Apostila de Fenômenos, Notas de estudo de Eletrônica

Baixe Apostila de Fenômenos e outras Notas de estudo em PDF para Eletrônica, somente na Docsity! RESUMO DA TEORIA MINISTRADA EM CLASSE 2009.2 Caro Aluno PAGE 10 Compartilhando com o que será mencionado a seguir, por Brunetti, ao longo desses anos em classe verifiquei um maior aproveitamento dos meus alunos quando mostrava as aplicações mais simples, mais mensuráveis, exemplos em que os mesmos conseguissem visualizar os fenômenos e começassem a perceber como esta disciplina faz parte do nosso dia a dia, em todas as áreas em que tenhamos presente “um fluido”. É uma disciplina apaixonante quando a ela nos dedicamos e buscamos enxergar através não só de uma aula de uma apostila ou mesmo de um livro, mas quando a enxergamos como engenheiros que somos. Logo, a idéia desta apostila é auxiliar seus estudos ligados a Fenômenos de Transporte, o que implica dizer que ela não substituirá nem a bibliografia recomendada e nem tão pouco as aulas de seu curso. A proposta é que você assuma o volante de sua aprendizagem, ou seja, você se ensine, já que meu papel será simplesmente de apoio para que isto aconteça. Bom aprendizado. Solange Maria Ribeiro de Assis PREFÁCIO Vivemos cercados de fluídos. A Água que sai pela torneira; o ar que respiramos, que também sustenta o avião e, ao mesmo tempo, cria uma resistência ao seu movimento; o óleo PAGE 10 2.5 -Manômetros 30 3. CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3.1 - O Fluido como um continuo 37 3.2 - Campo de velocidade 37 3.3 - Campo de tensões 40 3.4 - Tensão em um ponto 41 3.5 - Fluido Newtoniano: Viscosidade 43 3.6 - Descrição e classificação dos escoamentos de fluidos 46 3.7 - Propriedades do Transporte Molecular 50 4. ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA DINÂMICA 4.1- Introdução 53 4.1- Teorema de Buckinghan 56 5. DINÂMICA DOS FLUÍDOS 63 5.1 - Principio de conservação de massa - Equação da continuidade 64 5.2 - Equação da quantidade de movimento - Equação de Bernoulli 66 5.3 - Equação de Euler 69 5.4 - Teorema de Torricelli 69 6 - ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSIVEL 6.1- Movimento Laminar e Turbulento 71 6.2 - Perda de Carga Normal 72 6.3 - Perda da Carga Localizada 74 7 - PROBLEMAS SIMPLES DE ESCOAMENTO EM TUBOS 77 8 - ASSOCIAÇÕES DE TUBULAÇÕES 79 9 - BIBLIOGRAFIA 82 1 - INTRODUCÃO Fenômenos de Transporte: Estuda o transporte de quantidade de movimento (ou momentum), transporte de calor e transporte de massa. Mecânica: É a ciência que estuda o equilíbrio e o movimento dos corpos sólidos, líquidos e gasosos, bem como as causas que provocam este movimento. PAGE 10 Mecânica dos Fluidos: A mecânica dos fluidos é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluídos, assim como as leis que regem esse comportamento, tanto com o fluido em repouso como em movimento. São denominados fluidos os líquidos e gases. Quando temos um fluido como meio atuante em algum sistema, o conhecimento e desenvolvimento dos princípios básicos da mecânica dos fluidos se fazem necessário. A mecânica dos fluídos tem dois ramos importantes no estudo das operações básicas: • A estática dos fluídos: estuda os fluídos em estado de equilíbrio em ausência de esforços cortantes. • A dinâmica dos fluídos: estuda os fluídos em movimento sujeitos a tensões cisalhantes. Na estática dos fluídos, o PESO ESPECÍFICO é a propriedade mais importante, ao passo que no escoamento de fluídos, a MASSA ESPECÍFICA e a VISCOSIDADE são propriedades predominantes. Onde ocorre apreciável compressibilidade, princípios da termodinâmica devem ser considerados. CAMPO DA MECÃNICA DOS FLUIDOS As bases lançadas pela mecânica dos fluidos são fundamentais para muitos ramos de aplicação da engenharia. Este amplo campo tem chegado a incluir muitas áreas extremamente especializadas como, por exemplo: • O estudo do comportamento de um furacão • Os esforços em barragens • Lubrificação • Os corpos flutuantes • As maquinas hidráulicas e de grande efeito • Pistas inclinadas e verticais para decolagem • Ventilação • O fluxo de água através de canais e condutos • As ondas de pressão produzidas na explosão de uma bomba • As características aerodinâmicas de um avião supersônico. • As asas de aviões para vôos subsônicos e supersônicos • Cascos de barcos, navios e aerobarcos. • Projeto para fogos de artifício. • Projetos de submarinos e automóveis Uma das perguntas mais comuns nos cursos de Engenharia é: Por que estudar Mecânica dos Fluidos? PAGE 10 Como se podem observar, pelo exposto, poucos são os ramos da engenharia que escapam totalmente do conhecimento dessa ciência que se torna assim, uma das de maior importância entre as que devem fazer parte dos conhecimentos básicos do engenheiro. Aplicações: Transportes: - Recentemente as industriais de automóvel têm dado maior importância ainda ao projeto aerodinâmico. Esta importância também tem sido verificada no projeto de carros e barcos de corrida. - Projeto de sistemas de propulsão para vôos espaciais. Exemplo mostrado na figura 1 - um foguetão espacial possui uma grande quantidade de energia química (no combustível) pronta a ser utilizada enquanto espera na rampa. Quando o combustível é queimado, esta energia é transformada em calor, uma forma de energia cinética. Os gases de escape produzidos impelem o foguetão cima. • Figura 1 Figura 2 - Na figura 2 temos o exemplo de uma velha locomotiva a vapor que transforma energia química em energia cinética. A queima de madeira ou carvão na caldeira é uma reação química que produz calor, obtendo vapor que dá energia à locomotiva. Figura 3 PAGE 10 Na experiência descrita na figura (b) é colocado um fluido entre as duas placas. Sendo a placa inferior fixa e a superior móvel, ao se aplicar a força tangencial Ft na placa superior, esta irá se deslocar. A primeira observação importante nessa experiência é que pontos correspondentes do fluido e da placa continuam em correspondência durante o movimento; assim, se a placa superior adquire uma velocidade v, os pontos do fluido em contato com ela terão a mesma velocidade v, e os pontos do fluido em contato com a placa fixa ficarão parados junto dela. Tal observação conduz ao chamado principio da aderência: Os pontos de um fluido, em contato com uma superfície sólida, aderem aos pontos dela, com os quais estão em contato. Então, o que se observa é que o volume do fluido, sob a ação da força Ft , deforma-se continuamente, não alcançando uma nova posição de equilíbrio estático, supondo-se as placas de comprimento infinito. A uma determinada temperatura e pressão, um fluído possui uma densidade definida. Com a densidade de um fluído depende da temperatura e da pressão, a variação da densidade ao modificar estas condições pode ser grande ou pequena. Se a densidade varia pouco com variações moderadas de temperatura e pressão o fluído se denomina incompressível. Se a densidade varia consideravelmente com relação à pressão e temperatura, o fluído recebe o nome de compressível. Os fluídos podem ser ainda divididos em: • LÍQUIDOS: são praticamente incompressíveis; ocupam volumes definidos e tem superfícies livres. • GASES: são compressíveis, e uma dada massa de gás expande-se até ocupar todas as partes do recipiente em que está contida. 