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Apostila de Fenomenos de Transporte, Notas de estudo de Cultura

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Tipologia: Notas de estudo

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Compartilhado em 17/02/2009

jose-roberto-dos-santos-3
jose-roberto-dos-santos-3 🇧🇷

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Baixe Apostila de Fenomenos de Transporte e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! FENÔMENOS DOS TRANSPORTES Distribuição de Velocidade Distribuição de Temp. Tty) E vio) o y Superfície E vty 'Aquecida E—— To Eduardo Emery Cunha Quites 2 FENÔMENOS DOS TRANSPORTES O processo de transporte é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição onde não ocorre nenhuma variação. Os fatos comuns a todos processos de transporte são : A Força Motriz O movimento no sentido do equilíbrio é causado por uma diferença de potencial O Transporte Alguma quantidade física é transferida O Meio A massa e a geometria do material onde as variações ocorrem afetam a velocidade e a direção do processo Como exemplos podemos citar : • Os raios solares aquecem a superfície externa de uma parede e o processo de transferência de calor faz com que energia seja transferida através da parede, tendendo a um estado de equilíbrio onde a superfície interna será tão quente quanto à externa. • Quando um fluido está entre duas placas paralelas e uma delas se movimenta, o processo de transferência de quantidade de movimento faz com que as camadas de fluido adjacentes à placa se movimentem com velocidade próxima à da placa, tendendo a um estado de equilíbrio onde a velocidade do fluido varia de V na superfície da placa em movimente até 0 na superfície da placa estacionária. • Uma gota de corante é colocada em recipiente com água e o processo de transferência de massa faz com que o corante se difunda através da água, atingindo um estado de equilíbrio, facilmente detectado visualmente. 1. TRANSFERÊNCIA DE CALOR 1.1. INTRODUÇÃO 1.1.1. O QUE É e COMO SE PROCESSA? Transferência de Calor (ou Calor) é energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura. Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. Por exemplo, se dois corpos a diferentes temperaturas são colocados em contato direto, como mostra a figura 1.1, ocorrera uma transferência de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura até que haja equivalência de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilíbrio térmico. T1 T2 T T Se T1 > T2 ! T1 > T > T2 [ figura 1.1 ] Está implícito na definição acima que um corpo nunca contém calor, mas calor é indentificado com tal quando cruza a fronteira de um sistema. O calor é portanto um fenômeno transitório, que cessa quando não existe mais uma diferença de temperatura. Os diferentes processos de transferência de calor são referidos como mecanismos de transferência de calor. Existem três mecanismos, que podem ser reconhecidos assim : • Quando a transferência de energia ocorrer em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido, em virtude de um gradiente de temperatura, usamos o termo transferência de calor por condução. A figura 1.2 ilustra a transferência de calor por condução através de uma parede sólida submetida à uma diferença de temperatura entre suas faces. [ figura 1.2 ] 5 1.2. CONDUÇÃO 1.2.1. LEI DE FOURIER A lei de Fourier foi desenvolvida a partir da observação dos fenômenos da natureza em experimentos. Imaginemos um experimento onde o fluxo de calor resultante é medido após a variação das condições experimentais. Consideremos, por exemplo, a transferência de calor através de uma barra de ferro com uma das extremidades aquecidas e com a área lateral isolada termicamente, como mostra a figura 1.6 : [ figura 1.6 ] Com base em experiências, variando a área da seção da barra, a diferença de temperatura e a distância entre as extremidades, chega-se a seguinte relação de proporcionalidade: x T Aq ∆ ∆ .α& A proporcionalidade pode se convertida para igualdade através de um coeficiente de proporcionalidade e a Lei de Fourier pode ser enunciada assim: A quantidade de calor transferida por condução, na unidade de tempo, em um material, é igual ao produto das seguintes quantidades: & . .q k A dT dx = − ( eq. 1.1 ) onde, &q , fluxo de calor por condução ( Kcal/h no sistema métrico); k, condutividade térmica do material; A, área da seção através da qual o calor flui, medida perpendicularmente à direção do fluxo ( m2); dT dx , razão de variação da temperatura T com a distância, na direção x do fluxo de calor ( oC/h ) ! A razão do sinal menos na equação de Fourier é que a direção do aumento da distância x deve ser a direção do fluxo de calor positivo. Como o calor flui do ponto de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa (gradiente negativo), o fluxo só será positivo quando o gradiente for positivo (multiplicado por -1). O fator de proporcionalidade k ( condutividade térmica ) que surge da equação de Fourier é uma propriedade de cada material e vem exprimir maior ou menor facilidade que um material apresenta à condução de calor. Sua unidade é facilmente obtida da própria equação de Fourier, por exemplo, no sistema prático métrico temos :             =−=⇒−= Cmh Kcal m C m hKcal dx dT A q k dx dT Akq oo ... .. 2 & & No sistema inglês fica assim : No sistema internacional (SI), fica assim : W m.K Btu h ft Fo. . Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da constituição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, o k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, o k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura.. 6 1.2.2. CONDUÇÃO DE CALOR EM UMA PAREDE PLANA Consideremos a transferência de calor por condução através de uma parede plana submetida a uma diferença de temperatura. Ou seja, submetida a uma fonte de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado, e a um sorvedouro de calor do outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Um bom exemplo disto é a transferência de calor através da parede de um forno, como pode ser visto na figura 1.7, que tem espessura L, área transversal A e foi construído com material de condutividade térmica k. Do lado de dentro a fonte de calor mantém a temperatura na superfície interna da parede constante e igual a T1 e externamente o sorvedouro de calor ( meio ambiente ) faz com que a superfície externa permaneça igual a T2. [ figura 1.7 ] Aplicado a equação de Fourier, tem-se: dx dT Akq ..−=& Fazendo a separação de variáveis, obtemos : dTAkdxq ... −=& ( eq. 1.2 ) Na figura 1.7 vemos que na face interna ( x=0 ) a temperatura é T1 e na face externa ( x=L ) a temperatura é T2. Para a transferência em regime permanente o calor transferido não varia com o tempo. Como a área transversal da parede é uniforme e a condutividade k é um valor médio, a integração da equação 1.2, entre os limites que podem ser verificados na figura 1.7, fica assim : ∫ ∫−= L T T dTAkdxq 0 2 1 ...& ( ) ( )12..0. TTAkLq −−=−& ( )21... TTAkLq −=& Considerando que ( T1 - T2 ) é a diferença de temperatura entre as faces da parede ( DT ), o fluxo de calor a que atravessa a parede plana por condução é : T L Ak q ∆= ..& ( eq. 1.3 ) Para melhor entender o significado da equação 1.3 consideremos um exemplo prático. Suponhamos que o engenheiro responsável pela operação de um forno necessita reduzir as perdas térmicas pela parede de um forno por razões econômicas. Considerando a equação 1.3, o engenheiro tem, por exemplo, as opções listadas na tabela 1.3 : Tabela 1.3- Possibilidades para redução de fluxo de calor em uma parede plana. OBJETIVO VARIÁVEL AÇÃO Reduzir k trocar a parede por outra de menor condutividade térmica Reduzir q& Reduzir A reduzir a área superficial do forno Aumentar L aumentar a espessura da parede Reduzir ∆T reduzir a temperatura interna do forno Trocar a parede ou reduzir a temperatura interna podem ações de difícil implementação; porém, a colocação de isolamento térmico sobre a parede cumpre ao mesmo tempo as ações de redução da condutividade térmica e aumento de espessura da parede. 7 Exercício R.1.2.1. Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 oC. As paredes da sala, de 25 cm de espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 Kcal/h.m.oC e a área das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar até a 40 oC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que estão bem isolados, pede-se o calor a ser extraído da sala pelo condicionador ( em HP ). OBS : 1 HP = 641,2 Kcal/h Para o cálculo da área de transferência de calor desprezamos as áreas do teto e piso, onde a transferência de calor é desprezível. Desconsiderando a influência das janelas, a área das paredes da sala é : ( ) ( ) 21263152362 mA =××+××= Considerando que a área das quinas das paredes, onde deve ser levada em conta a transferência de calor bidimensional, é pequena em relação ao resto, podemos utilizar a equação 1.3 : ( ) ( ) ( ) hKcalC m mCmhKcal TT L Ak q o o 12702240 25,0 126..14,0 . . 2 21 =−× ×=−=& & , ,q Kcal h HP Kcal h HP= × =1270 1 641 2 1 979 Portanto a potência requerida para o condicionador de ar manter a sala refrigerada é : &q HP≅ 2 1.2.3. ANALOGIA ENTRE RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA ELÉTRICA Dois sistemas são análogos quando eles obedecem a equações semelhantes. Por exemplo, a equação 1.3 que fornece o fluxo de calor através de uma parede plana pode ser colocada na seguinte forma : Ak L T q . ∆=& ( eq. 1.4 ) O denominador e o numerador da equação 1.4 podem ser entendidos assim : • ( ∆T ) , a diferença entre a temperatura da face quente e da face fria, consiste no potencial que causa a transferência de calor • ( L / k.A ) é equivalente a uma resistência térmica (R) que a parede oferece à transferência de calor Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma : parede da térmicaaresistênci a é e térmicopotencial o é onde, R T R T q ∆∆=& ( eq. 1.5 ) Se substituirmos na equação 1.5 o símbolo do potencial de temperatura ∆T pelo de potencial elétrico, isto é, a diferença de tensão ∆U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da resistência elétrica Re, obtemos a equação 1.6 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente elétrica : eR U i ∆= ( eq. 1.6 ) T C T C k Kcal h m C L cm m m o o o 1 240 22 0 14 25 0 25 6 15 3 = = = = = × × , . . , sala : 10 Exercício R.1.2.2. Uma camada de material refratário ( k=1,5 kcal/h.m.oC ) de 50 mm de espessura está localizada entre duas chapas de aço ( k = 45 kcal/h.moC ) de 6,3 mm de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de modo que apenas 30 % da área total está em contato com o aço. Os espaços vazios são ocupados por ar ( k=0,013 kcal/h.m.oC ) e a espessura média da rugosidade de 0,8 mm. Considerando que as temperaturas das superfícies externas da placa de aço são 430 oC e 90 oC, respectivamente; calcule o fluxo de calor que se estabelece na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar está parado (considerar apenas a condução) O circuito equivalente para a parede composta é : Cálculo das resistências térmicas ( para uma área unitária ) : ( ) KcalChAk L R KcalCh Ak L R o ar rug o aço aço .08791,0 17,0013,0 0008,0 . .00014,0 145 0063,0 . 2 1 = ×× == = × == ( ) KcalCh Ak L R KcalCh Ak L R o ref ref o ref rug .0323,0 15,1 0484,0 . .0018,0 13,05,1 0008,0 . 1 3 = × == = ×× == A resistência equivalente à parede rugosa ( refratário em paralelo com o ar ) é : 1 1 1 1 0 08791 1 0 0018 0 00176 2 3 2 3 2 3R R R R h C Kcalo / / / /, , , .= + = + ⇒ = A resistência total, agora, é obtida por meio de uma associação em série : R R R R R R h C Kcalt o= + + + + =1 2 3 4 2 3 1 0 0361/ / / / , . Um fluxo de calor é sempre o (DT)total sobre a Rt , então : ( ) 0361,0 9043021 −= − = ∆ = tt total R TT R T q& &q Kcal h= 9418 ( ) CTCT mmmL mmmLmmmL mmL CmhKcalk CmhKcalk CmhKcalk oo ref rugaço ref o ar o ref o aço 90430 0483,04,488,0250 0008,08,00063,03,6 50 ..013,0 ..5,1 ..45 21 == ==×−=′ ==== = = = = 11 1.2.6. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE CONFIGURAÇÕES CILÍNDRICAS Consideremos um cilindro vazado submetido à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na figura 1.11. [ figura 1.11 ] O fluxo de calor que atravessa a parede cilíndrica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja : & . .q k A dT dr dT dr = − onde é o gradiente de temperatura na direção radial Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio : LrA ...2π= Substituindo na equação de Fourier, obtemos : ( ) dr dT Lrkq ....2. . π−= Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a: ∫∫ −= 2 1 2 1 ....2. . T T r r dTLk r dr q π     −=     Tr T T r r Lkq 2 1 2 1 ...2.. ln . π [ ] ( )1212 . ...2.lnln. TTLkrrq −−=− π Aplicando-se propriedades dos logaritmos, obtemos : ( )21 1 2 . ...2.ln. TTLk r r q −=      π O fluxo de calor através de uma parede cilíndrica será então : ( )21 1 2 . ln ..2. TT r r Lk q −     = π& ( eq. 1.15 ) O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede cilíndrica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede cilíndrica também pode ser representado como : onde, T R T q ∆∆=& é o potencial térmico e R é a resistência térmica da parede cilíndrica Então para a parede cilíndrica, obtemos : R T T r r Lk q ∆=∆     = . ln ..2. 1 2 π & ! Lk r r R ..2. ln 1 2 π    = ( eq. 1.16 ) Para o caso geral em que temos uma associação de paredes n cilíndricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por : 12 ( ) n n i it t total RRRRR R T q +++== ∆ = ∑ = L& 21 1 onde, ( eq. 1.17 ) 1.2.7. CONDUÇÃO DE CALOR ATRAVÉS DE UMA CONFIGURAÇÃO ESFÉRICA Consideremos uma esfera oca submetida à uma diferença de temperatura entre a superfície interna e a superfície externa, como pode ser visto na figura 3.12. [ figura 1.12 ] O fluxo de calor que atravessa a parede esférica poder ser obtido através da equação de Fourier, ou seja : & . .q k A dT dr dT dr = − onde é o gradiente de temperatura na direção radial Para configurações cilíndricas a área é uma função do raio : 2..4 rA π= Substituindo na equação de Fourier, obtemos : ( ) dr dT rkq ...4. 2 . π−= Fazendo a separação de variáveis e integrando entre T1 em r1 e entre T2 em r2, chega-se a : ∫∫ −=− 2 1 2 1 ....4.2 . T T r r dTkdrrq π     −=        −− Tr T T r r kq 2 1 2 1 ...41. . π ( )12 21 . ...4 11 . TTk rr q −−=          −−− π ( )21 21 . ...4 11 . TTk rr q −=      − π O fluxo de calor através de uma parede esférica será então : ( )21 21 . 11 ..4 TT rr k q −     − = π& ( eq. 1.18 ) O conceito de resistência térmica também pode ser aplicado à parede esférica. Devido à analogia com a eletricidade, um fluxo de calor na parede esférica também pode ser representado como : parede da térmicaaresistênci a é e térmico;potencial o é onde, RT R T q ∆∆=& Então para a parede esférica, obtemos : R T T rr k q ∆=∆     − = . 11 ..4 21 π & ! π..4 11 21 k rr R     − = ( eq. 1.19 ) Para o caso geral em que temos uma associação de paredes n esféricas associadas em paralelo, por analogia com paredes planas, o fluxo de calor é dado por : 15 c) cálculo da espessura ( ) 0000043,0 150224,0 0381,0 ln 2040 + ×××      ′ −−= + − = π iai ie exig rRR TT q& 0381,0 93784,1 0381,0 ln 93784,1 ii r e r ′=⇒=     ′ EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Exercício P.1.2.1. Em uma indústria farmacêutica, pretende-se dimensionar uma estufa. Ela terá a forma cúbica de 1 m de lado e será construída de aço (k = 40 kcal/h.m. oC), com 10 mm de espessura, isolada com lã de vidro (k= 0,08 kcal/h.m. oC) e revestida com plástico (k= 0,2 kcal/h.m. oC) de 10 mm de espessura. O calor será inteiramente gerado por resistências elétricas de 100 Ω, pelas quais passará uma corrente de 10 A (P = R . i2 ). Não pode ser permitida uma perda de calor superior a 10 % do calor gerado. Sabendo-se que as temperatura nas faces das paredes, interna e externa, são respectivamente 300 oC e 20 oC, pede-se : a) a resistência térmica exigida na parede da estufa; b) a espessura da lã de vidro. DADO : 1 W = 0,86 Kcal/h Respostas : 0,326 h.oC/Kcal ; 152,1 mm Exercício P.1.2.2. Um tubo de aço ( k = 35 kcal/h.m.oC ) tem diâmetro externo de 3”, espessura de 0,2”, 150 m de comprimento e transporta amônia a -20 oC ( convecção desprezível ). Para isolamento do tubo existem duas opções : isolamento de espuma de borracha ( k = 0,13 kcal/h.m.oC ) de 3” de espessura e isolamento de isopor ( k = 0,24 kcal/h.m.oC ) de 2” de espessura. Por razões de ordem técnica o máximo fluxo de calor não