Algebra Linear - Notas de Aula

Algebra Linear - Notas de Aula

(Parte 1 de 3)

Algebra Linear Sergio Luıs Zani

Sumario

1.1 Introducao e Exemplos7
1.2 Propriedades12
1.3 Exercıcios13

1 Espacos Vetoriais 7

2.1 Introducao e Exemplos15
2.2 Intersecao e Soma de Subespacos17
2.3 Exercıcios20

2 Subespacos Vetoriais 15

3.1 Introducao e Exemplos23
3.2 Geradores24
3.3 Exercıcios27

3 Combinacoes Lineares 23

4.1 Introducao e Exemplos31
4.2 Propriedades34
4.3 Exercıcios35

4 Dependencia Linear 31

5.1 Base37
5.2 Dimensao38
5.3 Dimensao de Soma de Subespacos Vetoriais41
5.4 Coordenadas45
5.5 Exercıcios47

5 Base, Dimensao e Coordenadas 37 3

4 SUMARIO

6.1 Introducao, Exemplos e Propriedades51
6.2 Exercıcios56

6 Mudanca de Base 51 7 Exercıcios Resolvidos – Uma Revisao 59

8.1 Introducao e Exemplos71
8.2 O Espaco Vetorial L (U, V )73
8.3 Imagem e Nucleo79
8.4 Isomorfismo e Automorfismo85
8.5 Matriz de uma Transformacao Linear87
8.5.1 Definicao e Exemplos87
8.5.2 Propriedades89
8.6 Exercıcios Resolvidos93
8.7 Exercıcios97

8 Transformacoes Lineares 71

9.1 Definicao, Exemplos e Generalidades105
9.2 Polinomio Caracterıstico1
9.3 Exercıcios114

9 Autovalores e Autovetores 105

10.1 Definicao e Caracterizacao115
10.2 Exercıcios123
1.1 Exercıcio131

1 Forma Canonica de Jordan 125

12.1 Produto Interno133
12.2 Norma136
12.3 Distancia138
12.4 Angulo139
12.5 Ortogonalidade140
12.6 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt145
12.8 Isometria150
12.9 Operador Auto-adjunto153

6 SUMARIO 6 SUMARIO

Capıtulo 1 Espacos Vetoriais

1.1 Introducao e Exemplos

Neste capıtulo introduziremos o conceito de espaco vetorial que sera usado em todo o decorrer do curso.

Porem, antes de apresentarmos a definicao de espaco vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funcoes f : R → R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais que denotaremos por Mm(R), ou simplesmente, por Mm. A soma de duas funcoes f e g de F(R) e definida como sendo a funcao f + g ∈

Note tambem que se λ ∈ R podemos multiplicar a funcao f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento de F(R).

Com relacao a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij)n×n e B = (bij)n×n, colocando A + B = (aij + bij)n×n, que e um elemento de Mn.

Com a relacao a multiplicacao de A = (aij)n×n por um escalar λ ∈ R, e natural definirmos λA = (λaij)n×n, o qual tambem pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adicao de seus elementos e multiplicacao de seus elementos por escalares, tem comum? Vejamos:

Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos numeros reais que, com relacao a quaisquer funcoes f,g e h em F(R) e para todo λ,µ ∈ R, sao validos os seguintes resultados:

8 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

Agora, com relacao a quaisquer matrizes A,B e C em Mm e para todo λ,µ ∈ R, tambem sao validos os seguintes resultados:

Podemos ver que tanto o conjuntos das funcoes definidas na reta a valores reais como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicacao por escalares adequadas apresentam propriedades algebricas comuns. Na verdade muitos outros conjuntos munidos de operacoes apropriadas apresentam propriedades semelhantes as acima. E por isso que ao inves de estudarmos cada um separadamente estudaremos um conjunto arbitrario e nao vazio, V, sobre o qual supomos estar definidas uma operacao de adicao, isto e, para cada u,v ∈ V existe um unico elemento de V associado, chamado

1.1. INTRODUC AO E EXEMPLOS 9 a soma entre u e v e denotado por u + v, e uma multiplicacao por escalar, isto e, para cada u ∈ V e λ ∈ R existe um unico elemento de V associado, chamado de o produto de u pelo escalar λ e denotado por λu.

Definicao 1.1 Diremos que um conjunto V como acima munido de uma adicao e de uma multiplicacao por escalar e um espaco vetorial se para quaisquer u,v e w em V e para todo λ,µ ∈ R sao validas as seguintes propriedades:

EV1 u + v = v + u para quaisquer u,v ∈ V ;

EV2 u + (v + w) = (u + v) + w para quaisquer u,v,w ∈ V ; EV3 existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V ; EV4 para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0; EV5 λ(µu) = (λµ)u para quaisquer u ∈ V e λ,µ ∈ R; EV6 (λ + µ)u = λu + µu para quaisquer u ∈ V EV7 λ(u + v) = λu + λv para quaisquer u,v ∈ V e λ ∈ R; EV8 1u = u para qualquer u ∈ V.

