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AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPÉRVISIONDO –5º Período de Matemática SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL NA PRÁTICA DE ENSINO TEORIA DOS NÚMEROS Anekeyte Miranda Anderson Douglas Josilândio Gonçalves Karla Daniele B Aranha Leonardo Ferreira Virgínia Leite Goiana-PE Maio/2009 AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 2 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL NA PRÁTICA DE ENSINO TEORIA DOS NÚMEROS Trabalho apresentado à Professora Maria do Socorro Sobral, como parte dos requisitos da disciplina de Estágio Supervisionado no 5º período do Curso de Licenciatura Plena em Matemática. Goiana-PE Maio/2009 AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 5 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática ÍNDICE 1.0_ Resumo........................................................................................................................04 2.0_Considerações Iniciais..................................................................................................06 3.0_Referencial Teórico......................................................................................................07 4.0_Metodologia ................................................................................................................09 4.1_HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.........................................................................................11 4.2_JOGOS MATEMÁTICOS ...............................................................................................11 4.3_RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.......................................................................................12 5.0_Resultados....................................................................................................................13 6.0_Considerações Finais....................................................................................................15 7.0_Referências Bibliográficas e Eletrônicas.......................................................................16 8.0_ Apêndice......................................................................................................................17 AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 6 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática 2.0 _ CONSIDERAÇÕES INICIAIS O projeto foi desenvolvido em forma de oficina para a turma do 5º e 6º anos do Ensino Fundamental do Educandário são João Batista de Goiana/PE. O conteúdo (sistema de numeração) foi conduzido e realizado em forma de oficina sendo divido em dois momentos: Primeiramente foi realizada uma exposição oral acerca do conteúdo, por meio de cartazes e exemplificações na lousa e no ábaco, no segundo momento, dividimos a turma em grupos e para colaborar e participar da Dança da Cadeira, onde cada criança era um algarismo e cada cadeira uma casa das classes numéricas. Após o jogo, os educandos e educandas tiveram oportunidade de manipular os recursos de maneira a entender e como interpretar todo conhecimento obtido durante a aula. Depois puderam resolver exercícios utilizando o ábaco a fim de tirar dúvidas, sendo importante ressaltar que todas as educandas e educandos presentes participaram da oficina. Dessa forma, passaremos agora a apresentar, resumidamente, o conteúdo desse projeto que possibilitou nossa experiência com alunos do 5º e 6º Anos do Ensino Fundamental. Na seqüência elaboramos o histórico do Sistema de Numeração para então, nos aproximarmos da proposta de trabalho para esse conteúdo presente nos PCNs, a fim de realizarmos algumas considerações acerca do ensino do Sistema de Numeração e, com base nesses estudos visualizar caminhos alternativos para o ensino desse conteúdo, utilizando para tanto recursos didáticos. Por fim, buscamos evidenciar, durante, a aplicação desse projeto, que o trabalho com recursos didáticos pode facilitar o ensino/aprendizagem do Sistema de Numeração. AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 7 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática 3.0_ REFERENCIAL TEÓRICO Em conformidade com o eixo temático que abordamos neste trabalho, procuramos fundamentar o presente com citações que versam sobre como o professor se faz compreender, bem como o aluno se torna ativo em sala, objetivando através de práticas que atendam ás diversas formas de aprendizagem, como afirma Figueiredo: [...]