Notação Científica e Ordem de Grandeza

Notação Científica e Ordem de Grandeza

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Tenha Maior Percepção do Universo, Estude Física”

Notação Exponencial ou Notação Científica

Dependendo do fenômeno analisado, podemos trabalhar com números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, à distância d da Terra à Lua é aproximadamente igual a 380 milhões de metros.

d ≈ 380000000 m

enquanto o raio r de um átomo de hidrogênio é dado aproximadamente por:

r≈ 0,00000000005 m

Para evitar tantos zeros, podemos usar as potências de 10. Assim, os valores de d e r podem ser escritos de outro modo:

7 zeros

d = 380000000 m = 38.107 m = (3,8.10) . 107 m = 3,8.108 m

r= 0,00000000005 m = 5m = 5 m = 5.10-11 m

11 casas após a vírgula 100000000000 1011

11 zeros

No caso da distância d, obviamente, nós temos:

38.107 = 3,8.108

No entanto, os físicos preferem representar as medidas na forma de um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10.

X.10n (onde 1 ≤ X < 10)

Assim, entre 38.107e 3,8.108, os físicos preferem 3,8.108. Esse modo de representar as medidas costuma ser chamada de notação exponencial ou notação científica.

A representação desses números na forma convencional torna-se difícil. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números.

Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Físicae aQuímica esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.

Descrição

Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:

X.10n

O número X é denominado coeficiente e n a ordem de grandeza.

Notação científica padronizada

A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: o coeficiente deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira.

Como transformar

Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio.

Vejamos o exemplo abaixo:

253 756,42

A notação científica padronizada exige que o coeficiente esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor do coeficiente aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".

Nesse caso, o expoente é 5.

Observe a transformação passo a passo:

253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105

Um outro exemplo, com valor menor que 1:

0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8

Observação: Quando a vírgula é deslocada da direita para esquerda (→ / ←) o expoente aumenta (+). Quando o expoente é deslocado da esquerda para direita (← / →) o expoente diminui (-).

Exercícios

1- Passe para a notação exponencial (científica):

a) 529 = f) 749.107 =

b) 7843 = g) 59,47.10-9 =

c) 5971432 = h) 0,38.104 =

d) 0,278 = i) 0,7159.10-12 =

e) 0,5697 = j) 358461.10-4 =

Notação Científica e as operações Matemáticas

Adição e subtração

Para somardoisnúmeros em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.

Exemplos:

4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107

6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)

Observação: Nas operações de adição e subtração com potência de 10, quando a diferença entre os expoentes for maior que 3, o resultado da operação indicada é sempre dado como sendo o número que tiver maior expoente.

Multiplicação

Multiplicamos os coeficientess e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:

a.10n . b.10m = a.b . 10n.10m = a.b . 10n+m

Exemplos:

(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013(não padronizado) = 2,08 · 1014(convertido para a notação padronizada)

(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão

Divisão

Dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:

a.10n = a . 10n = a .10n-m

b.10m b 10m b

Exemplos:

(8 · 1017) / (2 · 109) = (8 /2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)

(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104(não padronizado) = 3,871 · 103(padronizado)

Exercícios

1- Qual a metade de 108?

2- Qual a terça parte de 1013

3- Sendo A = 3.108, B = 2.104, C = 4.10-4 e D = 6.10-3, determine o valor de X nas equações abaixo:

a) X = A + B + C b) X = A – B c) X = B.C

C A

d) X = (D - C) . A e) X = B2 + (A.C) f) X = D2 + A

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