Termodinâmica

Termodinâmica

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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/1/2006 13:03 H

14 – Temperatura, Teoria Cinética, Mecânica Estatística e Primeira Lei da Termodinâmica

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996

Física 2

Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003

Cap. 19 - TemperaturaCap. 2 - TemperaturaCap. 21 - Temperatura

Cap. 20 – Calor e a

Primeira Lei da Termodinâmica

Cap. 23 - A Teoria

Cinética e o Gás Ideal

Cap. 2 – Propriedades Moleculares dos Gases

Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases

Cap. 24 - Mecânica

Estatística

Cap. 23 - Primeira Lei da Termodinâmica

Cap. 25 - Calor e Primeira Lei da Termodinâmica

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 CAPÍTULO 19 - TEMPERATURA

51525354

01 02 03 04 050607 0809 10 1 12 13 141516 1718 19 20 21 2 23 24 25 262728 29 30 31 32 3 3435 363738 3940 41 42 43 4445 46 4748 4950 [Início documento]

05. Um termômetro de resistência é aquele que utiliza a variação da resistência elétrica com a temperatura de uma substância. Podemos definir as temperaturas medidas por esse termômetro, em Kelvins (K), como sendo diretamente proporcionais às resistência R, medida ohms (Ω). Um certo termômetro de resistência, quando seu bulbo é colocado na água à temperatura do ponto triplo (273,16 K), tem uma resistência R de 90, 35 Ω. Qual a leitura do termômetro, quando sua

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resistência for 96,28 Ω?

Solução.

Para um termômetro de resistência, a temperatura medida em função da resistência é dada pela Eq. (1),

(1) kRTR=)(

onde k é uma constante de proporcionalidade. Nesse termômetro, a temperatura do ponto tríplice da água (T3) é dada por (2), onde R3 é a medida da resistência no mesmo ponto tríplice.

(2) 3)(3

Dividindo-se (1) por (2):

[Início seção] [Início documento]

06. Dois termômetros de gás a volume constante são usados em conjunto. Um deles usa nitrogênio e o outro, hidrogênio. A pressão de gás em ambos os bulbos é p3 = 80 mmHg. Qual é a diferença

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da pressão nos dois termômetros, se colocarmos ambos em água fervendo? Em qual dos termômetros a pressão será mais alta?

Solução. Este problema deve ser resolvido com o auxílio do gráfico apresentado na Fig. 19-6 (pág. 173).

(a) A Fig. 19-6 mostra que um termômetro de gás a volume constante que usa H2 como substância termométrica a uma pressão de 80 mmHg, mede uma temperatura para a água fervente aproximadamente igual . Usando-se NH373,15 KT=2 à mesma pressão, a medida da temperatura será . Para um termômetro de gás a volume constante, vale a seguinte relação: N373,35 KT=

Logo:

T p =

pTp=(1)

De maneira idêntica, temos:

pTp=(2)

Fazendo-se (2) − (1):

pTΔ=−=−

0,059 mmHgpΔ≈

(b) A pressão será mais alta no termômetro de N2, pois . Isto se deve ao fato de o NNHTT> 2 ter um comportamento menos ideal do que o N2.

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[Início seção] [Início documento]

08. Um termistor é um componente semicondutor cuja resistência elétrica depende da temperatura.

Costuma ser usado em terrmômetros clínicos e também para detectar superaquecimento em equipamentos eletrônicos. Dentro de uma faixa limitada de temperatura, a resistência é dada por

onde R é a resistência do termistor à temperatura T e Ra é a resistência à temperatura Ta; B é uma constante que depende do material semicondutor utilizado. Para um tipo de termistor, B =

4.689 K, e a resistência a 273 K é 1,0 x 104 Ω. Que temperatura o termistor mede quando sua

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resistência é 100 Ω?

Solução.

A resistência do termístor (R) em função da temperatura (T) é dada por:

Aplicando-se logaritmo natural, têm-se:

K 373≈T [Início seção] [Início documento]

10. A que temperatura a escala Fahrenheit indica uma leitura igual a (a) duas vezes a da escala

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Celsius e (b) metade da escala Celsius?

Solução. (a) O enunciado exige que:

2FCTT= A regra de conversão da escala Celsius para Fahrenheit é:

o320 FFT= (b) Agora o enunciado exige que:

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2CFTT= Logo:

o12 FFT≈−

[Início seção] [Início documento]

14. A que temperatura os seguintes pares de escalas dão a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius (veja Tabela 19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin?

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Solução. (a)

F=C40T=−D (b)

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A equação acima não tem solução. Logo, as escalas Celsius e Kelvin nunca apresentam a mesma leitura.

