Geometria Plana

Geometria Plana

(Parte 1 de 2)

Unidade de Programa Objetivos

I. Geometria Angular Trabalhar com as principais relações angulares com triângulos, polígonos e com arcos de uma circunferência.

I. Semelhança Reconhecer as condições que garantem a semelhança entre duas figuras.

I. Triângulo Retângulo Deduzir e saber aplicar as relações métricas no triângulo retângulo e deduzir a lei dos cossenos como uma relação que inclui o teorema de Pitágoras.

IV. Área Calcular as áreas das principais figuras, dos polígonos regulares e a do círculo como limite da área do polígono inscrito.

Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, buscamos abordar os conceitos básicos de modo que você possa dar continuidade e se aprofundar os estudos das Geometrias Plana e Espacial.

Não pretendemos aqui, esgotar essa lista de conceitos e nem seus estudos devam limitar-se aos conceitos que listamos.

Lance mão de diferentes fontes como livros, provas de concursos, apostilas de cursos e da Internet para complementar seu estudo.

A Geometria Plana aqui está dividida em dois momentos: a Geometria

Angular, com os estudos dos ângulos de triângulo e polígonos; e a Geometria Métrica com semelhança, triângulo retângulo e o cálculo de área.

Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

Prof. José Carlos Morais de Araújo

UNIDADE I3
I – Ângulos3
I – Classificação3
I – Considerações Importantes3
IV – Teorema Angular de Tales5
V – Ângulo externo de um Triângulo5
VI – Classificação dos Triângulos6
EXERCÍCIOS8
VII – Polígono1
VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono1
IX – Diagonal12
EXERCÍCIOS13
X – Relação entre Arcos e Ângulos15
EXERCÍCIOS16
UNIDADE I18
SEMELHANÇA18
I – Proporção18
I – Definição de semelhança19
I – Semelhança de Triângulos19
EXERCÍCIO21
UNIDADE I23
TRIÂNGULO RETÂNGULO23
I – Introdução23
EXERCÍCIOS25
EXERCÍCIOS26
I – Lei dos Cossenos28
EXERCÍCIOS29
UNIDADE IV31
I. ÁREA31
I – Principais áreas:31
I – Polígono Regular32
IV - Círculo3

GLOSSÁRIO: EXERCÍCIOS: .................................................................................................... 34

I – Ângulos

Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem.

são semi-retas

O ponto O, origem comum às semiretas, é o vértice do ângulo.

I – Classificação 1) Seja ∝ um ângulo qualquer. O ângulo ∝ pode ser classificado como:

2) Sejam ∝ e β dois ângulos quaisquer. Dizemos que ∝ e β são:

Obs: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, o complemento e o suplemento do ângulo x.

I – Considerações Importantes

1) Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (isto é, de medidas iguais)

∝ = 90º Reto

Complementares: ∝ + β = 90º ∝

Agudo

∝ < 90º ∝ > 90º

Obtuso β∝ Suplementares: ∝ + β = 180º

2) Retas Perpendiculares são retas concorrentes (que possuem um ponto em comun) que formam ângulos retos. Denotamos por:

r ⊥s: r perpendicular a s

3) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos que guardam algumas propriedades.

r ⁄⁄ s: r é paralela a s Observe que ∝ + β = 180º

Esses ângulos são classificados, aos pares, de acordo com a posição que ocupam em relação às paralelas e à transversal. Destacamos:

Alternos internos Colaterais externos Correspondentes

Observe que, independente dos nomes que tenham esses ângulos, é possível identificar medidas de ângulos dessa figura se soubermos a medida de pelo menos um deles. Exemplos.

Nas figuras acima temos: α = 50º , β = 40º e 5x + 4x = 180º, portanto, x = 20º.

s r r s

50º α 140o β 4x

As relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem referências aos ângulos do triângulo.

