exercícios resolvidos análise real

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(Parte 1 de 2)

RESOLUÇÃO DA 1ª LISTA DE ANÁLISE Por: Alexsandro R Ferreira

Pela definição de limite: 0,0 tq 0()()

Como lim() suponha que existe 0 x a x a x a x a f g X a X f x L g x M f x g x L M x a f x g x L M f x L

01) a) Demonstração:

Escolhendo como min, garantimos que:

x a x a f x L g x M x a g x M f x g x L M f x L g x M →

( ). ( ) ( ). ( )( )( ( ) ) ( ( ) )

x a f x g x L M x a f x g x L M g x L f x g x L M f x g x g x L g x L L M g x f x L L g x M g x f x b) Demonstração:

Como as funções f(x) e g(x) possuem limites, podemos dizer que existe M0/(), onde M o limite de g(x).

Assim como podemos afirmar que existe

L L g x M g x f x L L g x M g x M M f x L L g x M

( ). ( ) . ( )( ( ) ) ( ( ) )

tq f x L M tq g x M L f x g x LM g x f x L L g x M M L M L

11Podemos nos utilizar do exercício anterior e provar que lim ( ) x a x a f x L g x M g x M x a g x M

M g x M g x g x M g x M g x M

Demonstração: c) de modo

MMx a g x M g x Mx a g x M

M g x M g x M g x g x M g x M g x M M M

02) Prove pela definição que: ) lim

Pela definição de limites: 0 0/() () Note que racionalizando obtemos:

. Assim basta tomar x a a x a x a f x L f x L x a x a x a x a x a a a ax a

Resolução :

Pela definição de limites: 0 0/() ² Se restringirmos 2 temos que:

x a b x a x a f x L x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x a a

x a x

Ou seja para temos que ² 3

: Note que quanto maior tomamos o valor de x, por exemplo 3

mais exigente nos tornamos quanto a amplitude do intervalo (,) a x a a x a a a x a a

Obs x a

Considere M uma constante. Sejam f, g : tais que limf(x) = 0 e

g(x)M, x. Mostre pela definição de limite que: lim().()0 x a x a f x g x

( ). ( ) ( ). ( )( )( ( ) ) ( ( ) )

x a f x g x L M g x L f x g x L M f x g x g x L g x L L M g x f x L L g x M g x f x L L g x M g x f x

Demonstração:

L L g x M g x M g x f x L L g x M M f x L L g x M

M f x L L g x M M L f x g x L M g x f

( ) ) ( ( ) )

isto demonstra o caso para quaisquer M e L, para o caso específico L = 0 temos que:

Note que bastaria (() x L L g x M M L M L f x g x M g x f x g x M M M L

M f x f x g x L M →

Mostre que não existe limf(x) , encontrando sequências a0 e b0 tais que

Tome por exemplo as sequências a x n nx x f f x x f a f b →

Resolução :

2, podemos ver que quando k, 0

1Como b note que quando k,b0 2

1Calculando os limites lim()limcoslim0 2

1e limlim21Logo lim(

nx x x x x x a k k kf a k k f

Resolução: Como já foi demonstrado anteriormente lim().()., onde x a x a x a x x xf x f x g x L M f x L g x M x f x L

Sejam ,: definidas por:

()e ().

se 1 se 0 0 caso contrário0 se 0

Resolução: Para mostrar que: li x x x f g x x x f x g x f x g x g f x → → →

Segue pelo teorema que afirma que a condição necessária e suficiente para uma função f com domínio D tenha limite L com x a é que, para toda sequência x com domínio x x f x g x

n n n n tenha (). Deste modo se definirmos sequências x e y de números racionais e irracionais respectivamente, de modo que temos que xa e ya temos que f( x) e f(y)0,Portanto lim()0, se x a f x L x f x → e somente se, a = 0 De modo análogo mostramos que lim()0 se somente se, a = 0.

1 se Para mostrar que lim(()) não existe, começamos definindo (())

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