Limites e Derivadas

Limites e Derivadas

É uma função definida em cada numero de algum intervalo aberto que contem a, exceto ele mesmo. O limite f(x) conforme x se aproxima de a é L, escrito por:

limx->a c = c • LIMITE IDENTIDADE:

limx->a x = a • LIMITE DA SOMA E DA DIFERENÇA:

Se limx->a f(x) = L e limx->a g(x) = M então: limx->a [f(x) + ou – g(x)] = L + M

Se limx->a f(x) = L e limx->a g(x) = M então: limx->a [f(x) . g(x)] = L . M

Se limx->a f(x) = L e n é qualquer numero inteiro positivo, então: limx->a [f(x)]n = Ln

Se limx->a f(x) = L e limx->a g(x) = M então: limx->a f(x)/g(x) = L/M se M≠0

Se n é um numero inteiro positivo e limx->a f(x) = L, então: limx->a nxf)(= nL

O limx->a f(x) existe e é igual a L se, e somente se, limx->a- f(x) e limx->a+ f(x) existem e são iguais a L.

LIMITES QUE CRESCEM/DECRESCEM PARA O INFINITO Se r é qualquer numero inteiro positivo, então:

1 = - ∞ se r é impar e + ∞ se r é par

Se a é qualquer numero real e se limx->a f(x) = 0 e limx->a f(x) = c, onde c é uma constante diferente de 0, então:

(I) se c > 0 e f(x)→0 atraves por valores positivos de f(x), então:

xf xg = + ∞

(I) se c > 0 e f(x)→0 atraves por valores negativos de f(x), então:

xf xg = - ∞

(I) se c < 0 e f(x)→0 através por valores positivos de f(x), então:

xf xg = - ∞

(IV) se c < 0 e f(x)→0 através por valores negativos de f(x), então:

xf xg = + ∞

Se limx->a f(x) = +∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então: limx->a [f(x) + g(x)] = + ∞

Se limx->a f(x) = -∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então: limx->a [f(x) + g(x)] = - ∞

Se limx->a f(x) = + ∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então:

Se limx->a f(x) = -∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então:

A reta x = a é uma assíntota vertical se ao menos um dos seguintes enunciados é verdadeiro:

(I)limx->a+ f(x) = + ∞

Se diz que a função é continua no numero a se, e somente se, se satisfazem as três seguintes condições: (I) f(a) existe

(I) limx->a f(x) existe

(I) limx->a f(x) = f(a) Se uma dessas tres condições não se cumprem em a, então diz-se que a função f é descontinua em a.

Se f e g são duas funções continuas no numero a, então:

(I) f + g é continua em a (I) f - g é continua em a (I) f . g é continua em a f é continua em a, sendo g(a)≠0

Uma função polinomial é contínua em todos os números

Uma função racional é continua em todos os números de seu domínio

Se n é um numero inteiro positivo e:

f(x) = nL então:

(I) se n é impar, então f é continua em todos os números (I) se n é par, então f é continua em todos os números positivos

Se limx->a g(x) = b e se a função f é continua em b, então: limx->a f(g(x)) = f(limx->a g(x))

Se a função g é contínua em a e a função f é continua em g(a), então a função composta f(g(x)) é continua em a

Se limx->a f(x) = L e se limx->a g(x) = M então:

xf= M

L se M≠0

Suponha que as funções f, g, e h estao definidas para algum intervalo aberto I que contem a, e que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em I para qual x≠a.

Também suponha que limx->a f(x) e limx->a h(x) existem e são iguais a L. Então limx->a g(x) existe e é igual a L.

A função seno é continua em 0. A função cosseno é continua em 0. As funções seno e cosseno são continuas em cada numero real. A função tangente, cotangente, secante e cossecante são continuas em seus domínios.

RETA TANGENTE NUM PONTO ESPECÍFICO Primeiro encontra-se o coeficiente angular m:

x xfxxf ∆

Então, com esse coeficiente angular, achar a equação da reta, com os pontos dados no exercício.