É preciso que o educador tenha claro que a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento onde o aluno possa ver sua relação com outros objetos e acontecimentos. Colocado desta forma o professor deve estar constantemente em busca de novas alternativas didático- pedagógicas para atender à diversificação de potencialidades e habilidades dos alunos. (Figueiredo, et.al, 2007; p. 11) O eixo desenvolvido também amplia seu leque na área dos decimais, visto que o nosso sistema de numeração é decimal, isso implica na necessidade de esclarecer os alunos para este aprendizado, conforme ressalta Miguel na seguinte: Durante o trabalho com quantificação, antes da introdução de um sistema de numeração, a criança aprende a associar a certa quantidade inferior a 10 um símbolo determinado. Para ela o símbolo 4 representa 4 elementos de um conjunto qualquer. Como fazê-la entender agora que o mesmo símbolo pode representar 40, 400, 4000, etc., dependendo da posição que ele ocupa num número. Para isso é necessário que ela compreenda que o símbolo 4 tanto pode se referir a 4 objetos de um mesmo conjunto, como também 4 conjuntos de 10 objetos ou 4 conjuntos de 100 objetos, e assim sucessivamente; é esse o significado de 4 unidades, 4 dezenas, 4 centenas, etc. (Miguel, 1986; p. 17) AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 10 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática Os professores em geral mostram a matemática como um corpo de conhecimentos acabado e polido. Ao aluno não é dado em nenhum momento a oportunidade ou gerada a necessidade de criar nada, nem mesmo uma solução mais interessante. O aluno, assim, passa a acreditar que na aula de matemática o seu papel é passivo e desinteressante. Uma das grandes preocupações dos professores é com relação à quantidade de conteúdo trabalhado. Para esses professores o conteúdo trabalhado. É a prioridade de sua ação pedagógica, ao invés da aprendizagem dor aluno. É difícil o professor que consegue se convencer de que seu objetivo principal do processo educacional é que os alunos tenham o maior aproveitamento possível, e que esse objetivo fica longe de ser atingido quando a meta do professor passa a ser cobrir a maior quantidade possível de matéria em aula. Em nenhum momento no processo escolar, numa aula de matemática geram-se situações em que o aluno deva ser criativo, ou onde o aluno esteja motivado a solucionar um problema pela curiosidade criada pela situação em si ou pelo próprio desafio do problema. Na matemática escolar o aluno não vivencia situações de investigação, exploração e descobrimento. O processo de pesquisa matemática é reservado a poucos indivíduos que assumem a matemática como seu objeto de pesquisa. É esse processo de pesquisa que permite e incentiva a criatividade ao se trabalhar com situações problemas. À proposta de trabalho a ser discutida a seguir envolve uma tentativa de se levar em conta as concepções dos alunos e professores sobre a natureza da matemática, o ato de se fazer matemática e como se aprende matemática. Essas concepções terão que ser modificadas para que se possa ter uma renovação no ensino da matemática. Diversas são as atuais linhas de pesquisa e propostas de trabalho lidando com a pergunta: como ensinar matemática hoje? Trataremos aqui daquelas que procuram alterar a atual concepção do que vem a ser a matemática escolar e mais ainda, de como se dá a aprendizagem da matemática. Optamos pelas propostas que colocam o aluno como o centro do processo educacional, enfatizando o aluno como um ser ativo no processo de construção de seu conhecimento. Propostas essas onde o professor passa a ter um papel de orientador e monitor das atividades propostas aos alunos e por eles realizadas. Estas propostas partem do princípio de que o aluno está constantemente interpretando seu mundo e suas experiências e essas interpretações ocorrem inclusive quando se trata de um fenômeno matemático. São as interpretações dos alunos que constituem o se saber matemática "de fato". Muitas vezes o aluno demonstra, através de respostas a exercícios, que aparentemente compreendeu algum conceito matemático; porém, uma vez mudado o capítulo de estudo ou algum aspecto do exercício, o aluno nos surpreende com erros inesperados. É a partir do estudo dos erros cometidos pelos alunos que poderemos compreender as interpretações por eles desenvolvidas. Entremos em detalhes a respeito de algumas propostas baseados nesta abordagem. Inicialmente com a abordagem da História da Matemática - parte que trata da origem e da evolução dos números como proposta metodológica e esclarecendo com ênfase porque nosso sistema de numeração é posicional e porque recebe o nome de indo-arábico - como motivação para o ensino de tópicos do currículo, a exposição através de cartazes das classes dos números, bem como, a tabela expondo os números em seus primeiros formatos desde sua origem, o uso de ábacos para manuseio e experimentação dos alunos, a história da matemática como motivação para o ensino de tópicos do currículo, e o uso de jogos matemáticos no ensino são alguns exemplos de propostas de AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 11 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática trabalho visando à melhoria do ensino de matemática segundo uma perspectiva construtivista, e foi justamente assim que elaboramos o Plano de aula, o qual encontra- se no apêndice deste documento. 