pode ultrapassar 7000 Kcal/h. Sabendo que a temperatura na face externa do isolamento é 40 oC, pede-se : a) As resistências térmicas dos isolantes; b) Calcule o fluxo de calor para cada opção e diga qual isolamento deve ser usado; c) Para o que não servir, calcule qual deveria ser a espessura mínima para atender o limite de fluxo de calor. Respostas : 0,00897 h.oC/Kcal e 0,00375 h.oC/Kcal ; 6685,7 Kcal/h 15981,7 Kcal/h ; 8,9” Exercício P.1.2.3. Um forno de 6 m de comprimento, 5m de largura e 3 m de altura tem sua parede constituída de 3 camadas. A camada interna de 0,4 m é de tijolos refratários ( k=1,0 kcal/h.m.oC ). A camada intermediária de 0,30 m tem a metade inferior de tijolos especiais ( k=0,20 kcal/h.moC ) e a metade superior de tijolos comuns ( k=0,40 kcal/h.m.oC). A camada externa de 0,05m é de aço ( k=30 kcal/hm oC). Sabendo-se que a superfície interna está a 1700 oC e a superfície externa está a 60 oC . Pede-se : a) o fluxo de calor pela parede b) considerando que após, alguns anos o fluxo de calor aumentou 10 % devido ao desgaste da camada de refratários. Calcular este desgaste supondo que o mesmo foi uniforme em todo o forno. Respostas : 77222 Kcal/h ; 12,7 cm Exercício P.1.2.4. Um reservatório metálico ( k = 52 W/m.K ), de formato esférico, tem diâmetro interno 1,0 m , espessura de 5 mm, e é isolado com 20 mm de fibra de vidro ( k = 0,034 W/m.K ). A temperatura da face interna do reservatório é 200 oC e a da face externa do isolante é 30 oC. Após alguns anos de utilização, a fibra de vidro foi substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a troca do isolamento, notou-se uma elevação de 15% na transferência de calor, bem como uma elevação de 2,5 oC na temperatura da face externa do isolante. Determinar : a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições de temperatura externa e fluxo voltassem a ser as mesmas de antes. Respostas : 871,6 W ; 0,042 W/m.K ; 29,4 mm 0000043,0 48,942 0381,0 ln 60 7000 +      ′ =⇒ ir 9,85,14,104,10265,0 ′′=′′−′′=⇒′′==′ emri 16 1.3. CONVECÇÃO 1.3.1. LEI BÁSICA O calor transferido por convecção, na unidade de tempo, entre uma superfície e um fluido, pode ser calculado através da relação proposta por Isaac Newton : TAhq ∆= ..& onde, ( eq. 1.21 ) . q = fluxo de calor transferido por convecção ( kcal/h); A = área de transferência de calor (m2); ∆T = diferença de temperatura entre a superfície (Ts) e a do fluido em um local longe da superfície (T∞ ) (oC); h = coeficiente de transferência de calor por convecção ou coeficiente de película. A figura 1.13 ilustra o perfil de temperatura para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida. [ figura 1.13 ] A simplicidade da equação de Newton é ilusória, pois ela não explícita as dificuldades envolvidas no estudo da convecção. O coeficiente de película é, na realidade, uma função complexa do escoamento do fluido, das propriedades físicas do meio fluido e da geometria do sistema. A partir da equação 1.21 , podem ser obtidas as unidades do coeficiente de película. No sistema métrico, temos :      ⋅⋅∆⋅ = Cmh Kcal TA q h o2 & (eq. 1.22) Analogamente, nos sistemas Inglês e Internacional, temos : Sistema Iinternacional W m2 → .K Sistema Inglês Btu h.ft .2 → oF 1.3.2. CAMADA LIMITE Quando um fluido escoa ao longo de uma superfície, seja o escoamento em regime laminar ou turbulento, as partículas na vizinhança da superfície são desaceleradas em virtude das forças viscosas. A porção de fluido contida na região de variação substancial de velocidade, ilustrada na figura 1.14, é denominada de camada limite hidrodinâmica. [ figura 1.14 ] Consideremos agora o escoamento de um fluido ao longo de uma superfície quando existe uma diferença de temperatura entre o fluido e a superfície. Neste caso, O fluido contido na região de variação substancial de temperatura é chamado de camada limite térmica. Por exemplo, analisemos a transferência de calor para o caso de um fluido escoando sobre uma superfície aquecida, como mostra a figura 1.15. Para que ocorra a transferência de calor por convecção através do fluido é necessário um gradiente de temperatura ( camada limite térmica ) em uma região de baixa velocidade ( camada limite hidrodinâmica ). 17 [ figura 1.15 ] O mecanismo da convecção pode então ser entendido como a ação combinada de condução de calor na região de baixa velocidade onde existe um gradiente de temperatura e movimento de mistura na região de alta velocidade. Portanto : ♦ região de baixa velocidade ! a condução é mais importante ♦ região de alta velocidade ! a mistura entre o fluido mais quente e o mais frio é mais importante 1.3.3. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PELÍCULA (h) Como visto anteriormente, o coeficiente h é uma função complexa de uma série de variáveis relacionadas com as seguintes características. Logo, h é uma função do tipo : ( )TgVkcDfh p ∆= ,,,,,,,, δρµ onde, ( eq. 1.23 ) D: é a dimensão que domina o fenômeno da convecção. Ex: diâmetro de um tubo, altura de uma placa, etc µ : viscosidade dinâmica do fluido; ρ: densidade do fluido; cp : calor específico do fluido; k : condutividade térmica do fluido; δ : coeficiente de expansão volumétrica V : velocidade do fluido; g : aceleração da gravidade; ∆T : diferença de temperatura entre a superfície e o fluido Uma fórmula que levasse em conta todos estes parâmetros seria extremamente complexa. O problema é, então, contornado dividindo-se o estudo em casos particulares. Para cada caso são obtidas equações empíricas através da técnica de análise dimensional combinada com experiências, onde os coeficientes de película são calculados a partir de equações empíricas obtidas correlacionando-se os dados experimentais com o auxílio da análise dimensional. Os resultados são obtidos na forma de equações dimensionais conforme o regime de escoamento: • Para Convecção Forçada a equação é do tipo: ( ) ( ) ( ) ( ) k pc PrandtPr VD noldsReyRe k Dh NusseltNuonde PrRe,Nu µ µ ρ ... ; . , === Φ= ( eq. 1.24 ) • Para Convecção Natural a equação é do tipo: ( ) ( ) 2 3 ... Pr, µ δ TgD GrashofGronde, GrNu ∆=Φ= ( eq. 1.25 ) Exercício R.1.3.1. Em uma placa plana de 150 mm de comprimento e 100 mm de largura, eletricamente aquecida, a máxima temperatura permissível no centro da placa é 135 °C. Para este caso específico o número de Grashof é 2,2 x 107 e o número de Prandt é 0,7. Sabendo que a equação empírica, obtida com o auxílio da análise dimensional, que descreve a convecção natural ( regime laminar ) em uma placa plana é dada pela equação abaixo: ( )placadaocomprimentL k Lh =Nu onde,Gr0,555 =Nu 4 1 : . Pr 4 1 ×× Calcular o fluxo de calor por transferido por convecção, por ambos lados da placa, para o ar atmosférico a 25 °C ( kar = 0,026 Kcal/h.m.°C ). 20 [ figura 1.16 ] Utilizando a equação de Newton ( equação 1.21 ) e a equação para o fluxo de calor em uma parede plana ( equação 1.3 ), podemos obter as seguintes equações para o fluxo de calor transferido pelo forno : ( ) .. 211 TTAhq −=& ( ) . 32 TTL Ak q −=& ( ) .. 432 TTAhq −=& Colocando as diferenças de temperatura em evidência e somando membro a membro, obtemos :     ++=−+−+− =− =− =− AhAk L Ah qTTTTTT Ah q TT Ak Lq TT Ah q TT . 1 .. 1 . . )( . . )( . )( 21 433221 2 43 32 1 21 & & & & Substituindo as expressões para as resistências térmicas à convecção e à condução em parede plana na equação acima, obtemos fluxo de calor transferido pelo forno : ( ) tR totalTq RRR TT AhAk L Ah TT q ∆=⇒ ++ − = ++ − = && 321 41 .2 1 ..1 1 41 ( eq. 1.27 ) Portanto, também quando ocorre a ação combinada dos mecanismos de condução e convecção, a analogia com a eletricidade continua válida; sendo que a resistência total é igual à soma das resistências que estão em série, não importando se por convecção ou condução. Exercício R.1.3.3. A parede de um edifício tem 30,5 cm de espessura e foi construída com um material de k = 1,31 W/m.K. Em dia de inverno as seguintes temperaturas foram medidas : temperatura do ar interior = 21,1 oC; temperatura do ar exterior = -9,4 oC; temperatura da face interna da parede = 13,3 oC; temperatura da face externa da parede = -6,9 oC. Calcular os coeficientes de película interno e externo à parede. T C k W m K T C A m T C L m T C 1 0 2 0 2 3 0 4 0 21 1 1 31 13 3 1 6 9 0 305 9 4 = = = = = − = = − , , . , , , , 21 O fluxo de calor pode ser obtido considerando a condução através da parede : ( ) 131,1 305,0 9,63,13 . 