Apostila Completa de Circuitos I

Apostila Completa de Circuitos I

CTC - Centro Tecnológico Disciplina de Circuitos Elétricos I

Professor: Patrick Kuo Peng

Colaboradores: Júlio Trevisan

Maurício Rigoni Willian Hamada

Florianópolis 2003

Sumário

Plano de Ensino3
Análise de circuitos: Uma visão geral4
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS5
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS10
CAPÍTULO I – CIRCUITOS RESISTIVOS17
CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS26
CAPÍTULO V – O AMPLIFICADOR OPERACIONAL53
CAPÍTULO 6 – INDUTORES E CAPACITORES64
CAPÍTULO VII – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS78
CAPÍTULO VIII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS93
CAPÍTULO IX – CIRCUITOS TRIFÁSICOS107

CAPÍTULO X – INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS DE SELEÇÃO DE FREQÜÊNCIAS _ 122

Plano de Ensino Circuitos Elétricos I

Capítulo I: Variáveis Elétricas

Capítulo I: Elementos dos circuitos

Capítulo I: Circuitos resistivos simples

Capítulo IV: Técnicas de análise de circuitos

Capítulo V: O amplificador operacional

Capítulo VI: Indutores e Capacitores

Capítulo VII: Análise de circuitos senoidais

Capítulo VIII: Potência em circuitos senoidais

Capítulo IX: Circuitos trifásicos Capítulo X: Respostas em freqüência

Análise de circuitos: Uma visão geral.

Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real.

Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e de seus componentes

Roteiro para análise de circuito:

• Identificar claramente os dados e o que é pedido. • Simplificar ou redesenhar o circuito.

• Escolher o método de análise mais simples.

• Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível.

6 VARIÁVEIS ELÉTRICAS

1. O Sistema Internacional de Unidades

• Unidades de base

Grandeza Unidade Símbolo

Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica Ampère A Temperatura Kelvin K Intensidade luminosa Candela cd

• Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos

Grandeza Nome / Símbolo Fórmula dimensional

Freqüência Hertz (Hz) s-1 Força Newton (N) kg.m/s2 Energia ou trabalho Joule (J) N.m Potência Watt (W) J/s Carga elétrica Coulomb (C) A.s Potencial elétrico Volt (V) W/A

Resistência elétrica Ohm (Ω) V/A Condutância elétrica Siemens (S) A/V Capacitância Farad (F) C/V Fluxo magnético Weber (Wb) V.s Indutância Henry (H) Wb/A

10-1210-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012
pico(p)nano(n) micro(μ) mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G)

• Principais múltiplos e submúltiplos das unidades Tera(T)

a) Cargas elétricas

2. Conceitos básicos de eletricidade

Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e elétrons→ carga negativa).

Átomos normalmente neutros ⇒N° de elétrons = N° de prótons.

Unidade da carga elétrica = coulomb (C) Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva. Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa.

• Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de condutores (cobre, alumínio, etc...).

• Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...).

b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons.

dt dqi = corrente elétrica em Ampère [A]

Relação de integral:

carga em Coulomb tempo em segundos [s]

c) Tensão elétrica ou diferença de potencial : Energia usada para mover uma unidade de carga através do elemento.

d) Potencia e energia: • Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo.

• Energia dttitqtq t dq dWv =

Energia em Joule [J]

Carga em Coulomb [C] Tensão em Volt [V] dt dWp=

Potência em Watt [W] Energia em Joule [J]

Tempo em segundos [s] vidt dqvdt dttitvtwtwdttptw t

9 • Convenção de sinais

Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência

CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS

1 Elementos dos circuitos

I. Introdução

Os circuitos podem ter 5 elementos básicos:

• Fontes de tensão; • Fontes de corrente;

• Resistores;

• Indutores;

• Capacitores.

I. Fontes ideais de tensão e de corrente

Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica Existem 2 categorias de fontes:

• Fontes independentes e • Fontes dependentes (fontes controladas).

1. Fontes independentes

• Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i.

• Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v.

B 12V

B 12V i [A] v [V] 12

Característica tensão/corrente Símbolos ou

2. Fontes dependentes ou controladas

Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito.