4.1_ HISTÓRIA DA MATEMÁTICA A história da matemática tem servido para alguns pesquisadores como motivação para o trabalho com o desenvolvimento de diversos conceitos matemáticos. Esta linha de trabalho parte do princípio de que o estudo da construção histórica do conhecimento matemático leva a uma maior compreensão da evolução do conceito, enfatizando as dificuldades epistemológicas inerentes ao conceito que está sendo trabalhado. Essas dificuldades históricas têm se revelado as mesmas muitas vezes apresentadas pelos alunos no pro cesso de aprendizagem. Esse estudo está muito relacionado com o trabalho em etnomatemática1, pois mais e mais são revelados estágios de desenvolvimento matemático em diferentes grupos culturais que assemelham aos estágios de desenvolvimento histórico de diversos conceitos. 4.2_ JOGOS MATEMÁTICOS Muitos grupos de trabalho e pesquisa em Educação Matemática propõem-se uso de jogos no ensino da matemática. O que podemos observar desde o início deste curso é a orientação de trabalhar com os jogos como uma forma de se abordar, de forma a resgatar o lúdico, aspectos do pensamento matemático que vêm sendo ignorados no ensino. Com uma tendência no nosso ensino à supervalorização do pensamento algorítmico tem-se deixado de lado o pensamento lógico-matemático além do pensamento espacial. A proposta deste grupo é de desenvolver através de jogos de desenvolvimento (Dança das Cadeiras) a maneira correta de entender os números nas suas variadas posições, e isto foi possível porque os próprios alunos interpretaram os números neste jogo. Eles puderam perceber as posições cada vez que eles próprios sentam em cadeiras distintas, proporcionando assim, a cada rodada, um novo e diferente número a ser lido. Claramente esta é mais uma abordagem metodológica baseada no processo de construção do conhecimento matemático do aluno através de suas experiências com diferentes situações problemas, colocadas aqui em forma de jogo. Como se vê, são diversas as linhas metodológicas enfatizando a construção de conceitos matemáticos pelos alunos, onde eles se tornam ativos na sua aprendizagem. Em todos esses casos os alunos deixam de ter uma posição passiva diante da sua aprendizagem da matemática. Eles deixam de acreditar que a aprendizagem da matemática possa ocorrer como conseqüência da absorção de conceitos passados a eles por um simples processo de transmissão de informação. O mais interessante de todas essas propostas é o fato de que elas se complementam. É difícil, num trabalho escolar, desenvolver a matemática de forma rica 1 Etnomatemática: o conceito designa as diferenças culturais nas diferentes formas de conhecimento. AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 12 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática para todos os alunos se enfatizarmos apenas uma linha metodológica única. A melhoria do ensino de matemática envolve, assim, um processo de diversificação metodológica, porém, tendo uma coerência no que se refere a fundamentação psicológica das diversas linhas abordadas. 4.3_ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A colocação de uma maior ênfase na resolução de problemas no currículo de matemática tem sido amplamente discutida na comunidade de Educação Matemática, internacionalmente. Atualmente, esta preocupação encontra-se expressa nas novas propostas curriculares que surgem mundialmente, inclusive no Brasil. Nota-se que os estudos iniciais sobre resolução de problemas propunham um ensino sobre diferentes heurísticas e passos na resolução de problemas. Muitas vezes essa abordagem gerava um ensino visando o ocasional envolvimento com a resolução de problemas. Hoje a proposta está um tanto modificada e a resolução, de problemas é encarada como uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações problemas caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos. Essa proposta, mais atual, visa a construção de conceitos matemáticos pelo aluno através de situações que estimulam a sua curiosidade matemática. Através de suas experiências com problemas de naturezas diferentes o aluno interpreta o fenômeno matemático e procura explicá-lo dentro de sua concepção da matemática envolvida. O processo de formalização á lento e surge da necessidade de uma nova forma de comunicação pelo aluno. Nesse processo o aluno envolve-se com o "fazer" matemática no sentido de criar hipóteses e conjecturas e investigá-los a partir da situação problema proposta. Neste sentido aplicamos fichas de avaliação com o intuito de aferir o nível de aprendizagem dos alunos a partir da oficina promovida no 5º e 6º anos do ensino fundamental. A ficha propõe atividades de observação e leitura dos números a partir de diversos meios: calculadora e ábaco; questões envolvendo história da matemática, conforme pode ser observado no apêndice deste. AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 15 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática 6.0_ CONSIDERAÇÕES FINAIS Como já foi dito antes, a necessidade de conhecimento matemático sempre esteve presente, na vida cotidiana, mas o mais importante é que essas tarefas matemáticas tidas como básicas só podem ser entendidas e resolvidas por alguém que reconhece regras lógicas, portanto precisamos aprender sobre matemática sobre