derivadas e suas aplicacões

derivadas e suas aplicacões

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1. Introdução.

O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônicos utilizaram tabelas de quadrado e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções.

A Matemática recebe assim um grande impulso a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar e determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções já definidas por relações entre variáveis.

Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto, para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.

Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido. Só no séc. XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da ciência.

2. A Reta Tangente e a Derivada. 2.1 – Reta Tangente. Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. Limites do tipo

ocorrem de modo natural tanto na geometria como na física.

Consideremos, por exemplo, o problema de definir a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Evidentemente, tal reta deve passar pelo ponto (p, f(p)); assim a reta tangente fica determinada se dissermos qual deve ser seu coeficiente angular. Consideremos, então, a reta ݏ௫ que passa pelos pontos (p, f(p)) e (x, f(x), conforme figura 2.1.

Figura 2.1 – Reta Secante ao gráfico de ݂.

Quando x tende a p, o coeficiente angular de ݏ௫ tende a f’(p), onde

Observe que f’(p) (leia: f linha de p) é apenas uma notação para indicar o valor do limite acima. Assim à medida que x vai se aproximando de p, a reta ݏ௫ vai tendendo para a posição da reta T da equação

ݕ−݂(݌)=݂′(݌)(ݔ−݌)(1)

f sx

Figura 2.2 – Reta Tangente ao gráfico de ݂.

É natural, então, definir a reta tangente em (p, f(p)) como sendo a reta de equação (1).

Suponhamos, agora, que s=f(t) seja a equação horária do movimento de uma partícula vinculada a uma reta orientada na qual se escolheu uma origem. Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a abscissa ocupada pela partícula na reta. A velocidade média

da partícula entre os instantes ݐ଴ e t é definida pelo quociente ௙(௧)ି ௙(௧బ)
A velocidade (instantânea) da partícula no instante ݐ଴ é definida como sendo o limitev(t଴)=lim ௧→௧బ

Esses exemplos são suficientes para levar-nos a estudar de modo puramente abstrato as propriedades do limite

2.2 - Derivada de uma Função.

Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite lim ௫→௣ quando existe e é finito, denomina-se derivada de f em p e indica-se por f’ (p) (leia: f linha de p).

Assim,݂′(݌)=lim

Se f admite derivada em p, então diremos que f é derivável ou diferenciável em p.

Dizemos que f é derivável ou diferenciável em A ⊂ ܦ௙ se f for derivável em cada p ∈ A. Diremos simplesmente, que f é uma função derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto de seu domínio.

xxy p

Observação: Segue das propriedades dos limites que

Assim,

Conforme vimos na introdução a reta de equação ݕ−݂(ݕ)=݂′(݌)(ݔ−݌)é, por definição,a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)). Assim, a derivada de f em p, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p.

Exemplos.

1 - Seja f(x) = ݔଶ. Calcule:

Assim, f’(1) = 2. (A derivada de f(x) = ݔଶ, em p=1, é igual a 2.).

Como (ݔ+ℎ)ଶ−ݔଶℎ =2ݔℎ+ ℎଶℎ

݂′(ݔ)= lim௛→଴
Portanto,

f(x) = ݔଶ⟹ f’(x)=2x. Observe que f’(x) = 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f(x) = ݔଶ, em todo

a) (1, f(1))b) (-1, f(-1)).

2 - Seja f(x) = ݔଶ. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto: Solução:

Assim y = 2x –1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ݔଶ, no ponto (1 , f(1)).

b) A equação da reta tangente em (−1, f(−1)) é y – f(−1) = f’(−1) (x-(−1)) ou
f’(p) = 2p ⟹f’ (−1)substituindo esses valores na equação vem
Figura 2.3 – gráfico das retas tangentes de ݂ nos pontos (1, ݂(1)) e (−1,(݂(−1))

3 - Seja f(x) = k uma função constante. Mostre que f’(x) = 0 para todo o x. (A derivada de uma constante é zero).

Solução:

Como f(x) = k para todo x, resulta f (x + h) = k para todo x e todo h, assim

4 – Calcule a derivada de f(x) = ݔଷ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y =ݔଷ no ponto x = -1. Qual é a equação da reta tangente nesse ponto?

Solução:

A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (c, f(x)) é dada por ݉௧௔௡ = f’(c). De acordo com a definição de derivada,

Nesse caso, a inclinação da reta tangente à curva y =ݔଷ no ponto x = -1 é f’ (-1) = 3(−1)ଶ = 3.

Para determinar a equação da reta tangente, precisamos também da coordenada y do ponto de tangencia, y=(−1)ଷ= -1. Assim, a reta tangente passa pelo ponto (-1, -1) com inclinação três. Usando a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, temos:

5 - Encontre a equação da reta normal à curva y =√ݔ−3 que seja paralela à reta 6x + 3y – 4 = 0.

Solução:

Seja a reta dada. Para encontrarmos a declividade de, escrevermos sua equação na forma reduzida, que é y =− ݀݋݅ݏݔ+ସଷ . Portanto, a declividade de ݂ é −2, e a declividade da reta normal procurada também é −2, pois suas retas são paralelas.

Para encontrarmos a declividade da reta tangente à curva dada em qualquer (ݔଵ,ݕଵ),

aplicamos a fórmula ݊(ݔଵ)=lim Δ௫→଴

Com f(x) = √ݔ−3 obtemos

Para calcularmos esse limite, racionalizamos o numerador.

Dividindo numerador e denominador por Δݔ, desde Δݔ≠0, obtemos ݊(ݔଵ)=lim Δ௫→଴ 1

Conforme mostramos acima, a declividade da reta procurada é -2. Assim, resolvemos a equação −2ඥݔଵ−3 = -2 resultando ݔଵ=4. Portanto, A reta procurada é a reta que passa pelo ponto (4, 1) sobre a curva e tem uma declividade –2. Usando a forma ponto-declividade da equação da reta obtemos y –1 = −2(x−4) ou 2x + y −9=0.

Veja a figura 2.4, que mostra um esboço da curva junto com a reta normal PN em (4, 1) e a reta tangente PT em (4,1).

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