32 2 . × −−= − =∆= Ak L TT R T q & , /q W p m= 86 76 2 Considerando agora a convecção na película externa : q T T R T T h A hi . . , , , = − = − ⇒ = − × 1 2 1 1 2 1 1 86 76 21 1 13 3 1 1 h W m ki = 11 12 2, . Agora, na película externa : ( ) 1 1 4,99,6 76,86 × −−−= eh h W m Ke = 34 72 2, . Exercício R.1.3.4. Um reator de paredes planas foi construído em aço inox e tem formato cúbico com 2 m de lado. A temperatura no interior do reator é 600 oC e o coeficiente de película interno é 45 kcal/h.m2.oC. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com lã de rocha ( k= 0,05 kcal/h.m.oC) de modo a reduzir a transferência de calor. Considerando desprezível a resistência térmica da parede de aço inox e que o ar ambiente está a 20oC com coeficiente de película 5 kcal/h.m2.oC, calcular : a) O fluxo de calor antes da aplicação da isolamento; b) A espessura do isolamento a ser usado, sabendo-se que a temperatura do isolamento na face externa deve ser igual a 62 oC; c) A redução ( em % ) do fluxo de calor após a aplicação do isolamento. a) Desprezando a resistência do inox e a variação da área devido à espessura do isolante, o fluxo antes do isolamento é dado por : ( ) 24.5 1 24.45 1 20600 . 1 . 1 + −= + − = ∆ = AhAh TT R q ari ari t total& & ,q Kcal h= 62640 4 b) Após o isolamento o fluxo pode ser calculado na camada limite externa : ′ = − = − =& . . q T T h A Kcal hs ar ar 1 62 20 1 5 24 5040 A espessura do isolamento é calculada levando em conta as resistências da película interna e do isolante : & . . . , . q T T h A L k A L i s i iso = − + ⇒ = − +1 5040 600 62 1 45 24 0 05 24 L m cm= =0 1273 12 73, , ( ) CTCTCT mACmhKcalk CmhKcalhCmhKcalh o s o ar o i o iso o i o ar 62 20 600 24226 ..05,0 ..45 ..5 2 22 === =××== == 22 c) % & & & , Redução = − ′ × = − ×q q q 100 62640 4 5040 62640 100 Þ % , %Redução = 91 95 Exercício R.1.3.5. Um tanque de formato cúbico é utilizado para armazenar um produto químico a 210 oC, com coeficiente de película de 80 W/m2.°C. A parede do tanque é constituída de uma camada interna à base de carbono ( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( k = 0,212 W/m.K ) e um invólucro de aço ( k = 60 W/m.K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 °C. Considerando que a temperatura ambiente é 30 °C, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine: a) a espessura mínima do refratário para atender a condição de segurança; b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por uma de isolante ( k = 0,0289 W/m.K) de mesma espessura. a) Para uma área unitária de parede ( A = 1 m2 ), o fluxo de calor poder ser calculado na película externa : ( )& . q T T h A W p m= − = − × =4 5 2 1 60 30 1 20 1 600 De posse do fluxo, e considerando as resistências térmicas entre 210 e 60 °C, podemos fazer : & . . . . , , , q T T h A L k A L k A L k A L i = − + + + ⇒ = − × + × + × + × 1 5 1 1 2 2 3 3 21 600 210 60 1 80 1 0 04 22 1 0 212 1 0 01 60 1 L m mm2 0 05 50= =, b) O novo fluxo de calor, menor devido ao uso do isolante de baixa condutividade ( k = 0,0289 W/m.K ), é obtido considerando as duas únicas temperaturas que não variam : & . . . . . , , , , ′ = − + + ′ + + = − × + × + × + × + × q T T h A L k A L k A L k A h Ai e 1 6 1 1 2 2 3 3 1 1 210 30 1 80 1 0 04 22 1 0 05 0 0289 1 0 01 60 1 1 20 1 ( )& ,3q W p m= 100 2 Novamente, na película externa, podemos obter a temperatura da superfície do aço : & . ,′ = ′− ⇒ = ′− × ⇒q T T h A T e 5 6 5 1 100 3 30 1 20 1 ′ =T C o 5 35 Exercício R.1.3.6. Um recipiente esférico é usado para armazenar nitrogênio líquido a 77 K (ponto de ebulição). O recipiente tem 0,5m de diâmetro interno e é isolado com uma camada de pó de sílica (k = 0,0017 W/m.K). A isolação tem 25 mm de espessura e sua superfície externa está exposta ao ar a 300 K. O coeficiente de película externo é 20 W/m2.K. O calor latente de vaporização e a densidade do nitrogênio são 2x105 J/Kg e 804 Kg/m3, respectivamente. Desprezando as resistências térmicas da película interna e das paredes metálicas do recipiente, calcular : a) Fluxo de calor transferido para o nitrogênio L mm m L mm m k W m K k W m K k W m K k W m K h W m K h W m K T C T C T C i e o o o 1 2 1 2 2 3 2 2 1 5 6 40 0 04 10 0 01 22 0 212 0 0289 60 80 20 210 60 30 = = = = = = ′ = = = = = = = , , . , . , . . . . T1 K3K2 L3L2L1 K1 T3 T2 T5 T6T4 25 Exercício P.1.3.4. Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura agradável à tripulação não inferior a 20 oC. O submarino pode ser idealizado como um cilindro de 10 m de diâmetro e 70 m de comprimento. O coeficiente de película interno é cerca de 12 kcal/h.m2.°C, enquanto que, no exterior, estima- se que varie entre 70 kcal/h.m2.°C (submarino parado) e 600 kcal/h.m2.°C (velocidade máxima). A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada externa de 19 mm de aço inoxidável ( k=14 Kcal/h.m.°C ), uma camada de 25 mm de fibra de vidro ( k=0,034 Kcal/h.m.°C ) e uma camada de 6 mm de alumínio ( k=175 Kcal/h.m.°C) no interior. Determine a potência necessária ( em kW ) da unidade de aquecimento requerida se a temperatura da água do mar varia entre 7 °C e 12 °C. DADO : 1 KW = 860 Kcal/h Resposta : 40,2 KW ; 50 mm ; 35 °C Exercício P.1.3.5. Um reservatório esférico ( k = 1,65 kcal/h.m.oC ) de diâmetro externo 1,2 m e interno 1,1 m é aquecido internamente por resistência elétrica de modo a manter a temperatura da superfície externa a 90 oC. Quando água de chuva a 25 oC flui pelo lado externo do reservatório, durante uma tempestade, a potência requerida na resistência é 140 KW. Quando ar atmosférico a 25 oC flui pelo lado externo do reservatório, durante uma ventania, a potência requerida é 20 KW. a) Calcular os coeficientes de película para os fluxos de água e ar. b) Calcular a temperatura da superfície interna do reservatório em ambos casos. DADO : 1 KW = 860 kcal/h Resposta : 58,5 e 409,5 Kcal/h.m2.°C ; 215,7°C e 969,8 °C Exercício P.1.3.6. Um tanque de formato cúbico, com 1 m de lado, é utilizado para armazenar um produto químico a 210 oC, com coeficiente de película interno de 80 W/m2.K. A parede do tanque é constituída de uma camada interna de carbono ( k = 22 W/m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( k = 0,212 W/m.K ) e um invólucro de aço ( k = 60 W/m.K) de 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60 oC. Considerando que a temperatura ambiente é 30 oC, com coeficiente de película externo de 20 W/m2.K, determine: a) o fluxo de calor na condição de segurança, ou seja, 60°C na superfície externa do aço b) a espessura do refratário para atender a condição de segurança a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por de uma de isolante ( k = 0,0289 W/m.K) de mesma espessura. Resposta : 3600 W Exercício P.1.3.7. Ar na pressão de 6 kN/m2 e temperatura de 300 °C , fluí com velocidade de 10 m/s sobre uma placa plana de comprimento 0,5 m e 0,25 m de largura. Determine a taxa de transferência de calor necessária para manter a superfície da placa na temperatura de 27 °C. Dados/Informações Adicionais: - Considere regime permanente e despreze os efeitos da radiação. - Para fluxo laminar ( 5105×<Re ) seguinte correlação adimensional é apropriada para este tipo de escoamento: 2 1 2 1 6640 Pr.Re.,Nu L= , onde : ( )placadaocomprimentL Lv e k Lh Nu LL === ∞ υ . Re . - As propriedades estimadas na temperatura do filme são: K TT T Sf 4372 = + = ∞ 68700364010215 24 ,PrK.m/W,ks/m, ==×= −υ Resposta : 142,65 W Exercício P.1.3.8. Água a T = 40 °C, flui sobre uma placa de alumínio de 10 mm de espessura. A placa é eletricamente aquecida do lado oposto ao da água. A superfície sob a água esta a T = 59,8 °C e a superfície oposta está a 60 °C. Para as condições de regime permanente, determine o coeficiente de transferência de calor (coeficiente de película) entre a água e a placa. A condutividade térmica do alumínio é k = 204,1 W/m.K ( a 60 °C ) Resposta : 206,1 W/m2.K 26 1.4. ALETAS 1.4.1. CONCEITO Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferência de calor consideremos um exemplo prático. Consideremos um sistema de aquecimento que utiliza água quente que escoa por uma tubulação. O fluxo de calor transferido para o ambiente pode ser obtido pela seguinte expressão: 1 .2. ln . 