FEP 2196 - P3 de 2007

FEP 2196 - P3 de 2007

(Parte 1 de 2)

1. Um trem de comprimento proprio L0 move-se com velocidade v = 0,8 c em relacao a estrada e dirige-se para uma ponte com extensao d, medido no referencial da estrada

(S). No momento em que a dianteira do trem (A) passa pelo ponto O, no inıcio da ponte, dois flashes de luz sao disparados simultaneamente no referencial do trem (S′), nas extremidades do trem (A e B). Nesse instante, dois observadores, um em A e outro em O, sincronizam seus cronometros em t = t′ = 0 com a origem dos sistemas de referencias S e S′ coincidentes.

(a) (1,0) No referencial da estrada, qual o intervalo de tempo ∆t entre os flashes de luz emitidos em A e B?

(b) (0,5) No referencial da estrada em que instante t1 o flash de luz emitido em A atinge o ponto B?

(c) (1,0) No referencial do trem, quanto tempo ele leva para percorrer completamente a ponte?

(a) No referencial da estrada, qual o intervalo de tempo ∆t entre os flashes de luz emitidos em A e B?

No referencial do trem (S′) ocorrem dois eventos simultaneos, com coordenadas espacotempo:

Evento A: flash de luz emitido em A com x′A = 0 e t′A = 0

Evento B: flash de luz emitido em B com x′B = −L0 e t′B = 0 Usando as transformadas de Lorentz, passamos para o referencial S:

com

Intervalo de tempo no referencial S:

(b) No referencial da estrada em que instante t1 o flash de luz emitido em A atinge o ponto B?

No referencial S′ do trem o pulso de luz emitido em A atinge o ponto B de coordenada x′B = −L0 no instante de tempo

Usando a transformada de Lorentz para obter o tempo t1 no referencial da estrada (S) temos:

(c) No referencial do trem, quanto tempo ele leva para percorrer completamente a ponte?

No referencial do trem (S′) a extensao da ponte e de

Para percorrer completamente a ponte, ou seja, para que o extremo B do trem atinja o final da ponte o espaco total percorrido sera o comprimento do trem mais a extensao da ponte:

Portanto, o tempo necessario para percorrer esse espaco e de

2. Num referencial S duas espaconaves A e B movem-se com velocidade u = 0,5 c, na mesma direcao mas em sentidos opostos. Cada espaconave tem comprimento proprio igual a 100 m. Quando a espaconave A passa pela origem O, um feixe de luz e emitido partindo de O, formando um angulo de 60◦ em relacao ao eixo Ox, como mostra a figura.

luz y 60o

(a) (1,0) Determine a velocidade da espaconave A em relacao a B.

(b) (1,0) Qual a inclinacao θ′ do feixe de luz medido pelo observador na espaconave B?

(c) (0,5) Os resultados obtidos nos itens (a) e (b) sao compatıveis com os postulados da relatividade? Justifique.

SOLUC AO (a) Determine a velocidade da espaconave A em relacao a B.

No referencial S ~uA = 0,5 c ı e ~uB = −0,5 c ı. Como queremos a velocidade da espaconave A em relacao a B, tomaremos como referencial S′ a espaconave B, ou seja,

~v = −0,5 c ı. Usando as transformadas de Lorentz para a velocidade

temos

(b) Qual a inclinacao θ′ do feixe de luz medido pelo observador na espaconave B? Para determinar a inclinacao θ′, precisamos calcular onde u′y e u′x sao as componentes da velocidade do feixe de luz medidas no referencial da espaconave B (S′).

No referencial S o feixe de luz tem velocidade

O referencial S′ (espaconave B) move-se, em relacao a S, com velocidade ~v = −0,5 c ı. Usando as transformadas de Lorentz para a velocidade

temos para a velocidade do feixe de luz no referencial S′:

Entao,

θ′ = arctan

(c) Os resultados obtidos nos itens (a) e (b) sao compatıveis com os postulados da relatividade? Justifique.

No item (a), o resultado classico obtido para a velocidade da espaconave B em relacao a espaconave A, seria c, no entanto usando as transformacoes de Lorentz o valor obtido e inferior a c. No item (b), vemos que no referencial de B, se calcularmos a velocidade da luz, obtida pelas transformacoes de Lorentz, teremos:

De fato, de acordo com o postulado da relatividade a velocidade da luz e sempre c, independente do movimento do observador em relacao a fonte de luz.

3. Uma partıcula de massa de repouso M0 move-se com velocidade de magnitude v0 = β0c, tal que o seu fator de Lorentz e γ0 e, num dado instante de tempo, se desintegra em duas partıculas, 1 e 2, ambas com velocidade de magnitude v = βc. As massas de repouso das partıculas 1 e 2 sao m0 e αm0, respectivamente, sendo α uma constante, tal que α > 1. Apos a desintegracao, a partıcula 1 move-se na direcao determinada por θ1 = pi2 e a partıcula 2 na direcao determinada por θ2, conforme a figura abaixo

(a) (1,0) Escreva as equacoes da conservacao da energia relativıstica (energia total) e do momento linear relativıstico para este processo de desintegracao.

(b) (0,5) Determine o angulo θ2 de emissao da partıcula 2, em termos de α. (c) (1,0) Determine o valor de β para as partıculas 1 e 2 em funcao de α e β0.

(a) Escreva as equacoes da conservacao da energia relativıstica (energia total) e do momento linear relativıstico para este processo de desintegracao.

Conservacao da energia relativıstica E = γ(v)m0c2

(b) Determine o angulo θ2 de emissao da partıcula 2, em termos de α. 6

Da equacao da componente y da conservacao do momento linear temos:

(c) Determine o valor de β para as partıculas 1 e 2 em funcao de α e β0. Da conservacao da energia relativıstica temos:

γ0M0 = (1 + α)γ(βc)m0 Da componente x da conservacao do momento linear temos:

Mas,

entao

4. Uma cidade de 1 milhao de habitantes tem um consumo de energia eletrica de 0,30 GW.

Suponha que essa energia seja gerada por um reator a fusao nuclear. (Dados: massa de repouso do H = 935 MeV/c2 e massa de repouso do He4 = 3718 MeV/c2).

(a) (0,5) Qual seria a energia liberada se 1 kg de materia fosse integralmente convertido em energia?

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