apostila de geodésia, Notas de estudo de Agronomia

Baixe apostila de geodésia e outras Notas de estudo em PDF para Agronomia, somente na Docsity! UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ GEODÉSIA MARIA APARECIDA ZEHNPFENNIG ZANETTI CURITIBA 2007 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti i SUMÁRIO 1. FUNDAMENTOS DE GEODÉSIA: INTRODUÇÃO 1 1.1 GEODÉSIA : DEFINIÇÃO, OBJETIVOS, O PROBLEMA BÁSICO DA GEODÉSIA 2 1.2 EVOLUÇÃO DA GEODÉSIA: MODELOS DA TERRA 3 1.2.1 Plano Topográfico 7 1.2.2 Elipsóide de Revolução 8 1.2.2.1 Conceitos sobre curvaturas 12 1.2.2.2 Seções normais no elipsóide 16 1.2.2.3 Seções normais recíprocas 17 1.2.2.4 Ângulo formado por duas seções normais recíprocas 20 1.2.2.5 Linha geodésica 21 1.2.2.6 Teorema de Clairaut 23 1.2.3 Esfera 23 1.2.4 Geóide 24 1.3 GRAVIDADE, VERTICAL DE UM PONTO E LINHA VERTICAL 25 1.4 COORDENADAS GEODÉSICAS E ASTRONÔMICAS; AZIMUTES GEODÉSICO E ASTRONÔMICO 26 1.4.1 Sistema Global 26 1.4.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas Associado ao Sistema Global 26 1.4.3 Sistema de Coordenadas Esféricas Associado ao Sistema Global 27 1.4.4. Sistemas de Referência Relacionados ao Campo da Gravidade 28 1.4.5 Coordenadas Astronômicas 28 1.4.6 Sistema de Coordenadas Geodésicas ou Elipsóidicas 29 1.4.7 Coordenadas Geodésicas ou Elipsóidicas 30 1.4.8 Coordenadas Geodésicas ou Elipsóidicas Espaciais 30 1.4.9 Azimute Geodésico e Azimute Astronômico 31 2. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA 32 2.1 CONSTANTES FUNDAMENTAIS E SUA EVOLUÇÃO 32 2.1.1 Definições Básicas 33 2.1.2 Sistema de coordenadas equatoriais 34 2.1.3 Movimento do pólo 35 2.2 ROTAÇÃO DA TERRA E SISTEMAS DE TEMPO 37 2.2.1 Tempo Atômico 38 2.2.2 Tempo Universal 38 2.3 SISTEMAS DE REFERÊNCIA CELESTES E TERRESTRES 40 2.3.1 IERS (International Earth Rotation Service) 40 2.3.2 Sistema de Referência Celeste 41 2.3.3 Rede de Referência Celeste Internacional 41 2.4 DEFINIÇÃO E REALIZAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA 42 2.5 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA GEOCÊNTRICOS E DE ORIENTAÇÕES LOCAIS 43 2.5.1 Sistemas Geodésicos de Referência de Orientações Locais 43 2.5.1.1 SAD 69 (South American Datum 1969) 43 2.5.2 Sistemas de Referência Terrestres 45 2.5.3 ITRS (IERS Terrestrial Reference System) 46 2.5.4 ITRF (IERS Terrestrial Reference Frame) 47 2.5.5 WGS 84 (World Geodetic System 1984) 50 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 2 Quem nunca ouviu a frase: “Uma figura vale por mil palavras”? Pois um bom mapa pode ajudar na compreensão de uma série de informações. Por exemplo, quando se convida um amigo pela primeira vez para ir a sua casa, pode-se explicar como se chega descrevendo o caminho, quais as ruas que a serem utilizadas, pontos de referência importantes, como praças, supermercados, etc, ou se faz um croqui indicando o caminho. Toda informação georreferenciada é indispensável no planejamento e execução de projetos nos setores público e privado. Georreferenciada significa que todas as informações representadas que dizem respeito à Terra (geo) estão atreladas a um sistema coordenado (referenciado) que sirva como referência para diferentes informações garantindo a concordância de suas posições. Define-se sistema coordenado no espaço (bi ou tridimensional) como uma relação de regras que especifica univocamente a posição de cada ponto neste espaço através de um conjunto ordenado de números reais denominados coordenadas. A fim de construir mapas detalhados e melhores são necessários os sistemas de referência espacial. E para se ter um bom sistema de referência espacial é necessário conhecer a forma da Terra. 1.1 GEODÉSIA: DEFINIÇÃO, OBJETIVOS, O PROBLEMA BÁSICO DA GEODÉSIA De acordo com a definição clássica de Friedrich Robert Helmert (1880) Geodésia é a ciência de medida e mapeamento da superfície da Terra. A superfície da Terra é formada pelo seu campo da gravidade e a maioria das observações geodésicas está a ele referida. Conseqüentemente, a definição de Geodésia inclui a determinação do campo da gravidade da Terra. Mais modernamente, o objetivo original da Geodésia se expandiu e inclui aplicações no oceano e no espaço. Por exemplo, em colaboração com outras ciências, agora compreende a determinação do fundo oceânico e da superfície e campo da gravidade de outros corpos celestes, como a Lua (Geodésia lunar) e planetas (Geodésia planetária). Finalmente, na definição clássica deve-se incluir ainda “variações temporais da superfície da Terra e seu campo da gravidade”. Para atingir seus objetivos a Geodésia utiliza operações de diferentes tipos, de onde surgiu a divisão: Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 3 · Geodésia Geométrica: realiza operações geométricas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distâncias) associadas a poucas determinações astronômicas. · Geodésia Física: realiza medidas gravimétricas que conduzem ao conhecimento detalhado do campo da gravidade. · Geodésia Celeste: utiliza técnicas espaciais de posicionamento, como satélites artificiais. Apoiando-se nesses conceitos, define-se o problema básico da Geodésia: “determinar a figura e o campo da gravidade externa da Terra e de outros corpos celestes em função do tempo, a partir de observações sobre e exteriormente às superfícies desses corpos”. 1.2 EVOLUÇÃO DA GEODÉSIA: MODELOS DA TERRA Desde as mais antigas civilizações o homem interessa-se pela forma da Terra (figura 1.2). Não é demais historiar resumidamente a evolução das teorias sobre esse assunto. Figura 1.2 – Esfericidade da Terra Fonte: National Geographic Picture “Atlas of the World” National Geographic Society Os poemas de Homero apresentam a Terra como um imenso disco flutuando sobre o oceano e o Sol como o coche (carruagem antiga e suntuosa) em que os deuses efetuavam seu passeio diário. Anaxágoras, por não admitir tais idéias, feriu preceitos religiosos da época, e Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 4 foi enclausurado em uma prisão em Atenas. Também Aristarco, o “Copérnico da antiguidade”, ao sugerir que a Terra girava em torno do Sol, foi acusado de sacrilégio por “perturbar o descanso dos deuses”. Pitágoras, Tales e Aristóteles reprovavam as idéias de uma Terra chata e defendiam sua esfericidade. Pitágoras acreditava que a Terra girava em torno do Sol, teoria categoricamente combatida por Aristóteles. Como Aristóteles era considerado um mestre infalível, pela sua genialidade e importantes contribuições, suas doutrinas não foram contestadas durante séculos, o que constituiu uma barreira a qualquer conceito contraditório. Aristóteles no século IV AC. apresentou os seguintes argumentos para provar a teoria sobre a esfericidade da Terra: - o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua; - a variação do aspecto do céu estrelado com a latitude; - a diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em meridianos diferentes. Eratóstenes (276 – 175 A.C.) foi o primeiro a determinar as dimensões do planeta, suposto esférico (figura 1.3). Observou que em Syene (atual Assuan, na margem direita do Nilo) no solstício de verão, o Sol cruzava o meridiano no zênite e concluiu que sua localização era o trópico de Câncer, pois no “dia solsticial de verão o Sol iluminava o fundo de um poço”. Em Alexandria, também no solstício de verão, determinou que a distância zenital da passagem meridiana do Sol era de 1/50 da circunferência, ou seja, 7º 12’. Admitindo, que as duas cidades situavam-se sobre o mesmo meridiano e conhecendo a distância entre elas, obteve para o raio terrestre 6.285,825 km e para a circunferência equatorial 39.375,0 km. Figura 1.3 – Primeira determinação do raio da Terra Fonte: National Geographic Picture “Atlas of the World” National Geographic Society Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 7 Figura 1.5 - Forma da Terra Em uma primeira aproximação, as irregularidades da superfície terrestre podem ser negligenciadas, reduzindo-se o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. Devido a essas irregularidades da superfície terrestre, adotam-se modelos ou superfícies de referência, mais simples, regulares e com características geométricas conhecidas que permitam a realização de reduções e sirvam de base para cálculos e representações. As superfícies de referência utilizadas em levantamentos são o plano topográfico, o elipsóide de revolução, a esfera e o Geóide. 1.2.1 Plano Topográfico Em Topografia adota-se a hipótese simplificada do plano topográfico (figura 1.6) como superfície de referência, caso em que não se considera a influência de erros sistemáticos devidos à curvatura da Terra e ao desvio da vertical. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. A NBR 14166, Rede de Referência Cadastral Municipal – Procedimento (ABNT, 1998, p.7) define plano topográfico por “superfície definida pelas tangentes, no ponto origem do Sistema Topográfico, ao meridiano deste ponto e à geodésica normal a este meridiano.” De acordo esta NBR , o plano topográfico deve ter a área máxima de 100 km x 100 km. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 8 Figura 1.6 – Plano Topográfico 1.2.2 Elipsóide de Revolução O elipsóide de revolução foi proposto como figura geométrica da Terra (TORGE, 2001, p. 8) por Isaac Newton (1643-1727), e é a figura gerada pela rotação de uma elipse sobre um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Um elipsóide de revolução fica perfeitamente definido por meio de dois parâmetros, o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b (figura 1.7). Em Geodésia, o elipsóide de revolução é tradicionalmente definido através dos parâmetros semi-eixo maior a e achatamento f. Figura 1.7 – Elipsóide de Revolução E W N Q’ Q W S E N PS PN S 50 km 50 km a b equador PN PS Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 9 Existem mais de 70 tipos de elipsóides de revolução, utilizados em diferentes países para trabalhos geodésicos (GEMAEL, 1981, não paginado). Na atualidade estes elipsóides vêm sendo substituídos normalmente pelo elipsóide do GRS80 (Geodetic Reference System 1980) com orientação global definida pelo IERS (International Earth Rotation Service). A seguir são apresentadas algumas equações que relacionam parâmetros do elipsóide de revolução. O achatamento f e a primeira excentricidade ao quadrado e2 são dados por: a baf −= (1.1) 22 2 ffe −= (1.2) 2 22 2 a bae −= (1.3) A segunda excentricidade e’ 2 é fornecida por: 2 22 2' b bae −= (1.4) que se relaciona com a primeira excentricidade por: (1- e2) (1+ e’2) = 1 (1.5) ou 2 2 2 2 2' )1( 2 1 f ff e ee − − = − = (1.6) 2' 2' 2 1 e ee + = (1.7) 2 2' 2 2' 2 2 1 1)1( e e e e b a = − =+= (1.8) Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 12 1.2.2.1 Conceitos sobre curvaturas Seja s a distância entre dois pontos A e B sobre uma curva plana e ω o ângulo formado pelas normais que passam por A e B (figura 1.12). Define-se a curvatura (ρ) da linha pelo quociente s ω ρ = (1.10) Figura 1.12 – Curvatura Raio de curvatura da curva em um ponto (ou raio do círculo osculador) é o inverso da curvatura, ou seja, ωρ s = 1 (1.11) Chama-se raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície, à seção produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis. Normalmente, em uma superfície, existirão duas seções principais. Todas as demais, compreendidas por planos que passam pela normal ao ponto A terão raios de curvatura compreendidos entre ambos, conforme ilustra a figura 1.13 (ASÍN, 1990, p. 167). Restringindo-se ao elipsóide, têm-se duas seções principais, a da elipse meridiana, com curvatura máxima e a produzida por um plano que contém a normal no ponto A e é ω s B A Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 13 perpendicular ao plano do meridiano, cuja curvatura é mínima. Os raios de curvatura correspondentes a estas seções principais são M e N (equações 1.14 e 1.12 respectivamente). Figura 1.13 – Planos que passam pela normal no ponto A Fonte: adaptado de ASÍN(1990, p.168) O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal e a pequena normal N’ são dados por: ( ) 2/122 sen1 φe aN − = (1.12) )1(' 2eNN −= (1.13) onde φ é a latitude geodésica de P. Na figura 1.14, seja uma reta que passa por um ponto P na superfície física da Terra perpendicular à superfície do elipsóide de revolução. Esta reta é denominada normal de P. A distância entre os pontos P’ e P’’’ é a grande normal N e a distância entre os pontos P’ e P’’ é a pequena normal N’. M N Normal a superfície superfície Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 14 Figura 1.14 – Grande normal N e pequena normal N’ O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por: 2/322 2 )1( )1( φsene eaM − − = (1.14) Conhecidos os raios de curvatura principais em um ponto define-se como curvatura média a expressão: NMRm 11 = (1.15) E o raio médio de curvatura é dado por: NMRM = (1.16) Conhecendo-se o azimute A de uma seção normal em um ponto do elipsóide, o raio de curvatura correspondente a essa seção é proporcionado pelo Teorema de Euler, que fornece o raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute A: P b Superfície física Normal de P P’” P’ a P’’ Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 17 1.2.2.3 Seções normais recíprocas As normais relativas a dois pontos de uma superfície esférica convergem no centro da esfera, sendo portanto co-planares (figura 1.17). O mesmo não acontece com dois pontos quaisquer da superfície elipsoidal. Figura 1.17 – Normais a uma superfície esférica Sejam dois pontos P1 e P2 sobre a superfície de um elipsóide de revolução, com latitudes φ1 e φ2 tal que ⎜φ1⎜< ⎜φ2 ⎜e as longitudes λ1 e λ2 sejam diferentes, conforme a figura 1.18. As normais à superfície elipsóidica de cada ponto interceptam o eixo Z em dois pontos diferentes n1 e n2. Os segmentos de reta definidos por P1n1 = N1 e P2n2 = N2 são as grandes normais (ou raios de curvatura da seção primeiro vertical) dos pontos P1 e P2, calculados pela equação (1.12). Observa-se na figura 1.18 que quanto maior for a latitude do ponto, maior a grande normal. X Y Z A B O Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 18 Figura 1.18 – Seções normais em dois pontos P1 e P2 A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P1 e o ponto P2, com o elipsóide de revolução, é dita “seção normal direta” em relação a P1, ou “seção normal recíproca” em relação em relação a P2, indicada por uma seta no sentido de P2. A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P2 e o ponto P1, com o elipsóide de revolução, é chamada “seção normal direta” em relação a P2 ou “seção normal recíproca” em relação a P1, indicada por uma seta no sentido de P1. Para identificar a seção normal direta de um ponto P1 para um ponto P2 toma-se como referência o ponto que estiver mais ao Sul. A seção direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul (figura 1.19). Figura 1.19 – Seções normais diretas e recíprocas P3 P2 P5 P4 P1 X Y Z n2 n1 N2 N1 P2 P1 φ2 φ1 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 19 Existem alguns casos particulares em que as normais se interceptam, ou seja, são co- planares: a) quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma latitude, situando-se portanto no mesmo paralelo (figura 1.20). Figura 1.20 – Seções normais em dois pontos com mesma latitude b) quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma longitude, situando-se portanto no mesmo meridiano (figura 1.21). Portanto, para latitudes ou longitudes iguais, as seções normais recíprocas são coincidentes. X Y N2 N1 P2 P1 φ2 φ1 Z Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 22 Figura 1.23 – Triângulo elipsóidico O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de reta, na esfera, um arco de circunferência máxima e no elipsóide de revolução, a geodésica. Sobre a superfície esférica a geodésica é um arco de circunferência máxima. Geodésica (figura 1.24) é a linha jacente numa superfície, tal que em todos os seus pontos o plano osculador é normal à superfície, ou em todos os seus pontos a normal principal coincide com a normal à superfície. Figura 1.24 - Geodésica P1 P2 P3 X Y Z P2 P1 A21 A12 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 23 1.2.2.6 Teorema de Clairaut O enunciado do Teorema de Clairaut é o seguinte: “Em qualquer ponto de uma linha geodésica traçada sobre uma superfície de revolução o produto do raio r do paralelo desse ponto pelo seno do azimute A da geodésica é constante”. Ou seja: r sen A = constante (1.24) O estudo do comportamento da geodésica sobre o elipsóide de revolução, fundamental na solução do problema geodésico direto e inverso, baseia-se no Teorema de Clairaut. 1.2.3 Esfera O modelo esférico também pode ser utilizado para representar a superfície terrestre. Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio definido pela equação (1.16). O Teorema de Gauss (ASÍN, 1990, p.174) diz: “Para que um elemento de uma superfície considerada perfeitamente flexível e indeformável possa ser aplicado sobre um elemento de outra superfície sem sofrer rompimento, nem dobras é necessário e suficiente que nos centros dos elementos considerados a curvatura média de ambas as superfícies seja a mesma.” Na passagem de elipsóide à esfera, as linhas geodésicas passam a ser círculos máximos. Dentro de aproximação admissível para determinadas aplicações é possível transformar um elemento da superfície do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio Rm será (MN)1/2 . A esfera de adaptação de Gauss é adotada como superfície de referência pela NBR 14166 – Rede de Cadastral Municipal – Procedimento. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 24 1.2.4 Geóide O Geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade, melhor ajustado globalmente ao nível médio dos mares, em uma certa época. É utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do Geóide até a superfície física) no ponto considerado. A figura 1.25 ilustra a superfície do geóide. Figura 1.25 – Superfície do Geóide Fonte: http://kartoweb.itc.nl/geometrics/Reference%20surfaces/body.htm O conhecimento limitado do campo da gravidade e o equacionamento matemático complexo do Geóide dificultam sua utilização como superfície de referência geométrica, não sendo adequado para as redes geodésicas horizontais (VANICEK; KRAKIWSKY, 1986, p.106). A figura 1.26 mostra uma representação esquemática da superfície terrestre e das superfícies de referência utilizadas para representá-la: geóide, elipsóide e esfera. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 27 Figura 1.28 – Sistema de Coordenadas Cartesianas Associado ao Sistema Global Fonte: adaptado de < http://www.tigerwave.com/spaceflight/EarthMotion.htm > Um sistema de coordenadas cartesianas associado ao sistema global, caracteriza-se por: a) origem no geocentro (O), centro de massa da Terra, incluindo hidrosfera e atmosfera; b) o eixo Z é direcionado para o Pólo Norte terrestre médio; c) o plano equatorial médio é perpendicular ao eixo Z e contém os eixos X e Y; d) o plano XZ é gerado pelo plano do meridiano médio de Greenwich (Gr), obtido pelo eixo de rotação médio e pelo meridiano origem de Greenwich; e) o eixo Y torna o sistema dextrógiro. 