1 1 2321 eeii eiei AhLk r r Ah TT RRR TT q +    + −= ++ −= π & ( eq. 1.28 ) Analisemos os meios de elevar a transferência de calor através da redução das resistências térmicas    → → = escoamento de e velocidadde aumento necessário aumentar dimensões de mudança necessário aumentar . 1 1 i i ii h A Ah R     → →     = parede da material do trocanecessário aumentar parede da espessura areduzir necessário reduzir ..2. ln 2 1 2 1 1 k r r Lk r r R π    → → = ALETAS DE COLOCAÇÃOou dimensões de mudança aumentar escoamento de e velocidadde aumento necessário aumentar . 1 1 e e ii A h Ah R O aumento da superfície externa de troca de calor pode ser feito através de expansões metálicas denominadas aletas, como mostra a figura 1.16 [ figura 1.16 ] 1.4.2. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA Consideremos uma superfície base sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal uniforme, como mostra a figura 1.17. As aletas tem espessura e, altura l e largura b. A superfície base está na temperatura Ts maior que a temperatura ambiente T∞ [ figura 1.17 ] 27 O fluxo de calor total transferido através da superfície com as aletas é igual ao fluxo transferido pela área exposta das aletas ( AA ) mais o fluxo transferido pela área exposta da superfície base ( AR ) : ( ) ( )  −= −= += ∞ ∞ TTAhq TTAhq qqq AA SRR AR ?.. .. onde , & & & ( eq. 1.29 ) A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -T∞) é desconhecida. A temperatura Ts é da base da aleta, pois à medida que a aleta perde calor, a sua temperatura diminui, ou seja, A A não trabalha com o mesmo potencial térmico em relação ao fluido. Por este motivo &qA , calculado com o potencial (Ts- T∞), deve ser corrigido, multiplicando este valor pela eficiência da aleta ( η ). A eficiência da aleta pode ser definida assim : SA TA ra temperatuna estivesse se trocadoseria quecalor aleta pela trocadorealmentecalor =η Portanto, ( )∞− = TTAh q SA A .. & η Da equação 6.18 obtemos o fluxo de calor trocado pela área das aletas : ( ) ... η∞−= TTAhq SAA& ( eq. 1.30 ) Partindo de um balanço de energia em uma aleta de seção uniforme, pode ser obtida uma expressão para o fluxo de calor realmente transferido pela aleta, o que permite o cálculo da eficiência conforme a expressão abaixo : ( ) . . lm lmtagh=η ( eq. 1.31 ) onde, ( coeficiente da aleta ) m h P k At = . . e ( ) LmLm LmLm ee ee Lmtagh .. .. . + −= A equação 1.31 indica que a eficiência da aleta é uma função do produto "m.l". Observando uma tabela de funções hiperbólicas nota-se que a medida que o produto "m.l" aumenta a eficiência da aleta diminui, pois o numerador aumenta em menor proporção. De volta à equação 1.29, o fluxo de calor trocado em uma superfície aletada por ser calculado assim : & & &q q qR A= + ( ) ( )η..... ∞∞ −+−= TTAhTTAhq sAsR& Colocando o ∆T e o coeficiente de película em evidência, obtemos : ( )( )∞−+= TTAAhq sAR ... η& ( eq. 1.32 ) 1.4.3. TIPOS DE ALETAS Vários tipos de aletas estão presentes nas mais diversas aplicações industriais. A seguir veremos alguns dos tipos mais encontrados industrialmente e aproveitaremos também para calcular o coeficiente da aleta ( m ). % Aletas de Seção Retangular [ figura 1.18 ] 30 Cálculo do número de aletas : ( ) aletas e L nneL 74 012,00015,0 1 . ≅ + = ∆+ =⇒∆+= Cálculo da eficiência da aleta : m h k e = = × × =2 2 25 175 0 0015 13 801. . . , 1656,0012,0801,13. =×=lm ( ) ( ) 1641,01656,0. 1656,01656,0 1656,01656,0 = + −== − − ee ee taghlmtagh ( ) ( )%09,99 9909,0 1656,0 1641,0 . . === lm lmtaghη Cálculo da área não aletada : ( ) ( ) 2889,00015,01741... mebnAAnAA StSR =××−=−=−= Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais) : ( ) ( ) 2776,174012,012...2 mnlbAA =×××== Cálculo do fluxo de calor : ( )( ) ( ) ( ) hKcalTTAAhq SAR 91,727940150776,199,0889,025... =−××+×=−+= ∞η& Exercício R.1.4.3. A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio ( k=186 W/m.K ) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaçadas com espessura de 6 mm e altura de 20 mm. Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e está exposta ao ambiente a 300 K, com coeficiente de película de 50 W/m2.K quando a moto está em movimento. Quando a moto está parada o coeficiente cai para 15 W/m2.K. Qual é a elevação percentual da transferência de calor quando a moto está em movimento. ( OBS : desprezar as áreas laterais) Placa m L m e b m e mm m mm m h Kcal h m C h Kcal h m C T C T C k Kcal h m C o o o o ar o o → ⇒ = = = = = = = = = = = 1 1 1 1 5 0 0015 12 0 012 225 25 150 40 175 2 2 2 0 , , , . . . . . . ∆ KmWhKmWh KTKTKmWk mmme mmmlaletasn mrmmmcmH pm Saleta ee .15 .50 300 500 .186 006,06 02,020 5 025,050 15,015 22 == === == === =→=== ∞ φ 31 Cálculo da área não aletada : ( ) 201885,0006,0025,02515,0025,02. mAnAA tsR =××××−×××=−= ππ Cálculo da área das aletas : r r l ma e= + = + =0 025 0 02 0 045, , , [ ] ( ) ( )[ ] 22222 04398,05025,0.045,0.2....2 mnrrA eaA =×−×=−= ππππ Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto em movimento ) : m h k e m m l= = × × = → = × =−2 2 50 186 0 006 9 466 9 466 0 02 0 18931 . . , , . , , , ( ) ( ) ( )%84,98 9884,0 1893,0 1871,0 1893,0 1893,0 . . ==== tgh lm lmtghη Cálculo da eficiência da aleta ( para a moto parada ) : m h k e m m l= = × × = → = × =−2 2 15 186 0 006 5 1848 5 1848 0 02 0 10371 . . , , . , , , ( ) ( ) ( )%90,99 999,0 1037,0 1036,0 1037,0 1037,0 . . ==== tgh lm lmtghη Cálculo do fluxo de calor ( para a moto em movimento ) : ( )( ) ( ) ( ) WTTAAhq SARmm 198,62330050004398,09884,001885,050... =−××+×=−−= ∞η& Cálculo do fluxo de calor ( para a moto parada ) : ( )( ) ( ) ( ) WTTAAhq SARpp 358,18830050004398,0999,001885,015... =−××+×=−−= ∞η& Cálculo da percentagem de elevação do fluxo de calor para a moto em movimento : % & & & , , , , %Elev q q q m p p = − × = − × =100 623 198 188 358 188 358 100 230 86 % , %Elev = 230 86 Exercício R.1.4.4. Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia ser obtido de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio ( k = 178 Kcal/h.m.oC), tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na base da placa a temperatura é 300 oC, enquanto que o ambiente está a 20 oC com coeficiente de película de 120 Kcal/h.m2.oC. Cálculo da eficiência : m h k r m= = × × = −2 2 120 178 0 0025 23 17 1 . . . , n k Kcal h m C mm m r m l mm m T C T C h Kcal h m C o S o o o = = ∅ = = = ∅ = = = = = = ∞ 6400 178 5 0 005 2 0 0025 30 0 03 300 20 120 2 aletas . . , , , . . 32 m l. , , ,= × =23 17 0 03 0 6951 ( ) 6012,0. 695,0695,0 695,0695,0 = + −= − − ee ee lmtagh ( ) ( )%49,86 8649,0 6951,0 6012,0 . . === lm lmtaghη Cálculo da área não aletada : ( ) ( )[ ] 222 875,00025,01... mrnAAnAA StS =×−=−=−= ππ Cálculo da área das aletas ( desprezando as áreas laterais ) : 2015,3640003,00025,02....2 mnlrAA =××××== ππ Cálculo do fluxo de calor : ( )( ) ( ) ( ) hKcalTTAAhq SARac 11692620300015,38649,0875,012.../ =−××+×=−+= ∞η& Antes da colocação das aletas o fluxo é : ( ) ( ) hKcalTTAhq SSas 33600203001120../ =−××=−= ∞& % & & & / / / Aumento = − × = − ×q q q c a s a s a 100 116926 33600 33600 100 % % Aumento = 248 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : Exercício P.1.4.1. Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um local onde o coeficiente de película é 3 Kcal/h.m2.°C. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 cm x 10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de 80 oC, com temperatura ambiente de 30 oC. Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35 Kcal/h.m.oC, pede-se : a) a eficiência da aleta; b) calor dissipado pela placa aletada; Respostas : 95,7% ; 10,44 Kcal/h Exercício P.1.4.2. Um tubo de diâmetro 4" e 65 cm de comprimento deve receber aletas transversais , circulares, de 1,5 mm de espessura, separadas de 2 mm uma da outra. As aletas tem 5 cm de altura. No interior do tubo circula um fluido a 135oC. O ar ambiente está a 32 oC, com coeficiente de película 12 kcal/h.m2.oC. A condutividade térmica do material da aleta é 38 kcal/hm2 o C. Determinar o fluxo de calor pelo tubo aletado. Resposta : 8369 Kcal/h Exercício P.1.4.3. Um tubo de aço de 0,65 m de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de 60 oC na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a 20 oC e com coeficiente de película de 5 Kcal/h.m2.oC, a uma razão de 40 kcal/h. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica 40 Kcal/h.m.oC. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de 0,057 m de altura e 0,002 m de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de 0,05m de altura e 0,0015 m de espessura. Calculando o fluxo de calor para os dois casos, qual das propostas você adotaria, considerando os custos de instalação iguais. Resposta : a primeira proposta ( 1708 Kcal/h ) é mais vantajosa que a segunda ( 1563 Kcal/h ) Exercício P.1.4.4. Um tubo horizontal de diâmetro 4" conduz um produto a 85oC, com coeficiente de película 1230 kcal/h.m2.oC. O tubo é de aço, de condutividade térmica 40 kcal/h.m.oC, tem 0,8 m de comprimento e está mergulhado em um tanque de água a 20 oC, com coeficiente de película 485 Kcal/h.m2.oC. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas circulares são feitas de chapa de aço de 1/8" de espessura e 2" de altura. Pede-se : a) o fluxo de calor pelo tubo sem considerar as aletas; b) o fluxo de calor pelo tubo aletado. Respostas : 5773 Kcal/h ; 32857 Kcal/h 35 & . . . .q E A F E A Fn n= −1 1 12 2 1 12 ( )21121 .. nn EEFAq −=& Pela lei de Stefan-Boltzmann, temos que : E T E Tn n1 1 4 2 2 4= =σ σ. . e , portanto : ( )4241121 ... TTFAq σσ −=& Obtemos assim a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas superfícies a diferentes temperaturas: ( ) TTFAq 4241121 ... −= σ& ( eq. 1.42 ) O Fator Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas emissividades ( ε ). Nos livros e manuais, encontramos para diversos casos, tabelas e ábacos para o cálculo do fator forma para cada situação (placas paralelas, discos paralelos, retângulos perpendiculares, quadrados, círculos, etc). Um caso bastante como em aplicações industriais é quando a superfície cinzenta que irradia é muito menor que superfície cinzenta que recebe a radiação ( por exemplo uma resistência elétrica irradiando calor para o interior de um forno ). Para este caso específico, o Fator Forma é simplesmente a emissividade da superfície emitente: F 112 ε= ( eq. 1.43 ) Exercício R.1.5.1. Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura superficial de 93 oC, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21oC. O ar no compartimento está a 27oC e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m2.oC. Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo, se : a) o duto é de estanho ( ε = 0,1) b) o duto é pintado com laca branca (ε = 0,9) a) Para um comprimento unitário do duto de estanho ( sem pintura ), temos : 1,01 == εmL Como o tubo atravessa um grande compartimento, ou seja, a superfície do tubo é muito menor que a superfície do compartimento, o fator forma é calculado através da equação 5.10, assim: ( )2 superf. 1 superf.F 〈〈〈== 1,0112 ε O fluxo de calor é composto de duas parcelas: condrad qqq &&& += ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )mphKcalarTtTLrharTtTAhcondq 1,2282793111,025....2... =−×××××=−=−= ππ& ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mphKcal ar T t TLr ar T t TFAradq 35 42944366111,021,081088,444.....2.44 12 .. =    −××××××−×=   −=   −= πεπσσ& ( )mphKcalq 1,263351,228 =+=& b) Quando o tubo é pintado com laca branca ( e = 0,9 ) apenas a transferência de calor por radiação é afetada : & & &q q qrad cond= ′ + ( )2 superf. 1 superf.F 〈〈〈== 9,0112 ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mphKcal ar T t TLr ar T t TFAradq 315 429443669,.0111,0281088,444.....2.44 12 .. =    −××××××−×=   −′=   −= πεπσσ& ( )mphKcalq 1,5433151,228 =+=& T C K T C T C K h Kcal h m C cm m r m t o ar o p o o = = = = = = ∅ = = ⇒ = 93 366 27 21 294 5 22 0 22 0 11 2. . , , 36 Exercício R.1.5.2. Uma tubulação atravessa uma grande sala conduzindo água a 95 oC, com coeficiente de película 20 kcal/h.m2.oC. O tubo, de diâmetro externo 4” e resistência térmica desprezível, está isolado com lã de rocha ( k = 0,035 kcal/h.m.oC) de 2” de espessura. Sabendo-se que a temperatura da face externa do isolamento do tubo é 22 oC , determinar : a) o fluxo de calor transferido através da tubulação; " b) a emissividade da superfície do isolamento, sabendo-se que a metade do fluxo de calor transferido da tubulação para o ambiente se dá por radiação e que a temperatura da face interna das paredes da sala é 5 oC a) ( ) ( ) ( )& . . . . ln , , ln , , , , q T T R R T T h r L r r k L i e i iso i e i iso = − + = − +     × × × = − × × × × + × × × 1 2 2 95 22 1 20 2 0 0508 1 0 0 1016 0 0508 0 035 2 1 0 1 2 1 π π π π ( )& /q Kcal h p m= 22,06 b) ( )& . . .q A F T T A F= − <<< ⇒ =σ ε1 12 14 24 2 12 1como A1 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] & . . . , , , , q A T T= − = × × × × × × × + − +− σ ε π ε 1 1 1 4 2 4 8 1 4 422 06 2 4 88 10 2 0 1016 1 0 22 273 5 273 ε1 0 22= , Exercício R.1.5.3. Um reator em uma indústria trabalha a 600 oC em um local onde a temperatura ambiente é 27 oC e o coeficiente de película externo é 40 Kcal/h.m2.oC. O reator foi construído de aço inox ( ε = 0,06 ) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante (k= 0,05 kcal/h moC e ε = 0,65 ) para reduzir a transferência de calor a 10 % da atual. Desconsiderando as resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se : a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento; b) A parcela transferida por convecção após o isolamento; Desprezando as resistências térmicas de convecção interna e condução na parede de aço do reator, a temperatura da superfície externa pode ser considerada a mesma do fluido. a) Cálculo da área de transferência de calor : ( ) ( ) 222 14,2512312..2...2 mrLrA =××+×××=+= ππππ . O fluxo de calor total é a soma das parcelas por convecção e por radiação. A parcela por convecção é : ( ) ( ) hKcalTTAhqconv 80,5762082760014,2540.. 21 =−××=−=& A parcela transferida por radiação, considerando a superfície do reator bem menor que o ambiente, é : r m r m L m T C T C T C h Kcal h m C k Kcal h m C i o e o p o i o iso o 1 2 2 2 0,0508 2 2 4 0,1016 1 95 22 5 20 0,035 = = = + = = = = = = = = " " " " . . . . ( ) mrm mL CmhKcalh inox CT CT o oo 123 ..4006,0 27600 2 21 =⇒=∅= == == ε 37 ( ) ( )2 superf. 1 superf.F onde ,TTFAqrad 〈〈〈=−= εσ 124241121 ...& ( ) ( ) ( )[ ] hKcalTTAqrad 39,421592732727360006,014,251088,4... 44842411 =+−+××××=−= −εσ& Portanto, & & & , ,q q qconv rad= + = +576208 80 42159 39 & ,q Kcal h= 618368 19 b) O isolamento deve reduzir a transferência de calor a 10% da atual : & , & , , ,′ = × = × =q q Kcal h0 1 0 1 618368 19 61836 82 Além disto, a temperatura externa do isolamento deve ser 62 oC, então : O novo fluxo de calor continua sendo composto das parcelas de convecção e radiação: & & &′ = ′ + ′q q qconv rad A parcela transferida por radiação foi alterada devido à emissividade do isolante ser diferente da emissividade do inox e também devido à nova temperatura externa do isolamento. ( ) ( ) ( )[ ] hKcalTTAqrad 4,4135273272736275,014,251088,4... 44842411 =+−+××××=−= −εσ& A parcela que pode ser transferida por convecção, devido à restrição dos 10% de redução do fluxo de calor, é obtida por diferença e permite o cálculo da espessura do isolante: & & & , ,′ = ′ + ′ = − ⇒q q qconv rad 61836 82 4135 4 & ,′ =q Kcal h57701 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : Exercício P.1.5.1. Os gases quentes do interior de uma fornalha são separados do ambiente a 25 oC ( h = 17,2 Kcal/h.m2.oC ) por uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os tijolos tem uma condutividade de 1,0 kcal/h.m.oC e uma emissividade de 0,8 . A temperatura da superfície externa da parede da fornalha é 100 oC. Considerando que a fornalha está em um grande compartimento cuja temperatura da superfície é igual a temperatura ambiente, qual é a temperatura da superfície interna da parede da fornalha ? Resposta : 360,7 °C Exercício P.1.5.2. Um reator de uma indústria trabalha à temperatura de 600 oC. Foi construído de aço inoxidável (ε= 0,06 ) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento. Tendo em vista o alto fluxo de calor, deseja-se isola-lo com uma camada de lã de rocha ( k = 0,05 Kcal/h.m.oC e e = 0,75 ) para reduzir a transferência de calor a 10% da atual. Calcular : a) o fluxo de calor ( radiação e convecção ) antes do isolamento; b) a espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a temperatura externa do isolamento deve ser igual a 62 oC. Resposta : 42400 Kcal/h ; 12,8 cm Exercício P.1.5.3. Vapor d'água saturado a 255 oC escoa por um tubo de parede fina de diâmetro externo igual a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo salão de 10 m de comprimento e cujas paredes estão à mesma temperatura de 25oC do ambiente (har= 5 kcal/h.m2.oC). Deseja-se pintar a superfície do tubo de maneira que ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5% de sua massa não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas emissividade são : tinta A - εa=1; tinta B - εb=0,86 e tinta C - εc= 0,65. Sabendo que o calor latente de vaporização nestas condições é 404 Kcal/Kg, determinar: a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2 kg/h b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura Resposta : Tinta C ; 1392 Kcal/h ( p/ m de tubo ) 65,0 92,61813 . 