[Início seção] [Início documento]

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15. Suponha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -53,5oX e congele a -170oX. Qual o valor de 340 K, na escala X?

Solução. Considere o seguinte esquema:

Escala X

373,15 K Escala Kelvin

273,15 K Comparando-se as escalas X e Kelvin, pode-se afirmar que:

[Início seção] [Início documento]

26. Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioativos aumentou a temperatura interna média de 300 para 3.0 K, que é, aproximadamente, o valor

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atual. Supondo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3,0 × 10−5 K−1, de quanto aumentou o raio da Terra, desde a sua formação?

Solução.

A razão entre o raio inicial da Terra R0 e o raio atual R pode ser calculado a partir da variação do volume da Terra, que é dada por:

00VVVVTβΔ=−=Δ

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Logo:

170 kmRΔ≈

[Início seção] [Início documento]

34. Uma caneca de alumínio de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22oC. Quanta glicerina derramará, se a temperatura do sistema subir para 28oC? (O coeficiente de dilatação da glicerina é = 5,1 ×

(Pág. 181)

Solução.

O volume de líquido derramado corresponderá à diferença entre o seu volume final e o volume final do recipiente. O volume final da caneca de alumínio VAl é:

()Al 0 Al13VV Tα=+ Δ O volume final da glicerina VGli é:

()Gli 0 Gli1VV Tβ=+ Δ O volume derramado ΔV será:

()0G li Al3VV TβαΔ= − Δ

[Início seção] [Início documento]

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36. Uma barra de aço a 25oC tem 3,0 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de 2,992 cm a 25oC. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra? Solução.

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A solução do problema baseia-se em calcular separadamente os diâmetros finais da barra (db) e do anel (da) e igualá-los posteriormente. O diâmetro final do anel é:

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(1) (aa0a01ddTTα=+−⎡⎣
(2) (bb0b01ddTTα=+−⎡⎣

Igualando-se (1) e (2):

d d d T T

[Início seção] [Início documento]

37. A área A de uma placa retangular é ab. O coeficiente de dilatação linear é α. Depois de um aumento de temperatura ΔT, o lado a aumentou de Δa e b de Δb. Mostre que, desprezando a quantidade pequena Δa × Δb/ab (veja Fig. 19-15), ΔA = 2αA ΔT.

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Solução. A grandeza procurada é:

(1) 0AAA−=Δ

A área da placa expandida, A, é dada por:

()()Aaabb=+Δ+Δ(2)
(3) abA=0

Enquanto que a área da placa original, A0, é dada por: Substituindo-se (2) e (3) em (1):

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TaaΔ=Δα(5)
TbbΔ=Δα(6)

Os valores de Δa e Δb são dados por: Substituindo-se (5) e (6) em (4):

O termo α2abΔT 2 pode ser identificado como sendo ΔaΔb, que corresponde à área do pequeno retângulo no extremo inferior direito da placa expandida. Esse termo é muito pequeno em comparação a 2αabΔT, e pode ser desprezado. Identificando o produto ab como a área A0, chega-se ao final da demonstração:

TAAΔ≈Δ02α

[Início seção] [Início documento]

49. Um tubo de vidro vertical de 1,28 m está cheio até a metade com um líquido a 20oC. Qual a variação da altura da coluna líquida, se aquecermos o tubo até 30oC? Considere αvidro = 1,0 ×

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Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

A variação da altura da coluna líquida ΔH vale:

LHHHHΔ=−=−(1)

Como L0 é conhecido, precisamos determinar H. Vamos começar o cálculo de H pela expressão do volume final do líquido, Vliq:

2 liqVR π= H

HRπ=(2)

liq2V

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Agora dependemos de Vliq, que pode ser obtido pela análise da expansão térmica do líquido:

()liq liq,0 1VV Tβ=+ Δ Na expressão acima, Vliq,0 corresponde ao volume inicial do líquido. Logo:

LVRHTRTπβπβ=+Δ=+)Δ(3)
β⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠)TΔ(4)

A razão entre os raios do tubo antes (R0) e depois (R) da variação térmica pode ser obtida pela análise da dilatação linear do tubo:

(5)

Substituindo-se (5) em (4):

Tβα+Δ=+Δ(6)

TLH Finalmente, podemos substituir (6) em (1):

0,13 mmHΔ≈ [Início seção] [Início documento]

51. Uma espessa barra de alumínio e um fio de aço estão ligados em paralelo (Fig. 19-19). A temperatura é de 10,0oC. Ambos têm comprimento 85,0 cm e nenhum dos dois está tensionado. O sistema é aquecido até 120oC. Calcule a tensão resultante no fio, supondo que a barra se expande livremente.