IV – Teorema Angular de Tales

Num triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º. A + B + C = 180º

Traçando uma reta paralela ao lado AB passando pelo ponto C podemos visualizar essa propriedade.

V – Ângulo externo de um Triângulo Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo tem 3 ângulos externos.

α + C = 180ºe A + B + C = 180º
Então: α + C = A + B+ C ⇒α = A + B

Observe que:

Conclusão: O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo prolongamento de outro.

α Ângulo externo a + b b a a + c a c b +c c

VI – Classificação dos Triângulos

Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados.

1) Quanto aos Ângulos

Acutângulo Retângulo Obtusângulo Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo obtuso

2) Quanto aos Lados

Escaleno IsóscelesEqüilátero

Vale Destacar: 1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais.

São iguais os ângulos opostos aos lados iguais.

Essa é a condição mínima para um triângulo ser classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos: A = B = C = 60º

2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares α + β = 90º

Se r // s então, θ = α + βNesse quadrilátero côncavo

3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: α = a + b +c

θ é ângulo externo ao triânguloα é ângulo externo

Justificativas:

Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir:

Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que o ângulo mede 25º.

Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. A partir daí, o ângulo CBD = 25º, dado o triângulo CBD ser isósceles. O ângulo BCA é externo a esse triângulo então, BCA = 50º. Como o triângulo ABC também é isósceles (BA = BC) temos o ângulo BAC = 50º. Observe agora o triângulo ABD: o ângulo α é externo a ele,

portanto α = A + D, ou seja, α = 50º + 25ºLogo α = 75º.

α b a b + c β θ r s α α b a c β θ r

25º D

EXERCÍCIOS 01. Determine α nas seguintes figuras:

02. Nas figuras, AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo α sabendo-se que OX é bissetriz de AÔB.

03. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. Calcule a sua medida.

04. Dois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10o e x + 50o. Calcule o valor de cada um deles.

05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura?

06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6o o quádruplo do seu complemento.

07. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. Determine-os.

08. Quatro semi-retas OA→ , OB→

, OC→ e OD→ formam, em torno de um ponto, quatro ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Determine os ângulos.

09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72o, calcule o ângulo α.

10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura?

1. O triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Determine α e β.

β 70o70o

12. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que D = 30º.

13. Calcule α em cada figura, sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero.

14. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este ângulo, sabendo que um ângulo agudo é o dobro do outro.

15. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 42o a medida do ângulo BAD e 20o a medida do ângulos ABC, calcule a medida do ângulo ACD.

16. Na figura, AB = AC, CD = CE e AFD = 60o. Calcule a medida do ângulo A.

B e que oBSA126=∧ .

Pede-se o ângulo ∧ C.

Dica: “Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa.”

18. Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo EDC) , dado DAB)= 48o.

VII – Polígono

Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal fechada.

A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos de reta consecutivos.

Convexo Côncavo

Ex.: Pentágono

VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono

1) Ângulos internos Todo polígono pode ser dividido em Triângulos.

Si = 180º Si = 180º . 2 Si = 180º. 3 Si = 180º.4

Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2)

2) Externos

Como cada ângulo interno é suplemento do interno adjacente temos:

Si + Se = 180º . n

Então:

Se = 180º. n – Si Se = 180º. n – 180º ( n – 2 ) Se = 180º. n – 180º n +360º

Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é constante.

É mais fácil, portanto, determinar – caso os ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais – a medida do ângulo externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno.

Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em Equilátero (lados iguais), Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular.

Um polígono é regular quando possui lados e ângulos respectivamente iguais.

Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão:

360º Ae Ae=− = nni

* Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3, 4, 5, 6,lados e quais

são as medidas de seus ângulos.

IX – Diagonal

Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como extremos dois vértices não consecutivos do polígono.

No polígono ABCD..., AC, BE e BD são exemplos de diagonais nesse hexágono.

Observe que, de cada vértice de um polígono de gênero n partem (n – 3) diagonais.