o Sistema de Numeral, a fim de entender o mundo ao seu redor. Segundo alguns matemáticos apesar de comumente ser conhecida como uma matéria escolar, no que tange às crianças a matemática é também uma parte importante de suas vidas cotidianas; sem matemática elas ficariam desconfortáveis não apenas na escola, mas em uma grande parte de suas atividades cotidianas; como quando partilham bens com seus amigos, planejam gastar a mesada, discutem sobre velocidade e distancia. As necessidades cotidianas (reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões) necessitam de regras para serem desenvolvidas, portanto, é necessário desenvolver uma ampla capacidade para lidar com a atividade matemática e este conteúdo atende essas expectativas. Aprender matemática se faz necessário. A elaboração do trabalho apresentado fundamentou-se na apresentação do conteúdo de forma a extrapolar o imediato, abrindo fronteiras para o entendimento e a transformação da realidade, sabendo-se que o ensino de matemática é visto comumente apenas como uma disciplina escolar, difícil de entender. Com o desenvolvimento do trabalho, pudemos constatar que é importante refletir sobre os processos de aprendizagem e como se constrói o conhecimento matemático. A partir disto, percebemos que a matemática desenvolve-se mediante um processo conflitante entre o concreto e o abstrato, o particular e formal, o infinito e o finito, o discreto e o contínuo. É importante ressaltar que a construção do conhecimento depende em grande parte da valorização da mão dupla na relação professor-aluno, por isso a interação professor-aluno é peça fundamental para construção do conhecimento seja ele qual for, o professor deve ser estimulador da aprendizagem, e sabemos que muitas vezes isto não acontece. Por isso, o professor não pode se esquecer de que o sucesso depende muito do seu agir. Por fim, podemos concluir que a realização desse trabalho que, a princípio nos atemorizou, foi de grande importância, pois, nos proporcionou grande crescimento e tomada de consciência no que diz respeito ao conteúdo, pois não basta conhecer o conteúdo é preciso saber ensinar aos alunos a compreender a necessidade de se aprender qualquer que seja o conteúdo apresentado para sua vida cotidiana e, de que maneira esse conteúdo pode ser utilizado diariamente. Também é importante ressaltar que os educandos e educandas que estiveram conosco disseram que foi muito boa e proveitosa nossa aula, pois a aula em forma de oficina motiva e desperta o interesse a cerca do assunto apresentado. Tomando esses depoimentos como exemplo, gostaríamos de citar que há necessidade de uma prática educativa mais dinâmica, não devemos nos prender a aulas exclusivamente expositiva. É claro que nem todos os conteúdos poderão ser feitos em forma de jogos e oficinas, mas, na mediada do possível o professor deve tornar a aula estimulativa para que o aluno possa contemplar a aprendizagem como um todo. AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 16 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática 7.0_ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E ELETRÔNICAS NORONHA, Maria Eduarda Osvaldo, Sistema de Ensino Luz do Saber, 5º Na., Recife: Construir, 2004. , http://scholar.google.com.br/scholar?q=sistema+de+numera%C3%A7%C3%A3o+posicion al&hl=pt-BR&lr=&start=10&sa=N AMESG - Autarquia Municipal do Ensino Superior de Goiana F.F.P.G. - Faculdade de Formação de Professores de Goiana I.S.E.G. - Instituto Superior de Educação de Goiana Disciplina: ESTÁGIO SUPERVISIONADO Professora: MARIA DO SOCORRO SOBRAL 17 Sistema de Numeração Posicional – ESTÁGIO SUPERVISIONADO – 5º Período de Matemática Ficha Avaliativa (Sistema de Numeração Posicional) Aluno:______________________________________________ Série:_________________ Escola:___________________________________________________________________ 1. Quem inventou o nosso sistema de numeração? Veja o numeral que aparece na tela da calculadora: 1) Qual é o valor do algarismo 4? 2) Qual é o valor do algarismo 9? 3) São iguais os valores do algarismo 3 que aparecem na tela? 4) Escreva como se lê um número que vale 10 000 000 a mais do que o número que aparece na tela da calculadora. 5) Veja o número indicado no ábaco 5)Como se lê esse número? 6) São iguais os valores do algarismo 4 que aparecem no ábaco? 7) Qual é o valor do algarismo 6? 8) Decomponha o número representado no ábaco? 9)Trocando se os algarismos 5 e 1 de lugar, obtemos um novo número. Qual é a diferença entre esse número e o número original? 10) Na tabela abaixo, os numerais escritos na coluna a devem corresponder aos numerais escritos na coluna b. Quando isso não ocorrer, corrija o numeral de b, na coluna ao lado. a b c Sessenta e quatro milhões, vinte e oito mil, duzentos e cinqüenta 64 280 256 Nove milhões, quinhentos e oitenta e um mil e cem. 9 581 100 Vinte e cinco milhões, seiscentos e sessenta e cinco mil e quarenta 250 675 400 Noventa e cinco milhões, quatrocentos e trinta e quatro mil e noventa 950 443 900 Sete milhões, seiscentos e um mil e vinte e cinco 7 061 052