 4.1.4.1, ou seja: V V M d tg V M M d e e xrd d d d b g b q m = − = − + × − α 13 14 2 1 , ,, , Vrd = − × + × − × − =205 86 13 16 97 14 48 66 0 4 0 035 40 20 80 144 09, , , , , , , , kN / m 90 A tensão de cisalhamento, de cálculo, junto ao apoio da laje vale: ( )τ wd rd w V b d = = × − = 144 09 1 0 4 0 035 394 8 , , , , kN / m2 Segundo a NBR-6118, item 5.3.1.2, é dispensada a colocação de armadura de cisalhamento na laje desde que τwd ≤ τwu1. O valor de τwu1 é calculado por: τ wu ckf1 4= Ψ (Kgf / cm 2 ) onde Ψ4 142 0= , ρ para h ≤ 15 cm Ψ4 1414= , ρ para h ≥ 60 cm ρ1 : menor taxa geométrica de armadura de tração no trecho até 2h do apoio, onde h é a espessura da laje no apoio. Aplicando essas expressões para a laje central, junto ao apoio, obtêm-se: ρ1 13 94 100 40 0 0035= = × = A A s c , , Ψ4 4167 0 0035 0 405= × =, , , τ wu1 0 405 180 5 43= × = =, , Kgf / cm 543,4 kN / m 2 2 Como τwu1 > τwd não é necessário colocar armadura de cisalhamento no apoio da laje central. No caso das lajes em balanço, os esforços cortantes junto ao apoio, devidos aos carregamentos permanente e móvel, valem: Carregamento permanente: V P P g L gg b x= + + +1 2 1 2 l ( ) ( )Vg = + + × − + × − =1 5 75 6 875 19 0 2 176 15 0 2 20 73, , , , , , , , kN / m Carga móvel: 93 • Momento negativo: ( )M = − × =134 65 63 6 75 4615, , , kN.m As = 14,9 cm 2 ⇒ 5 φ 20 mm As,min = 3,45 cm 2 • Esforço cortante: ( )V = × × × + =0 2 12 25 5 2 2 4615 5 2 104 35, , , , , , kN Asw = 2 cm 2/m Asw,min = 0,14%.bw.s = 2,8 cm 2/m ⇒ φ 6,3 mm c/ 20 cm As transversinas de apoio da Ponte sobre o Rio Pau Seco estão sujeitas aos seguintes esforços: • Momento positivo: ( ) M q = = × × × = l2 2 8 0 4 12 25 5 0 8 37 5 , , , , kN.m As = 1,1 cm 2 As,min = 0,15%.bw.d = 6,9 cm 2 ⇒ 6 φ 12,5 mm • Momento negativo: ( )M = − × =134 65 63 6 25 427 3, , , kN.m As = 12,8 cm 2 ⇒ 5 φ 20 mm As,min = 6,9 cm 2 • Esforço cortante: ( )V = × × × + =0 4 12 25 5 0 2 427 3 5 0 115 5, , , , , , kN Asw = 2,2 cm 2/m Asw,min = 0,14%.bw.s = 5,6 cm 2/m ⇒ (2x) φ 6,3 mm c/ 20 cm 2.7 Alas As alas são estruturas localizadas nas extremidades da ponte com a função de conter o aterro de acesso. Elas são ligadas de forma monolítica à viga de fechamento e estão sujeitas, principalmente, ao carregamento proveniente do aterro. Neste projeto, as alas foram adotadas na forma fechada, ou seja, perpendiculares à viga de fechamento. 94 Figura 2.43 - Detalhe da armadura das transversinas. • Dimensões espessura da ala: e = 0,20 m área do guarda-rodas: Agr = 0,23 m 2 largura do guarda-rodas: lgr = 0,40 m dente para receber o guarda-rodas: vgr = 0,20 m guarda-corpo: Pgc = 0,1 kN/m 95 h1 = 2,25 m h2 = 0,3 m v1 = 1,80 m v2 = 0,5 m • O peso de cada ala, incluindo guarda-rodas e guarda-corpo, vale: ( ) P1 2 25 0 5 2 25 0 3 13 2 0 3 0 2 0 2 25 13 61= × + + × − ×       × × =, , , , , , , , , kN ( )P2 0 23 0 2 0 2 2 25 25 1519= + × × × =, , , , , kN P3 01 2 25 0 225= × =, , , kN ∴P = 29,025 kN • Centro de gravidade da ala: ( ) ( ) x h h v v h h v v h v v v h h v h g = − − + − + + − + = 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 0 909 . . . . . . , m ( ) ( ) y v v h h v h v v h h v h g = − − − + + − + = 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1113 . . . . , m • Momento devido ao peso próprio: ( )M P x P P hg g= + + =1 2 3 12 29 71. . , kN.m com bw = 20 cm e d = 175 cm ⇒ As = 0,6 cm 2 As,min = 5,4 cm 2 ⇒ 2 φ 16 mm • Empuxo horizontal a) aterro 98 eixos do veículo sobre o eixo da viga de fechamento e calculando a parcela do peso do veículo e do peso da multidão que estão localizados sobre a área achurada da Figura 2.45. 