• Fonte de tensão controlada por tensão

• Fonte de tensão controlada por corrente

• Fonte de corrente controlada por corrente v [V] i [A] 5

Característica tensão/corrente A

B 5A

Símbolo

13 • Fonte de corrente controlada por tensão

I. Resistência elétrica (Lei de Ohm)

1. Resistência elétrica

Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou especificamente a circulação das cargas.

Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica.

2. Lei de Ohm

Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num resistor linear é utilizando a convenção passiva, esta lei pode ser escrita da seguinte forma:

S l

R l⋅= ρ R – resistência (Ω) ρ - resistividade do material (m⋅Ω) l- comprimento (m)

S – seção transversal (2m)

Símbolo

∗ Condutância

Gvv R vi === 1 ; R G1= (condutância em mho ou S (siemens) )

∗ Potência num resistor

Outras expressões usuais: GvGiR vP 2

∗ Observações

Curto-circuito⇔resistência nula⇔tensão nula independente da corrente.

i ou

Ora, Riv=.

Circuito aberto⇔resistência infinita⇔corrente nula, independente da tensão.

IV. Leis de Kirchhoff

1. Definições

Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito.

Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando no nó de partida.

Malha: laço que não contém nenhum outro por dentro.

Exemplo:

2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK)

“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre nula”

n ni1

⇔ Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindo do nó.

R1 I

• 4 nós • 3 laços

• 2 malhas

Convenção

Corrente entrando no nó, atribuir sinal + Corrente saindo do nó, atribuir sinal -

3. Lei de Kirchhoff para tensões

“A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre nula”.

n nv1

Convenção

Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão com o primeiro sinal encontrado.

Exemplo:

E1 R1 R2

1. Resistores em série Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos.

2. Resistores em paralelo Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão.

n n n

)(

V 1R 2R nR

⇔ V eqR

Observação:

eq n n n neq neq

G ou

+++=

V 1R 2R nR ⇔ V eqR

I I 1I 2I nI

3. Associação de fontes 3.1. Fontes de tensão em série

3.2. Fontes de Tensão em paralelo

Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.

3.3. Fontes de corrente em série

Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o mesmo valor.

3.4. Fontes de corrente em paralelo

4. Divisão de tensão

De maneira geral

G VGV+=ou

2 5. O circuito divisor de corrente

ou

Mais geral

VRV +++=

e I R RRV ..

ou

1 R 2RI

1 I 2I V nR

R RRRI eq

6. Transformação Δ→Υ ou Υ→Δ

Resistência equivalente entre A e B

(1)

Resistência equivalente entre B e C

(2)

Resistência equivalente entre A e C

(3)

Transformação Υ → Δ

R...++=

CAPÍTULO 4 – TÉCNICAS

Técnicas de Análise de Circuitos

I. Definições

Ramo: caminho que liga 2 nós.

Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de cruzem.

Exemplo: Circuitos planares

Circuito não planar

I. Método das tensões de nó (análise nodal)

É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK).

Incógnitas são tensões. No de tensões incógnitas = No de nós – 1 .

Roteiro: a. Converter as resistências em condutâncias; b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão incógnita (tensão de nó); d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as correntes saindo do nó (por convenção); e. Resolver o sistema de equações.

1. Fontes do circuito: só fontes de corrente a. Só fontes de corrente independentes

Nó 1

ABV A BGii

()ABA BiG V G V V= =−

2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes) a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência

Nó 1

b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência

Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó (supernó) ⇔curtocircuitar nós 2 e 3.

Problema: não se conhece a corrente aI na fonte de tensão

Cada fonte de tensão ligada ao nó de referência diminui o número de tensões incógnitas em 1 unidade

I. Método das correntes de malha (análise de malha)

É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK).

Incógnitas são correntes. No de incógnitas = No de correntes de malha .

x i

V V iA

Roteiro: a. Converter as condutâncias em resistências; b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; c. Aplicar a LTK em cada malha; d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha.

1. Fontes do circuito: só fontes de tensão a. Só fontes de tensão independentes

Correntes de ramo, em função das correntes de malha:

iI iI iI iI I iI I

b. Incluindo também fontes de tensão controladas

Malha 1

Mas iI VR I R I I

Usando correntes de ramos, temos 3 incógnitas e 2 equações.