1. 2 - EQUACÕES BASICAS Uma análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos começa necessariamente direta ou indiretamente, pela enunciação das leis básicas que regem a movimentação dos fluidos. Estas leis, independente da natureza de um fluido em particular, são: 1. Lei de Conservação de Massa - Equação da continuidade 2. A Segunda Lei de Newton sobre o movimento - Equação da quantidade de movimento. 3. A Primeira e a Segunda Lei da Termodinâmica – Equação de energia. 1. 3 - MÉtOdos DE ANÁLISE: As leis básicas que aplicamos em nosso estudo de mecânica dos fluidos podem ser formuladas em termos de: • Sistemas infinitesimais ou finitos PAGE 10 • Volumes de controle Sistema é definido como uma quantidade fixa de massa, distinta do meio e dele separada através de suas fronteiras. • Sistemas finitos – equações globais (comportamento macroscópico do escoamento). • Sistemas infinitesimais – equações na forma diferencial (fornece condições para determinar o comportamento detalhado, ponto a ponto, do escoamento). Fronteira é uma superfície fechada que pode variar com o tempo, desde que contenha sempre a mesma massa, qualquer que seja a transformação. Volume de Controle refere-se a uma região do espaço escolhida arbitrariamente para facilitar a resolução e análise de um problema. 1. 4 - LEI DO MOVIMENTO: A lei fundamental da mecânica é uma das leis realmente básica da engenharia; é a correlação de Newton entre a força e a quantidade de movimento que pode ser expressa da seguinte maneira: F F 06 1 d (mv) dt m = massa do corpo v = velocidade do corpo F = somatório de todas as forças que atuam sobre o corpo mv = quantidade de movimento F F 06 1 m dv + v dm dt dt Como m é sempre constante para velocidades diferentes da velocidade da luz no vácuo: V dm = 0 F F 06 1 m dv como dv = a d t dt dt F = kma F 05 C k = 1/gc, logo: gc F 0A E fator de conversão da lei de Newton 1. 5 - DIMENSÕES E SISTEMAS DE UNIDADES: As grandezas físicas se dividem em dois grupos: PAGE 10 • Grandezas fundamentais – são aquelas para as quais se estabelecem escalas de medidas arbitrárias. • Grandezas derivadas - são aquelas cujas dimensões são expressas em termos das dimensões das grandezas fundamentais. A palavra DimensÃo é usada em referencia a quaisquer grandezas mensuráveis: • Comprimento (L) • Tempo (t) • Massa (M) • Temperatura (T) • Força (F) SISTEMAS QUANTO ÀS DIMENSÕES: A – Sistema absoluto: Massa (M) Tempo (t) Comprimento (L) Temperatura (T) B – Sistema técnico ou gravitacional: Força (F) Massa (M) Tempo (t) Comprimento (L) Temperatura (T) UNIDADES: São as diversas maneiras através das quais se podem expressar as dimensões. SISTEMAS QUANTO ÀS UNIDADES: A – Sistema absoluto - M L t T A1. Métrico – MKS A2 Métrico – CGS A3. Inglês B – Sistema técnico ou gravitacional - F L t T B1. Métrico B2. Inglês A – Sistema absoluto (MLtT) : A1. Sistema absoluto métrico: Sistème International d’ Unités (SI) Este sistema está sendo usado internacionalmente e substitui o sistema anterior M.K.S. (metro- quilograma- segundo) PAGE 10 Definição através da Segunda lei de Newton Ainda usando FMLtT, temos: unidade de comprimento M m - metro unidade de massa kgm - quilograma massa unidade de força kgf – quilograma força unidade de tempo s - segundo U unidade de Temperatura ºK - Kelvin 6 - PRINCIPAIS PROPRIEDADES DE UM FLUÍDO Certas propriedades físicas dos fluidos são envolvidas no estudo da mecânica dos fluidos e processos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa. Entre estas propriedades podemos citar: • Viscosidade • Massa especifica • Peso especifico • Volume especifico • Densidade • Pressão de Vapor • Tensão Superficial VISCOSIDADE ABSOLUTA A viscosidade é a propriedade dos fluidos correspondente ao transporte microscópico de quantidade de movimento por difusão molecular . Ou seja, viscosidade, conforme definição de Newton, é a resistência oposta pelas camadas liquidas ao escoamento recíproco. Quanto maior a viscosidade, menor a velocidade em que o fluido se movimenta. Para que se possa entender e equacionar a definição de Newton, considere uma placa fina de área S imersa em um fluido e a uma distancia F 0 4 4x de uma superfície fixa conforme a figura abaixo. O fluido inicialmente está em repouso. Esta placa fina é colocada entre duas placas planas paralelas bem próximas e grandes de modo que as perturbações nas bordas possam ser desprezadas. PAGE 10 F F 04 4x F 0 4 4v F 04 4v1 F 04 4x1 Placa de área S imersa em um fluido e submetido a uma força F Ao se aplicar uma força F a esta placa, na direção de cisalhamento ao fluido, ele adquire uma velocidade F 04 4v arrastando o fluido em contato direto com ela, com a mesma velocidade. Como resultado verifica-se que: Para se estabelecer uma igualdade é introduzida uma constante na expressão acima, passando-se a ter: F é uma força que caracteriza a resistência oposta ao movimento da placa, devido ao atrito entre camadas de fluido; A constante de proporcionalidade F 06 D, dá-se o nome de coeficiente de viscosidade que depende do fluído em estudo. . Rearranjando a equação acima se tem: pois F 07 4 = F/A Onde F 07 4 é chamado de tensão de cisalhamento. Os fluidos que se comportam conforme a equação são chamados de Newtonianos. DIMENSÕES DA VISCOSIDADE ABSOLUTA (F 06 D ) [F 06 D ] = ------- [ F 0 6 D ] = [F 06 D ] = F T L -2 [F 06 D ] = MT-1L-1 UNIDADES DE VISCOSIDADE ABSOLUTA a) (p) poise = 1 g / cm.s Esta unidade é demasiada grande para muitas aplicações pratica, usa-se normalmente o centipoise. b) 1 centipoise (cp) = 10-2 poise c) lbf x s / ft2 d) lbm / ft.s ou slug / ft.seg = lbf . s / ft-2 PAGE 10 TRANSFORMAÇÃO 1 po poise = 0,0672 lbm/ft.s 1 ce centipoise = 6,72 x 10-4 lbm / ft.s = 242 lbm/ft.h 1 lbf.s / ft2 = 479 poises = 1 slug / ft.s VISCOSIDADE CINEMATICA EM STOKES É a relação entre a viscosidade absoluta e a massa específica. logo [F 07 3] = L2 T-1 UNIDADES: a) stoke = 1 cm2/s b) centistoke = 10-2 stoke c) ft2/s obs: para se converter a unidade inglesa de viscosidade cinemática para a unidade inglesa de viscosidade absoluta, é necessário multiplica-la pela massa específica em slug/ft3. Uma vez que o peso especifico dos gases varia com a variação da pressão (temperatura constante) a viscosidade varia inversamente com a pressão. Para líquidos F 06 D F 0 A F se T F 0 A D Para gases F 06 D F 0 A D se T F 0 A D e F 06 D F 0 A F se P F 0 A D ( T constante) UNIDADES INDUSTRIAIS DE VISCOSIDADE - Segundo Saybolt Universal (SSU) Orifício de diâmetro 0,1765 +/- 0,0015 cm - Segundo Saybolt Furd (SSF) Orifício de diâmetro 0,315 +/- 0,002 cm Refere-se ao tempo em 60 cm3 de produto em ensaio a uma temperatura determinada circulando através de um orifício standard. PAGE 10 • Tensão superficial – (F 07 4 s ) A tensão superficial é a força por unidade de comprimento exercida por uma fase noutra numa interface. F 07 4 = F/ L A tensão superficial é responsável pela forma das bolhas de ar e das gotas de água, pelo fenômeno de capilaridade