Observacao 1.2 O elemento 0 na propriedade EV3 e unico, pois qualquer outro 0′ ∈ V satisfazendo a mesma propriedade EV3 entao, pelas propriedades EV3 e EV1 terıamos 0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0, isto e, 0 = 0′.

Observacao 1.3 Em um espaco vetorial, pela propriedade EV4, para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. Na verdade, para cada u ∈ V existe somente um elemento v ∈ V com esta propriedade. De fato, dado u ∈ V se v e v′ em V sao tais que u+v = 0 e u + v′ = 0 entao, combinando estas equacoes com as propriedades EV1,EV2 e EV3, obtemos v = v +0 = v +(u+v′) = (v +u)+v′ = (u+v)+v′ = 0+v′ = v′, isto e v = v′. Denotaremos v por −u e u − v por u + (−v).

Observacao 1.4 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas a operacao de adicao e sao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade associatividade, existencia do elemento neutro e existencia do elemento inverso.

A quinta e a oitava propriedades sao exclusivas da multiplicacao por escalar e tambem podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicacao, respectivamente.

10 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

A sexta e a setima propriedades relacionam as duas operacoes e sao ambas conhecidas por distributividade.

Um outro exemplo de espaco vetorial, alem dos dois apresentados no inıcio do texto, e o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analıtica munido da adicao e da multiplicacao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definicao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referencia aos elementos de V independentemente de serem ou nao vetores.

Talvez o exemplo mais simples de espaco vetorial seja o conjunto dos numeros reais com a adicao e multiplicacao usuais. Mais geralmente, para cada n ∈ N, podemos transformar o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros reais, Rn, em um espaco vetorial definindo a adicao de duas n-uplas ordenadas, x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn), adicionando-se coordenada a coordenada, isto e,

E uma rotina bem simples verificar que desse modo Rn e um espaco vetorial. Deixamos como exercıcio esta tarefa. Verifique tambem que os seguintes exemplos sao espacos vetoriais.

1. Sejam n ∈ N e V = Pn(R) o conjunto formado pelo polinomio nulo e por todos os polinomios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Definimos a adicao e a multiplicacao por escalar da seguinte maneira:

2. Sejam A ⊂ R e F(A;R) o conjunto de todas as funcoes f : A → R. Se f,g ∈

1.1. INTRODUC AO E EXEMPLOS 1

3. O conjunto das funcoes contınuas definidas num intervalo I ⊂ R munido das operacoes de adicao e multiplicacao usuais (como aquelas definidas em F(I;R)). Notacao: C(I;R).

4. O conjunto das funcoes com derivadas contınuas ate ordem k ∈ N, (k e fixo) definidas num intervalo aberto I ⊂ R munido das operacoes de adicao e multiplicacao usuais (como aquelas definidas em F(I;R)). Notacao: Cn(I;R).

5. O conjunto das matrizes m por n com coeficientes reais: Mm×n(R) munido de operacoes analogas aquelas definidas em Mn(R).

Os espacos vetoriais acima envolvem operacoes com as quais voce ja deve estar familiarizado. O proximo exemplo e um pouco mais sofisticado do que os anteriores e por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremos V = (0,∞), o semi-eixo positivo da reta real. Este conjunto quando agregado as operacoes usuais de soma e multiplicacao nao e um espaco vetorial, visto que nao possui elemento neutro para a adicao. No entanto, se para x,y ∈ V e λ ∈ R, definirmos a soma entre x e y por x ¢ y = xy, (o produto usual entre x e y) e o produto de x pelo escalar λ como λ ¡ x = xλ, entao V se torna um espaco vetorial. De fato, verifiquemos uma a uma as oito propriedades:

1. x,y ∈ V temos x ¢ y = xy = yx = y ¢ x para quaisquer x,y ∈ V ;

3. se x ∈ V entao, como 1 ∈ V, temos 1 ¢ x = 1x = x; observe que neste caso, 1 e o elemento neutro da adicao, o qual denotaremos por o;

12 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

1.2 Propriedades

Das oito propriedades que definem um espaco vetorial podemos concluir varias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte

Proposicao 1.5 Seja V um espaco vetorial. Temos 1. Para qualquer λ ∈ R, λ0 = 0.

Prova:

A prova dos outros resultados e deixada como exercıcio.

1.3 Exercıcios

Ex. 1.6 Verifique se em cada um dos itens o conjunto V com as operacoes indicadas e um espaco vetorial sobre R.

b a

5. V = P(R) = { polinomios com coeficientes reais }, operacoes usuais de funcoes.

14 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS 14 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

Capıtulo 2 Subespacos Vetoriais

2.1 Introducao e Exemplos

Definicao 2.1 Seja V um espaco vetorial. Dizemos que W ⊂ V e um subespaco vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condicoes:

SV2 Se u,v ∈ W entao u + v ∈ W; SV3 Se u ∈ W entao λu ∈ W para todo λ ∈ R.

