Fórmulas de recorrência para integrais trigonométricas

Fórmulas de recorrência para integrais trigonométricas

PRIMITIVAS TRIGONOMÉTRICAS Por Alexsandro R Ferreira

01) cos 02) cos 03) lncos 04) seclnsec

cos 2 08) sen²x

09) tg²x x dx sen x k sen x dx x k tg x dx x k x dx x tg x k xdx arctg k a x a xdx arcsen k a x xdx sen x k xxdx k dx tg x x k x dx tg x k dx x k dx sen x k sen a b sen a b sen a b a b a b a b sen a sen b a b a b

01) Calcule a integral 3cos2 fazendo 3 e 2 na primeira relação temos:

sen x x dx a x b x sen x x dx sen x x sen x x dx sen x sen x dx sen x dx sen x dx x x k

02) Calcule a integral cos²:

cos² cos cos Pela segunda relação:

x dx x dx x x dx x x dx x x x x dx x dx Assim

x dx x dx dx sen x k

03) Calcule a integral 35 Pela terceira relação:

Como cosseno é uma função par: cos2cos2 de onde result sen x sen x dx sen x sen x dx x x x x dx x x dx x dx x dx x x

304) Calcule sen:

Utilizando as relações vistas anteriormente:

é uma função ímpar, então x dx sen x sen x xxsen x sen x sen x sen x sen x sen x x sen x sen x sen x sen x sen x

1Pois pela relação .cos 2 sen x sen x

sen a b sen a b sen a b sen x x sen x sen x x x dx sen x dx sen x dx k

Lembrando que:

Se n for ímpar, faça cos e sen1cos

Se n for ímpar, cosn n x sen x sen x sen x x x x x x x x x x x

Então u x x x sen x dx x sen x x dx faça e cos1

cos21Se n for par, faça cos 2 2 u sen x x sen x x x

Pela relação anterior:e cos

Portanto:

x dx u senx du xdx x dx x xdx sen x xdx ux dx u du u sen x x dx sen x k

n n n

n n n nsen x dx sen x x sen x dx n n nx dx x sen x x dx n n

Chegamos a este resultado por integração por partes, observe abaixo:

A integração por parte nos diz que: .cos ( 1) cos cos n n u dv

n n n n n n n n sen dx sen x senxdx udv uv vdu sen x x n sen x x x dx sen dx sen x x n sen x sen x dx sen dx sen x x n sen passando para o primeiro membro o último termo e somando: .cos1, segue que:

n n n n n n xdx n sen xdx n sen dx sen x x n sen xdx

n sen dx sen x x sen xdx n n

Exemplo: 5

05) Calcule cos

14Utilizando as fórmulas de recorrênciacoscoscos 5 5 dx dx xsenx dx

Como dx xsenx xdx xdx senx sulta dx xsenx xsenx senx k

.cos

Se for par, faça cos Se for ímpar, faça

Se e forem pares não nulos faça, 1cos ou cos1 e utilize as fórmu m nsen x x dx n u x n u sen x n m sen x x x sen x las de recorrência anteriores.

06) Calcule 3cos3 fazendo a mudança 3 3

Como ambos os expoentes são ímpares vamos fazer a mudança:

cos (note que poderíamos ter escolhido sen x x dx dzz x dx sen x x dx sen z z dz u sen z du z dz u

Segue que:

z z sen z sen z z dz sen z z z dz u u du sen z sen zu usen x x dx u u du

Assim sen x sen x sen x x dx k

Comentários