e pela capacidade que alguns insetos têm de se manterem à superfície da água. A tensão superficial deve-se à maior afinidade que as moléculas de uma determinada substância têm com as moléculas semelhantes a si. No caso das gotas de água, a gota tem uma forma aproximadamente esférica porque as moléculas de água atraem-se umas às outras e repelem as moléculas de ar. Da experiência pode ser observada a tendência que tem as superfícies livres e as interfaces dos líquidos imiscíveis de se contraírem e formarem uma película ou camada de líquido especial. Exemplos: 1. formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos à ação de forças externas; 2. sustentação de uma agulha pequena na superfície da água. O efeito da tensão se manifesta em superfícies curvas, exigindo diferenças de pressões entre os lados côncavo e convexo da superfície, para manter o equilíbrio de forças. A força de tensão superficial (necessária para manter o citado equilíbrio) esta associada às interações entre as moléculas do fluido. Essa interação decresce com o aumento da distância entre as moléculas e pode ser desprezada para os gases. No interior dos líquidos as forças intermoleculares se compensam entre si, mas, para as moléculas da superfície existem forças que evitam que elas se separem. Estas forças são responsáveis por manter, por exemplo, uma bolha de sabão sem se arrebentar. Tensão Superficial é então a força de coesão necessária, obtida pela divisão da “energia de superfície” pela unidade de comprimento da película em equilíbrio. Energia de superfície – trabalho por unidade de área, necessário para trazer as moléculas à superfície. EXISTEM OUTRAS PROPRIEDADES COMO CALOR ESPECÍFICO QUE DEVERÃO SER ESTUDADAS OU REVISTAS PELOS ALUNOS, VISTO QUE EM OUTRAS DICIPLINAS PROVAVELMENTE JÁ FORAM ABORDADAS. PAGE 10 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS 2.1- DEFINIÇÃO: Um fluido é considerado estático se todos os elementos do fluido estão parados ou se movem com uma velocidade constante, relativamente a um sistema de referência. Para que esta condição seja satisfeita, é necessário que exista um equilíbrio entre as forças que agem sobre o elemento do fluido considerado. Casos especiais de fluidos em movimentos, como corpos rígidos, são incluídos no tratamento da estática por causa da semelhança de forças envolvidas. Dentre as forças de superfície as forças tangenciais (responsáveis pela tensão de cisalhamento) não são consideradas, pois está se estudando estática dos fluidos e a ação deste tipo de força colocaria o fluido em movimento. Resta então as forças normais responsáveis pela tensão normal, tensão de pressão ou simplesmente pressão. Desta forma, em todos os sistemas estudados pela estática dos fluidos, agirão somente forças normais de pressão. 2.2 - PRESSÃO EM UM PONTO A pressão média é calculada dividindo-se a força normal que age contra uma superfície plana, pela área desta. PAGE 10 A pressão em um ponto M qualquer é definida como o limite da relação entre a força normal e a área quando fazemos a área tender a zero no entorno do ponto. A pressão em um ponto de um fluido em repouso é a mesma em qualquer direção. Seu valor independe da direção, sendo portanto uma grandeza escalar. Deste modo, a pressão no seio de um fluido é uma função de posição (função de ponto), ou seja: Isto significa que num elemento de área F 06 4A, submerso num fluido em repouso e que pode girar livremente em torno de seu centro agirá uma força de intensidade constante de cada lado, independente de sua orientação. Pode-se demonstrar este fato, adotando-se um pequeno corpo em forma de cunha, de comprimento unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso. Como não existi tensão de cisalhamento com o fluido em repouso, as únicas forças presentes são as normais de contato e de campo (peso). 2. 3 – EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DE FLUÍDOS O objetivo principal é obter uma equação que permita determinar o campo de pressão no fluido. Em uma massa estacionária de um fluído a pressão é constante em qualquer secção paralela a superfície da terra, mas varia de altura a altura. As forças que agem em um elemento de fluido em repouso são: • Forças de campo (peso) • Forças de contato ou superfície (pressão). Consideremos uma coluna vertical de um fluído, cuja secção transversal possui uma área S . Pressão P + dP (lbf/ft3) ZA dZ PAGE 10 Integrando a mesma, podemos ter a variação também para um fluido compressível. Para obter a relação requerida para a massa específica, podemos usar dados experimentais ou uma equação de estado. Para muitos líquidos F 07 2 é uma função suave da temperatura. A pressão e F 07 2 dos líquidos relacionam-se pelo módulo de compressibilidade ou de elasticidade Se o módulo de compressibilidade é suposto constante, F 07 2 é função apenas de p e a equação acima fornece a relação de F 07 2 adicional necessária para integrar a relação básica pressão-altura. Temos ainda que: (equação de estado do gás ideal) sendo: T – temperatura absoluta R – constante universal dos gases Esta equação atende à maioria das condições dos gases que prevalecem em Engenharia com exatidão bastante aceitável. 2.4 - Pressões instrumentais e absolutas Valores de pressão devem ser dados relativos a um nível de pressão referencial. Se o nível de referência de pressão for um vácuo, temos pressão absoluta. Níveis de pressão medidos com relação à pressão atmosférica são denominados pressões instrumentais ou manométricas. Em sua maioria, os manômetros de pressão, na verdade lê uma diferença de pressão – a diferença entre o nível de pressão medido e o nível ambiental (normalmente a pressão atmosférica). Assim: Pressão absoluta = pressão instrumental + pressão atmosférica • Pressão absoluta é definida como a soma da pressão atmosférica local e a pressão efetiva. • Pressão efetiva ou instrumental ou manométrica - é a pressão medida em um ponto (é a leitura do manômetro). Vimos então que a pressão pode ser expressa em relação a qualquer referência arbitraria. Usualmente, adota-se como tal, o zero absoluto e a pressão atmosférica local. PAGE 10 A figura abaixo ilustra as referências e as relações entre as unidades mais comuns para a medida da pressão. P atmosférica = 14,696 lbf/ in2 abs (psi) = 2116lb/ft2 = 29,92 pol de Hg = 33,91 ft de água = 1atm = 760 mm de Hg = 101,325 Pa = 10,34 m de água. Pressão atmosférica normal ou padrão é a pressão média ao nível do mar valendo 29,52 polegada de mercúrio. Unidades típicas de pressão: 1. lbf/in2 = psi 2. lbf/ft2 3. kgf/m2 4. in de Hg 5. mm de Hg 6. Ft de H2O ou m de H2O 7. N/m2 = Pa 8. atm, bar (1 bar = 0,9869 atm) 2. 