Baixe Apostila completa do cederj de Geometria plana II aula 05 e outras Notas de estudo em PDF para Geometria, somente na Docsity! Perpendicularidade e paralelismo MÓDULO 1 - AULA 5 Aula 5 – Perpendicularidade e paralelismo Objetivos • Introduzir os conceitos de perpendicularidade e de paralelismo. • Introduzir o quinto postulado de Euclides, ressaltando sua grande im- portância histórica e teórica. • Apresentar os primeiros resultados decorrentes do quinto postulado. Introdução Discutiremos nesta aula os importantes conceitos de perpendicularidade e paralelismo entre retas. Já vimos, na aula 1, que duas retas são paralelas quando não se inter- sectam. A seguir, veremos o que significa dizer que duas retas são perpendi- culares. Definição 12 Duas retas são ditas perpendiculares se elas se intersectam formando ângulos retos. (a) (b) Fig. 68: a) Retas paralelas. b) Retas perpendiculares. Observe o desenho abaixo. As retas são paralelas ou não? As retas são paralelas. Verifique com uma régua. Usando os resultados das aulas anteriores, é posśıvel provar as seguintes proposições: 55 CEDERJ Perpendicularidade e paralelismo Proposição 7 Dados uma reta r e um ponto P , existe uma única reta s perpendicular a r passando por P . s r P Fig. 69: Reta s perpendicular a r passando por P . Proposição 8 Dados uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma reta s paralela a r contendo P . s r P Fig. 70: Reta s paralela a r contendo P . As provas dessas proposições estão no Apêndice que aparece no final da aula, e você deve estudá-las num segundo momento, após ter dominado o uso destas proposições para resolver problemas. Observe a figura 71. s r P T Q Fig. 71: O ponto Q é o pé da perpendicular. O ponto Q é chamado de pé da perpendicular baixada do ponto P à reta r e o ponto T pertencente à reta s é chamado de reflexo do ponto P em relação à reta r, desde que PQ ≡ QT . CEDERJ 56 Perpendicularidade e paralelismo MÓDULO 1 - AULA 5 r s t A B C D F G Fig. 75: t é transversal às retas paralelas r e s. Provaremos que os ângulos ˆBAC e ˆABD são congruentes. Para isso, vamos supor que tal fato não aconteça, ou seja, que BÂC > AB̂D ou AB̂D > BÂC. Você sabia que... Nikolai I. Lobachevsky (1793-1856 d.C., Rússia) foi o primeiro a publicar um relato sobre Geometria não-euclidiana (1829). Seu trabalho atraiu pouca atenção quando apareceu porque foi publicado em russo e os russos que o leram fizeram severas cŕıticas. Em 1840, ele publicou um tratado em alemão, através do qual suas descobertas chegaram ao conhecimento de Gauss. Em uma carta a Schumacher, Gauss elogiou o trabalho de Lobachevsky, mas ao mesmo tempo reiterou sua prioridade nesse assunto. Lobachevsky não teve o merecido reconhecimento durante sua vida. De fato, em 1846 ele foi demitido da Universidade de Kazan, apesar dos vinte anos de notáveis serviços prestados como professor e administrador. Somente após a morte de Gauss (1855), quando suas correspondências foram publicadas, o mundo começou a reconhecer os trabalhos de Lobachevsky sobre Geometria não-euclidiana. Em qualquer caso, no semiplano determinado por t que contém C, traçamos a semi-reta −→ AE tal que ˆBAE ≡ ˆABD, como na figura 76. O lado esquerdo da figura 76 representa o caso BÂC > AB̂D, enquanto que o lado direito, o caso AB̂D > BÂC. r s t A B C D F G r s t A B C D F G E E Fig. 76: Proposição 10. As retas ←→ AE e s são cortadas por t de forma que os ângulos alternos internos ˆBAE e ˆABD são congruentes. Usando a proposição 9, conclúımos que ←→ AE é paralela a s, e portanto existem duas paralelas a s ( ←→ AE e r) passando pelo ponto A, o que contraria o Quinto Postulado de Euclides. Chegamos a essa contradição porque assumimos que BÂC não é congruente a AB̂D. Logo, devemos ter BÂC ≡ AB̂D. Q.E.D. O teorema a seguir é um dos mais utilizados da Geometria euclidiana. 