ângulo externo será Ae = 10

360o = 36º e seu ângulo interno será Ai = 180º - 36º.

O ângulo interno do decágono regular mede 144º.

Eqüiláteros Eqüiângulos Regular

01. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE, sabendo-se que:

C = 2A, E = 2B, D = 2 EC+ e que E = 3A.

02. Considere um eneágono regular e calcule: a) A soma dos ângulos internos. b) A soma dos ângulos externos. c) Seu ângulo externo. d) Seu ângulo interno.

03. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos vale 2160º?

04. Determine o polígono regular que tem o ângulo interno igual ao triplo do ângulo externo.

05. ABCDE é um polígono regular e DEFG é um quadrado. Determine a medida do ângulo α.

06. Na figura tem-se um octógono regular. Determine a medida do ângulo α:

(a) 22o 30’ (b) 30o (c) 45o (d) 60o (e) 90o

07. Num polígono regular ABCDas retas que contém os lados AB e CD formam

um ângulo de 60º. Determine que polígono é esse.

08. A figura seguinte, ABCDE e DEF são polígonos regulares. Calcule o ângulo α formado pelos prolongamentos de BC e DF.

09. Seja ABCDum polígono regular. Determine o seu gênero sabendo-se que as

diagonais AC e AG formam um ângulo de 80º.

10. Calcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440o.

1. A figura seguinte é um polígono côncavo (ou não convexo) de gênero sete. Trata-se de um Heptágono.

a) Quantas e quais diagonais podem ser traçadas do vértice A? b) Quantas diagonais este polígono possui?

12. Num polígono regular ABCDa diagonal AC forma com o lado BC um ângulo

de 20o. Calcule o gênero e o número de diagonais desse polígono.

13. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. Calcule o número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro.

14. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação a2 - 4a, onde a é o número de lados do polígono. Qual é o nome desse polígono?

X – Relação entre Arcos e Ângulos

O ângulo formado por dois raios de um círculo é chamado de Ângulo central. Intuitivamente, observamos que o arco AB representa da circunferência, tanto quanto o ângulo AÔB representa de uma volta completa em torno do centro do círculo. A medida do ângulo AÔB é igual a medida angular do arco AB.

Usando o ângulo central podemos mostrar outras relações. 1) Ângulo inscrito: Ângulo formado por duas cordas consecutivas.

2) Ângulo Interno: Ângulo formado por duas retas que se cortam no interior do círculo.

3) Ângulo Externo: Ângulo formado por duas secantes que cortam-se fora do círculo.

2a + 2b b

2a + 2b = a + b = /2 A P α = /2 α é ângulo externo ao triângulo PDA portanto,

O ângulo ACB é externo ao triângulo PCA portanto, α + 2 CB= 2

2 AB

2 CD

2 AB

Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, isto é, podemos admitir uma circunferência tanto contendo seus vértices quanto tangenciando seus lados.

Problemas que envolvam polígonos regulares podem ser também resolvidos, e as vezes com mais facilidade, quando desenhamos o polígono inscrito em um círculo. Observe o problema 06 que fora proposto na lista anterior. A proposta era determinar a medida do ângulo α na figura sabendo que o octógono é regular.

a)b) c) d)

01. Os polígonos a seguir são regulares. Calcule a medida do ângulo α. 02. Calcule o ângulo formado pelas diagonais AC e CE de um pentágono regular.

O octógono regular divide a circunferência em 8 arcos iguais, portanto cada arco tem 45º.

Como o ângulo α é um ângulo externo, em relação ao círculo:

⇒ α = 22º 45’

α 45º

03. Num polígono regular ABCDa diagonal BD forma com o lado AB um ângulo de

17 120o. Calcule o gênero desse polígono.

04. Num polígono regular ABCDos prolongamentos dos lados AB e DE são

perpendiculares. Determine que polígono é esse.

05. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. Calcule a soma dos ângulos mostrados na figura.