5 - MANOMETRIA Manometria é a medida das pressões. Para se medir essas pressões são usados aparelhos que chamamos de MANÔMETROS. ATMOSFERA NORMAL - AN A atmosfera normal é aquela que equilibra uma coluna de mercúrio com 760 mm de altura (segundo experiência de Torricelli). É medida ao nível do mar e tem os seguintes valores: po = 10.328 kgf / m2 = 1,033 kgf / cm2 = 760 mmHg Simplificando: po = 10.000 kgf / m2 = 1 kgf / cm2 (atmosfera técnica – atm). Se ao invés de mercúrio, Torricelli tivesse usado água com peso específico(F 06 7 ) igual a 1.000kgf/m3, o valor da atmosfera técnica corresponderia a 10 metros de coluna de água, (mca). Logo: 1 atm = 10.000kgf/m2 = 1 kgf/cm2 = 10 mca = 0,968AN = 736 mmHg. 2.5.1 - PRESSÃO EFETIVA E PRESSÃO ABSOLUTA PAGE 10 A medida das pressões nos pontos B, C, D, mostrado na figura abaixo, pode ser feita tomando como referência ou origem das medidas, o valor da pressão atmosférica (po). Cada uma destas medidas será a pressão efetiva no ponto: PefB = pressão efetiva em B pefC = pressão efetiva em C pefD = pressão efetiva em D A pressão efetiva pode ser: a) positiva: quando é superior a po b) nula: quando é igual à po c) negativa: quando é inferior a po (é o caso de depressão ou de vácuo parcial). A pressão efetiva é também conhecida como pressão manométrica, devido a ser medida através de manômetros. A pressão em um ponto pode ser também calculada a partir do zero absoluto (vácuo perfeito ou total), obtendo-se, neste caso, a PRESSÃO ABSOLUTA. A pressão nula corresponde ao vácuo total. A pressão absoluta é sempre positiva. Para os pontos citados acima, temos: p abB = pefB + po pabC = pefC + po pabD = pefD + po 2.5.2 - DEFINIÇÕES: • MANÔMETRO: é um instrumento para medir a pressão em um ponto, ou seja, medir a pressão efetiva. • VACUÔMETRO: é um manômetro que indica as “pressões efetivas negativas”, bem como as positivas e nulas. • PIEZÔMETRO: é o mais simples dos manômetros, chamado também de tubo piezométrico. • BARÔMETRO: mede o valor absoluto da pressão atmosférica. • ALTIMETRO: é o barômetro construído para a obtenção de altitudes. Ex: de uma aeronave em relação ao nível do mar. 2 .5.3 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS • Manômetro de Líquido; • Manômetro Metálico. PAGE 10 onde A e a são as áreas das seções transversais do reservatório e do tubo em U, respectivamente. A equação manométrica poderá ser escrita a partir da superfície isobárica Mas Substituindo vem: constante para um dado manômetro e fluidos prefixados; logo a diferença de pressão é diretamente proporcional a R. MANÔMETRO INCLINADO O manômetro inclinado é usado freqüentemente para medir pequenas diferenças de pressões em gases. É ajustado para indicar zero, movendo-se a escala inclinada, quando A e B estão abertos. O tubo inclinado, para uma dada diferença de pressão, ocasiona um deslocamento do menisco muito maior que o produzido em um tubo vertical, provindo deste fato uma maior precisão de leitura de escala. TUBO EM U INCLINADO: usado para medir pequenas diferenças de pressão em gases. PAGE 10 R será sempre maior que km, permitindo leituras mais precisas por ampliação da escala. Quanto menor o , menor o e maior o R. 3 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3.1 - O FLUIDO COMO UM CONTÍNUO Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura molecular do fluido, apesar de todos serem compostos de moléculas em movimento constante. No entanto, na maior parte das aplicações de engenharia, é de interesse somente os efeitos médios de um conjunto de moléculas. São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Então o fluido é tratado como uma substância infinitamente divisível, isto é como um meio contínuo, e não nos preocupamos com o comportamento individual das moléculas. O conceito de Contínuo (Continuum) é à base da Mecânica dos Fluidos clássica e como esta consiste fundamentalmente na aplicação das leis da Mecânica ao movimento de fluidos, é evidentemente impraticável aplicar essas leis para cada molécula do fluido. Por exemplo: a velocidade em um ponto do espaço é indefinida em um meio molecular, pois seria zero o tempo todo exceto quando uma molécula ocupasse exatamente esse ponto, e ai seria a velocidade da molécula e não a velocidade média das partículas na vizinhança do ponto. Este dilema é evitado se considerar a velocidade em um ponto como a média das velocidades de todas as moléculas existentes em torno do ponto, ou seja, dentro de uma pequena esfera com raio grande se comparado com a “distancia média entre as moléculas”. Procura-se então os valores médios (relativos ao espaço e tempo) das grandezas que caracterizam o comportamento de porções de fluidos, de dimensões mínimas arbitrárias, de tal maneira que sejam então possível a aplicação daquelas leis, mediante hipóteses restritivas e extrapolação adequadas. O significado atribuído à maioria das propriedades depende da existência do CONTINUUM no sistema considerado 3.2 - CAMPO DE VELOCIDADE PAGE 10 Ao tratar os fluidos em movimento, estaremos necessariamente interessados na descrição de um campo de velocidade. Referindo – nos à figura trabalhada para massa específica A velocidade do fluido no ponto C é definida como a velocidade instantânea do centro de gravidade do volume envolvendo o ponto C naquele instante. Assim se definirmos uma partícula de fluido como uma pequena massa de fluido, de identidade fixa de volume F 06 4V’ estamos definindo a velocidade no ponto C como a velocidade instantânea da partícula de fluido a qual, num dado instante, está passando pelo ponto C. A velocidade num ponto qual do campo de escoamento é definido de modo semelhante. Num dado instante de tempo, o campo de velocidade é uma função das coordenadas espaciais x, y e z, isto é, . A velocidade num dado ponto do escoamento pode variar de um instante de tempo para outro, logo a caracterização completa será Se as propriedades do fluido em um ponto do campo não mudam com o tempo, o escoamento é denominado escoamento permanente. Matematicamente: , onde F 06 8 representa uma propriedade qualquer do fluido. ESCOAMENTOS UNI, BI E TRIDIMENSIONAL A equação mostra que o campo de velocidade é uma função das três coordenadas espaciais e do tempo. Este tipo de campo de escoamento é chamado tridimensional (é também transiente ou não permanente), porque a velocidade em qualquer um dos seus pontos depende das três coordenadas requeridas para localizar o ponto no espaço. Nem todos os escoamentos são tridimensionais. Considere-se, por exemplo, o escoamento através de um cano reto, longo e de seção constante. Distante da entrada do cano, a distribuição de velocidades pode ser dada por: para r = R u = 0 r = 0 u = umax Exemplo de um escoamento unidimensional: PAGE 10 Para definir a tensão em um ponto, podemos, então considerar os componentes ,e da força no ponto C agindo sobre os componentes ,e da área no ponto C. Assim, estamos efetivamente definindo os componentes da tensão no ponto C. Assim a equação [] pode ser substituída por nove equações, pois temos três componentes da tensão (resultante de cada um dos três componentes da força ,e), agindo sobre cada um dos componentes de área ,e. Usando uma notação que nos permita delinear ambos os planos nos quais a tensão está agindo e a direção na qual a tensão está atuando, teremos: tensão atuando sobre o plano i na direção j (i e j) podem representar x, y ou z. Logo a equação acima representa nove equações escalares, já que os elementos subscritos i e j podem assumir os valores x, y e z. que é a definição da tensão sobre um plano x na direção z. A tensão em um ponto é especificada pelos noves componentes: onde F 07 3 foi usado para denotar uma tensão normal e as tensões de cisalhamento são denotadas por F 07 4 A figura abaixo nos mostra estas tensões. Acima consideramos seis planos (dois x, dois y e dois z) nos quais as tensões podem atuar. Estes planos são nomeados e denotados como positivos e negativos, de acordo com o sentido, do plano para fora, da normal a este plano. Conversão de sinais para a tensão – Um componente da tensão é considerado positivo quando o sentido do componente da tensão e o plano sobre o qual ele atua são ambos positivos ou ambos negativos. São negativos quando têm sinais opostos. 