Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace

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    1. Revisão direcionada sobre Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é fundamental para o estudo dos sistemas de controle lineares e invariantes no tempo. As dinâmicas desses sistemas podem ser representadas por equações diferenciais no domínio do tempo que, em muitas das vezes, possuem difícil e penosa resolução no domínio do tempo. Por exemplo, integração e diferenciação, são substituídas por operações algébricas básicas no domínio da freqüência (plano complexo). Uma vez resolvida a expressão algébrica no domínio “s”, a resposta da equação diferencial no domínio do tempo é obtida através do uso das tabelas de transformadas de laplace ou pelas técnicas de expansão em frações parciais.

Um exemplo de aplicação pode ser mostrado através de um sistema massa-mola-amortecedor. Esse sistema pode ser representado pela seguinte equação diferencial , tirada da segunda lei de Newton , onde: M é a massa, B é o coeficiente de atrito e K a constante da mola e (a) é a aceleração resultante do sistema, x(t) é o deslocamento que o sistema sofre em função de t, devido à aplicação da força F(t), ou seja, . A resolução desta equação no domínio s ou também conhecido como domínio da frequência, (Laplace – plano complexo) se resume à resolução de uma equação simultânea do segundo grau da seguinte forma (esse procedimento será visto adiante). Portanto, a relação entre o deslocamento sofrido pela massa X(s) devido à força aplicada F(s) é dada por , ou melhor, . Dada uma força aplicada F(s) obtemos um deslocamento X(s) em função dos parâmetros M (massa), B (atrito) e K (constante da mola). A resolução desse problema no domínio do tempo como resposta x(t) à força f(t) aplicada será a transformada inversa de Laplace de X(s), ou seja, que pode ser resolvido facilmente através do método de decomposição em frações parciais como será visto mais adiante.

      1. Definição geral

A transformada de Laplace é determinada através da multiplicação de uma função ou sinal linear f(t) pela função e integrando o produto, no intervalo de tempo compreendido entre (0, +), ou seja:

Obs. Consideraremos letras minúsculas para as funções no domínio do tempo e letras maiúsculas para as suas transformadas de Laplace (domínio da frequência)

Esse procedimento fará com que uma função f(t), com t uma variável real positiva no domínio do tempo, seja convertida em uma função no domínio complexo com s uma variável complexa (a + jb) com -<a< e -<b<.

O operador, transformada de Laplace, é dado pelo símbolo L e o operador transformada inversa de Laplace é dado pelo operador L-1

A transformada de Laplace é uma transformação linear. Dadas as funções f(t), f1(t) e f2(t) e se elas apresentam transformada de Laplace, então:

A seguir serão desenvolvidas as transformadas de Laplace de apenas algumas funções bastante usadas na teoria de controle.

      1. Função exponencial e sua transformada

A função exponencial é definida da seguinte forma:

onde k e  são constantes reais.

Lembrando da teoria de cálculo, podemos fazer uma troca simples e conveniente de variáveis. Fazendo e derivando os dois membros temos .

Devido à mudança de variáveis, os limites de integração também mudarão passando a ser;

Para t = 0 u = 0 e para t =  u = -

Fazendo a troca de variáveis temos:

Portanto,

Para a transformação efetuada, K é um ganho e o inverso de , ou seja, é uma constante de tempo.

O gráfico da função é mostrado a seguir: Observe que quando t=0 f(t) = 4 e quando t =  f(t) = 0. Observe também que  = 2 e o seu inverso é 0,5 que é a sua constante de tempo. Veja que para t igual a 5 valores de constante de tempo, ou seja, t = 2,5 seg, o valor da função é praticamente o valor que ela teria em t = , ou seja, f() = 0. Em geral podemos dizer que uma exponencial ao atingir um tempo em torno de quatro a cinco vezes a sua constante de tempo, o valor atingido é praticamente o valor que ela teria para t = .

Gráfico traçado pelo software MATLAB.

      1. Função degrau e sua transformada

A função degrau é definida da seguinte forma:

onde k é uma constante real e u(t) = 1 para t  0.

