Matemática Ensino Médio

Matemática Ensino Médio

(Parte 1 de 8)

A Função Y = Ax + B3
Equação de 2º Grau6
A Matemática e o Dinheiro16
A Trigonometria do Triângulo Retângulo17
O Coeficiente Angular21
Resolvendo Problemas com Logarítomo26
Progressão Aritmética36
Somando os Temos de uma Progressão Aritmética41
Progressão geométrica43
Matrizes47
Combinação59
Equação exponencial60
Matemática Comercial e Financeira63
Bibliografia69

Introdução 2 ÍNDICE

Por que estudar matemática? Para que ela serve? Certamente você já se fez essa pergunta. A matemática está muito mais presente em sua vida, no seu dia-a-dia, do que você pensa. Em todas as atividades humanas, das mais simples às mais sofisticadas, usa-se matemática.

Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Quando lemos no pacote de macarrão: Cozinhar em 1 litro de água fervente para cada 100 gramas de massa, estamos lidando com uma informação que contém matemática.

Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática. É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática o mais importante é o raciocínio.

Esta apostila foi feita para que você se prepare para os exames do provão. E o resultado que esperamos é a sua aprovação. Mas lembre-se, muito mais que o certificado de conclusão do ensino médio, vai valer o que você realmente aprendeu. É isto, e não um diploma, que vai lhe ajudar a passar num concurso para emprego e a resolver muitas outras situações do cotidiano.

Sendo a forma equacionada da função de 1 grau a equação y = ax + b e que o seu gráfico é sempre uma reta, temos que observar alguns valores que modificam o sentido desta reta é o que iremos descobrir logo a seguir.

1) Se a = 0, a nossa equação fica com a forma y = b e passaremos a chamá – la de função constante. Seu gráfico é uma reta horizontal. Veja :

by = b

Se a 0, a expressão y = ax + b chama – se função do primeiro grau, Ainda, se a>0 ( a positivo ) ela é uma função crescente ; se a < 0 ( a negativo ) , ela é uma função decrescente, como mostram os gráficos :

Yy
a > 0a < 0
xx

FUNÇÕES DO 1º GRAU

Vamos aprender agora um pouco mais sobre a função do 1º grau, que é a única cujo gráfico é uma reta. Inicialmente precisamos rever o gráfico da função do 1ºgrau.Como construí–lo ?

Y = 1 x + 1 2

Atribuímos a x dois valores quaisquer e calculamos os valores correspondentes de y. Na tabela a seguir, fizemos x = 0 e x = 4. Os valores de y foram calculados, os pontos marcados no plano cartesiano e o gráfico construído .

xy
01 3 -
43

Agora, precisamos fazer o contrário. Dados dois pontos de uma função do 1º grau, como proceder para descobrir uma fórmula que a represente ? Acompanhe o exemplo a seguir.

EXEMPLO Descobrir a função do 1º grau que contém os pontos (3,9 ) e (5,13) . Solução: A função do 1º grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expressão os dois dados.

Substituindo ( 3,9 ) 9 = a . 3 + b Substituindo (5 , 13 ) 13 = a . 5 + b

Organizando essas equações, temos um sistema : 3a + b = 9 5a + b = 13 Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar :

2a = 4a = 2

Substituindo a = 2 na primeira equação temos - 3 . 2 + b = -9 b = - 9 + 6 b = 3 Logo a função procurada e y = 2.x + 3

A raiz da função y = ax + b é o valor de x que torna y igual a zero. Por isso esse valor de x também e chamado de zero da função. Vamos calcular, por exemplo a raiz ( ou o zero ) da função y = 2x – 3 Fazendo y = 0 , temos

2x= 3

2x – 3 = 0 x = 3 2

O valor x = 3 é a raiz ( ou o zero ) função y = 2x – 3 Como você vê no gráfico abaixo, a 2 raiz da função é o ponto onde a reta corta o eixo dos x.

y y = 2x - 3

3x
- 3raiz
escala americana com a que usamos aqui:

No Brasil, as temperaturas são medidas em graus Celsius. Nos Estados Unidos, elas são medidas em outra escala : em graus Farenheit. Um técnico está trabalhando com um motor americano e as temperaturas de funcionamento estão nesta escala, que ele desconhece. Felizmente, existe uma fórmula que permite relacionar a