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Solução. Considere o seguinte esquema:

Al Aço L

Aço TT0 Al

O problema pede para determinar a tensão no fio de aço após a expansão do cilindro de alumínio.

Devido à natureza do problema, sua solução requer a utilização do módulo de Young do fio, EAço. Veja maiores detalhes sobre o módulo de Young na seção13-6 - Elasticidade. O valor do módulo de

Young para o aço foi extraído da Tab. 13.1, pag. 13. O módulo de Young (E) é definido como a constante de proporcionalidade entre F/A e ΔL/L0, onde F é a força exercida sobre um objeto, A é a área da seção transversal do objeto na direção de F e L0 se refere ao comprimento original do objeto, medido na direção de F. Ou seja:

0L LEA

FΔ=(1)

De acordo com a Eq. (1), a pressão (F/A) exercida sobre uma barra, na direção do seu comprimento, é diretamente proporcional à variação fracional do comprimento (ΔL/L0). A pressão nos extremos da barra pode ser no sentido de comprimi-la ou expandi-la. No presente caso, tem-se um fio ao invés de uma barra e o processo é de expansão. Como o problema não forneceu a área da seção transversal do fio de aço, somente será possível determinar a razão F/A, e não F, como foi pedido.

Inicialmente, à temperatura T0, tanto o fio quanto o cilindro possuem comprimento L0. Portanto, o fio encontra-se inicialmente relaxado. Quando o sistema é aquecido, o fio e o cilindro expandem-se, sendo que o alumínio expande-se mais do que o fio de aço (coeficiente de dilatação térmica maior para o alumínio). A diferença entre os comprimentos finais do cilindro e do fio é que gera a tensão no fio, sendo essa diferença, ΔL, que entra em (1). Assim, o comprimento do cilindro de alumínio após a expansão térmica será:

Se o fio de aço não estivesse conectado ao cilindro, seu comprimento após a expansão térmica seria:

Em relação à situação do fio de aço no problema, a Eq. (1) pode ser reescrita da seguinte forma:

Aço Aço ''' F LE L A L Δ−==

Substituindo-se pelos valores numéricos fornecidos:

[Início seção] [Início documento]

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53. Duas barras de materiais diferentes, mas com o mesmo comprimento L e seção reta igual à A são colocadas, como na Fig. 19-20a. A temperatura é T e não há tensão inicial. A temperatura é aumentada em ΔT. (a) Mostre que a interface entre as barras é deslocada de uma quantidade dada por

onde αa1 e α2 são os coeficientes de dilatação linear e E1 e E2 são os módulos de Young dos materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o

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aquecimento?

Solução.

O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente.

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T + Δ Barra 1 livre

T + Δ Barra 2 livre

Os termos ΔL1 e ΔL2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas:

(1) 1LΔ=−−Δ
(2) ()2LΔ=−−Δ=−+Δ

A equação que define o módulo de Young é:

Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, ΔL é a variação observada no comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + ΔT, temos:

Logo:

(3) 1122ELELΔ=Δ

Substituindo-se (1) e (2) em (3):

Na expressão acima, os termos L1 − L e L2 − L podem ser substituídos pelos equivalentes Lα1ΔT e Lα2ΔT.

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FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 CAPÍTULO 20 - CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

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10. Um atleta dissipa toda a energia numa dieta de 4.0 Cal/dia. Se fôssemos perder essa energia a uma taxa constante, como poderia essa conversão de energia ser comparada com a de uma lâmpada de 100 W? (100 W correspondem à taxa pela qual a lâmpada converte energia elétrica em luz e calor.)

Solução. A potência dissipada pelo atleta vale:

194 WP≈ Logo, a potência do atleta é aproximadamente duas vezes a potência de uma lâmpada de 100 W.

[Início seção] [Início documento]

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17. Uma panela de cobre de 150 g contém 220 g de água, ambas a 20,0oC. Um cilindro de cobre muito quente de 30 g é colocado dentro da água, fazendo com que ela ferva, com 5,0 g sendo convertidos em vapor. A temperatura final do sistema é 100oC. (a) Quanto calor foi transferido para a água? (b) E para a panela? (c) Qual era a temperatura inicial do cilindro?

Solução.

(a) O calor total recebido pela água Qa é dividido em calor gasto para aquecimento de T0 = 20,0oC para T = 100oC (sensível, Qa,s) e calor gasto para promover a mudança de fase para vapor (latente, Qa,l):

,,a s a l a a a vQQ Q m c T L m=+ = Δ + v

Na expressão acima, ma e mv são as massas de água e de vapor d’água, ca é o calor específico da água e Lv é o calor latente de vaporização da água.

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