06. Num polígono regular ABCDos prolongamentos dos lados AB e DE formam

um ângulo de 60o. Determine que polígono é esse.

07. Num polígono regular ABCDa diagonal BE forma com o lado AB um ângulo

de 100o. Calcule o número de diagonais desse polígono.

120o B α β 60o

I – Proporção

Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo proporcionalidade. Diz-se que duas medidas X e Y são proporcionais aos números a e b quando, x, y, a e b formam uma proporção, nesta ordem.

X= ou aindaX : Y :: a : b

baY

No entanto, x = 4 e y = 6 ; x = 6 e y = 9; x = 8 e y = 12; x = 10 e y = 15; e tantas outras opções são possíveis soluções, para x e y, pois:

Portanto, somente a informação de que x e y são proporcionais a 2 e 3 não define, efetivamente, quais são os valores de x e y. No entanto, podemos chamar x e y, respectivamente, de 2a e 3a. Assim temos

Exemplo: Suponhamos que um segmento AB = 20cm seja dividido pelo ponto P de tal forma que PA e PB sejam, respectivamente, proporcionais a 2 e 3. Entre outras resoluções vejamos duas maneiras diferentes da fazer:

x + y = 20e 32y

1ª Resolução: x=

Essas 2 equações e as 2 variáveis levam você à resolução de um sistema. y = 20 – x

Então:

Logo:PA = 8cm e PB = 12cm

⇒ 5x = 40 ⇒ x = 8

2ª Resolução: Chamemos PA = 2a e PB = 3a

Então 2a + 3a = 20 ⇒ 5a = 20

Logo:PA = 8cm e PB = 12cm

⇒ a = 4

20 cm

A P B x y

20 cm

A P B 2a 3a

Dados dois polígonos ABCDe A’B’C’D’... de mesmo gênero, diz-se que
i) seus ângulos são respectivamente iguais: A = A’; B = B’; C = C’;

I – Definição de semelhança esses polígonos são semelhantes se são satisfeitas as duas condições:

*Duas figuras semelhantes têm exatamente o mesmo formato.

AB é chamada RAZÃO DE SEMELHANÇA. Essa razão

representa quanto um polígono vale do outro.

I – Semelhança de Triângulos

São duas as condições que garantem a semelhança entre dois polígonos, no entanto, no caso de triângulos, uma condição é necessária e suficiente para que a outro se verifique, isto é, os ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais se, e somente se, seus lados são respectivamente, proporcionais.

Logo, para garantirmos a semelhança de dois triângulos, basta que uma dessas condições esteja satisfeita.

• A = A’ , B = B’ e C = C’ ⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’

AB == ⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, basta que dois ângulos sejam, respectivamente iguais, para afirmarmos a semelhança entre dois triângulos.

Conseqüência disso é que “toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo, determina um outro triângulo semelhante ao primeiro”.

Exemplos: 1) Nas figuras seguintes, a semelhança produzida pela reta paralela a um dos lados do triângulo permite que calculemos os valores de x, y e z.

Então x = 4

Então 2y = 24 ⇒ y = 12

2) Na figura seguinte os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois são triângulos retângulos e possuem o ângulo A, como um ângulo comum.

Resolvendo a equação do 2º grau temos: x = 7

Se r // BC, então: Δ ABC ~ Δ A’B’C’ A

B’ C’ r A

B’ C’ r

EXERCÍCIOS 01. Na figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG. Calcule as razões:

AB b) CG CA c) DG

PA=. Determine a razão entre os segmentos _

AB e _ BP.

03. Observe a figura.

Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e BC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, calcule a medida do segmento BP.

04. Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, sabendo-se que o triângulo AEF tem lados AE = 24 cm, AF = 18 cm, EF = 32 cm e EC = 8 cm

05. Na figura, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão BC

06. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e AMD, um triângulo equilátero. Calcule a medida de IM sabendo-se que BC = 30 cm?

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