Apostila geogebra

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Ajuda GeoGebra 3.0 Última alteração na versão original: Outubro 1, 2007

Autores Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Preiner, judith@geogebra.org

Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro, pontopi@gmail.com Última alteração: Outubro 14, 2007

GeoGebra Online Website: w.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html

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1. O que é o GeoGebra?	5
2. Exemplos	6
2.1. Triângulo e Ângulos	6
2.2. Equação Linear y = m x + b	6
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C	7
2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3	8

Incógnitas	8
2.6. Tangente ao Gráfico de uma Função	9
2.7. Investigação de Funções Polinomiais	10
2.8. Integrais	10
3. Janela Geométrica	1
3.1. Notas Gerais	1
3.1.1. Menu de Contexto	1
3.1.2. Exibir e Esconder	1
3.1.3. Traço	12
3.1.4. Zoom	12
3.1.5. Razão Entre Eixos	12
3.1.6. Protocolo de Construção	12
3.1.7. Barra de Navegação	13
3.1.8. Redefinir	13
3.1.9. Diálogo de Propriedades	13
3.2. Modos	14
3.2.1. Modos Gerais	14
3.2.2. Ponto	16
3.2.3. Vector	17
3.2.4. Segmento	17
3.2.5. Semirecta	18
3.2.6. Polígono	18
3.2.7. Recta	18
3.2.8. Cónica	20
3.2.9. Arco e Sector	20
3.2.10. Número e Ângulo	21
3.2.1. Booleano	2
3.2.12. Lugar Geométrico	2
3.2.13. Transformações Geométricas	23

Conteúdos 2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Pág. 2 de 73

3.2.15. Imagens	25
3.2.16. Propriedades das Imagens	26
4. Entrada Algébrica	28
4.1. Notas Gerais	28
4.1.1. Alterar Valores	28
4.1.2. Animação	28
4.2. Entrada Directa	29
4.2.1. Números e Ângulos	29
4.2.2. Pontos e Vectores	30
4.2.3. Recta	30
4.2.4. Cónica	31
4.2.5. Função de x	31
4.2.6. Listas de Objectos	32
4.2.7. Operações Aritméticas	32
4.2.8. Variáveis Booleanas	34
4.2.9. Operações Booleanas	34
4.3. Comandos	35
4.3.1. Comandos Gerais	35
4.3.2. Comandos Booleanos	35
4.3.3. Número	36
4.3.4. Ângulo	38
4.3.5. Ponto	39
4.3.6. Vector	41
4.3.7. Segmento	42
4.3.8. Semirecta	42
4.3.9. Polígono	42
4.3.10. Recta	42
4.3.1. Cónica	4
4.3.12. Função	45
4.3.13. Curvas Paramétricas	46
4.3.14. Arco e Sector	46
4.3.15. Imagem	48
4.3.16. Texto	48
4.3.17. Locus	48
4.3.18. Sequência	48
4.3.19. Transformações Geométricas	49
5. Imprimir e Exportar	51
5.1. Imprimir	51
5.1.1. Zona Gráfica	51

5.1.3. Zona Gráfica como Imagem	52
5.2. Zona Gráfica / Área de Transferência	53
5.3. Protocolo de Construção / Página Web	53
5.4. Folha Dinâmica como Página Web	54
6. Opções	56
6.1. Captura de Pontos	56
6.2. Unidade de Ângulo	56
6.3. Casas Decimais	56
6.4. Continuidade	56
6.5. Estilo do Ponto	56
6.6. Estilo do Ângulo Recto	57
6.7. Coordenadas	57
6.8. Rotular	57
6.9. Tamanho da Fonte	57
6.10. Idioma	57
6.1. Zona Gráfica	57
6.12. Gravar Configurações	57
7. Ferramentas	58
7.1. Ferramentas Definidas pelo Utilizador	58
7.2. Configurar Caixa de Feramentas	59
8. Interface JavaScript	59
8.1. Exemplos	59
8.2. Métodos utilizáveis	61
8.2.1. Linha de Comando	61
8.2.2. Definir o estado de um objecto	61
8.2.3. Conhecer o estado de um objecto	62
8.2.4. Construção / Interface utilizador	63
8.2.5. Comunicação GeoGebra / JavaScript	64
8.2.6. Formato XML do GeoGebra	6
Índice	68

1. O que é o GeoGebra?

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana Florida Atlantic University.

Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados dinamicamente.

Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos. Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou extremos.

Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.

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2. Exemplos

Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos ver alguns exemplos.

2.1. Triângulo e Ângulos

Seleccione o modo Novo ponto na barra de ferramentas. Clique na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo.

Depois, seleccione o modo Polígono e clique sucessivamente nos pontos A, B, C e outra vez em A. Na janela algébrica pode ver o número correspondente à área do triângulo. Para obter os ângulos internos do triângulo deve seleccionar o

modo Ângulo na barra de ferramentas e clicar sobre o triângulo.

Agora, escolha o modo Mover e arraste os vértices do triângulo. Se não necessitar da janela de álgebra nem dos eixos coordenados esconda-os, usando o menu Exibir.

2.2. Equação Linear y = m x + b

Vamos ver o significado de m e de b na equação y = mx + b , variando os valores para m e de b. Para tal, podemos introduzir as seguintes linhas no campo de entrada de comandos, situado na base da janela, e pressionar a tecla Enter no fim de cada linha: m = 1 b = 2 y = m x + b

Agora podemos mudar m e b usando o campo de entrada ou directamente na janela de álgebra, dando um clique em m e b com

o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) e seleccionando

Redefinir. Experimente os seguintes valores para m e b: m = 2 m = -3 b = 0 b = -1

Também pode mudar m e b facilmente, usando:

• as teclas de movimento (setas) (veja Animação);

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• selectores: clique com o botão direito (MacOS: Maçã +

clique) em m ou em b e seleccione Exibir / esconder objecto (veja também o modo Selector);

De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas: • elipses: x2/a2 + y2/b2 = 1

• hipérboles: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2

• circunferências: (x - m)2 + (y - n)2 = r2

2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C

Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de entrada e pressionando Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1)

B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = PontoMédio[B, C] M_b = PontoMédio[A, C] s_a = Recta[A, M_a] s_b = Recta[B, M_b] S = Intersecção[s_a, s_b]

Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas. Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3 , seguido de Enter, e compare os resultados usando o comando Relação[S, S1].

Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de

A, B, e C. Pode fazer isto seleccionando o modo Mover com o rato e arrastando os pontos.

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2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3

Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada e pressione a tecla Enter no fim de cada linha: A = (-2, 1)

B = (3, 3) s = Segmento[A, B] T = A + 7/10 (B - A)

Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser: A = (-2, 1)

B = (3, 3) s = Segmento[A, B] v = Vector[A, B] T = A + 7/10 v

Em seguida podemos introduzir um número t, usando, por exemplo, o modo Selector e então redefinir T da maneira

seguinte: T = A + t v (veja Redefinir). Variando t, pode ver o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v.

2.5. Sistema de Duas Equações Lineares com Duas Incógnitas

Duas equações lineares em x e y podem ser representadas graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha: g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersecção[g, h]

Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato

(MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar Redefinir. Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas

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