Observacao 2.2 Note que todo subespaco vetorial W de um espaco vetorial V e ele proprio um espaco vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e EV8 sao herdadas do proprio espaco vetorial V. O elemento neutro da adicao e um elemento de W por SV1. Finalmente, se u ∈ W entao −u = (−1)u ∈ W pelo item 4 da proposicao 1.5 e por SV3.

Observacao 2.3 Obviamente {0} e V sao subespacos vetoriais do espaco vetorial V. Sao chamados de subespacos vetoriais triviais.

Observacao 2.4 Note que W e subespaco vetorial de V se e somente se sao validas as seguintes condicoes:

16 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Vejamos alguns outros exemplos:

Verifiquemos que P∗ n e, de fato, um subespaco vetorial de Pn.

Exemplo 2.6 Verifiquemos que S = {(x,y,z) ∈ R3;x + y + z = 0} e um subespaco vetorial de R3.

Exemplo 2.7 Considere o seguinte conjunto S = {y ∈ C2(R;R);y′′ − y = 0} onde y′′ representa a derivada de segunda ordem de y. Verifiquemos que S e um subespaco vetorial de C2(R;R).

Deixamos como exercıcio a verificacao de que os seguintes exemplos sao subespacos vetoriais dos respectivos espacos vetoriais.

2.2. INTERSEC AO E SOMA DE SUBESPACOS 17

Exemplo 2.9 O conjunto das funcoes contınuas da reta na reta, C(R;R), e um subespaco vetorial de F(R).

Exemplo 2.10 O conjunto das funcoes f ∈ C([a,b];R) tais que ∫ b subespaco vetorial de C([a,b];R).

Exemplo 2.1 O conjunto das matrizes simetricas quadradas de ordem m com coeficientes reais e um subespaco vetorial de Mm(R).

Exemplo 2.12 Sejam m,n ∈ N com m ≤ n. Entao Pm e um subespaco de Pn.

2.2 Intersecao e Soma de Subespacos

Proposicao 2.13 (Intersecao de subespacos) Sejam U e W subespacos vetoriais de V. Entao U ∩ W e subespaco vetorial de V.

Observacao 2.14 Note que o subespaco V ∩ W esta, obviamente, contido em ambos subespacos: U e V.

Se U e W sao subespacos vetoriais de um espaco vetorial V e V ′ e um subespaco de

V que contenha U e W, isto e, U ∪ W ⊂ V ′ entao V ′ tera que conter todos os vetores da forma u + w, u ∈ U e w ∈ W. Isto motiva a seguinte

Definicao 2.15 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Definimos a soma de U e W como U +W = {u+w;u ∈ U,w ∈ W}.

18 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Proposicao 2.16 (Soma de subespacos) Sejam U,W e V como na definicao acima. Entao U + W e um subespaco vetorial de V. Alem do mais, U ∪ W ⊂ U + W.

Prova: Verifiquemos que U + W e subespaco vetorial de V. 1. Como 0 ∈ U e 0 ∈ W entao 0 = 0+0 ∈ U +W;

Definicao 2.17 Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Dizemos que U +W e a soma direta de U e W se U ∩W = {0}. Neste caso usaremos a notacao U ⊕ W para representar U + W.

Observacao 2.18 Note que trivialmente {0} ⊂ U ∩ W se U e W sao subespacos vetoriais.

Proposicao 2.19 (Soma de subespacos) Sejam U e W subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Temos V = U ⊕ W se e somente se para cada v ∈ V existirem um unico u ∈ U e um unico w ∈ W satisfazendo v = u + w.

Prova: Suponha que V = U ⊕ W, isto e, V = U + W e U ∩ W = {0}. Entao, dado v ∈ V existem u ∈ U e w ∈ W satisfazendo v = u + w. Queremos mostrar que tal decomposicao e unica. Suponha que existam u′ ∈ U e w′ ∈ W tais que v = u′ + w′. Entao, u + w = u′ + w′, o que implica em u − u′ = w′ − w. Mas u − u′ ∈ U e w′ − w ∈ W e, portanto, u − u′ = w′ − w ∈ U ∩ W = {0}, ou seja u = u′ e w = w′.

Suponha agora que para cada v ∈ V existam um unico u ∈ U e um unico w ∈ W satisfazendo v = u + w. E claro que V = U + W. Resta mostrar que U ∩ W = {0}. Obviamente, 0 ∈ U ∩ W. Seja v ∈ U ∩ W, isto e, v ∈ U e v ∈ W. Entao, existem um unico u ∈ U e um unico w ∈ W satisfazendo v = u + w. Observe que v = u + w = (u + v) + (w − v) com u + v ∈ U e w − v ∈ W e, pela unicidade da decomposicao, devemos ter u = u + v e w = w − v, isto e, v = 0. Logo, U ∩ W = {0}.