5,2 m1,9 m 1,9 m 450 Vista superior do tabuleiro Eixo da longarinas Linhas de ruptura da laje Esquema estático com seções de cálculo 1 2 3 4 5 6 7 0,4 0,75 0,75 0,87 0,87 0,86 Figura 2.45- Cálculo dos carregamentos permanente e móvel sobre a viga de fechamento. • Carregamento permanente - carregamento sobre o vão: Peso próprio: q1 = (0,2 x 1,8 + (0,5-0,2) x 0,2) x 25 = 10,5 kN/m Terra sobre a viga inferior: q2 = (1,8-0,2) x 0,3 x 18 = 8,64 kN/m Laje + pavimento: ( ) q3 25 2 4 0 2 25 0 08 22 5 2 8 79= × × + × = , , , , , kN / m qv = 27,93 kN/m - carregamento sobre o balanço Peso próprio: q1 = 10,5 kN/m Terra sobre a viga inferior: q2 = 8,64 kN/m 99 Laje + pavimento: q3 219 2 0 4 0 15 2 25 0 08 22 19 8 20= + × + ×    = , , , , , , kN / m guarda rodas + guarda corpo: q4 0 23 19 25 01 19 19 5 85= × × + × = , , , , , , kN / m qb = 33,19 kN/m - força concentrada na extremidade do balanço: P = 29,025 kN • Carregamento móvel sobre o vão (trem tipo) - Força concentrada (roda apoiada na viga de fechamento): P = 75 kN (ponte da classe 45) - Força distribuída devido às duas rodas apoiadas na área achurada (Figura 2.45): q1 2 75 5 2 28 25= × = , , kN / m - Força distribuída devido à multidão na área achurada: q2 5 2 3 2 1 2 5 275= −    × × = , , kN / m - Coeficiente de impacto ϕ = 1,4 - 0,007 x 5,2 = 1,364 - Trem tipo do vão, com impacto: 102,3 kN 102,3 kN43,10 kN/m 39,35 kN/m 0,5 m 0,5 m2,0 m Conhecido o trem tipo da viga de fechamento, os esforços devido à carga móvel são obtidos empregando o conceito de linha de influência, de modo semelhante ao efetuado no dimensionamento das longarinas. Vale ressaltar que, por simplicidade, empregou-se no balanço da viga de fechamento o mesmo trem tipo calculado para o vão. Na Tabela 2.16 são mostrados os momentos fletores e a área de aço nas seções de cálculo da viga de fechamento (Figura 2.45). Quando a viga é submetida a momento fletor positivo, sua região superior é comprimida e, neste caso, a laje do tabuleiro funciona como mesa de uma seção T (assimétrica) com bf = 70 cm. Quando ela é 100 submetida a momento fletor negativo, sua região inferior é comprimida e, neste caso, é a viga situada na extremidade inferior da viga de fechamento que funciona como mesa de uma seção T (bf = 50 cm). Tabela 2.16 - Momentos fletores e área de aço da viga de fechamento. Seção cargas perman. cagas móveis (kN.m) cargas totais (kN.m) bw Fadiga As + As - As +.K As -.K + - + - (cm) (K) (cm2) (cm2) (cm2) (cm2) 1 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 20 1,00 0,00 0,00 5,40 5,40 2 -14,37 0,0 0,0 -14,37 -14,37 20 1,00 0,31 0,31 5,40 5,40 3 -55,3 0,0 -89,2 -55,3 -144,5 20 1,00 1,24 3,06 5,40 5,40 4 -115,1 0,0 -201,0 -115,1 -316,1 20 1,00 2,63 6,72 5,40 6,72 5 -62,6 188,7 -176,9 126,1 -239,5 20 1,75 2,28 5,16 5,40 9,03 6 -31,1 288,8 -151,4 257,7 -182,5 20 1,88 4,95 4,00 9,31 7,52 7 -20,7 300,6 -125,9 279,9 -146,6 20 1,75 5,41 3,27 9,47 5,72 Aço CA-50 A fck = 18 MPa h = 180 cm d = 170 cm hf = 20 cm bf = 70 cm Em seguida deve ser verificado o estado limite de abertura de fissuras em todas as seções de cálculo. O leitor poderá verificar que todas as seções, com exceção da seção 4, tiveram esse estado limite satisfeito. Na seção 4, o autor optou por adotar para a armadura de flexão barras de 16 mm de diâmetro e em seguida aumentar a quantidade de barras até ser satisfeito o estado limite de abertura de fissuras. A seguir são apresentados os resultados finais obtidos pelo autor na seção 4: • Estado limite de abertura de fissuras: seção 4 Es = 210000 MPa;Ec = 27713 MPa ⇒ n = 7,6 As = 10,05 cm 2 As ’ = 0 φ = 16 mm ηb= 1,5 bw = 20 cm d = 170 cm t = 10 cm cutil = 3,8 cm cmin = 3,0 cm k = 1,25 fck = 18 MPa ftk = 1,8 MPa Mk = 316,1 kN Peça não protegida em meio não agressivo ⇒ lf = 0,25 mm linha neutra: x = 32,37 cm momento de inércia: J = 1,67 x 106 cm2 tensão de serviço na armadura: σs = 206,4 MPa