2 .05,0 62 6001 = =′ = = = iso hKcalq C o mhKcalisok C o isoT C o T ε & 40 Densidade é a relação entre o peso específico de uma substância e o peso específico da água a uma determinada temperatura. A densidade não depende do sistema de unidades OH r 2 γ γγ = ( eq 2.5 ) 2.1.4. VISCOSIDADE CINEMÁTICA É frequente, nos problemas de mecânica dos fluidos, a viscosidade dinâmica aparecer combinada com a massa específica, dando origem à viscosidade cinemática. ρ µν =          = = −= = × ××= − −− s m SMK s m SI ststoke s cm CGS T L LM TLM 2 * 2 2 2 3 11 ][: ][: )(][: ][ γ γ γ ν ( eq 2.6 ) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercício R.2.1.1. A massa específica de um combustível leve é 805 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade deste combustível. ( considerar g=9,8 m/s2 ) ).(78898,9805. 2323 s m kgN m N s m m kg g ==×== ργ A massa específica da água é aproximadamente 1000 kg/m3. Portanto, o peso específico será : 323 98008,91000. 2 m N s m m kg gOH =×== ργ A densidade é calculada a partir da relação : 805,0 9800 7889 2 === OH r γ γγ Exercício R.2.1.2 Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determine o peso específico, a massa específica e a densidade do líquido ( considerar g=9,8 m/s2 ) 33105,05,0500 mlmlV −×=== 333 00012 105,0 6 m N m N V G = × == −γ 3 2 3 2 2 3 5,1224 8,9 /).(6 /8,9 /12000 . m Kg s m m s mkg sm mN g g ====⇒= γρργ 22,1 /9800 /12000 3 3 2 === mN mN OH r γ γγ Exercício R.2.1.3. A viscosidade cinemática de um óleo leve é 0,033 m2/s e a sua densidade é 0,86. Determinar a sua viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas Métrico. A peso específico da água é aproximadamente 1000 kgf/m3. 33 860100086,0 2 2 m kgf m kgf OHr OH r =×=×=⇒= γγγγ γγ 41     ===⇒= 34 2 2 3 . 75,87 /8,9 /860 . m utm m sKgf sm mkgf g g γρργ 24 22 . 86,2 . 75,87033,0. m skgf m skgf s m =×==⇒= ρνµ ρ µν Exercício R.2.1.4. Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, equanto que a inferior está imóvel. Considerando que um óleo ( ν = 0,15 stokes e ρ = 905 kg/m3 ) ocupa o espaço entre elas, determinar a tensão de cizalhamento que agirá sobre o óleo. s m cm m s cm scmstokes 2 5 2 2 4 2 2 105,11015,0/15,015,0 −− ×=×===ν 2 5 0136,0905105,1 m sN ⋅=××=⋅= −ρνµ Pa m N m sm m sN e v 1,181,18 003,0 /4 0136,0. 22 0 ==×⋅== µτ Exercício R.2.1.5. Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, com velocidade constante, e se apoia sobre uma película de óleo de 1 mm de espessura e de µ = 0,01 N.s/m2. Se o peso da placa é 100 N, quanto tempo levará para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado. mS S o 20 5,0 1010 30sen ==∆⇒ ∆ = 22045 mA =×= NGF oT 505,010060cos. =×== e v0.µτ = e A FT=τ , então : A F e v To =.µ sm A eF v To /25,001,020 001,050 . . = × ×== µ st sm m v S t t S v o o 80/25,0 20 =∆⇒=∆=∆⇒ ∆ ∆= EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício P.2.1.1. A massa específica de um fluido é 610 kg/m3. Determinar o peso específico e a densidade. Respostas : 5978 N/m3 e 0,610 Exercício P.2.1.2. A viscosidade cinemática de um óleo é o,028 m2/s e sua densidade é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica no sistema métrico. Resposta : 2,58 Kgf.s/m Exercício P.2.1.3. Um tanque de ar comprimido contém 6 kg de ar a 80 oC, com peso específico de 38,68 N/m2. Determine o volume do tanque. Resposta : 1,52 m3 Exercício P.2.1.4. O peso de 3 dm3 de uma substância é 2,7 Kgf. A viscosidade cinemática é 10-5 m2/s. Se g é 10 m/s2, determine a viscosidade dinâmica no sistema métrico. Resposta : 9 x 10-4 Kgf.s/m2 Exercício P.2.1.5. Uma placa quadada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma película de óleo em plano inclinado de 300. A velocidade da é placa é constante e igual a 2 m/s. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm ? Resposta : 0,01 N.s/m2 10 m 30o FT ∆S 60o G 42 2.2.ESTÁTICA DOS FLUIDOS 2.2.1. CONCEITO DE PRESSÃO planodoÁrea planoaolarperpendicuaplicadaForça P =      == Pa m N cm Kgf A F P N 22 ; 2.2.2. TEOREMA DE STEVIN V G=γ ! VG ⋅= γ basebase A V A G P ⋅== γ como hAV base ⋅= , temos : base base A hA P ⋅⋅ = γ ! hP ⋅= γ % “A pressão em um ponto do fluido é diretamente proporcional à profundidade deste ponto e ao peso específico do fluido” P1 = P2 = P3 ! Diferença de Pressão entre 2 níveis : 2211 hPhP ⋅=⋅= γγ ( )121212 hhhhPPP −⋅=⋅−⋅=−=∆ γγγ hP ∆⋅=∆ γ % “A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas entre os dois pontos” 2.2.3. LEI DE PASCAL “A pressão aplicada em um ponto de um fluido incompressível ( líquidos ) em repouso é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido.” 2 2 1 1 A F P A F P ==     ⋅=⇒= 1 2 12 2 2 1 1 A A FF A F A F FN A fluido Abase.P h P2 P3P1 ... P1 P2. .h1h2 ∆h A1 F1 A2 F2 . . P P 45 Exercício R.2.2.5. No piezômetro inclinado da figura, temos γ1 = 800 Kgf/m2 e γ2 = 1700 Kgf/m2 , L1 = 20 cm e L2 = 15 cm , α = 30 oC. Qual é a pressão em P1 ? h1 = L1.sem α h2 = L2.sem α P1 = h1.γ1 + h2.γ2 = L1.sem α.γ1 + L2.sem α.γ2 P1 = 0,20 x sen 30 o x 800 + 0,15 x sen 30o x 1700 P1 = 207,5 Kgf/m 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício P.2.2.1. A pressão do ar preso no tanque da figura é 41,4 kPa. Sabendo eu a massa específica da glicerina é 1260 kg/m3 , calcule a pressão no fundo do tanque. Resposta : 79 kPa Exercício P.2.2.2. A figura mostra um tanque fechado que contém água. O manômetro indica que a pressão do ar é 48,3 kPa. Determine : a) a altura h da coluna aberta; b) a pressão relativa no fundo do tanque c) a pressão absoluta do ar no topo do tanque se a pressão atmosférica for 101,13 kPa Respostas: 5,53 m ; 60 kPa ; 149,4 kPa Exercício P.2.2.3. No manômetro da figura, o fluido A é água ( peso específico de 1000 Kgf/m3 ) e o fluido B e mercúrio (peso específico de 13600 Kgf/m3 ). As alturas são h1 = 5 cm, h2 = 7,5 cm e h3 = 15 cm. Qual é a pressão P1 Resposta: 1335 kgf/m3 Exercício P.2.2.4. Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm, calcular : a) A pressão efetiva do Gás 2 b) A pressão efetiva do Gás 1, sabendo que o manômetro metálico indica uma pressão de 15000 N/m2 c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando que a pressão atmosférica local é 730 mmHg Dados : γ oleo = 8000 N/m3 γ Hg = 133280 N/m3 γ agua = 9800 N/m3 α L1 L2 P1 h2 h1 Ar Glicerina P1 h3 h2 h1 Ar h 0,6 m 0,6 m Água 3,05 m 46 Resposta : 32970 N/m2 17970 N/m2 115265 N/m2 Exercício P.2.2.5. No dispositivo da figura o manômetro indica 61600 N/m2 para a diferença de pressão entre o Gás 2 e o Gás 1. Dados γágua = 9800 N/m3 e γHg = 133000 N/m3 , determinar : a) A pressão do Gás 2 b) A distância x na figura. Resposta : 1233200 N/m2 ; 0,5 m Exercício P.2.2.6. O sistema da figura está em equilíbrio e o peso do porquinho é 200 N. Sabendo que a altura h é 50 cm, determinar a pressão do Gás 2. Dados/Informações Adicionais: % γHg = 133280 N/m3 % Desprezar o peso do pistão e da plataforma. Resposta : 106,64 kPa h4h Gás 2 Óleo & # h Gás 1 Hg H2O h3 Gás 2 Gás 1 Hg ÁguaÁgua Hg 1,0 m x Gás Gás h Hg A= 50 47 2.3. CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 2.3.1. VAZÃO EM VOLUME Vazão em Volume é o volume de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo     == s cm h m s l s m t V tempo seçãopelapassouquevolume Q 333 ,,, vA t x A t xA QsAV .. . . como ===⇒= AvQ .