GeoGebra é um software de matemática que reúne geometria, álgebra e cálculo. O seu autor é o...

Apostila geogebra
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Ajuda GeoGebra 3.0 Última alteração na versão original: Outubro 1, 2007
Autores Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Preiner, judith@geogebra.org
Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, pontopi@gmail.com Última alteração: Outubro 14, 2007
GeoGebra Online Website: w.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html
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1. O que é o GeoGebra? | 5 |
2. Exemplos | 6 |
2.1. Triângulo e Ângulos | 6 |
2.2. Equação Linear y = m x + b | 6 |
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C | 7 |
2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3 | 8 |
Incógnitas | 8 |
2.6. Tangente ao Gráfico de uma Função | 9 |
2.7. Investigação de Funções Polinomiais | 10 |
2.8. Integrais | 10 |
3. Janela Geométrica | 1 |
3.1. Notas Gerais | 1 |
3.1.1. Menu de Contexto | 1 |
3.1.2. Exibir e Esconder | 1 |
3.1.3. Traço | 12 |
3.1.4. Zoom | 12 |
3.1.5. Razão Entre Eixos | 12 |
3.1.6. Protocolo de Construção | 12 |
3.1.7. Barra de Navegação | 13 |
3.1.8. Redefinir | 13 |
3.1.9. Diálogo de Propriedades | 13 |
3.2. Modos | 14 |
3.2.1. Modos Gerais | 14 |
3.2.2. Ponto | 16 |
3.2.3. Vector | 17 |
3.2.4. Segmento | 17 |
3.2.5. Semirecta | 18 |
3.2.6. Polígono | 18 |
3.2.7. Recta | 18 |
3.2.8. Cónica | 20 |
3.2.9. Arco e Sector | 20 |
3.2.10. Número e Ângulo | 21 |
3.2.1. Booleano | 2 |
3.2.12. Lugar Geométrico | 2 |
3.2.13. Transformações Geométricas | 23 |
Conteúdos 2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Pág. 2 de 73
3.2.15. Imagens | 25 |
3.2.16. Propriedades das Imagens | 26 |
4. Entrada Algébrica | 28 |
4.1. Notas Gerais | 28 |
4.1.1. Alterar Valores | 28 |
4.1.2. Animação | 28 |
4.2. Entrada Directa | 29 |
4.2.1. Números e Ângulos | 29 |
4.2.2. Pontos e Vectores | 30 |
4.2.3. Recta | 30 |
4.2.4. Cónica | 31 |
4.2.5. Função de x | 31 |
4.2.6. Listas de Objectos | 32 |
4.2.7. Operações Aritméticas | 32 |
4.2.8. Variáveis Booleanas | 34 |
4.2.9. Operações Booleanas | 34 |
4.3. Comandos | 35 |
4.3.1. Comandos Gerais | 35 |
4.3.2. Comandos Booleanos | 35 |
4.3.3. Número | 36 |
4.3.4. Ângulo | 38 |
4.3.5. Ponto | 39 |
4.3.6. Vector | 41 |
4.3.7. Segmento | 42 |
4.3.8. Semirecta | 42 |
4.3.9. Polígono | 42 |
4.3.10. Recta | 42 |
4.3.1. Cónica | 4 |
4.3.12. Função | 45 |
4.3.13. Curvas Paramétricas | 46 |
4.3.14. Arco e Sector | 46 |
4.3.15. Imagem | 48 |
4.3.16. Texto | 48 |
4.3.17. Locus | 48 |
4.3.18. Sequência | 48 |
4.3.19. Transformações Geométricas | 49 |
5. Imprimir e Exportar | 51 |
5.1. Imprimir | 51 |
5.1.1. Zona Gráfica | 51 |