Alternativamente, poderıamos supor a existencia de v 6= 0 em U ∩ W e daı obterıamos v = 2v −v = 4v −3v, duas decomposicoes distintas para v ja que 2v,4v ∈ U, 2v 6= 4v e −v,−3v ∈ W.

2.2. INTERSEC AO E SOMA DE SUBESPACOS 19

Note que W e de fato um subespaco vetorial de R3 pois W = {(x,y,z) ∈ R3;x = 0}∩

Se λ ∈ R entao

Finalmente, (0,0,0) ∈ W, o que conclui a prova de que W e um subespaco vetorial. Prosseguindo, dado (x,y,z) ∈ R3 podemos escrever

Definicao 2.21 Sejam U1,...,Un subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. A soma de U1 a Un e definida por

Definicao 2.2 Sejam U1,...,Un subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Dizemos que a soma de U1 a Un e uma soma direta se

Neste caso usaremos a notacao U1 ⊕ · ⊕ Un para denotar a soma de U1 a Un. Observacao 2.23 E obvio que

20 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Proposicao 2.24 Sejam U1,...,Un subespacos vetoriais de um espaco vetorial V. Entao V = U1⊕·⊕Un se e somente se para cada v ∈ V existe, para cada j = 1,...,n, um unico uj ∈ Uj tal que v = u1 + · + un.

Prova: A prova e analoga a da proposicao 2.19.

Assim, P2 = U1 +U2 +U3. Verifiquemos que a soma e direta.

2.3 Exercıcios

Ex. 2.26 Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e um subespaco vetorial do espaco vetorial V. Caso nao sejam especificadas, as operacoes sao as usuais.

Ex. 2.27 Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmacao e verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. isto e, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa.

1. Se W1 e W2 sao susbespacos de um espaco vetorial V entao W1∪W2 e subespaco de V.

2. Sejam W1 e W2 subespacos de um espaco vetorial V. Entao W1∪W2 e subespaco de V se, e somente se, W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1. (Sugestao: mostre que se W e subespaco de V e x0, y0 ∈ V sao tais que x0 ∈ W e y0 6∈ W entao x0 + y0 /∈ W e use-o.)

Ex. 2.28 Em cada item abaixo encontrar os subespacos U + W e U ∩ W, onde U, W sao subespacos do espaco vetorial V indicado.

Ex. 2.29 Verifique em cada um dos itens abaixo se V = U ⊕ W.

2 CAPITULO 2. SUBESPACOS VETORIAIS

Ex. 2.30 Em cada um dos itens abaixo, dado U subespaco de V , encontrar o subespaco suplementar de U, isto e, o subespaco W de V tal que V = U ⊕ W.

Capıtulo 3 Combinacoes Lineares

3.1 Introducao e Exemplos

Definicao 3.1 Sejam u1,...,un elementos de um espaco vetorial V. Dizemos que u e combinacao linear de u1,...,un se existirem numeros reais α1,...,αn tais que u = α1u1 + · + αnun

Precisamos encontrar numeros reais α,β e γ tais que p(x) = αq1(x)+βq2(x)+γq3(x). Ou seja, precisamos encontrar α,β e γ satisfazendo que e equivalente ao sistema

24 CAPITULO 3. COMBINAC OES LINEARES

3.2 Geradores

Definicao 3.4 Sejam V um espaco vetorial e S um subconjunto nao vazio de V. Usaremos o sımbolo [S] para denotar o conjunto de todas as combinacoes lineares dos ele-

Proposicao 3.5 Sejam V um espaco vetorial e S um subconjunto nao vazio de V. Entao [S] e um subespaco vetorial de V.

2. Se u, v ∈ [S] entao existem α1,, αn, β1, . . . , βm ∈ R e u1, . . . , un, v1, . . . ,

Definicao 3.6 Sejam S e V como acima. Diremos que [S] e o subespaco vetorial gerado por S. Os elementos de S sao chamados de geradores de [S]. Se S = {u1,...,un} tambem usaremos a notacao [S] = [u1,...,un].

Proposicao 3.7 Sejam S e T subconjuntos nao-vazios de um espaco vetorial V. Temos 1. S ⊂ [S];

Prova:

3. Pelo item 1 desta proposicao, [S] ⊂ [[S]]. Seja u ∈ [[S]]. Segue da definicao que u e uma combinacao linear de elementos de [S], mas como cada elemento de [S] e uma combinacao linear de elementos de S resulta que u e uma combinacao linear de elementos de S, ou seja, u ∈ [S];

(Parte 1 de 3)

Comentários