2 equações, 2 incógnitas

3 malhas⇒3 correntes incógnitas

1

2RV1RV 2 malhas⇒2 correntes incógnitas

2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente a. Cada uma das fontes de corrente pertence a uma única malha Calcular a potência na fonte de tensão:

Potência na fonte de tensão:

⇒Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o número de incógnitas em 1 unidade.

3 malhas⇒3 incógnitas

Do circuito, obtém-se imediatamente 15IA= e b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha Calcular 1V:

Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha⇒2 incógnitas apenas.

Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente (1v não é incógnita principal do sistema).

Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT na supermalha.

3 malhas⇒3 incógnitas supermalha

36 IV. Análise nodal ou análise de malhas? a) Simplificar o circuito, b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo.

Análise Nodal Análise de Malha

Incógnitas Tensões de nó Correntes de malha

Número de incógnitas Número de nós –1 Número de malhas

Critério para reduzir o número de incógnitas

Fonte de tensão ligada ao nó de referência

Fonte de corrente que pertence a uma única corrente de malha

Caso especial Fonte de tensão não ligada ao nó de referência ⇒ aplicar conceito de supernó

Fonte de corrente que pertence a duas correntes e

malha⇒ aplicar

conceito de supermalha

Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele.

O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor número de equações.

Exemplo 1 Determinar a potência na fonte de tensão controlada

Exemplo 2

Determinar 1V e 2V. Ω4

39 V. Transformações de fontes

1. Fonte real de tensão

LsVLVVRI=− 2. Fonte real de corrente

L sL I I IV R

Modelo Característica tensão-corrente sI LV b

IR fonte real fonte ideal de correnteLI

VR sV LV fonte real fonte ideal de tensão

Característica tensão-corrente Modelo

3. Equivalência de fontes

Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente ou vice-versa.

• Fonte de tensão Æ fonte de corrente

VR sV LV s R VI =

• Fonte de corrente fonte de tensão

VR sIs IRV = LV

LR⇒sI b

Observações:

• A equivalência deve valer para qualquer valor de IR.

• A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão equivalente.

VI. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton

1. Circuito equivalente de Thèvenin

A. Objetivo

Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

b LV

Onde

THV é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada. THR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinação de THV e THR: 1o método

THV: desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b)

CCi: curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito no sentido (a) Æ (b)

TH i VR=

42 Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin

cargaR

C. Determinação de THR e THV: 2o método

Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dos terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes.

b THV

Rede linear

Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com valor TI nos dois circuitos, as tensões abVnos dois circuitos devem ser equivalentes.

Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que

Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é invertida, b THV

Rede linear ABV TI ABV TI abTVXIY=+ (1) abTHTTHVRIV=+ (2)

b THV

ABV TIRede linear

ab TH T THVR I V=− + THTH R XVY

45 Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin.

cargaR

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes a cargaRRede linear

• Determinação de THV: desconectar a carga e determinar a tensão vista dos terminais (a) e (b).

• Determinação de THR: desconectar a carga e determinar a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes independentes em repouso.

Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga LR. a

b LRΩ6

2. Circuito equivalente de Norton

A. Objetivo

Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer.

Rede linear b LV

Onde: NI é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito; NR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b).

B. Determinação de NR e NI: 1o método Idem primeiro do Thèvenin:

CCNiI=

N i VR=

C. Determinação de NR e NI: 2o método

De (1) e (2) ⇒ XRN1= e YIN=

Rede linear abI TV b NI NR abI TV abTIXVY=+ (1)1 ab T N I VIR

D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes

Determinação de NR: idem a THR

Determinação de NI: desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b).

Exemplo: a

b LRΩ6

E. Determinação de NR e NI: 3o método A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes.

b TH b LRTHV

VII. Transferência máxima de potência Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer.

LRRede linear LR

⇒ Determinar LRde tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima: 2

Maximizar LRP ⇔ 0=LRdR dP L ⇔ THLRR=

Então THTH THTH

THmáxR RV R

VRP L 4

Rendimento

Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de potência

4 THTHV R

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