59 CEDERJ Perpendicularidade e paralelismo Lei Angular de Tales A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180o. Prova: Seja ABC um triângulo e seja s a reta que passa por A e é paralela à reta ←→ BC, como na figura 77. A B C D E s Fig. 77: Reta s paralela à reta que contém os pontos B e C. Sobre s marque pontos D e E. Como a reta ←→ AB é transversal às retas paralelas s e ←→ BC, podemos concluir, a partir da proposição 10, que AB̂C ≡ DÂB. Analogamente, considerando a transversal ←→AC, podemos concluir que AĈB ≡ EÂC. Logo, AB̂C +BÂC + AĈB = DÂB +BÂC + EÂC = 180o Q.E.D. Você sabia que... Considerado o primeiro filósofo grego, introdutor da Geometria na Grécia. Como rico negociante de azeite da cidade de Mileto, litoral da Ásia Menor (atual Turquia), Tales percorreu inúmeras vezes o litoral do Mediterrâneo, entre 600 a.C. e 550 a.C., e conheceu as obras de vários matemáticos e astrônomos da região, principalmente no Egito. Ao aposentar-se, dedicou-se à Matemática e estabeleceu os primeiros postulados básicos da Geometria. É atribúıdo a ele o cálculo da altura de uma pirâmide a partir do comprimento de sua sombra, em determinado horário do dia e dependendo da posição do sol. Na Filosofia, Tales defendeu a existência de uma substância fundamental que dá origem ao movimento e à transformação da vida. Para ele, o prinćıpio de tudo é a água. “O morto resseca, enquanto os germes são úmidos, e os alimentos cheios de seiva”, ele dizia. Até Tales, todas as explicações sobre o Universo eram mitológicas. Consulte: http://www-groups.dcs. st-nd.ac.uk/~history/ Mathematicians/Tales.html Notas: 1) Como os ângulos internos de um triângulo equilátero têm todos a mesma medida, segue da Lei Angular de Tales que cada um deles mede 60o. 2) Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BC ≡ EF , B̂ ≡ Ê e  ≡ D̂, então ABC ≡ DEF . De fato, como Â+ B̂ + Ĉ = D̂ + Ê + F̂ = 180◦, então  ≡ D̂, B̂ ≡ Ê e Ĉ ≡ F̂ e estamos no caso A.L.A. de congruência, as vezes é referida como caso A.L.A◦. (lê-se ângulo, lado, ângulo oposto). CEDERJ 60 Perpendicularidade e paralelismo MÓDULO 1 - AULA 5 Resumo Nesta aula você aprendeu... • O que significa dizer que duas retas são paralelas ou perpendiculares. • Que só existe uma reta passando por um ponto e perpendicular a uma reta dada. • Que só existe uma reta passando por um ponto e paralela a uma reta dada. • Que ângulos alternos internos são congruentes. • Que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o. Exerćıcios 1. (PUC-SP, 1983) Considere a sentença: “Num plano, se duas retas são..........., então toda reta............... a uma delas é..........à outra” A alternativa que preenche corretamente as lacunas é: (a) Paralelas, perpendicular, paralela (b) Perpendiculares, paralela, paralela (c) Perpendiculares, perpendicular, perpendicular (d) Paralelas, paralela, perpendicular (e) Perpendiculares, paralela, perpendicular 2. (UFMG, 1992) Com base nos dados da figura 78, pode-se afirmar que o maior segmento é: A B C D E 55 65 70 70 o o o o Fig. 78: Exerćıcio 2. (a) AB (b) AE (c)EC (d) BC (e) ED 61 CEDERJ Perpendicularidade e paralelismo 11. Na figura 87, BÂC é reto e M é o ponto médio de BC. Determine MÂN . C B A N M 30 60 o o Fig. 87: Exerćıcio 11. 12. Na figura 88, AB ≡ AC. Determine o valor de Â. C B A D E F Fig. 88: Exerćıcio 12. 13. Considere os triângulos T1, T2, . . . , T12 da figura 89. Assinale os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência. T 3 4 70 o 1 1 2 T 60 o 2 35 o 3 8 T 4 T 3 35 o 25 o T 5 3 8 35 o 3 6 4 T 6 T 7 10 1 2 60 o T 8 3 4 70 o T 9 6 5 20 o 80 o T 10 3 4 T 11 25 o 35 o 80 o 20 o 5 T 12 10 Fig. 89: Exerćıcio 13. CEDERJ 64 Perpendicularidade e paralelismo MÓDULO 1 - AULA 5 14. Na figura 90 tem-se m(AC) = m(PR) = 4, m(AB) = m(RS) = 3 e m(BC) = 6. A B C R S P 3 4 6 3 4 Fig. 90: Exerćıcio 14. Considere os casos: a) Ĉ ≡ P̂ , b) B̂ ≡ Ŝ e c) Ĉ ≡ R̂ Em que casos podemos determinar a medida de PS? 15. Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Prove que a mediatriz de BC passa pelo ponto A. 16. (Distância de ponto a reta) Sejam r uma reta e P /∈ r. Se Q é o pé da perpendicular baixada de P à reta r, prove que Q é o ponto de r mais próximo de P . A medida do segmento PQ é definida como a distância de P a r. 17. Prove que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos a ele não-adjacentes. 18. (Desafio) Na figura 91, as retas r e s são perpendiculares. r s A B Fig. 91: Exerćıcio 18. Qual é o caminho mais curto para ir do ponto A ao ponto B tocando-se nas duas retas? 65 CEDERJ Perpendicularidade e paralelismo 19. Seja ABC um triângulo e r uma reta que não corta ABC. Sejam A′, B′ e C ′ os reflexos de, respectivamente, A, B e C em relação a r, como na figura 92. r C B A A' B' C' Fig. 92: Exerćıcio 19. Prove que o triângulo A′B′C ′ é congruente a ABC. 20. (FUVEST-2001) Na figura 93, tem-se que AD ≡ AE, CD ≡ CF e BA ≡ BC. C B A D E F 80 o Fig. 93: Exerćıcio 20. Se o ângulo ED̂F mede 80o, então o ângulo AB̂C mede: (a) 20o (b) 30o (c) 50o (d) 60o (e) 90o CEDERJ 66