1.4.3 Sistema de Coordenadas Esféricas Associado ao Sistema Global Um ponto do espaço tridimensional também pode ser determinado de forma unívoca pelas suas coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas associadas ao sistema global, mostradas na figura 1.29, são Eixo de rotação médio Plano equatorial médio Meridiano médio de Greenwich PN Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 28 chamadas r, φ, λ, onde r é a distância entre o geocentro e o ponto P considerado, φ a latitude e λ a longitude. Figura 1.29 – Sistemas de Coordenadas Cartesianas e Esféricas Associadas ao Sistema Global (9 1.4.4. Sistemas de Referência Relacionados ao Campo da Gravidade A maioria das observações astronômicas e geodésicas é realizada na superfície da Terra e se referem ao campo da gravidade terrestre pela vertical local. Por este motivo, é necessário um sistema de referência relacionado ao campo da gravidade local para representar estas observações. A direção do vetor gravidade, que é a vertical local com respeito a um sistema global, está relacionada com a latitude e longitude astronômicas (TORGE, 2001, p.38). 1.4.5 Coordenadas Astronômicas As coordenadas astronômicas são a latitude astronômica Φ e a longitude astronômica Λ. É comum encontrar-se os termos “coordenadas geográficas” ou “coordenadas astronômicas geográficas” ao invés de “coordenadas astronômicas”. Latitude astronômica Φ é o ângulo formado pela vertical do ponto (direção do vetor intensidade da gravidade g) com a sua projeção equatorial. Por convenção a latitude é positiva no hemisfério norte e negativa no hemisfério sul, variando de 0° a ± 90° (GEMAEL, 1999, p.16). P φ r O λ Z Y X Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 29 Longitude astronômica Λ é o ângulo diedro formado pelo meridiano astronômico do ponto (local) com o meridiano origem de Greenwich (GEMAEL, 1999, p.16). Varia de 0° a 360° ou 0° a ± 180°, neste último caso, convencionalmente considerada positiva se contada por leste de Greenwich e negativa se contada por oeste de Greenwich. Muitas vezes a longitude é expressa em unidades de tempo: hora, minutos e segundos, sendo sua variação considerada de 0 h a 24 h ou de 0 h a ± 12h. O plano do meridiano astronômico do ponto contém a vertical que passa pelo ponto e uma linha paralela ao eixo de rotação, pois a vertical e o eixo de rotação não são co-planares. A figura 1.30 mostra as coordenadas astronômicas. Figura 1.30 – Coordenadas Astronômicas 1.4.6 Sistema de Coordenadas Geodésicas ou Elipsóidicas Um sistema de coordenadas geodésicas ou elipsóidicas é definido no elipsóide de revolução e possui as seguintes características: a) a origem situa-se no centro do elipsóide; b) o eixo Z coincide com o eixo de rotação do elipsóide; c) o eixo X situa-se na intersecção do plano equatorial do elipsóide com o plano do meridiano de Greenwich; d) o eixo Y é escolhido de forma que o sistema seja dextrógiro; Encontra-se o termo “coordenadas geográficas elipsóidicas” ao invés de “coordenadas Φ Λ O g Z Superfície de nível P Y X Linha vertical ou linha de prumo Plano do meridiano de Greenwich Plano equatorial Plano do meridiano astronômico local Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 32 O azimute astronômico de uma direção é o ângulo formado entre a porção Sul do meridiano astronômico e a direção considerada, no sentido horário, ou por oeste. Também varia de 0° a 360°. 2. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA 2.1 CONSTANTES FUNDAMENTAIS E SUA EVOLUÇÃO Comprimento, massa e tempo são as três grandezas fundamentais da Física, cujas unidades são respectivamente o metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s). São definidas pelo Sistema Internacional de Unidades (SI), estabelecido em 1960 pela 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) realizada em Paris. Suas definições são (TORGE, 2001, p.19): - metro é o comprimento do caminho percorrido pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/ 299.792.458 do segundo (CGPM 1983); - quilograma é a unidade de massa; é igual à massa do protótipo internacional do quilograma (CGPM 1901); - segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos de radiação correspondente à transição entre dois níveis hiper-finos do estado sólido do átomo de césio 133 (CGPM 1967). O estabelecimento e proteção dos padrões de referência para estas unidades são atribuições do Bureau International des Poids et Mésures (BIPM), localizado em Sévres, na França. O BIPM coopera com laboratórios nacionais de padrões de acordo com as normas de procedimento da Convenção Internacional do Metro (International Meter Conventional) realizada em 1875. Dentre estes laboratórios está o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – INMETRO, no Brasil. A realização do metro é baseada em medidas interferométricas (com precisão relativa de 10-12) usando luz estável de alta freqüência (estabilizadores laser). O protótipo internacional do quilograma está armazenado no BIPM desde 1889; protótipos nacionais possuem precisão relativa da ordem de 10-9. A Seção de Tempo do BIPM (desde 1987 Bureau Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 33 International de l’Heure - BIH) define o segundo (precisão relativa de 10-14) e a escala de tempo atômica. As definições anteriores do metro e do segundo eram baseadas em medidas naturais. O metro era tido como a décima – milionésima parte do quadrante meridiano que passava por Paris. Seu comprimento foi derivado da medida de um arco e realizado em 1799 pelo protótipo da barra do metro chamada “métre des archives” (metro legal). Outra Convenção Internacional do Metro fabricou uma versão mais estável do metro internacional, a barra de “platinum-iridium”, que é preservada desde 1889 pelo BIPM. Esta definição, cuja precisão é de 10-7, foi válida até 1960, quando pela primeira vez utilizou-se o comprimento de onda de uma linha espectral de luz para definir o metro. Desde a antiguidade, a medida natural para o tempo era a rotação diária da Terra em torno de seu eixo. O dia solar médio era determinado por observações astronômicas, e o segundo era definido como 1/86.400 partes desse dia. Como uma unidade suplementar do SI, usa-se o radiano (rad) para medida de ângulos planos, cuja definição é: - radiano é o ângulo plano entre dois raios de um círculo subentendido pelo arco de uma circunferência cujo comprimento é igual ao raio. Geodésia e Astronomia usam também graus sexagesimais com um círculo completo igual a 360º (graus), 1o = 60’ (minutos), 1’= 60” (segundos de arco). Com 2π rad correspondendo a 360º, transforma-se com facilidade um ângulo em radianos para graus e vice-versa. Dentre as constantes fundamentais utilizadas em Geodésia está a velocidade da luz no vácuo (c), definida por 299.792.458 ms-1 e a constante gravitacional (G) definida por (6,672 59 ± 0,000 85) × 10-11 m3kg-1s-2. 2.1.1 Definições Básicas A esfera celeste (figura 2.1) é uma esfera ideal de raio arbitrário, cujo centro coincide com o centro de massa da Terra e na superfície da qual supõe-se engastados todos os astros (NADAL, 1997, p.3). Nos problemas de Astronomia não interessam as distâncias envolvidas, e sim a direção segundo a qual os astros são visados. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 34 O eixo do mundo é o prolongamento do eixo de rotação da Terra, em torno do qual se processa o movimento aparente de rotação dos astros de leste para oeste. O equador celeste e a eclíptica são definidos pelas interseções na esfera com os planos correspondentes. O ponto vernal (γ) é o ponto do equador celeste definido como sendo o ponto equinocial de passagem aparente do Sol em seu movimento anual quando vem do Hemisfério Sul para o Hemisfério Norte celeste. Figura 2.1 – Esfera Celeste A Astronomia utiliza sistemas de coordenadas esféricas para a definição unívoca de pontos sobre a superfície esférica. Dentre eles, é de particular interesse nas definições tratadas a seguir o sistema de coordenadas equatoriais. 2.1.2 Sistema de coordenadas equatoriais O sistema de coordenadas equatoriais (NADAL, 1997, p.7), mostrado na figura 2.2, possui como plano fundamental o plano do equador celeste e eixo fundamental o eixo do mundo. Suas coordenadas são a ascensão reta (α) e a declinação (δ). Eixo do mundo Ponto vernal Ponto balança Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 37 Figura 2.4 – Variação do Movimento do Pólo Fonte: < http://www.tigerwave.com/spaceflight/EarthMotion.htm > 2.2 ROTAÇÃO DA TERRA E SISTEMAS DE TEMPO O tempo representa um papel importante em Geodésia, pois a maioria dos métodos de medida usa o tempo de percurso de ondas eletromagnéticas para posicionamento. Uma escala de tempo uniforme também é necessária para modelar o movimento de satélites artificiais, descrever o movimento relativo da Terra no sistema solar com respeito ao espaço inercial e para a descrição de deformações da Terra devido a forças internas e externas. Para medi-lo pode ser utilizado um fenômeno físico, como por exemplo, a vibração de um oscilador estável, sendo suficiente que seu funcionamento seja regular durante o movimento. Os principais movimentos da Terra são a rotação e a translação em torno do Sol. O movimento de rotação da Terra em torno de um eixo imaginário tem como efeito a sucessão dos dias e das noites e causa a sensação de um movimento aparente do Sol ao redor da Terra. Os sistemas de tempo são divididos em duas grandes categorias: Tempo Atômico e Tempo Universal, o primeiro regulado pelos períodos das radiações de um átomo e o segundo baseado na rotação da Terra. As definições de época, instante e intervalo são necessárias no estudo do Tempo. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 38 Instante determina quando um determinado evento ocorreu, por exemplo, o momento em que ocorreu um eclipse do Sol. Época é o instante de ocorrência de um evento que é tomado como origem de uma contagem de tempo. Por exemplo, a origem da contagem do ano atual, no nosso calendário, é 0 h de 1 de janeiro de 2004. Intervalo é o tempo decorrido entre duas épocas, ou a quantidade de tempo decorrido entre dois acontecimentos, medido em alguma escala de tempo. Por exemplo, a duração do eclipse do Sol foi de 1 h 23 min. 2.2.1 Tempo Atômico O Tempo Atômico é uma escala de tempo uniforme e de alta acurácia, mantido por relógios atômicos. É proporcionado pelo Tempo Atômico Internacional (TAI), que corresponde à definição do segundo no SI. A origem do TAI foi escolhida tal que sua época (0 h de 1 de janeiro de 1958) coincidisse com a época correspondente do Tempo Universal TU1. O dia TAI compreende 86.400 s e o século Juliano 36525 dias TAI. O TAI é realizado por um conjunto de mais de 200 relógios atômicos (a maioria de feixe de freqüência padrão de césio e alguns de maser1 de hidrogênio) mantidos em cerca de 60 laboratórios ao redor do mundo. Devido a efeitos relativísticos as leituras dos relógios atômicos são reduzidas a uma altitude de referência comum e tem-se o “segundo SI sobre o Geóide”. 2.2.2 Tempo Universal Tempo Universal é a designação de escalas de tempo que se baseiam na rotação da Terra. Pode ser dividido em sistema de Tempo Sideral e sistema de Tempo Solar (NADAL & HATSCHBACH, 2000, p.6). O Tempo Sideral é diretamente relacionado ao movimento de rotação da Terra com relação às estrelas. 1 Um MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) é constituído por uma cavidade ressonante na qual se realiza por "bombeamento" eletrônico, a inversão das populações de dois níveis de energia de átomos, ou moléculas de um gás. Este gás pode amplificar a radiação correspondente à transição entre os dois níveis. É utilizado em radioastronomia como amplificador de sinais fracos vindos de radio-fontes e, em metrologia, como padrão de freqüência de relógios atômicos. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 39 O Tempo Solar, utilizado por razões práticas, é obtido do movimento de rotação da Terra com respeito ao Sol. O Tempo Solar Verdadeiro é regulado pelo movimento diurno do Sol, e não pode ser utilizado como unidade por ter duração variável devido à obliqüidade da eclíptica e à rotação não uniforme da Terra. O dia solar verdadeiro é o intervalo que decorre entre duas passagens sucessivas do Sol pelo mesmo semi-meridiano. O Tempo Solar Médio é regulado por um “Sol imaginário” que percorre o equador celeste com movimento uniforme, ao mesmo tempo que o Sol verdadeiro percorre a eclíptica (NADAL, 2002). O Tempo Solar Médio refere-se ao meridiano astronômico médio de Greenwich e é conhecido por Tempo Universal (TU). Sua unidade fundamental é o dia solar médio, intervalo entre duas passagens consecutivas do Sol médio pelo mesmo semi-meridiano. O Tempo Universal é obtido a partir de uma rede de estações operando dentro da rede do Serviço Internacional de Rotação da Terra (International Earth Rotation Service – IERS). O tempo local observado TU0 refere-se ao eixo de rotação instantâneo, que é afetado pelo movimento do pólo. A fim de comparar os resultados de diferentes estações, aplicam-se as reduções ao Pólo Terrestre Convencional (ΔΛp), que transformam o TU0 em TU1. TU1 = TU0 + ΔΛp (2.1) Portanto o TU1 é o TU0 corrigido do movimento do pólo. O TU1, assim como o Tempo Sideral Médio de Greenwich, ainda contém variações da rotação da Terra com o tempo, que são de caráter secular, periódico e irregular. Uma aproximação à escala de tempo uniforme pode ser encontrada pela modelagem das variações sazonais de tipo anual e semi-anual (ΔΛs), e obtém-se TU2 = TU1 + ΔΛs (2.2) E o TU2 é o TU1 corrigido de variações sazonais (periódicas). É necessária uma escala de tempo prática, que forneça uma unidade de tempo uniforme e preserve um relacionamento com o TU1. Então, foi criado o Tempo Universal Coordenado (TUC) com a finalidade de solucionar o problema do TAI ser uma escala de Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 42 resultados do HIPPARCOS, está sendo desenvolvido o catálogo FK6, com um número menor de estrelas (340 “astrometricamente excelentes”). O sistema de rádio-fontes (figura 2.5) possui mais de 600 objetos e é baseado em fontes de rádio extragalácticas (quasars2 e outras fontes compactas). Devido às grandes distâncias (> 1,5 bilhões de anos luz) estas fontes não mostram movimento próprio mensurável. As coordenadas das rádio-fontes são determinadas por rádio astronomia, através da técnica de posicionamento espacial VLBI (Very Long Baseline Interferometry). Figura 2.5 – Rádio-fontes do ICRF Fonte: http://ivs.crl.go.jp/mirror/publications/ar1999/front-crf/img5.gif 2.4 DEFINIÇÃO E REALIZAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA Um sistema geodésico de referência (SGR) é um sistema terrestre convencional (CTS) associado a constantes geométricas e físicas do campo gravitacional . Um sistema terrestre convencional (CTS - Conventional Terrestrial System) é um sistema cartesiano geodésico cuja origem está situada no centro de massa da Terra A implantação de um SGR compreende 2 etapas: a definição do sistema e a sua materialização. A definição do sistema de referência inclui a escolha do elipsóide de revolução e convenções necessárias para definir em qualquer momento os 3 eixos cartesianos. A materialização do sistema é feita por um conjunto de coordenadas de estações, obtidas através de diferentes técnicas de posicionamento, criando a estrutura ou rede de referência (em inglês “frame”). Nas redes de referência clássicas, a materialização da posição planimétrica de pontos 2 QUASAR Quasi Stellar Astronomical Radiosource Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 43 na superfície terrestre é feita através de métodos tradicionais como poligonação, triangulação, trilateração e o posicionamento altimétrico através de nivelamento geométrico ou trigonométrico. Como os posicionamentos horizontal e vertical, de precisão, não ocorrem simultaneamente, adota-se duas redes geodésicas de referência, uma horizontal, que fornece a referência para coordenadas planimétricas como latitude e longitude e outra vertical, referência para a altimetria. Nos sistemas de referência modernos ou terrestres, a materialização das coordenadas de pontos na superfície terrestre, é feita através de técnicas espaciais de posicionamento de alta precisão, que fornecem medidas relacionadas a um sistema cartesiano tridimensional, com origem no geocentro. Porém, a componente vertical é referida à superfície do elipsóide. E da mesma maneira que nas redes de referência clássicas, com posicionamento horizontal e vertical não simultâneos, para a maior parte das aplicações, é necessário o conhecimento da ondulação geoidal Ng (separação entre o Geóide e o elipsóide) ou a utilização de métodos independentes, como operações de nivelamento geométrico ou trigonométrico, para referenciar as altitudes. 2.5 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA GEOCÊNTRICOS E DE ORIENTAÇÕES LOCAIS Um sistema terrestre convencional (CTS – Conventional Terrestrial System) é um sistema cartesiano geodésico cuja origem está situada no centro de massa da Terra, portanto também pode ser chamado de global. Um sistema geodésico regional ou local não geocêntrico relaciona-se a um sistema terrestre convencional através de parâmetros de translação e rotação. 2.5.1 Sistemas Geodésicos de Referência de Orientações Locais 2.5.1.1 SAD 69 (South American Datum 1969) O Sistema Geodésico SAD 69 (South American Datum 1969) é realizado a partir de um conjunto de pontos geodésicos implantados na superfície do país e constituía-se até o início de 2005, no referencial para a determinação de coordenadas no território brasileiro. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 44 Para o SAD 69, a imagem geométrica da Terra é definida pelo Elipsóide de Referência Internacional de 1967, aceito pela Assembléia Geral da Associação Geodésica Internacional, que ocorreu em 1967, possuindo os seguintes parâmetros (IBGE, 1983, p.1) : a) figura geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de 1967: a (semi-eixo maior) = 6.378.160,000m f (achatamento) = 1/298,25 b) orientação: > Geocêntrica (eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra; plano do meridiano origem paralelo ao plano do meridiano de Greenwich); > Topocêntrica, no vértice da cadeia de triangulação do paralelo 20° S. φ = 19° 45’ 41,6527’’ S λ = 48° 06’ 04,0639’’ W de Gr α = 271° 30’ 04,05’’ SWNE para VT- Uberaba N = 0,0 m O referencial altimétrico coincide com a superfície equipotencial que contém o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas tomadas no Porto de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, no período de 1949 a 1957. O SAD 69 foi estabelecido antes das técnicas espaciais de posicionamento, sendo portanto um sistema de referência clássico, cuja materialização foi realizada por técnicas e metodologias de posicionamento terrestre, destacando-se a triangulação e a poligonação. Possui caráter regional ou local, não existindo coincidência entre o centro do elipsóide e o centro de massa da Terra. Anteriormente à implantação do SAD 69, utilizava-se no Brasil o Sistema Geodésico Córrego Alegre, ainda empregado em muitas cartas disponíveis no país, sendo definido com base no elipsóide internacional de 1930, cujos parâmetros são f=1/297 e a = 6378388 m, sendo o ponto origem em Córrego Alegre, Minas Gerais. O estabelecimento e manutenção das estruturas planimétricas e altimétricas do SGB são atribuições do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) inicialmente através do Decreto-Lei nº 9210 de 29 de abril de 1946 e atualmente pelo Decreto-Lei nº 243, de 28 de fevereiro de 1967. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 47 Tabela 1 – Parâmetros Definidores do ITRS, WGS 84 e SAD 69 Parâmetros Notação ITRS WGS 84 SAD 69 Semi-eixo maior (m) (a) 6378137,0 6378137,0 6378160,0 Achatamento 1/f 298,257222101 298,257223563 298,25 Velocidade angular da Terra (rad/s) ω 7292115,0 x 10–11 7292115,0 x 10 –11 - Constante gravitacional da Terra (m3/s2) GM 0,3986004418×108 0,3986004418×108 - 2.5.4 ITRF (IERS Terrestrial Reference Frame) Atualmente o referencial geodésico mais preciso é o ITRS cuja materialização é chamada de ITRF. O ITRS é materializado periodicamente devido à variação temporal das coordenadas das estações, com isso sua denominação vem sempre acompanhada do ano em que foi estabelecido (IBGE, 2000, p.10). A materialização ITRS consiste de um conjunto de coordenadas cartesianas e velocidades das estações, e a completa MVC (matriz variância-covariância) destes parâmetros. Os parâmetros de posição (coordenadas e velocidades) são produzidos a partir de uma combinação de um conjunto de coordenadas e velocidades através das mais precisas técnicas de posicionamento, por VLBI, SLR, LLR, GPS ou DORIS, provenientes de vários centros de análises. O motivo de combinar os resultados de várias técnicas diferentes é evitar erros sistemáticos oriundos de uma técnica específica, sendo a combinação a única maneira de se obter confiabilidade e precisão. Atualmente as soluções ITRFyy 3 são publicadas no Technical Notes IERS. A mais recente materialização do ITRS, é o ITRF2000, que consiste de um conjunto de coordenadas cartesianas, acompanhadas de suas respectivas velocidades. Fazem parte desta realização aproximadamente 800 estações espalhadas pelo globo, cujas coordenadas foram determinadas por uma ou mais técnicas espaciais de posicionamento: DORIS, GPS, LLR, SLR e VLBI. Os subconjuntos das posições ajustadas do ITRF2000 e suas velocidades estão disponíveis aos usuários na internet pelo endereço http://lareg.ensg.ign.fr. Um dos objetivos da solução ITRF2000 foi a densificação da rede. As redes regionais de densificação no ITRF2000 são Alaska, CORS (Continuosly Operating Reference System) , EUREF (EUropean REference Frame), REGAL (REseau GPS permanent dans lês ALpes), 3 yy especifica os dois últimos dígitos do último ano cujos dados contribuíram para a realização em consideração; Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 48 RGP (Reseau GPS Permanent) , SCAR (Scientific Committee on Antarctic Research) e SIRGAS (SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS). A rede geodésica européia EUREF consiste em um conjunto de estações cujas coordenadas são determinadas por GPS, DORIS, LLR, SLR e VLBI. Desde a semana GPS 834 (janeiro de 1996) a EUREF proporciona um ajustamento semanal da rede européia, com coordenadas expressas no sistema ITRF (GATTI; STOPPINI, 2000, p.5). A rede CORS (NGS, 2001) e contribui com cerca de 80 estações cujas posições são determinadas por GPS, nos Estados Unidos da América e seus territórios. A rede SCAR (SCAR, 2001) colabora com um conjunto de cerca de 50 estações de diferentes países, na região Antártica. A rede REGAL (IGN, 2001) é constituída por estações GPS em operação permanente, instaladas nos Alpes franco-italianos, com a finalidade de medir deformações e determinar estruturas tectônicas, para melhor compreensão de relações sísmicas. A RGP (LAREG, 2001) é uma rede de estações distribuídas regularmente sobre o território francês, coletando dados GPS continuamente. O Projeto SIRGAS começou em outubro de 1993, em uma reunião realizada em Assunção, Paraguai, com o objetivo de estabelecer um sistema de referência geocêntrico para a América do Sul. Desde a sua criação o projeto contou com o apoio de várias instituições internacionais e contribuição de todos os países sul-americanos. Nesta reunião, decidiu-se adotar o elipsóide GRS80, além de estabelecer e manter uma rede de referência e um Datum Geocêntrico. Nos meses de maio e junho de 1995 foi realizada a primeira parte do projeto, estabelecendo-se uma rede GPS de alta precisão com 58 estações (rede SIRGAS) cobrindo o continente da América do Sul, cujas coordenadas estão referidas ao ITRF94, época 1995,4 (IBGE, 2000, p.10). A campanha GPS SIRGAS 2000 estabeleceu e observou a rede de estações GPS de referência vertical SIRGAS, cujo processamento foi efetuado nos centros de processamento SIRGAS no IBGE (Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e no DGFI (Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut). A transformação de coordenadas entre o ITRF2000 e outras materializações deve ser feita através da utilização de parâmetros de transformação e tratando-se de referenciais de alta precisão referidos a uma mesma época, utiliza-se a transformação de Helmert. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 49 No caso dos referenciais possuírem épocas distintas, existe a necessidade de considerar a taxa de variação das coordenadas com relação ao tempo. Neste caso a transformação de Helmert não é suficiente e aplica-se a transformação de Helmert generalizada. A aplicação da transformação de Helmert generalizada toma as coordenadas de um ponto P associadas a um referencial ITRFyy, numa época de referência (t0), permitindo a obtenção das coordenadas deste ponto referenciadas a um ITRFzz numa outra época de referência (t). Para a aplicação da transformação de Helmert generalizada também deve ser conhecida a velocidade da estação. De acordo com MONICO (2000, p.92), nos casos em que uma realização particular não proporciona as componentes da velocidade da estação, deve-se fazer uso da teoria de placas tectônicas, utilizando o modelo recomendado pelo IERS. Atualmente, o modelo recomendado é o NNR-NUVEL-1A (No Net Rotation – Northwestern University VELocity model 1A), segundo o qual a Terra está dividida em várias placas tectônicas, conforme figura 2.6. Figura 2.6 – Placas Tectônicas FONTE: www.hq.satlink.com/ushuaia/funcardio/seismo.htm As diferenças entre as diferentes versões ITRFyy são de poucos centímetros, irrelevantes para fins cartográficos (IBGE, 2000, p.12). A tabela 2 mostra as coordenadas ITRF97 e ITRF200 das estações GPS FORT (em Fortaleza) e BRAZ (em Brasília). Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 52 Figura 2.7 – A rede SIRGAS2000 Fonte: < http://www.ibge.gov.br > 2.6 LIGAÇÃO ENTRE COORDENADAS ASTRONÔMICAS E GEODÉSICAS: EQUAÇÃO DE LAPLACE 2.6.1 Desvio da Vertical Todos os corpos na Terra acham-se sujeitos à força da gravidade, que é resultante da força de atração exercida pelas massas terrestres e da força centrífuga decorrente do movimento de rotação. O campo da gravidade é um campo conservativo, dotado de geopotencial ou potencial gravífico W, resultante da soma do potencial de atração e do potencial centrífugo. As superfícies equipotenciais (potencial gravífico W constante) do campo da gravidade são denominadas geopes, e o Geóide é o geope que mais se aproxima do nível médio dos mares em todo o globo. Como a distribuição de massas não é homogênea, os geopes são superfícies suavemente irregulares, e perpendiculares em todos os seus pontos às linhas de força do campo da gravidade, as linhas verticais. A linhas verticais são utilizadas como referência Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 53 física nos equipamentos de medição utilizados em Topografia e Geodésia, sendo materializadas pelo fio de prumo ou pelo eixo vertical de um teodolito nivelado. Já, a vertical de um ponto, é a reta tangente à linha de força nesse ponto e simboliza a direção do vetor gravidade. Denomina-se desvio da vertical (i) ao ângulo formado, em um certo ponto, pelas normais à superfície equipotencial que passa pelo ponto e ao elipsóide, isto é, o ângulo entre a vertical e a normal (figura 2.8). As coordenadas astronômicas estão relacionadas com a posição da vertical (tangente à linha vertical) em um ponto. As coordenadas geodésicas são obtidas utilizando os dados de observação, GPS por exemplo, sobre a superfície de referência (elipsóide de revolução). O cálculo do desvio da vertical não é feito diretamente, mas sim através de seus componentes ξ e η chamados respectivamente de componente meridiana e componente 1º vertical (GEMAEL, 1999, p.19). Figura 2.8 - Desvio da Vertical i São quatro os métodos de determinação do desvio da vertical. O primeiro, e mais conhecido, é o método astrogeodésico, onde as componentes do desvio da vertical são determinadas através de coordenadas astronômicas e geodésicas em um mesmo ponto. Outro método é o gravimétrico (GEMAEL, 1999, p.149), onde o desvio da vertical é Elipsóide Geóide Superfície física normal Linha vertical vertical Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 54 obtido em função de anomalias da gravidade, através da fórmula de Venning-Meinesz. Um terceiro método de determinação do desvio da vertical é o método astrogravimétrico (GEMAEL, 1999, p.177), que conjuga determinações astrogeodésicas com gravimétricas. E, um quarto método de obtenção do desvio é através de medidas GPS/LPS, utilizando-se do “Problema Procrustes simples” (GRAFAREND & AWANGE, 2000) para o cálculo. 