A transformada de Laplace de k.u(t) (t  0) fica:

(observe que a transformada de Laplace é definida no intervalo (0,) uma vez que a conversão é feita para funções no tempo e pelo que sabemos até o momento, não existe tempo negativo).

Da mesma forma feita no item 1.3.2, podemos fazer uma troca também simples e conveniente de variáveis. Fazendo e derivando os dois membros temos: .

Os limites de integração também mudarão passando a ser: para t = 0  u = 0 e para t =   u = -

Fazendo a troca de variáveis temos:

Portanto,

Para a transformação efetuada, K é um ganho e, se for igual a um, denominados de degrau unitário. Esta função e ostensivamente utilizada na teoria de controle.

Observa-se também que para a função degrau, =0, ou seja, a constante de tempo é infinita, ou seja, a função não parte de 0 e vai a 1 num determinado tempo ela já parte de 1 para t  0.

Para descrevermos melhor a aplicação dessa função nos sistemas, imagine uma balança de prato com indicação analógica e desejamos medir a massa de um certo material. Imagine que o instante em que o material é colocado na balança seja t = 0, obviamente, a massa medida pela balança num tempo anterior à colocação do tijolo no prato da balança será 0. Veja que a partir de t = 0 o valor de massa colocado no prato da balança vale K e não modificará para todo t  0. Esse é um exemplo de aplicação da função u(t). A resposta da balança (considerada o sistema) será a movimentação do ponteiro analógico em sua régua graduada. Esse ponteiro saíra de 0 (massa = 0) e a partir de t = 0 começará a se deslocar até estabilizar no valor de K que é a sua massa. Se retirarmos o material, tudo voltará a ser como antes.

Os gráficos da aplicação do material na balança f(t)=K.u(t) e da resposta da balança podem ser mostrados a partir dos gráficos a seguir: As oscilações no gráfico de resposta da balança poderão alterar dependendo dos valores de K, mas o valor final será sempre K.

Obs. há um costume geral em se dizer “qual o peso de um dado produto”, na verdade deveria ser “qual a massa do produto”, uma vez que, balança não mede peso mas sim massa, a gravidade é anulada pelo prato da balança e a graduação, como todos nós sabemos é em gramas).

      1. Função rampa e sua transformada

A função rampa é definida da seguinte forma:

A sua transformada de Laplace é dada por,

Fazendo

Os limites de integração ficam: para t = 0  u = 0 e para t =   u = - , portanto,

Dadas as duas funções e () contínuas e que possuem derivadas no intervalo (-,0), sabemos

do cálculo que . Integrando os dois lados temos:

(chamada integração por partes). Dessa expressão podemos tirar que: Substituindo o valor de v temos:

O valor de é 0 pois a expressão quando t   gera uma indeterminação que é eliminada aplicando a regra de L´Hopital ficando e quando t vai a  a expressão vai a zero. A expressão pode ser entendida da seguinte forma: quando t vai para o infinito, o denominador da expressão vai para o infinito muito mais rápido que o numerador, porisso, a expressão toda vai a zero.

Logo,

A transformada de Laplace da função rampa também possui grande importância na teoria de controle.

      1. Função pulso e sua transformada

Antes de determinarmos a transformada de Laplace da função pulso, é importante que falemos um pouco sobre um teorema da transformada de Laplace que diz sobre o deslocamento de uma função no tempo a qual chamamos de função transladada ou função com retardo de tempo.

Considere as seguintes funções no tempo, f(t) e f(t-). O efeito de um retardo de tempo  na função f(t) pode ser visto comparando os dois gráficos a seguir.

f(t)  Sem retardo de tempo f(t-)  Com retardo de tempo ( = 1seg)

Considerando que u(t) é a função degrau unitário e como essas funções no tempo só valem para t  0 então podemos dizer que a função sem retardo de tempo é dada por e a função com retardo de tempo é dada por .

A transformada de Laplace da funçãoé dada por .

Uma troca conveniente de variáveis seria fazendo: .

Os limites de integração ficam: para e quando

Portanto, as integrais ficam:

Como

Portanto,

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