Apostila geogebra

Apostila geogebra

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Ajuda GeoGebra 3.0 Última alteração na versão original: Outubro 1, 2007

Autores Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Preiner, judith@geogebra.org

Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, pontopi@gmail.com Última alteração: Outubro 14, 2007

GeoGebra Online Website: w.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html

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1. O que é o GeoGebra?5
2. Exemplos6
2.1. Triângulo e Ângulos6
2.2. Equação Linear y = m x + b6
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C7
2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:38
Incógnitas8
2.6. Tangente ao Gráfico de uma Função9
2.7. Investigação de Funções Polinomiais10
2.8. Integrais10
3. Janela Geométrica1
3.1. Notas Gerais1
3.1.1. Menu de Contexto1
3.1.2. Exibir e Esconder1
3.1.3. Traço12
3.1.4. Zoom12
3.1.5. Razão Entre Eixos12
3.1.6. Protocolo de Construção12
3.1.7. Barra de Navegação13
3.1.8. Redefinir13
3.1.9. Diálogo de Propriedades13
3.2. Modos14
3.2.1. Modos Gerais14
3.2.2. Ponto16
3.2.3. Vector17
3.2.4. Segmento17
3.2.5. Semirecta18
3.2.6. Polígono18
3.2.7. Recta18
3.2.8. Cónica20
3.2.9. Arco e Sector20
3.2.10. Número e Ângulo21
3.2.1. Booleano2
3.2.12. Lugar Geométrico2
3.2.13. Transformações Geométricas23

Conteúdos 2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Pág. 2 de 73

3.2.15. Imagens25
3.2.16. Propriedades das Imagens26
4. Entrada Algébrica28
4.1. Notas Gerais28
4.1.1. Alterar Valores28
4.1.2. Animação28
4.2. Entrada Directa29
4.2.1. Números e Ângulos29
4.2.2. Pontos e Vectores30
4.2.3. Recta30
4.2.4. Cónica31
4.2.5. Função de x31
4.2.6. Listas de Objectos32
4.2.7. Operações Aritméticas32
4.2.8. Variáveis Booleanas34
4.2.9. Operações Booleanas34
4.3. Comandos35
4.3.1. Comandos Gerais35
4.3.2. Comandos Booleanos35
4.3.3. Número36
4.3.4. Ângulo38
4.3.5. Ponto39
4.3.6. Vector41
4.3.7. Segmento42
4.3.8. Semirecta42
4.3.9. Polígono42
4.3.10. Recta42
4.3.1. Cónica4
4.3.12. Função45
4.3.13. Curvas Paramétricas46
4.3.14. Arco e Sector46
4.3.15. Imagem48
4.3.16. Texto48
4.3.17. Locus48
4.3.18. Sequência48
4.3.19. Transformações Geométricas49
5. Imprimir e Exportar51
5.1. Imprimir51
5.1.1. Zona Gráfica51
5.1.3. Zona Gráfica como Imagem52
5.2. Zona Gráfica / Área de Transferência53
5.3. Protocolo de Construção / Página Web53
5.4. Folha Dinâmica como Página Web54
6. Opções56
6.1. Captura de Pontos56
6.2. Unidade de Ângulo56
6.3. Casas Decimais56
6.4. Continuidade56
6.5. Estilo do Ponto56
6.6. Estilo do Ângulo Recto57
6.7. Coordenadas57
6.8. Rotular57
6.9. Tamanho da Fonte57
6.10. Idioma57
6.1. Zona Gráfica57
6.12. Gravar Configurações57
7. Ferramentas58
7.1. Ferramentas Definidas pelo Utilizador58
7.2. Configurar Caixa de Feramentas59
8. Interface JavaScript59
8.1. Exemplos59
8.2. Métodos utilizáveis61
8.2.1. Linha de Comando61
8.2.2. Definir o estado de um objecto61
8.2.3. Conhecer o estado de um objecto62
8.2.4. Construção / Interface utilizador63
8.2.5. Comunicação GeoGebra / JavaScript64
8.2.6. Formato XML do GeoGebra6
Índice68

1. O que é o GeoGebra?

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University.

Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente.

Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos.

Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.

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2. Exemplos

Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos ver alguns exemplos.

2.1. Triângulo e Ângulos

Seleccione o modo Novo ponto na barra de ferramentas. Clique na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo.

Depois, seleccione o modo Polígono e clique sucessivamente nos pontos A, B, C e outra vez em A. Na janela algébrica pode ver o número correspondente à área do triângulo. Para obter os ângulos internos do triângulo deve seleccionar o

modo Ângulo na barra de ferramentas e clicar sobre o triângulo.

Agora, escolha o modo Mover e arraste os vértices do triângulo. Se não necessitar da janela de álgebra nem dos eixos coordenados esconda-os, usando o menu Exibir.

2.2. Equação Linear y = m x + b

Vamos ver o significado de m e de b na equação y = mx + b , variando os valores para m e de b. Para tal, podemos introduzir as seguintes linhas no campo de entrada de comandos, situado na base da janela, e pressionar a tecla Enter no fim de cada linha: m = 1 b = 2 y = m x + b

Agora podemos mudar m e b usando o campo de entrada ou directamente na janela de álgebra, dando um clique em m e b com

o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) e seleccionando

Redefinir. Experimente os seguintes valores para m e b: m = 2 m = -3 b = 0 b = -1

Também pode mudar m e b facilmente, usando:

• as teclas de movimento (setas) (veja Animação);

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• selectores: clique com o botão direito (MacOS: Maçã +

clique) em m ou em b e seleccione Exibir / esconder objecto (veja também o modo Selector);

De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas: • elipses: x2/a2 + y2/b2 = 1

• hipérboles: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2

• circunferências: (x - m)2 + (y - n)2 = r2

2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C

Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de entrada e pressionando Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1)

B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = PontoMédio[B, C] M_b = PontoMédio[A, C] s_a = Recta[A, M_a] s_b = Recta[B, M_b] S = Intersecção[s_a, s_b]

Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas. Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3 , seguido de Enter, e compare os resultados usando o comando Relação[S, S1].

Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de

A, B, e C. Pode fazer isto seleccionando o modo Mover com o rato e arrastando os pontos.

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2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3

Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada e pressione a tecla Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1)

B = (3, 3) s = Segmento[A, B] T = A + 7/10 (B - A)

Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser: A = (-2, 1)

B = (3, 3) s = Segmento[A, B] v = Vector[A, B] T = A + 7/10 v

Em seguida podemos introduzir um número t, usando, por exemplo, o modo Selector e então redefinir T da maneira

seguinte: T = A + t v (veja Redefinir). Variando t, pode ver o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v.

2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Incógnitas

Duas equações lineares em x e y podem ser representadas graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersecção[g, h]

Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato

(MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar Redefinir. Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas

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