3.5 - FLUIDO NEWTONIANO: VISCOSIDADE Definimos fluidos como uma substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço cisalhante. Na ausência deste esforço, ele não se deformará. PAGE 10 Pode-se classificar os fluidos de acordo com a relação entre o esforço aplicado e a taxa de deformação. Fluidos no qual o esforço aplicado é diretamente proporcional à taxa de deformação são chamados de Fluidos Newtonianos. São os mais comuns como água, ar, gasolina, entre outros. Fluidos não – Newtonianos são todos aqueles nos qual o esforço aplicado não é diretamente proporcional à taxa de deformação (sangue, alguns tipos de óleos lubrificantes, certas suspensões, tenso ativos, pastas, polímeros de elevado peso molecular). Variação da viscosidade dos fluidos com a temperatura A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura, já nos líquidos a medida que aumenta a temperatura a viscosidade diminui. A resistência de um fluido ao cisalhamento depende da força de coesão entre as moléculas e da velocidade de transferência da quantidade de movimento. LÍQUIDOS - as forças de coesão são muito maiores que nos gases. A coesão parece ser a causa predominante da viscosidade em um líquido, e como a coesão diminui com a temperatura, a viscosidade tem o mesmo comportamento. GÁS - as forças de coesão são muito pequenas, sua resistência ao cisalhamento é principalmente o resultado da transferência da quantidade de movimento. Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética das partículas, logo a probabilidade de choque também aumenta. Considere-se o comportamento de um elemento de fluido entre duas placas infinitas na figura a seguir: A placa superior movimenta-se a velocidade constante, F 06 4u, sob a influência de uma força aplicada constante F 06 4Fx. A tensão de cisalhamento, F 0 7 4yx, aplicada ao elemento de fluido é dada por: sendo que é a área do elemento de fluido em contato com a placa. No incremento de tempo, , o elemento de fluido é deformado da posição MNOP para a posição M’NOP’ e a taxa de deformação do fluido é dada por: O fluido é Newtoniano, se Formulando a expressão em termos de quantidades mais facilmente mensuráveis temos: ou para pequenos ângulos Equacionando as duas equações para PAGE 10 e Logo se o fluido é Newtoniano A tensão de cisalhamento age num plano normal ao eixo dos y. 3.5.1 – Viscosidade Sabemos que fluidos diferentes deformam-se diferentemente. Uns possuem maior resistência ao escoamento que outros. Ex: água e mel A constante de proporcionalidade a equação é a viscosidade absoluta (ou dinâmica) F 06 D, logo a lei da viscosidade de Newton é dada por: Dimensões poise = g/cm s É muito usado em Mecânica dos Fluidos o quociente da viscosidade absoluta F 06 D , em relação à massa específica. é chamada de viscosidade cinemática Dimensões: stoke = cm2/s 3.6 - DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS DE FLUIDOS Possível classificação dos escoamentos, baseada nas características físicas observáveis dos campos de escoamento. ESCOAMENTOS NÃO VISCOSOS – a viscosidade do fluido é suposta nula. Embora tal escoamento não exista, há muitos problemas onde tal suposição simplificará a análise e, ao mesmo tempo, conduzirá a resultados significativos. ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS – quando as variações de densidade são pequenas e relativamente sem importância. ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS – quando as variações de densidade desempenham um papel importante, tais como em escoamentos de gás a altas velocidades. Na maioria dos casos, líquidos são considerados como escoamento incompressível e gases como compressíveis. PAGE 10 É aquele para o qual o vetor velocidade é idêntico em todos os pontos (em modulo, direção e sentido) para qualquer instante dado ou, matematicamente: t = constante; F 0B 6s F 0 A Edeslocamento em qualquer direção Quando todas as seções transversais paralelas do conduto forem idênticas (isto é quando o conduto for prismático) e a velocidade media em todas as seções, num certo instante, for igual o escoamento é uniforme. Um escoamento no qual o vetor velocidade varia de local para local, num instante qualquer , é dito Não Uniforme. Exemplo: liquido bombeado por um tubo longo e reto tem escoamento uniforme. Liquido que escoa por um tubo de seção variável ou por um conduto curvo tem escoamento não uniforme. Exemplos de escoamento permanentes e variados e uniformes e não uniformes são: 1. Liquido escoando por um conduto longo e reto, com vazão constante tem escoamento uniforme e permanente. 2. Liquido escoando por um conduto longo e reto com vazão crescente tem escoamento uniforme e variado. 3. O escoamento por um conduto de seção decrescente e vazão constante tem escoamento não uniforme e permanente. 4. O escoamento por um conduto de seção decrescente e vazão crescente tem escoamento não uniforme e variado . ESCOAMENTO ROTACIONAL ou com vórtices - quando as partículas do fluido numa certa região possuir rotação em relação a qualquer eixo. ESCOAMENTO IRROTACIONAL – quando o fluido, numa região, não tiver rotação. 3.7 - PROPRIEDADES DO TRANSPORTE MOLECULAR DOS FLUIDOS As propriedades de transporte molecular dos fluidos são aquelas relacionadas com os fenômenos de transferência de calor, massa e quantidade de movimento, por meio de mecanismos de ação molecular. As taxas de transferência de quantidade de movimento, calor e massa podem ser expressos por equações análogas, pois, em geral, a taxa de transporte de uma quantidade conservativa (como é o caso da quantidade de movimento, da energia e da massa) é proporcional ao gradiente da grandeza que provoca esta transferência. PAGE 10 A constante de proporcionalidade é uma propriedade física da substancia em questão, também chamada de propriedade de transporte. As equações de transferência de quantidade de movimento, calor e massa são: a) Transferência da quantidade de movimento: (1) onde = tensão de cisalhamento (força/unidade de área) • = viscosidade dinâmica do fluido = gradiente da componente x da velocidade na direção y A equação (1) é conhecida como a “ Lei da Viscosidade de Newton “ e pode ser entendida como: Fluxo de quantidade de movimento = quantidade de mo. transportada (unid. De área) x (unid. de tempo) = (viscosidade) x (grad. de veloc.) A viscosidade de um fluido dá uma medida da resistência desse fluido ao movimento relativo de suas partículas constituintes. b) Transferência