2.6.2 Método Astrogeodésico de Determinação do Desvio da Vertical No método astrogeodésico as componentes do desvio da vertical são determinadas através de coordenadas astronômicas e geodésicas obtidas em um mesmo ponto. Demonstra-se que (GEMAEL, 1999, p.19): ξ = Φ - φ = Δφ (2.5) η = (Λ - λ) cosφ = Δλcosφ (2.6) η = (Aa – Ag ) cotgφ (2.7) sendo: ξ = componente meridiana η = componente 1o vertical Φ = latitude astronômica φ = latitude geodésica Λ = longitude astronômica λ = longitude geodésica Aa = azimute astronômico Ag = azimute geodésico As equações (2.5) e (2.6) permitem transformar grandezas astronômicas em geodésicas, conhecidos os componentes do desvio da vertical, ou possibilitam a determinação dos componentes do desvio da vertical, desde que sejam conhecidas as coordenadas astronômicas e geodésicas em uma mesma estação, pelo método astro-geodésico. Para obter-se o desvio da vertical i faz-se: i 2 = η2 + ξ2 (2.8) Através das equações (2.6) e (2.7) obtém-se: Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 57 Por exemplo, para a determinação da posição no Sistema Geodésico Brasileiro (SAD 69) de coordenadas obtidas a partir de rastreio de satélites artificiais no WGS 84 é necessário aplicar três translações às coordenadas referidas ao WGS 84, conforme a resolução nº 23, dadas por: ΔX = + 66,87 m ± 0,43 m ΔY = - 4,37 m ± 0,44 m ΔZ = +38,52 m ± 0,40 m 3.2 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS EM DIFERENTES SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA A PARTIR DE COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS A resolução no. 23, de 21 de fevereiro de 1989, do IBGE, apresenta uma seqüência de cálculo para transformação de coordenadas em diferentes sistemas geodésicos de referência a partir de coordenadas cartesianas tridimensionais. Inicialmente, transformam-se as coordenadas geodésicas, latitude φ e longitude λ, no sistema 1, em coordenadas cartesianas tridimensionais X, Y, Z através do formulário abaixo, sendo que, a título de clareza, algumas equações já apresentadas estão repetidas: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ φ λφ λφ senheN senhN hN Z Y X ))1(( cos)( coscos)( 2 (3.6) 2/122 )1( φsene aN − = (3.7) 22 2 ffe −= (3.8) sendo: X, Y, Z = coordenadas cartesianas tridimensionais φ = latitude geodésica Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 58 λ = longitude geodésica h = altitude geométrica N = grande normal (raio de curvatura da seção primeiro vertical) e2 = primeira excentricidade A seguir, a partir das coordenadas cartesianas tridimensionais X, Y, Z, fornecidas no sistema 1, é possível transformá-las em coordenadas cartesianas tridimensionais X, Y, Z no sistema 2, utilizando os parâmetros de transformação oficiais adotados no Brasil, através da equação: m Z Y X Z Y X Z Y X ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 12 (3.9) sendo: - X1, Y1, Z1 = coordenadas cartesianas tridimensionais no sistema S1 (conhecido); - X2, Y2, Z2 = coordenadas cartesianas tridimensionais no sistema S2 (incógnita); - ΔX, ΔY, ΔZ = parâmetros de transformação entre o sistema S1 e o sistema S2; O próximo passo é a transformação das coordenadas cartesianas tridimensionais X, Y, Z, no sistema 2, em coordenadas geodésicas, latitude φ e longitude λ. Este cálculo possui duas soluções, uma solução direta e uma iterativa. A solução direta é fornecida pelas equações abaixo, sendo que, algumas equações já apresentadas anteriormente estão repetidas pela necessidade de aplicação: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = θ θφ 32 32' cos arctan aep bseneZ (3.10) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= X Yarctanλ (3.11) Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 59 N ph − = φcos (3.12) 22 2 ffe −= (3.13) 2 2 2 2 2' )1( 2 1 f ff e ee − − = − = (3.14) a baf −= ∴ )1( fab −= (3.15) 2/122 )( YXp += (3.16) pb Zatg =θ (3.17) ( ) 2/1221 φsene aN − = (3.18) sendo: X, Y, Z = coordenadas cartesianas tridimensionais φ = latitude geodésica λ = longitude geodésica a = semi-eixo maior do elipsóide de revolução b = semi-eixo menor do elipsóide de revolução f = achatamento e2 = primeira excentricidade e’ 2 = segunda excentricidade N = grande normal (raio de curvatura da seção primeiro vertical) Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 62 Figura 4.2 – Vértices de triangulação e estações de poligonal no Brasil Fonte:< http://www.ibge.gov.br > Não é difícil imaginar a dificuldade em se efetuar visadas na superfície, devido a obstáculos naturais e artificiais, sendo necessário elevar o teodolito e/ou o sinal a fim de assegurar a intervisibilidade. Nas triangulações era comum a utilização de torres geodésicas, em geral treliças metálicas em forma de seção triangular, de fácil montagem. Consistiam de uma dupla estrutura independente, uma torre interna e outra externa sem vínculo entre ambas. Na torre interna instalava-se o teodolito. A torre externa possuía uma plataforma para o operador. No Brasil usava-se a torre Bilby, que chegava a alcançar até 38 metros (figura 4.3). Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 63 Figura 4.3 – Torre Bilby Fonte: < http:// www.geod.rncan.gc.ca/index_e/geodesy_e/ > A evolução dos medidores eletrônicos de distâncias (MED) facilitou a medida de distâncias e tornou-a um procedimento prático e economicamente viável. A trilateração é um processo de levantamento semelhante à triangulação, sendo que em lugar da formação dos triângulos a partir da medição de ângulos, o levantamento é efetuado a partir da medida de lados. A vantagem, em relação à triangulação, era a rapidez na execução das medições. O espaçamento entre os vértices para levantamentos geodésicos de alta precisão é o mesmo da triangulação. Na poligonação medem-se ângulos e distâncias entre pontos adjacentes, que formam linhas poligonais ou polígonos. A medida de ângulos é semelhante à da triangulação e a medida de distâncias à da trilateração. A figura 4.4 mostra os vértices de triangulação, poligonação, estações Doppler, GPS e as estações Sirgas e RBMC. A resolução PR nº 22 apresenta as Especificações e Normas Gerais e estabelece as tolerâncias e critérios destinados a regularizar a execução de levantamentos Geodésicos no território brasileiro. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 64 Figura 4.4 - Vértices de Triangulação, Poligonação, Estações Doppler, GPS e Estações Sirgas e RBMC em 1999. Fonte: < http://www.ibge.gov.br > 4.2 DATUM Na maioria das triangulações geodésicas o Datum (origem) caracterizava-se pela imposição arbitrária: ξ0 = η0= N0 = 0 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 67 revolução adotado, sem ambigüidades, substituindo-a por uma rede sobre a qual efetuamos os cálculos geodésicos. Sendo conhecidos os parâmetros do modelo (semi-eixo maior a e achatamento f, por exemplo), a latitude e longitude da origem podem ser transportadas vértice a vértice, para toda a triangulação, no procedimento chamado de transporte de coordenadas geodésicas. Para isso é necessário o conhecimento de todos os lados (bases) da triangulação, que são obtidos através da resolução dos triângulos. 4.4 CONTROLE DE ESCALA E ORIENTAÇÃO: PONTOS DE LAPLACE O controle de orientação de uma rede é feito através dos pontos de Laplace. Ponto de Laplace é o vértice geodésico de uma rede, onde se efetuam observações astronômicas de precisão, a fim de se determinar a longitude e o azimute de um lado geodésico. Através da equação de Laplace (equação 2.9), apresentada na seção 2.6.2, é possível transformar um azimute astronômico em geodésico, permitindo a compensação astronômica- geodésica da rede. O controle de escala de uma rede é feito através da medida de novas bases ao longo da triangulação. Base geodésica é um lado cujo comprimento é medido diretamente no terreno, para introduzir escala na triangulação e permitir o cálculo dos triângulos que a compõe. 4.5 MEDIDAS DE BASES E ÂNGULOS Em Geodésia, entende-se por redução o transporte de grandezas (ângulos e distâncias) medidas na superfície da Terra a seus correspondentes valores sobre a superfície de referência, que normalmente é o elipsóide de revolução (ZAKATOV, 1981, p.431). Algumas vezes tem-se o problema inverso, o transporte de grandezas conhecidas na superfície de referência para a superfície terrestre. