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TRANSFORMADA DE LAPLACE Prof. Msc.Cleyton Nogueira de Oliveira

Engenharia da Computação

A Transformada de Laplace

1. Definição: Seja f(t) definida para 0 ≤ t ≤ ∞. A transformada de Laplace de f(t), que indicamos por F(s) ou £ {f(t)} é dada pela integral

Exemplo 1: Calcule a Transformada de Laplace de f(t) =1 Solução:

, s > 0

Exemplo 2: Calcule a Transformada de Laplace de , t ≥ 0 Solução:

S > a A transformada de Laplace de é indefinida para s < a.

Exemplo 3: Calcule a Transformada de Laplace das funções senwt e coswt. Solução:

Afirmação é um operador linear sobre funções, isto é

É verdade também que

2. Condição de existência da Transformada de Laplace

2.1. Definição: Uma função f é chamada continua por partes, se seu domínio pode ser dividido em diversos intervalos tais que f é contínua em cada um deles e possui um limite nas extremidades de cada sub intervalo.

2.2. Definição: Uma função f definida para t ≥ 0 e dita de ordem exponencial, se existe uma constante real α e duas constantes positivas, c e M, tais que , para t ≥ c.

3. Teorema da existência da Transformada de Laplace

Se uma função f definida em [0,∞) é continua por partes em [0,∞) e de ordem exponencial em relação a , então a existe para todo s > α.

Exemplo 1: Visto que , s > 2 e , pela linearidade , s > 2

Exercício: Calcule a Transformada de Laplace de Solução:

, respectivamente ,

Suponha que f seja diferenciável e sua Transformada de Laplace exista para

4. Teorema da Derivada s > a onde a é constante e que a derivada f’ seja continua por partes em [0,∞). Então a Transformada de Laplace da derivada existe para s > a e .

Demonstração: Lembrando a integração por partes, na definição

, para

Então:

Ou seja então usando o teorema anterior.

Algumas Propriedades Propriedade 1: Se então Demonstração:

Exemplo 1:

Então: e

Exemplo 2: Qual a Transformada de Laplace de Solução:

Propriedade 2: Seja Demonstração:

Exemplo 1: Qual a Transformada de Laplace de Solução:

Exemplo 2: Qual a Transformada de Laplace de Solução:

Então:

5. Cálculo da Transformada Inversa

Então

Exercício 1: Que função tem Transformada de Laplace Solução:

Exercício 2: Que função tem Transformada de Laplace Solução:

Exercício 3: Que função tem Transformada de Laplace Solução:

6. Resolução da equação diferencial de ordem com P.V.I

Sejam Y(s) e F(s), as transformadas de Laplace dos membros da equação diferencial

Exemplo:

7. Matlab Os comandos laplace e ilaplace estão contidos no pacote Symbolic Toolbox

1. Para calcular a Transformada de Laplace da função , usa-se o comando syms para definir o objeto simbólico t e em seguida aplique laplace como se segue.

2. Para calcular a Transformada Inversa da função

3. Calcular a equação diferencial de ordem com valor inicial (P.V.I) Etapa 1:

>> syms t >> laplace(t2 + sin(t)) ans = 2/s3 + 1/(s2 + 1)

>> syms s a >> ilaplace(1/(s – a) + (s2 – a2)/(s2 + a2)2) ans = exp(a*t)+ t*cos(a*t)

Etapa 2: Dado que y(0) = 1 e y’(0) = 0, temos Etapa 3:

TRANSFORMADA DE LAPLACE ELEMENTARES 1

Lista de Exercícios 1. Calcule a Transformada de Laplace das funções abaixo:

2. Calcule a Transformada de Laplace inversa das funções

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