de Calor: (q = - k F 0D 1T) (2) onde = fluxo de calor na direção y Q = calor total transportado por unidade de tempo A = área através da qual Q é transportado K = condutividade térmica do material. = gradiente de temperatura na direção y A equação (2) é conhecida como “Lei de Fourrier” e pode ser entendida como: Fluxo de calor = calor transportado (unidade de área) ( unidade de tempo) Fluxo de calor = (condutividade térmica) (gradiente de temperatura) A condutividade térmica k é uma medida da resistência que uma substancia oferece à transferência de calor. c) Transporte de massa: (3) onde PAGE 10 = fluxo molar do componente A na direção y NA = numero de moles de A transportado por difusão. A = área através da qual A se difunde DAB = coeficiente de difusão mássica do componente A no componente B = gradiente da concentração molar do componente A na direção y. A equação (3) é conhecida como a “ Primeira Lei de Fick” e pode ser entendida como: Fluxo molar de A = numero de moles de A transportado (unidade de área) (unidade de tempo) Fluxo molar de A = (coeficiente de difusão) (grad. de concentração) O coeficiente de difusão em um sistema de 2 componentes (A,B ) é a medida da resistência à difusão molecular de um dos componentes (A) no outro (B). Analisando-se as três equações pode-se verificar a analogia existente entre os 3 processos de transporte, isto é, transporte de calor, massa e quantidade de movimento. Deve-se salientar que o fluxo de calor q e o fluxo de massa J são grandezas vetoriais, enquanto que a tensão de cisalhamento F 07 4 é uma grandeza tensorial. Deste modo, a analogia que é perfeita entre calor e massa, só pode ser aplicada ao transporte de quantidade de movimento se este ultimo for considerado em uma única direção. As equações (1), (2), (3) podem ser representadas por uma única equação desde que se tenha em mente a restrição acima: P = C F 0D 1 G Onde P é o fluxo de certa quantidade, provocado pelo gradiente de grandeza G e C é a constante de proporcionalidade que é uma propriedade característica do material onde ocorre o processo de transporte em questão. Observação: 1. Transferência da quantidade de movimento: 1. Lei da Viscosidade de Newton: PAGE 10 MM Modulo de elasticidade volumétrica K ML- 1 T - 2 FL- 2 Aplicação 2 O número de Reynolds é uma função da massa específica, da viscosidade e da velocidade de um fluído, e de um comprimento característico. Estabelecer o número de Reynolds pela análise dimensional. Podemos escrever Re = f ( F 07 2 , F 0 6 D, L, V) ou Re = K F 0 7 2 aF 0 6 D b VcLd (A) F 07 2 = massa especifica F 0 6 D = viscosidade V = Velocidade L = comprimento Onde K é um coeficiente adimensional, geralmente determinado experimentalmente. Logo F 0 7 2 = FT 2L-4 F 0 6 D = FTL -2 V = LT-1 L = L Substituindo: Re = K ( FT2L-4)a ( FTL-2)b (LT-1)c ( L)d Então, como a equação deve ser dimensionalmente homogênea, podemos escrever: F 0L 0T 0 = (F aT 2a L –4a ) ( Fb Tb L-2b) ( Lc T-1) (L d) Obs: os expoentes de cada uma das quantidades devem ser os mesmos em cada lado da equação. Igualando os expoentes de F, L e T respectivamente, obtêm: 0 = a + b (I) a = - b 0 = - 4a – 2b + c + d (II) c = - b 0 = 2a + b – c (III) d = - b de ( I) a = - b de (II) 0 = 2( -b) + b – c 0 = 4b – 2b – b + d donde d = - b PAGE 10 Substituindo na expressão anterior (A) Re = K (F 07 2) -b ( v)-b ( F 06 D) b (L)-b Os valores de K e b devem ser determinados por análise física e / ou experimentalmente. Aqui K = 1 e b = -1. Aplicação 3 Estabelecer uma equação para a distancia percorrida por um corpo em queda livre no tempo T, considerando-se que a distancia depende do peso do corpo, da aceleração da gravidade e do tempo. Podemos escrever: Distância = S logo S = f ( W, A, T) ou S = K Wa Ab Tc Onde K é adimensional. Os expoentes de cada uma das grandezas devem ser os mesmos em ambos os membros da equação. Podemos escrever: W F A LT-2 T T F0 L1 T0 = ( F)a (LT-2)b ( T)c F0 L1 T0 = ( Fa) (LbT-2b) ( T)c 0 = a 1 = b 0 = -2b + c donde a = 0, b = 1 e c = 2 Logo, S = K W0 A1 T2 ou S = KAT2 4.2 - TEOREMA DE BUCKINGHAN Quando o número de grandezas físicas ou variáveis for igual a quatro ou mais, o teorema de Buckinghan fornece um excelente instrumento pelo quais estas grandezas podem ser organizadas em pequeno número de símbolos, grupamento adimensionais, a partir dos quais uma equação poderá ser deduzida. Estes grupos adimensionais são chamados termos F 07 0 . O teorema F 07 0 ou de Buckinghan demonstra que, num problema físico envolvendo n grandezas nas quais comparecem m dimensões, as grandezas podem ser agrupadas em n - m parâmetros adimensionais independentes. Sejam: A1, A2, A3, A4 ,........, An, PAGE 10 as grandezas envolvidas, tais como pressão, viscosidade, velocidade, etc. Sabe-se que todas as grandezas são essenciais à solução devendo, pois existir alguma relação funcional: F(A1, A2, A3 , A4 , ......, An) = 0 Se F 07 0 1, F 0 7 0 2, F 0 7 0 3 ........., representam grupos adimensionais das grandezas A1, A2,A3 ,A4 ........, com m dimensões envolvidas, então existe uma expressão do tipo: F(F 07 01, F 0 7 02, F 0 7 03, F 0 7 0 4 ,........, F 0 7 0n-m) = 0 O método para a determinação dos parâmetros F 07 0 consiste em: 1 - Escolher m das n grandezas A, com DIMENSÕES DIFERENTES, que contenham entre elas as m DIMENSÕES. 2 - Usá-las como base juntamente com uma das outras grandezas A para cada F 07 0. Todas as unidades fundamentais devem ser incluídas coletivamente nas grandezas escolhidas. 3 – O primeiro termo F 07 0 pode ser expresso como um produto destas grandezas escolhidas, cada uma delas elevada a um expoente desconhecido, e uma outra grandeza elevada a uma potência conhecida (usualmente tomada como unitária). 4 - Manter as grandezas escolhidas em (2) como variáveis repetitivas e, escolher uma das variáveis remanescentes para estabelecer o próximo termo F 07 0. 5 - Para cada termo F 07 0 determinar os expoentes desconhecidos para análise dimensional. Ex: Consideremos A1, A2 , A3 , . A 4 ....... contendo M, L, T no conjunto, logo: O primeiro parâmetro F 07 0 é formado por F 0 7 01 = A1 x1 A2 y1 A3 z1 A4 o segundo por F 0 7 0 2 = A1 x2 A2 y2 A3 z2 A5 e assim por diante até F 0 7 0 n-m = A1xn-m A2 yn-m A3 zn-m Na Nestas equações os expoentes devem ser determinados de tal forma que cada F 07 0 resulte adimensional. As dimensões das grandezas A são substituídas e os expoentes M, L e T são todos igualados a zero. Isto conduz a três equações, a três incógnitas, para cada parâmetro F 07 0, de modo que os expoentes x, y e z e, em conseqüência, os parâmetros · podem ser determinados. Se apenas duas dimensões estão envolvidas, deve-se selecionar duas grandezas A para formar a base e obtêm-se duas equações a duas incógnitas para cada F 07 0. PAGE 10 GRANDEZA SIMBOLO DIMENSÕES (MLT) DIMENSÕES (FLT) VELOCIDADE V LT - 1 LT - 1 MASSA ESPECÍFICA ρ ML- 3 FT 2 L- 4 COMPRIMENTO L L L PRESSÃO OU QUEDA DE PRESSÃO Δp ML-1 T - 2 FL - 2 ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE g LT - 2 LT - 2 VISCOSIDADE ABSOLUTA µ ML-1 T - 1 FTL- 2 TENSÃO SUPERFICIAL τ M T - 2 FL- 1 MOD. ELAST. VOLUMETRICA K ML- 1 T - 2 FL- 2 Escolher: v, ρ, l π1 = Vx1 ρy1 l z1 Δp π2 = Vx2 ρy2 l z2 g π3 = Vx3 ρy3 l z3 µ π4 = Vx4 ρy4 l z4 σ π5 = Vx5 ρy5 l z5 K π6 = Vx6 ρy6 l z6 l1 = l1 / l π7 = Vx7 ρy7 l z7 l2 = l2 / l 1 - π1 = (LT-1)x1 (ML-3) y1 L z1 (ML-1T-2 ) = M0 L0 T0 x1 - 3y1 + z1 - 1 = 0 x1 = -2 - x1 - 2 = 0 y1 = - 1 y1 + 1 = 0 z 1 = 0 π1 = Δp / ρ V 2 Euler (E) ⇒ (coeficiente de pressão) 2 - - π2 = (LT-1)x2 (ML-3) y2 L z2 L T -2 = M0 L0 T0 PAGE 10 x2 - 3y2 + z2 + 1 = 0 x2 = -2 - x2 - 2 = 0 y2 = 0 y2 = 0 z2 = 1 π2 = g l / V 2 Froude (F)⇒ importante para escoamentos com efeitos de superfície livre. 