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 68 4.5.1 Medidas de Bases Até o final do século IXX, as bases geodésicas eram medidas em comprimento bem inferior ao dos lados da triangulação, com réguas metálicas rígidas, e fazia-se a ligação da base medida com a triangulação através do desenvolvimento da base . A figura 4.5 ilustra o desenvolvimento da base de Ponta Grossa, onde foi medida a base 'AA com 2.015 m e a base desenvolvida 'DD alcançou 13.017 m. Figura 4.5 – Desenvolvimento da Base de Ponta Grossa (PR) Em 1885 as réguas foram substituídas por fios metálicos submetidos a uma determinada tensão para evitar catenária. Com a descoberta do ínvar, que consiste em uma liga de aço com 35% de níquel e baixíssimo coeficiente de dilatação, o uso de fios e fitas generalizou-se. Os fios de ínvar possuíam 24 m de comprimento e as fitas 50 m, ambas sem graduação intermediária. A medida de uma base com fita de ínvar compreendia o reconhecimento do terreno para escolha do local adequado, implantação da linha implicando em desmatamento, alinhamento, medida preliminar e estaqueamento, medida lance por lance, nivelamento geométrico, cálculo e desenvolvimento da base, envolvendo um grande número de profissionais e durando algumas semanas. A A’ D’ D Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 69 Somente com o surgimento dos medidores eletrônicos de distâncias (MED) as medidas de bases tornaram-se mais rápidas, sendo que alguns modelos de MED possuem precisão comparável às medidas feitas com fitas de ínvar. O aparelho instalado num dos vértices, emite uma onda eletromagnética dirigida ao outro vértice, onde está instalado um refletor que devolve a onda. O equipamento registra o tempo gasto para ela ir à outra estação e voltar. Conhecida a velocidade de propagação da onda o equipamento calcula a distância. O primeiro distanciômetro construído foi o radar e tinha objetivo de guerra. Era um equipamento pesado e podia determinar a distância até entre objetos em movimento. Já os primeiros distanciômetros para determinação de distâncias geodésicas eram grandes e pesavam cerca de 200 kg. Atualmente são leves e portáteis e o tempo gasto para se medir uma distância varia de 5 segundos a alguns minutos, dependendo do modelo e da distância a ser medida. 4.5.2 Reduções a Serem Aplicadas nas Distâncias A evolução dos MED não só simplificou esta medição, como a tornou prática e economicamente viável. As reduções a serem aplicadas nas medidas de distâncias com MED são de 3 tipos: as correções devidas ao instrumental, as correções atmosféricas e as correções ou reduções geométricas. As correções devidas ao instrumental são a correção da constante de adição e a correção de escala causada pelo desvio de freqüência. As correções atmosféricas são a correção da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas em função de temperatura, pressão do ar e índice de refração e a correção de curvatura dos raios (considerada somente em distâncias maiores que 50 km). As correções ou reduções geométricas são a redução corda ao nível ao mar, curvatura e distorção devida ao sistema de projeção (fator de escala). Tanto as correções instrumentais como as correções atmosféricas possuem características próprias para cada MED, sendo dadas usualmente por equações ou ábacos fornecidos pelo fabricante, e por este motivo este trabalho se atém nas reduções geométricas. Maiores detalhes sobre as duas primeiras correções podem ser vistas em FAGGION (2001) ou RÜEGER (1996). Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 72 4.5.2.3 Fator de escala Os sistemas de projeção são a maneira de projetar a superfície de referência, que representa a superfície física da Terra, numa superfície plana. Para a obtenção de um contato contínuo de uma superfície esférica com uma superfície plana, a superfície esférica deveria ser distorcida, sendo impossível uma solução perfeita. Por este motivo, não se consegue projetar sobre um plano a superfície terrestre, conservando ao mesmo tempo, distâncias, ângulos, áreas e a verdadeira relação entre esses elementos. A representação é feita por seções, projetando-se partes da superfície da Terra sobre uma figura geométrica que possa ser desenvolvida em um plano. As superfícies de projeção mais usadas são o plano, o cone e o cilindro que podem ser tangentes ou secantes à superfície de referência. O fator de escala corrige as deformações causadas pelo sistema de projeção. No caso do Sistema UTM, oficialmente adotado para o mapeamento sistemático no Brasil, as distâncias medidas no terreno deverão ser multiplicadas pelo fator de escala correspondente à região. As distâncias tomadas na carta deverão ser divididas pelo fator de escala para se obter as distâncias reais. Maiores detalhes sobre fator de escala e sistemas de projeção serão vistos nas disciplinas da área de Cartografia. 4.5.3 Medidas de Ângulos Dentre os métodos utilizados com equipamentos mecânicos para medição angular horizontal, tem-se o método de repetição, apropriado para teodolitos repetidores e o método de reiteração, apropriado para teodolitos reiteradores. A medida de ângulos horizontais também passou por uma evolução com o surgimento dos teodolitos eletrônicos, tornando-se muito mais rápida. As principais reduções a serem aplicadas nos ângulos medidos sobre a superfície terrestre são a convergência meridiana, a correção para passar da seção normal à linha geodésica e o desvio da vertical (visto na seção 2.6.1). Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 73 4.5.3.1 Convergência meridiana No plano topográfico a diferença entre azimute e contra-azimute de uma direção é igual a 180º. Figura 4.8 – Azimute e contra-azimute de uma direção no plano topográfico A figura 4.8 mostra o azimute da direção 1-2 (A12) e o azimute da direção 2-1 (A21). Pode-se dizer que A21 é o contra-azimute da direção 1-2 e que A12 é o contra-azimute da direção 2-1. Pela figura verifica-se que: A12 = A21 – 180 º (4.5) O mesmo não acontece na superfície do elipsóide de revolução, conforme ilustra a figura 4.9. A convergência meridiana (γ) é a variação do azimute de uma geodésica em relação a dois meridianos, devido à convergência destes para os pólos. γ+°+= 1801221 gg AA (4.6) α−= 2123 gg AA (4.7) Sendo: 1 2 A12 A 21 Meridiana do ponto 1 Meridiana do ponto 2 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 74 Ag12 = azimute da direção 1-2; Ag21 = contra-azimute da direção 1-2; Ag23 = azimute da direção 2-3; γ = convergência meridiana entre os pontos 1 e 2; α = ângulo horizontal no sentido anti-horário entre as direções 1-2 e 2-3. Figura 4.9 – Cálculo do azimute de uma direção a partir do contra-azimute da direção anterior Existem diferentes fórmulas para o cálculo da convergência meridiana, em função das coordenadas geodésicas, UTM ou plano-retangulares do sistema topográfico local, definido pela NBR 14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal - Procedimento. O cálculo da convergência meridiana a partir das coordenadas geodésicas é feito pelas equações abaixo: γ = [Δλ’’ senφm sec(Δφ/2) + F(Δλ’’)3 ] (4.8) Δλ = λ’ - λ (4.9) Δφ = φ’ - φ (4.10) F = (senφm cos2φm sen2 1”)/ 12 (4.11) sendo: 1 2 3 Ag 12 Ag 21 Ag 23 α Meridiano em 1 Meridiano em 2 Tangente em 1 Paralela tangente em 1 γ Tangente em 2 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 77 5.1 PROBLEMA DIRETO E INVERSO Chama-se de Problema Direto, ao transporte de coordenadas no elipsóide de revolução quando são dadas as coordenadas geodésicas de um ponto P do elipsóide (φ, λ), a distância (s) a um segundo ponto P’ e o respectivo azimute (APP’) e deseja-se calcular as coordenadas do segundo ponto (φ’, λ’). O Problema Inverso é aquele em que são dadas as coordenadas geodésicas de dois pontos P e P’ do elipsóide (φ, λ) e (φ’, λ’) e deseja-se calcular a distância geodésica entre os mesmos (s) e os respectivos azimutes (APP’ e AP’P). A figura 5.1 ilustra o Problema Direto e o Problema Inverso. Figura 5.1 – Problema Direto e Problema Inverso Existem vários formulários para as soluções dos problemas direto e inverso da Geodésia. As fórmulas de Puissant são assim chamadas em homenagem ao matemático francês que as demonstrou. Sua demonstração está baseada sobre uma esfera auxiliar tangente ao elipsóide, com raio coincidindo com o raio de curvatura da seção primeiro vertical (SANTOS Jr, 2002, p.9). De acordo com BOMFORD (1971, p.134) essas fórmulas são consideradas com precisão de 1 ppm (parte por milhão) em até 80 ou 100 km. Nas décadas de 50 e 60 SODANO apresentou fórmulas que fornecem uma solução não iterativa para os problemas direto e inverso da Geodésia, de fácil programação computacional, além de equações auxiliares que visam garantir alto grau de acurácia para qualquer linha geodésica, não importando seu comprimento. A dedução não iterativa foi desenvolvida, a princípio para geodésicas muito longas. Posteriormente, a fim de obter a Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 78 mesma acurácia para geodésicas mais curtas, foram desenvolvidas fórmulas alternativas, que também são utilizadas em linhas longas. SANTOS Jr. (2002) mostra que a utilização de integrais elípticas para a solução dos problemas direto e inverso da Geodésia conduz a soluções matematicamente rigorosas, com discrepâncias insignificantes do ponto de vista físico, entre a solução direta e a inversa, para quaisquer distâncias. 