Espaço vetorial

Espaço vetorial

Espaço Vetorial

Vetores no Plano

Iremos considera apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem, denominados vetores no plano. É importante notar que vetores no plano são determinados exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem. Assim, para cada ponto do plano P(a, b), está associado um único vetor v = OP e, reciprocamente, dado um vetor, associamos um único ponto do plano, que é o seu ponto final. Isto é, a correspondência entre pontos do plano e vetores é biunívoca.

Usando esta correspondência entre vetores e pontos do plano, costumamos representar um vetor v = OP pelas coordenadas do seu ponto final P(a, b).

Usamos a notação da matriz-coluna v = a , ou mesmo a identificação

b

v = (a, b). Por exemplo, v = 1

3 ou v = (1, 3). Observe que, desde modo, à origem do plano ficará associado um vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com esta. Denominamos tal vetor ( que é só um ponto) de vetor nulo, e este será representado por ( 0, 0).

O oposto de um vetor v = OP é o vetor w = OQ, que tem o mesmo comprimento e direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a, b), então

W = (- a, - b) e, por essa razão, denotamos w = - v.

Operações com Vetores no Plano

  1. Multiplicação de um vetor por um numero.

A multiplicação de vetor por numero corresponde à multiplicação da matriz-linha (ou coluna) por esse numero. Assim, se v = (a, b) e w = kV, então w = (ka, kb).

b) Adição de dois Vetores.

Alguns vetores motivaram a definição formal de soma de dois vetores no plano. Se v = (a, b), w = (c, d), então o vetor soma será v + w = (a + c, b + d). Observe que somar vetores corresponde simplesmente a somar as matrizes que os representam. As operações entre vetores herdam, portanto, todas as propriedades das operações correspondentes para matrizes.

Vetores no Espaço

Da mesma forma que fizemos no plano, podemos considerar vetores no espaço. Teremos então um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas, perpendiculares duas a duas, e, uma vez fixada um unidade de comprimento, cada ponto P do espaço estará identificado com a terna de numero reais (x, y, z), que dá suas coordenadas.

Operações com Vetores no Espaço

A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um numero (escalar) também são definidos da mesma forma que no plano.

Propriedades:

  1. ( u + v) + w = u + ( v + w)

  2. u + v = v + u

  3. Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)

  4. Existe –u Є V tal que u + ( -u) = 0.

  5. a( u + v) = au + av

  6. (a + b)v = av + bv

  7. (ab)v = a(bv)

  8. lu = u

Espaços vetoriais

Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V x V V, e multiplicação por escalar, R x V V, tais que , para quaisquer u, v, w, Є V e a, b Є R, as propriedades i) a viii) sejam satisfeitas.

Se na definição acima, ao invés de termos como escalares, números reais, tivermos números complexos, V será um espaço complexo.

Subespaços vetoriais

Definição: Dado um espaço vetorial V, um sobeconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

  1. Para quaisqueru, v ЄW tivermos u + v ЄW.

  2. Para quaisquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.

Podemos fazer três observações:

  1. As condições da definição acima garantem que ao operarmos em w ( soma e multiplicação por escalar), não obteremos um vetor fora de W. Isto é suficiente para afirmar que W é ele próprio um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades de (i) a (viii) de espaço vetorial, porque elas são válidas em V, que contém W.

  2. Qualquer subespaço W e V precisa necessariamente conter o vetor nulo ( por causa da condição (ii) quando a = 0).

  3. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços ( que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo ( verifique (i) e (ii)) e o próprio espaço vetorial.

Combinação Linear

É uma das características mais importantes de um espaço vetorial, que é a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados.

Dependência e Independência Linear

Em álgebra Linear, é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação linear de outros. O espaço gerado por v1, v2, v3 é o mesmo que o espaço gerado por v1 e v2. A razão disso é que v3 é um vetor “supérfluo’ para descrever o subespaço, pois é uma combinação linear de v1 e v2. No caso geral, dados os vetores v1, v2, …… , vn, queremos saber se não existem vetores “supérfluos”, isto é, se algum desses vetores não é uma combinação linear dos outros. Para chegarmos a uma conclusão, precisamos começar definindo dependência e independência linear.

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