5.1.3. Zona Gráfica como Imagem | 52 |
5.2. Zona Gráfica / Área de Transferência | 53 |
5.3. Protocolo de Construção / Página Web | 53 |
5.4. Folha Dinâmica como Página Web | 54 |
6. Opções | 56 |
6.1. Captura de Pontos | 56 |
6.2. Unidade de Ângulo | 56 |
6.3. Casas Decimais | 56 |
6.4. Continuidade | 56 |
6.5. Estilo do Ponto | 56 |
6.6. Estilo do Ângulo Recto | 57 |
6.7. Coordenadas | 57 |
6.8. Rotular | 57 |
6.9. Tamanho da Fonte | 57 |
6.10. Idioma | 57 |
6.1. Zona Gráfica | 57 |
6.12. Gravar Configurações | 57 |
7. Ferramentas | 58 |
7.1. Ferramentas Definidas pelo Utilizador | 58 |
7.2. Configurar Caixa de Feramentas | 59 |
8. Interface JavaScript | 59 |
8.1. Exemplos | 59 |
8.2. Métodos utilizáveis | 61 |
8.2.1. Linha de Comando | 61 |
8.2.2. Definir o estado de um objecto | 61 |
8.2.3. Conhecer o estado de um objecto | 62 |
8.2.4. Construção / Interface utilizador | 63 |
8.2.5. Comunicação GeoGebra / JavaScript | 64 |
8.2.6. Formato XML do GeoGebra | 6 |
Índice | 68 |

1. O que é o GeoGebra?
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University.
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente.
Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos.
Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.
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2. Exemplos
Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos ver alguns exemplos.
2.1. Triângulo e Ângulos

Seleccione o modo Novo ponto na barra de ferramentas. Clique na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo.
Depois, seleccione o modo Polígono e clique sucessivamente nos pontos A, B, C e outra vez em A. Na janela algébrica pode ver o número correspondente à área do triângulo. Para obter os ângulos internos do triângulo deve seleccionar o
modo Ângulo na barra de ferramentas e clicar sobre o triângulo.
Agora, escolha o modo Mover e arraste os vértices do triângulo. Se não necessitar da janela de álgebra nem dos eixos coordenados esconda-os, usando o menu Exibir.
2.2. Equação Linear y = m x + b
Vamos ver o significado de m e de b na equação y = mx + b , variando os valores para m e de b. Para tal, podemos introduzir as seguintes linhas no campo de entrada de comandos, situado na base da janela, e pressionar a tecla Enter no fim de cada linha: m = 1 b = 2 y = m x + b
Agora podemos mudar m e b usando o campo de entrada ou directamente na janela de álgebra, dando um clique em m e b com
o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) e seleccionando
Redefinir. Experimente os seguintes valores para m e b: m = 2 m = -3 b = 0 b = -1
Também pode mudar m e b facilmente, usando:
• as teclas de movimento (setas) (veja Animação);
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• selectores: clique com o botão direito (MacOS: Maçã +
clique) em m ou em b e seleccione Exibir / esconder objecto (veja também o modo Selector);
De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas: • elipses: x2/a2 + y2/b2 = 1
• hipérboles: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2
• circunferências: (x - m)2 + (y - n)2 = r2
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C
Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de entrada e pressionando Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1)
B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = PontoMédio[B, C] M_b = PontoMédio[A, C] s_a = Recta[A, M_a] s_b = Recta[B, M_b] S = Intersecção[s_a, s_b]
Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas. Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3 , seguido de Enter, e compare os resultados usando o comando Relação[S, S1].
Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de
A, B, e C. Pode fazer isto seleccionando o modo Mover com o rato e arrastando os pontos.
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2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3
Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada e pressione a tecla Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1)
B = (3, 3) s = Segmento[A, B] T = A + 7/10 (B - A)
Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser: A = (-2, 1)
B = (3, 3) s = Segmento[A, B] v = Vector[A, B] T = A + 7/10 v
Em seguida podemos introduzir um número t, usando, por exemplo, o modo Selector e então redefinir T da maneira
seguinte: T = A + t v (veja Redefinir). Variando t, pode ver o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v.
2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Incógnitas
Duas equações lineares em x e y podem ser representadas graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersecção[g, h]
Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato
(MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar Redefinir. Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas
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