5.2 FÓRMULAS PARA O PROBLEMA DIRETO (segundo Puissant - lados curtos) As fórmulas para cálculo do problema direto segundo Puissant, aplicadas a lados curtos são: M = a (1-e2)/(1-e2sen2φ)3/2 (5.1) N = a / (1 – e2 sen2 φ)1/2 (5.2) B = 1 / (M sen 1”) (5.3) h = B s cos A (5.4) C = tanφ / (2 M N sen1”) (5.5) D = ( 3 e2 senφ cosφ sen 1”) / [ 2 ( 1 - e2 sen2φ)] (5.6) E = (1 + 3 tan2φ) / ( 6N2) (5.7) δφ”= h + C s2 sen2A – E h s2 sen2 A + ... (5.8) Δφ” = δφ” + (δφ”)2 D (5.9) φ’= φ + Δφ” (5.10) N’ = a / ( 1 – e2 sen2 φ’)1/2 (5.11) A’= 1/(N’sen 1”) (5.12) Δλ” = (A’ s sen A) / cosφ’ (5.13) λ’= λ + Δλ” (5.14) φm = (φ + φ’)/2 (5.15) F = (1/12) sen φm cos2 φm sen2 1” (5.16) γ ’’ = Δλ” senφm sec(Δφ/2) + F (Δλ”)3 (5.17) AP’ P= APP’ + γ ” ± 180o (5.18) Sendo dados: Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 79 - a : semi-eixo maior do elipsóide de revolução; - e2 : primeira excentricidade do elipsóide de revolução; - φ : latitude do ponto P; - λ : longitude do ponto P; - s : distância entre P e P’; - APP’ : azimute da direção PP’; Deseja-se calcular: - φ’ : latitude do ponto P’; - λ’ : longitude do ponto P’; - AP’P : azimute da direção P’P ou contra-azimute da direção PP’; O símbolo (“) refere-se a valores em segundos de arco. Na aplicação das fórmulas considera-se a latitude (φ) negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a oeste de Greenwich. 5.3 FÓRMULAS PARA O PROBLEMA INVERSO (segundo Puissant - lados curtos) A seguir apresenta-se o formulário do Problema Geodésico Inverso segundo Puissant, aplicado a lados curtos. Algumas fórmulas utilizadas como M, N e os coeficientes B, C, D e E são os mesmos do problema direto, mas são apresentados novamente na seqüência de utilização, a título de clareza. Δφ” = φ’ - φ (5.17) Δλ” = λ’ - λ (5.18) N’ = a / ( 1 – e2 sen2 φ’)1/2 (5.19) A’= 1/(N’sen 1”) (5.20) x = (Δλ”cosφ’)/A’ (5.21) M = a (1-e2)/(1-e2sen2φ)3/2 (5.22) N = a / ( 1 – e2 sen2 φ)1/2 (5.23) B = 1/ ( M sen1”) (5.24) C = tanφ / (2 M N sen1”) (5.25) D = ( 3 e2 senφ cosφ sen 1”) / [ 2 ( 1 - e2 sen2φ)] (5.26) Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 82 Onde : H = altitude ortométrica; h = altitude geométrica; Ng = ondulação geoidal. 6.2 DATUM ALTIMÉTRICO – REDES DE ALTITUDES ORTOMÉTRICAS Em IBGE (2004) encontra-se um resumo histórico das operações de nivelamento geométrico no Brasil, bem como do estabelecimento das redes de altitudes geométricas: “Em 13 de Outubro de 1945, a Seção de Nivelamento (SNi) iniciava os trabalhos de Nivelamento Geométrico de Alta Precisão, dando partida ao estabelecimento da Rede Altimétrica do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). No Distrito de Cocal, Município de Urussanga, Santa Catarina, onde está localizada a Referência de Nível RN 1-A, a equipe integrada pelos Engenheiros Honório Beserra - Chefe da SNi -, José Clóvis Mota de Alencar, Péricles Sales Freire e Guarany Cabral de Lavôr efetuou a operação inicial de nivelamento geométrico no IBGE. Em Dezembro de 1946, foi efetuada a conexão com a Estação Maregráfica de Torres, Rio Grande do Sul, permitindo, então, o cálculo das altitudes das Referências de Nível já implantadas. Concretizava-se, assim, o objetivo do Professor Allyrio de Mattos de dotar o Brasil de uma estrutura altimétrica fundamental, destinada a apoiar o mapeamento e servir de suporte às grandes obras de engenharia, sendo de vital importância para projetos de saneamento básico, irrigação, estradas e telecomunicações. Em 1958, quando a Rede Altimétrica contava com mais de 30.000 quilômetros de linhas de nivelamento, o Datum de Torres foi substituído pelo Datum de Imbituba, definido pela estação maregráfica do porto da cidade de mesmo nome, em Santa Catarina. Tal substituição ensejou uma sensível melhoria de definição do sistema de altitudes, uma vez que a estação de Imbituba contava na época com nove anos de observações, bem mais que o alcançado pela estação de Torres. O final da década de 70 marcou a conclusão de uma grande etapa do estabelecimento da Rede Altimétrica. Naquele momento, linhas de nivelamento geométrico chegaram aos pontos mais distantes do território brasileiro, nos estados do Acre e de Roraima. Após aproximadamente 35 anos de ajustamento manual das observações de nivelamento, o IBGE iniciou, nos primeiros anos da década de 80, a informatização dos cálculos altimétricos. Tal processo possibilitou a implantação, em 1988, do Projeto Ajustamento da Rede Altimétrica, com o objetivo de homogeneizar as altitudes da Rede Altimétrica do SGB. Depois da recente conclusão de um ajustamento global preliminar, o Departamento de Geodésia prepara-se agora para dar continuidade ao projeto, com a realização de cálculos ainda mais rigorosos, considerando-se também observações gravimétricas. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 83 Fato também marcante foi o início das operações de monitoramento do nível do mar, em 1993. Com o objetivo de aprimorar o referencial da Rede Altimétrica, o IBGE passou a operar a estação maregráfica de Copacabana, transformando-a em uma estação experimental para finalidades geodésicas. Hoje o IBGE opera outra estação, no Porto de Imbetiba, em Macaé, Rio de Janeiro, com a perspectiva de também assumir a operação da Estação Maregráfica de Imbituba.” A figura 6.2 mostra a rede altimétrica no Brasil. Figura 6.2 - Rede Altimétrica no Brasil Fonte: http://www.ibge.gov.br 6.3 NIVELAMENTO GEOMÉTRICO – ASPECTOS INSTRUMENTAIS E CORREÇÕES Nivelamento geométrico (ABNT, 1994, p.3) é a operação que realiza a medida da diferença de nível entre pontos do terreno por intermédio de leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas com um nível de precisão em miras colocadas verticalmente nos referidos pontos. Pouco difere do realizado em Topografia, apenas o instrumental é mais aperfeiçoado e são tomados cuidados especiais levando em conta correções que o topógrafo Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 84 não considera. O método mais utilizado é o das visadas iguais por eliminar os erros sistemáticos devido à refração atmosférica, colimação vertical e efeito da curvatura terrestre. A figura 6.3 ilustra o nivelamento geométrico. Figura 6.3 – Realização de um Nivelamento Geométrico Fonte: < http:// www.geod.rncan.gc.ca/index_e/geodesy_e/> Neste processo as altitudes são transportadas sucessivamente de um ponto a outro, ou seja, parte-se de um ponto com altitude conhecida e determina-se o desnível até o próximo ponto, obtendo-se a altitude deste. Recomenda-se o nivelamento duplo, operação realizada em duplo sentido, nivelamento e contra-nivelamento, através das quais é possível se calcular o erro de fechamento. Devem ser utilizados níveis automáticos ou de bolha providos de placas plano- paralelas. Atualmente os modernos níveis eletrônicos também apresentam bons resultados. A ocorrência e propagação de erros sistemáticos podem ser evitados através dos seguintes cuidados, propostos pela resolução PR nº 22: - os comprimentos das visadas de ré e vante deverão ser aproximadamente iguais, de modo a se compensar o efeito da curvatura terrestre e da refração atmosférica; - pelo mesmo motivo não se recomendam visadas com mais de 100 m de comprimento, sendo ideal o comprimento de 60 m (testes desenvolvidos na UFPR comprovam que a Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 87 fundamentando-se na relação trigonométrica entre o ângulo e a distância medida, considerando a altura do centro do limbo vertical do teodolito ao terreno e a altura sobre o terreno do sinal visado. Sua precisão até alguns anos atrás, com equipamentos mecânicos, era da ordem de alguns decímetros. Testes desenvolvidos com estação total no nivelamento trigonométrico (FAGGION & FREITAS, 2003), que possui maior rendimento e custo mais baixo que o nivelamento geométrico, proporcionou resultados compatíveis com levantamentos altimétricos de primeira ordem (IBGE, 1983, p. 3). O nivelamento trigonométrico para lances maiores de 150 m, é realizado de duas maneiras, pelo método das visadas recíprocas ou pelo método das visadas recíprocas e simultâneas. No método de visadas recíprocas mede-se os dois ângulos verticais entre as duas estações cujo desnível se deseja determinar, além das alturas do instrumento e do alvo.Por cálculo corrigem-se os efeitos da curvatura terrestre e refração atmosférica. Este método fornece uma dupla determinação do desnível, sendo utilizada a média. O método de visadas recíprocas e simultâneas é mais preciso que o anterior, pois as determinações são feitas por dois teodolitos simultaneamente, um em cada estação, eliminando-se assim o efeito da curvatura terrestre e o erro devido à refração atmosférica. 6.4.1 CÁLCULO DO DESNÍVEL ENTRE DUAS ESTAÇÕES SEM CONSIDERAR A ALTURA DO INSTRUMENTO Pode-se errar facilmente 5 mm na medida da altura do instrumento com uma trena que apresenta graduação milimétrica. Visando eliminar este erro é possível determinar o desnível entre duas estações sem medir a altura do instrumento (FREITAS e FAGGION, 2001). A figura 6.7 ilustra a estação total instalada na estação 2 e os refletores nas estações 1 e 3 com alturas iguais. Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 88 Figura 6.7 – Nivelamento trigonométrico com refletores a alturas iguais O desnível entre as estações 1 e 2 é obtido por: 1212 DVhihhr ++Δ= (6.2) Portanto, 1212 DVhihrh −−=Δ (6.3) O desnível entre as estações 2 e 3 é obtido por: 2323 DVhihhr ++Δ−= (6.4) Portanto, 2323 DVhrhih +−=Δ (6.5) Obtém-se o desnível entre as estações 1 e 3 com: 231213 hhh Δ+Δ=Δ (6.6) Substituindo na equação (6.6) as equações (6.3) e (6.5) obtém-se: 1 3 DV21 DV23 hr hr Z21 Z23 D21 D23 Zênite 2 Δh12 Δh23 Δh13 Geodésia Maria Aparecida Zehnpfennig Zanetti 89 )()( 231213 DVhrhiDVhihrh +−+−−=Δ (6.7) )( 212313 DVDVh −=Δ (6.8) 2121232313 coscos ZDZDH −=Δ (6.9) Sendo: hr = altura do refletor; hi = altura do instrumento; Z21 = ângulo zenital entre as estações 2 e 1; Z23 = ângulo zenital entre as estações 2 e 3; D21 = distância entre as estações 2 e 1; D23 = distância entre as estações 2 e 3;