3 - π3 = (LT-1)x3 (ML-3) y3 L z3 ML-1T-1 = M0 L0 T0 x3 - 3y3 + z3 - 1 = 0 x3 = -1 - x3 - 1 = 0 y3 = -1 Y3 + 1 = 0 z3 = -1 π3 = µ / ρ V l Reynolds ( Re )- importante para escoamentos em geral. 4 - π4 = (LT-1)x4 (ML-3) y4 L z4 M T -2 = M0 L0 T0 x4 - 3y4 + z4 = 0 x4 = -2 - x4 - 2 = 0 y4 = -1 y4 + 1 = 0 z4 = -1 π4 = σ / l ρ V 2 Weber (W) ⇒ importante em Escoamento com interface gás- líquido ou líquido-líquido 5 - π5 = (LT-1)x5 (ML-3) y5 L z5 (ML-1T-2 ) = M0 L0 T0 X5 - 3y5 + z5 - 1 = 0 x5 = -2 - x5 - 2 = 0 y5 = - 1 Y5 + 1 = 0 z 5 = 0 π5 = K / ρ V 2 Mach (M) ⇒ importante PAGE 10 em escoamento com efeitos de compressibilidade 6 - π6 = (LT-1)x6 (ML-3) y6 L z6 L = M0 L0 T0 x6 - 3y6 + z6 + 1 = 0 x6 = 0 - x6 = 0 y6 = 0 y6 = 0 z6 = 1 π6 = l1 / l 7 - π7 = (LT-1)x7 (ML-3) y7 L z7 L = M0 L0 T0 X7 - 3y7 + z7 + 1 = 0 x7 = 0 - x7 = 0 y7 = 0 Y7 = 0 z7 = 1 π7 = l2 / l Logo f(Δp/ρV 2, g l/V2, µ/ρ lV, σ/ lρV 2, K/V 2ρ, l1/l, l2/l) = 0 f1(Δp /ρV2, F, Re, W, M, l/l1, l/l2 ) = 0 Δp = ρ V2 f2( F, Re, W, M, l / l1, l / l2) f2 ⇒ teórico ou experimental 5 - DINÂMICA DOS FLUIDOS O escoamento de um fluido real é muito complexo. As leis básicas que descrevem o movimento de um fluido não são de fácil formulação, nem de fácil manejo matemático, de forma que são necessários recursos PAGE 10 c) Velocidade mássica em cada tubo expressa em lb/ft2.h Solução: d = 2,0 in sch 40 ---------- SA = 0,02330 ft2 d = 3,0 in sch 40 ---------- SB = 0,05130 ft2 d = 1,5 in sch 40 ---------- SC = 0,01414 ft2 Calculo da massa específica e transformação de unidade da vazão F 07 2 = d x F 0 7 2 padrão F 07 2 = 0,887 x 62,37 = 55,3 lb/ft 3 1 ft3 = 7,48 galão logo, QV = 30 (gal / min) x 60 (min/ h) / 7,48 (gal/ ft3) QV = 240,7 ft3 / h Então QMA = QMB = 240,7 ft3/h x 55,3 lb/ ft3 QMA = QMB = 13300 lb/h QMC = 13300 lb/h / 2 = 6650 lb/h b) VA = QV / S VA = 240,7 x 1/3600 (h/seg x ft3/ h ) x 1 / 0,0233ft2 VA = 2,87 ft/s VB = 240,7 / 3600 x 0,0513 VB = 1,30 ft/s VC = 240,7 / 2 x 1 / 3600 x 0,01414 VC = 2,36 ft/s c) G = QM / S GA = 13300 / 0,0233 ------ GA = 571000 lb / ft2. h GB = 13300 / 0,05130 ------ GB = 259000 lb / ft2 . h GC = 13300 / 2 x 0,01414 ----- GC = 470000 lb / ft2. h PAGE 10 5.2 - BALANÇO DE ENERGIA - EQUAÇÃO DE BERNOULLI SUPOSIÇÕES: 1 – Sistema Contínuo 2 – Fluido Ideal (sem atrito) Tipos básicos de energias envolvidas 1. Energia Potencial - EP É a energia que um objeto possui devido à sua posição. Esta energia está pronta a ser modificada noutras formas de energia e, conseqüentemente, a produzir trabalho. Assim que ocorrer algum movimento, a energia potencial da fonte diminui, enquanto se modifica em energia do movimento (energia cinética). Ep = W = F.d (I) Como Força é definido através da equação de Newton como , aceleração = g e distancia = z, substituindo em ( I ) teremos: EP = ( lbf x ft ) 2. Energia Cinética - Ec Da definição de energia cinética como trabalho para colocar um corpo em movimento, podemos obter a expressão geral dada acima para o cálculo da energia cinética: como o deslocamento em instante infinitesimal de tempo é, , obtemos: Físicos adoram cancelar infinitesimais do tipo dt que aparecem em denominadores com os que aparecem em numeradores, apesar da ânsia que isto causa nos matemáticos. Cancelando o dt na expressão acima podemos escrever Logo: Ec = ( lbf x ft ) Energia de Pressão - Epressão PAGE 10 Epressão = P x V ( lbf/ft2 x ft3) ------ ( lbf x ft ) A energia de pressão (PV) é a energia transportada pelo fluído como resultado de haver sido introduzido no sistema. Na realidade o produto PV é um termo de trabalho a expensas da energia das vizinhanças. Esta energia é a força exercida pelo fluído imediatamente depois do ponto de entrada multiplicado pela distancia ao longo da qual atua. A distancia ao longo da qual atua a força é igual ao volume específico do material dividido pela área transversal no ponto de entrada. Assim o trabalho feito é a força multiplicada pela distancia, ou seja: ( P x A ) x ( V / A) = P x V Fazendo o balanço do ponto 1 ao 2 teremos: Através da equação da continuidade m1= m2 = m3 = m. Logo dividindo a equação por m teremos. lbf. Ft / lbm Multiplicando por gc / g ft) Equação de Bernoulli (despreza-se a variação de energia interna que é desprezível para fluidos incompressíveis). 5.3 - EQUAÇÃO DE EULER (correção da equação de Bernoulli devido ao atrito) Colocando a equação de Bernoulli na forma de diferencial e supondo fluído real (com atrito). ou Integrando para fluídos incompressíveis (· = constante) hf energia perdida pelo líquido, por unidade de peso, para se deslocar do ponto 1 ao ponto 2. 5.4 - APLICAÇÃO DE BERNOULLI (TEOREMA DE TORRICELI) PAGE 10 Re = número de Reynolds ( adimensional) V = velocidade media ( m/s ou ft/s) D = diâmetro interno do conduto ( m ou ft) • = viscosidade absoluta ( g/ cm.s ou lb/ft. s). F 0 7 3 = viscosidade cinemática ( m2/s ou ft2/s) • = massa especifica a temperatura do escoamento (kg/m3 ou lb/ft3) Para os tubos comerciais valem os seguintes limites: Re F 0A 3 2500 movimento laminar 2500 F 03 C Re F 0 3 C 4000 zona critica Re F 0B 3 4000 movimento turbulento • Para dutos não circulares Toma-se como diâmetro na equação do número de Reynolds um diâmetro equivalente que se define como igual a quatro vezes o raio hidráulico. O raio hidráulico se representa por rH e se define como a relação entre a área da seção transversal da condução e o perímetro molhado. S = seção transversal Lp = perímetro molhado • Para o caso particular de um tubo circular D equivalente. = 4 rH • Para o caso particular de uma seção anular entre dois tubos concêntricos Sendo Di e Do respectivamente o diâmetro interior e exterior do anel. Logo 6.2 - PERDA DE CARGA No estudo do Teorema de Bernoulli vimos que deveria ser introduzido um termo corretivo F 04 4 denominado perda de carga. Esta perda de carga é ocasionada pela resistência que o líquido oferece ao escoamento. No regime laminar a resistência é devida inteiramente à viscosidade do líquido ao passo que no regime turbulento é devido não só a viscosidade como à inércia. CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS As perdas de carga estão classificadas em: a) Perdas ao longo do conduto (hf): são ocasionadas pelo movimento da água na própria tubulação. PAGE 10 b) Perdas de cargas localizadas (hf): provocadas pelas peças e singularidades ao longo das canalizações tais como: curvas, registros, derivações, redução ou aumento de diâmetro. PERDAS AO LONGO DAS CANALIZAÇÕES A resistência ao escoamento da água ao longo das canalizações depende do comprimento