Y = 5x – 160 9

onde:y é a temperatura em graus Celsius ( ºC )

x é a temperatura em graus Farenheit ( º F )

Como e o gráfico dessa função ? Solução : Para fazer o gráfico de uma função do 1º grau, necessitamos de dois pontos quaisquer . Vamos escolher y = 0, que é a temperatura em que a água congela, e y = 100, que é a temperatura em que a água ferve:

y = 05x – 160 = 0

9 5x – 160 = 0 5x = 160 x = 160 = 32 5

y = 1005x – 160 = 100

5x – 160 = 900 5x = 1.060 1.060 = 212 5

Observe então a tabela e o gráfico

xy y(º C )
320 100
212100
32212 x (ºF)

veja que o zero ( ou raiz ) de função y = 5x - 160 é x = 32: Observe que, na escala Farenheit, a água congela a 32ºF e ferve a 212 ºF.

EXERCÍCIO 1 Faça o gráfico da função y = 0,4x + 2

EXERCÍCIO 2 Determine a função do 1ª grau que contém os pontos : a) ( 1, -3 ) e ( 6, 7 ); b) (1, 3 ) e ( 5, - 1).

EXERCÍCIO 3 Na função da temperatura que mostramos no Exemplo acima, qual é o coeficiente angular ?

b) quantas UTs o taxímetro marca em uma corrida de 20 Km

EXERCÍCIO 4 O taxímetro determina o preço da corrida em unidades taximétricas ( Uts). Estas são depois convertidas em reais e a tabela de conversão é diferente em cada cidade. O taxímetro parte de um valor de UTs para casa quilômetro rodado. Vicente fez várias corridas de táxi. Verificou que, percorridos 3 Km, o taxímetro marcou 3 UTs; percorridos 8 Km, o taxímetro marcou 5 UTs. Seja x o número de quilômetros percorridos e y o número de UTs marcado, determine: a) y em função de x,

EQUAÇÕES DE 2º GRAU

Chama-se equação de 2º grau com uma variável toda equação que pode ser colocada na forma : ax2 + bx + c = 0 , onde x é variável e a, b e c são coeficientes. A equação ax2 + bx + c ( a 0 ) , é chamada equação incompleta quando b = 0 ou c = 0 , ou ambos são nulos .

1) 2x2 – 5x = 0( c = 0 )
2) x2 – 9 = 0( b = 0 )
3) 3x2 = 0( b = 0 e c = 0 )
Exemplo: Resolver fatorando

1º Caso : Equações da forma ax2 + bx = 0 X2 – 4x = 0 X (x – 4 ) = 0 X = 0 ou X – 4 = 0 V = {0,4}

x = ± 81=> x = ± 9 v { - 9 , 9 }

Nesse caso, uma das raízes é sempre zero. 2º Caso : Equações da forma ax2 + c = 0 Exemplo : Resolver as equações: 1) x2 – 81 = 0 x2 = 81

x2 = 28

2) 7x2 – 28 =0 7x2 = 28 7 x2 = 4 x = + √4 x = + 2 x = { -2 , 2 }

x = + √-16x R

A resolução de uma equação completa do 2ºgrau pode ser obtida pela fórmula de Báskara. = b2 – 4ac discriminante da equação.

Se 0 , podemos escrever : x= -b

Se < 0 , a equação não admite raízes reais.

Exemplo:

Resolver as equações: 1) x2 + 8x +12 = 0 Solução:

Temos a = 1 , b = 8 e c= 12 Calculando o valor de : = b2 – 4ac

x = -b ±
x = - 8 ± 4 = -8 ± 42
2 . 12

As raízes da equação são x1 = -2 e x2 = - 6 V = { - 6 , - 2 }

2 ) (x – 1 )2 = x + 5 x2 – 2x + 1 = x + 5 x2 – 2x – x + 1 – 5 = 0 x2 – 3x – 4 = 0 a = 1, b = - 3 c = - 4

= b2 – 4 a c = ( - 3 ) 2 – 4 . 1 . (-4 )

= 9 + 16

Substituindo na fórmula :

X = - b ±√ 2 a

x = - ( - 3 )± √25 = 3 ±5x1 = 3 + 5 = 8 = 4
21 2 2 2
22

x2 = 3 – 5 = - 2 = - 1 V = { - 1 , 4 }

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