RETA NORMAL É uma reta perpendicular ao ponto em que a reta intercepta a curva x xfxxf ∆

Suponha que a função f é continua em x1. A reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x1, f x1) é: (I) a reta que passa por P e tem coeficiente angular m(x1), dado por:

x xfxxf ∆

(I) a reta x = x1

Se uma função f é diferenciável em um numero x1, então f é continua em x1.

f é contínua em x1 f não é uma reta vertical em x1 f tem uma mudança brusca de módulo em x1 x xfxf − x xfxf −

= lim

f(x) = c f (x) = 0

• DERIVADA DA POTÊNCIA (potências inteiras positivas)

• A derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas se estas derivadas existirem.

h(x) = f(x)g(x)  h (x) = f(x) g (x) + g(x) f (x)

• DERIVADA DA POTENCIA I (potências inteiras negativas) f (x) = -nx1−−n

• DX(sen x) = cos x • DX(cos x) = -sen x

• DX(tg x) = sec² x

• DX(cotg x) = - cossec² x

• DX(sec x) = sec x . tg x

• DX(cossec x) = -cossec x . cotg x

• DX(arcsenx)=

• DX(arccos)=

• DX(arccotg)=

• DX(arccosec)=

Se f é a função potencia definida por f(x) = xr, onde r é qualquer numero racional, então f é diferenciável e:

para obter f(0) a partir desta formula, r deve ser um numero tal que x1−r está definido em algum intervalo aberto que contenha 0

Se f e g são duas funções tais que f(x) = [g(x)]r, onde r é qualquer numero racional e se g(x) existe, então f é diferenciável, e:

A função f tem um valor máximo/mínimo em um intervalo se existe numero c no intervalo tal que f(c)≥ f(x) para todo x do intervalo. O numero f(c) é o valor absoluto de f no intervalo. Procedimentos para resolução de exercício:

(I) Determine os valores da função nos números críticos de f em (a,b). (I) Determine os valores de f(a) e f(b). (I) O maior dos valores determinados nos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto, e o menor dos valores é o valor mínimo absoluto.

TEOREMA DE ROLLE Se f é uma função tal que:

(I) é contínua no intervalo fechado [a,b] (I) é diferenciável no intervalo aberto (a,b) (I) f(a) = 0 e f(b) = 0 então existe um numero c no intervalo aberto (a,b) tal que: f(c) = 0

TEOREMA DO VALOR MÉDIO Se f é uma função tal que:

(I) é contínua no intervalo fechado [a,b] (I) é diferenciável no intervalo aberto (a,b) então existe um numero c no intervalo aberto (a,b) tal que:

afbf cf

Para determinar os extremos relativos de f:

(I) calcule f(x) (I) determine os números críticos de f, os valores para os quais f(x) = 0 e para quais f(x) não existe.

(I) a) se f(x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo direito, e se f(x) < 0 para todos os valores de x de algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo esquerdo, então f tem um valor máximo relativo em c; b) se f(x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo direito, e se f(x) > 0 para todos os valores de x de algum intervalo aberto que contenha c como seu extremo esquerdo, então f tem um valor mínimo relativo em c;

DEFINIÇÃO DE CONCAVIDADE PARA CIMA Se diz que o gráfico de uma função tem a concavidade para cima no ponto (c,f(c)) se todos os pontos estão acima da reta tangente do ponto de inflexão

DEFINIÇÃO DE CONCAVIDADE PARA BAIXO Se diz que o gráfico de uma função tem a concavidade para baixo no ponto (c,f(c)) se todos os pontos estão abaixo da reta tangente do ponto de inflexão

Se f é uma função que é diferenciável em algum intervalo aberto que contem c, então:

(I) se f(c) > 0, o gráfico de f tem uma concavidade para cima no ponto (c,f(c)) (I) se f(c) < 0, o gráfico de f tem uma concavidade para baixo (c,f(c))

REGRA DE L’HÔSPITAL Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g(x) ≠ 0 próximo a a (exceto possivelmente em a). Suponha que

limx->a f(x)=0e limx->a g(x)=0
ou quelimx->a f(x)=± ∞ e limx->a g(x)=± ∞

(Ou seja, temos uma forma indeterminada do tipo 0/0 ou ∞/∞). Então

Se o limite do lado direito existir (ou é ∞ ou -∞)

PHYSICS ACT (http://physicsact.wordpress.com)

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