= onde, v é a velocidade média do fluido A é a área da seção 2.3.2. VAZÃO EM MASSA Vazão em Massa é a massa de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo     = s utm h utm h kg s kg t m Qm ,,, Vm V m . como ρρ =⇒= , portanto : Q t V t V Qm .. . ρρρ === QQm .ρ= e como AvQ .= , temos : AvQm ..ρ= 2.3.3. VAZÃO EM PESO Vazão em peso é o peso de fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo     = s Kgf h Kgf h N s N t G QG ,,, AvQQggQgQ t gm QgmG mG ........ . . como γγρρ ======⇒= , portanto : AvQG ..γ= 2.3.4. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE No regime permanente a massa em cada seção é a mesma constante21 == mm QQ em qualquer seção ( ) kAv =..ρ ( equação da continuidade ) 222111 .... AvAv ρρ = Fluido incompressível : No caso em que o fluido é incompressível, como a sua massa específica é constante, a equação da continuidade poderá então ser escrita : 222111 .... AvAv ρρ = , como .. 21 ρρ = 2211 ... AvAv = ⇒ constante 21 == QQ em qualquer seção A x & # 50 2.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI 2.4.1. PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Premissas Simplificadoras : • Fluido ideal ( µ = 0 , escoa sem perda de energia ) • Regime permanebte • Fluidos incompressíveis ( líquidos ) ! Formas de Energia Mecânica % Energia Potencial de Posição ( EPPo ) Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento EEPo = G . z , como G = m . g alturazgravidadedaaceleraçãogmassamondezgmEEPo :::,..= % Energia Potencial de Pressão ( EPPr ) Energia ( trabalho ) = Força x Deslocamento EPPr = G . h específicopesopressãoPpesoGonde P GEE :::,.Pr γ γ = % Energia Cinética ( Ec ) velocidadevmassamondevmEc ::,.. 2 1 2= ! Energia Total ( E ) E = EPPo + EPPr + Ec “No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante” E1 = E2 EPPo1 + EPPr1 + Ec1 = EPPo2 + EPPr2 + Ec2 E1 E2 Fluido Ideal G z h γPγ γ PhhP =⇒= . 51 2 2 2 2 2 1 1 1 ..2 1 ..... 2 1 ... vm P Gzgmvm P Gzgm ++=++ γγ 2.4.1. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL Pelo princípio de conservação da energia, temos : 2 . ... 2 . ... 2 22 2 2 11 1 vmP Gzgm vmP Gzgm ++=++ γγ Como, G = m.g , temos : g vGP GzG g vGP GzG .2 . .. .2 . .. 2 22 2 2 11 1 ++=++ γγ Dividindo ambos membros por G, temos : g vP z g vP z .2.2 2 22 2 2 11 1 ++=++ γγ ou H1 = H2 onde, (m)velocidadedecarga 2.g v (m)pressãodecarga ã P (m)posiçãodecargaz 2 ≡ ≡ ≡ Exercício R.2.4.1. O tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. Considerando o fluido ideal, determinar a vazão em volume de água descarregada, se a seção do tubo é 10 cm2. Para aplicar a equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície livre da água e (2) a saída do tubo. Portanto, temos que : H1 = H2 g vP z g vP z .2.2 2 22 2 2 11 1 ++=++ γγ Como adotamos a escala efetiva de pressão, as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica. Em relação ao plano de referência, temos que : 10 m 2 m (1) (2) 52 z1 = 5 e z2 = 2 Como o tanque tem grandes dimensões, a velocidade da superfície livre da água pode ser considerada desprezível. Portanto : v1 = 0 Logo, a equação de Bernoulli fica reduzida à : g v zz .2 2 2 21 += ! ( ) ( )( )m s m zzgv 2108,92..2 2212 −×    ×=−= ! smv 5,122 = A vazão em volume será : ( ) smm s m AvQ 32422 0125,010105,12. =××    == − ! slQ 5,12= 2.4.2. O TUBO VENTURI O venturi consiste de uma tubulação cuja seção varia até um minímo e, novamente, volta a ter a mesma seção inicial. Este tipo de estrangulamento é denominado de garganta. A equação de Bernoulli aplicada entre as seções (1) e (2) na figura abaixo fornece : γγγ 21 2 1 2 2 2 22 2 2 11 1 222 PP g vv g. vP z g. vP z − = − ⇒++=++ Como v2 > v1 , temos que P1 > P2 , pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferença de pressão entre as seções (1) e (2). Portanto, conhecendo-se as áreas da seções, pode-se medir a vazão com este dispositivo, pois pela equação da continuidade, temos : 2211 A.vA.vQ == Exercício R.2.4.2. No Venturi da figura água escoa como fluido ideal. A área na seção (1) é 20 cm2 enquanto que a da seção (2) é 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio ( γHg = 13600 kgf/m3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível “h” de 10 cm. Pede-se a vazão em volume de água ( γH2O = 1000 kgf/m3 ) h (1) (2) Hg x (a) (b) (1) (2) 55 Sistema Internacional $ [ ] W s J s mN m s m m N ==×=××=℘ 3 3 Sistema Métrico $ [ ] ) s kgm CV( s kgm s mkgf m s m m kgf 751 3 3 ==×=××=℘ O Rendimento ( η ) é definido como : fornecidarealmentepotência útilpotência =η No caso da bomba a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potência da máquina, assim : Na Bomba : B B B B η η ℘=℘⇒ ℘ ℘= onde Bη é o rendimento da bomba. No caso da turbina a potência útil da máquina é menor que a potência fornecida pelo fluido, assim : Na Turbina : TT T T ηη ×℘=℘⇒℘ ℘ = onde Tη é o rendimento da turbina. Exercício R.2.4.3. O reservatório de grandes dimensões da figura descarrega água pelo tubo a uma vazão de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento for de 75%. A área da seção do tubo é 10 cm2. A velocidade na saída do tubo pode ser obtida através da vazão ( ) ( ) smm sm A Q vAvQ /10 1010 /1010 . 24 33 22 =× ×==→= − − Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v1=0 ) e (2) a saída do tubo. H1 + HM = H2 g vP zH g vP z M .2.2 2 22 2 2 11 1 ++=+++ γγ Como as pressões P1 e P2 são nulas pois são iguais à pressão atmosférica, temos que : 20 + 0 + 0 + HM = 5 + 0 + 8,92 102 × ! Hm = - 9.9 m Como no sentido do escoamento o HM ficou negativo, então a máquina é uma turbina. A potência é: MHQ ××=℘ γ ( ) Ws J s mN m s m m N 2,9702,9702,9709,910109800 3 3 3 ==×=×××= − Nem toda potência posta em jogo pelo fluido é aproveitada pela turbina, assim : WTT T T 6,72775,02,970 =×=×℘=℘⇒℘ ℘ = ηη 20 m 5 m (1) (2) M 56 2.4.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MÁQUINA NO ESCOAMENTO Se o fluido não for ideal, devido ao efeito do atrito, ocorrerá uma dissipação da energia do fluido entre as seções (1) e (2). Neste caso, temos que : H1 > H2 Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portanto, a equação de Bernoulli ficará assim : H1 = H2 + HP Onde, HP = energia dissipada entre (1) e (2) ou “perda de carga” Levando em conta a presença de uma máquina no escoamento, teremos : H1 + HM = H2 + HP ou PM Hg. vP zH g. vP z +++=+++ 22 2 22 2 2 11 1 γγ Exercício R.2.4.4. Na instalação da figura a máquina é uma bomba e o fluido é água. A bomba tem potência de 3600 W e seu rendimento é 80%. A água é descarregada na atmosfera a uma velocidade de 5 m/s pelo tubo, cuja área da seção é 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as seções (1) e (2). A vazão de água pelo tubo é : ( ) smAvQ /005,010105. 34 =××== − A altura manométrica da bomba é obtida considerando que : BHQ ××=℘ γ e Q Hou BBBBB B B × ×℘ =→×℘=℘ ℘ ℘= γ η ηη mH B 8,58005,09800 80,03600 = × ×= Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a superfície da água ( v1=0 ) e (2) a saída do tubo. H1 + HM = H2 + HP ou ( ) PB Hg vP zH g vP z +++=+++ .2.2 2 22 2 2 11 1 γγ mHH PP 5,628,92 5 008,58005 2 =⇒+ × ++=+++ (1) (2) Energia dissipada 5 m (1) (2) B 57 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício P.2.4.1. Uma caixa d’água de 1,0 m de altura está apoiada sobre uma lage de 4,0 m de altura e alimenta a tubulação de um chuveiro. Considerando que o diâmetro da tubulação próximo ao chuveiro na seção (2) é ½ polegada e que esta seção está a 2,0 m do solo, determinar para fluido ideal: a) A vazão em volume de água; b) A vazão em volume de água considerando que a altura da lage é 10 m. Respostas : 0,97 l/s ; 1,7 l/s Exercício P.2.4.2. Em uma indústria de engarrafamento de água mineral, a água de um reservatório de grandes dimensões situado no piso inferior, deve ser recalcada, conforme mostra a figura, para limentar a linha de engarrafamento. O diâmetro da tubulação de recalque é 1,6 cm. Considerando que a altura manométrica ( HB ) da bomba é 13 m e que a água se comporta como um fluido ideal, determine : a) a vazão de água recalcada b) o número de garrafões de 20 litros que podem ser enchidos por hora. Respostas : 12,52 m/s ; 454 garrafões 1 m 4 m 2 m (1) (2) , 5 m B Patm 15 m
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