e do diâmetro do tubo, da velocidade do líquido, da rugosidade das paredes do tubo, porém não depende da posição do tubo nem da pressão interna. As experiências de Nikuradse mostram a importância da rugosidade nas perdas ao longo das canalizações. A Rugosidade das paredes depende: • Material empregado na fabricação dos tubos • Processo de fabricação dos tubos • Comprimento dos tubos e número de juntas • Técnica de assentamento • Estado de conservação das paredes do tubo • Existência de revestimento especial • Emprego de medidas protetoras durante o funcionamento Existem várias formulas empíricas para o calculo da perda de carga ao longo das canalizações, porém estudaremos apenas a formula universal, que é a de Darcy- Weisbach. L = comprimento do tubo D = diâmetro do tubo V = velocidade do líquido f = coeficiente de atrito Esta fórmula engloba na mesma lei o escoamento de todos os líquidos qualquer que seja o tipo de escoamento (livre ou forçado) ou regime (laminar ou turbulento). O coeficiente de atrito, sem dimensão, é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa e pode ser determinado com auxilio do DIAGRAMA de MOODY. RUGOSIDADE RELATIVA A rugosidade relativa é definida como sendo: F0 65 / D sendo F065 a rugosidade da parede e D o diâmetro da canalização. A turbulência depende não só do número de Reynolds como também da rugosidade. PAGE 10 Para escoamento LAMINAR ( Re F 03 C 2500), temos ainda a equação de Hagen-Poisewille. igualando com a equação de Darcy, temos: rearrumando como teremos onde f é o fator de atrito. 6.3 - PERDAS DE CARGA LOCALIZADA As perdas de carga localizadas, também chamadas de perdas singulares são ocasionadas por mudanças de seção de escoamento e/ou de direção da corrente. Estas mudanças ocasionam turbilhonamento e, devido à inércia, parte da energia mecânica disponível se converte em calor e dissipa sob essa forma resultando, portanto numa perda de energia ou perda de carga. São aquelas devido a distúrbios locais do fluxo ao passar por acidentes (válvulas, curvas, cotovelos, joelhos, têm, registros, etc). No caso de tubulações de grande extensão estas perdas podem ser insignificantes em relação a perda normal, entretanto em outros casos ( ex: tubulação de sucção em um sistema de bombeamento), elas podem ser de grande valor em relação as perdas normais. A perda de carga localizada (hfi) pode ser determinada através de um dos dois métodos descritos a seguir: 1. MÉTODO DIRETO k = coeficiente obtido experimentalmente em cada caso V = velocidade média do líquido na entrada Hf = perda de carga 1. perdas em restrições e expansões 2. perdas na entrada: a perda na saída do fluído de um reservatório e entrada na tubulação depende da forma geométrica empregada. 3. perda na saída: na saída de um fluído de uma tubulação, não importa a forma ou tipo de sistema teremos sempre k = 1.0. 4. perdas em válvulas e acessórios quando os gráficos são usa-se V1 ( velocidade a montante) quando os gráficos são usa-se V2 (velocidade a jusante) 2. MÉTODO DO COMPRIMENTO EQUIVALENTE Consiste este método em determinarmos um comprimento reto de tubulação que daria a mesma perda de carga do acessório considerado. Consideremos então as seguintes expressões: PAGE 10 EXEMPLO Água a 60ºF escoa num tubo de aço comercial de 12 in sch 40 com uma perda de carga de 20 ft em 1000ft. Determinar a Vazão. 3º CASO 1-Admite-se um valor de f 2- Resolve-se a equação em D5 3- resolve a equação do nº de Re 4- Calcula-se F065 /D 5- Com Re e F065 /D acha-se um novo f por MOODY 6- Usa-se o novo f e repete-se o procedimento 7- Quando o valor de f não mais variar, todas as equações são obedecidas e o problema está resolvido. EXEMPLO Determinar o diâmetro do tubo de aço comercial necessário para transportar 4000 gpm de um fluído, com viscosidade cinemática de 0,0001 ft2/s à distancia de 10000 ft com uma perda de carga de 75 ft. 8- ASSOCIAÇÕES DE TUBULAÇÕES Sempre que encontramos um sistema com tubulações que apresentam variações no diâmetro no decorrer de sua extensão, ou com ramificações, uma das maneiras de simplificar o problema é encontrar uma tubulação que seja equivalente ao sistema em estudo. Podemos dizer que duas tubulações são PAGE 10 equivalentes quando são capazes de conduzir à mesma vazão sob a mesma perda de carga. Pensando assim, os problemas que envolvem perda de carga são bastante simplificados. O método consiste em adicionar à extensão da canalização, para efeito de calculo, comprimentos tais que correspondem à mesma perda de carga que causariam as peças especiais existentes na canalização. TUBULAÇÕES EM SÉRIE O problema consiste em determinar qual seria o comprimento L que deveria ter uma tubulação de diâmetro prefixado para ser equivalente a uma tubulação em série que constitui o nosso sistema em estudo. Nós sabemos que: Aplicando a definição de tubulações equivalentes ao sistema de tubulações em série da figura (b) acima, temos: hf = hf1 + hf2 Q = Q1 = Q2 Então: = Cf1L1 + Cf2L2 Para resolver essa equação é necessário, inicialmente, determinar os coeficientes de atrito (f). Entretanto, uma solução aproximada, para fins estimativos, pode ser desenvolvida se os diâmetros envolvidos D1 e D2 forem do mesmo material e de dimensões próximas. Neste caso, a variação do valor de f é menos sensível, principalmente se o escoamento for completamente turbulento. Neste caso, o diâmetro D é fixado como sendo igual a D1 ou D2 ou a media aritmética entre eles. Este procedimento reforça a nossa adoção de f=f1=f2. Então temos: Ou generalizando: (I) Como conhecemos os valores de L1 e D1, fixamos o valor de D e estimamos o valor de L através da equação (I) acima. TUBULAÇÕES EM PARALELO Analogamente ao anterior, este problema consiste em determinar o comprimento L da tubulação equivalente abaixo, de diâmetro D prefixado, para ser equivalente ao feixe de tubulações em paralelo em consideração da figura (d). PAGE 10 As equações que podemos levantar para o problema são: hf = hf1 = hf2 = hf3 Q = Q1 + Q2 + Q3 Então: ou Q = ou Q1 = ou Q2 = ou Q3 = Substituindo os valores de Q1, Q2, Q3 e Q na expressão Q = Q1 + Q2 + Q3, vem: = + + como hf = hf1 = hf2 = hf3, temos. = + + Nesse caso, teríamos que supor uma distribuição inicial de vazões ou valores para os coeficientes de atrito e posteriormente verificar a solução por um processo interativo. Fazendo considerações análogas àquelas desenvolvidas no estudo de tubulações em série, uma solução aproximada para fins interativos seria supor: f = f1 = f2 = f3 e, então = + + ou generalizando = (II) Como conhecemos os valores de Di, Li, fixamos um valor para D e obtemos o correspondente valor do comprimento equivalente L. Também aqui a escolha do diâmetro D igual a um dos diâmetros Di reforça a aproximação. 9 - BIBLIOGRAFIA Fox, Robert W., McDonald, Alan T., Introdução a Mecânica dos Fluidos, 4 ° edição, LTC Editora, 1998. Street, Victor L., Mecânica dos fluidos, McGraw-Hill do Brasil, 1969 (São Paulo). Bastos, Francisco de Assis, Problemas de mecânica dos fluidos, editora Guanabara. Crane, “ Flow of fluids Throught Valves, Fitting, and Pipe” – Engineering Division. PAGE 10