Apostila Geogebra

Apostila Geogebra

(Parte 1 de 10)

Ajuda do GeoGebra w.geogebra.at

Fórum em português w.geogebra.at/forum/

Autor: Markus Hohenwarter (markus.hohenwarter@sbg.ac.at) Tradução e adaptação: Jorge Geraldes, (jmbgeraldes@sapo.pt ! w.jgeraldes.net )

Versão em português de Portugal (pt_pt)

24 de Junho de 2006

Índice geral

Índice geral 1 1. Capítulo 1 - O que é GeoGebra? 4

2.1. Triângulo com ângulos5
2.2. Função afim y = mx+b6
2.3. Centróide de três pontos A, B, C7
2.4. Dividir um segmento de recta [AB] de acordo com a relação de 7 : 108
2.5. Sistema de equações lineares com duas variáveis9
2.6. Tangente à curva do gráfico de uma função no ponto x=a10
2.7. Exploração de funções polinomiais1
2.8. Integrais12

2. Capítulo 2 - Exemplos 5 3. Capitulo 3 13

3.1. Notas Gerais13
3.1.1. Menu de contexto14
3.1.2. Mostrar e esconder15
3.1.3. Traço15
3.1.4. Zoom15
3.1.5. Relação entre Eixos15
3.1.6. Protocolo de Construção15
3.1.7. Refazer16
3.2. Opções17
3.2.1. Opções Gerais17
3.2.2. Ponto19
3.2.3. Vector19
3.2.4. Segmento de recta20
3.2.5. Semi-recta20
3.2.6. Polígono20
3.2.7. Recta21
3.2.8. Cónica2
3.2.9. Arco e Sector23
3.2.10. Número e ângulo24
3.2.1. Locus - Lugar Geométrico25
3.2.12. Transformações Geométricas25
3.2.13. Texto26
3.2.14. Imagens26
3.2.15. Propriedades das Imagens27

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 2

4.1. Notas Gerais29
4.1.1. Alteração de valores29
4.1.2. Animação29
4.2. Entrada Directa30
4.2.1. Números e ângulos30
4.2.2. Pontos e Vectores31
4.2.3. Recta31
4.2.4. Cónica32
4.2.5. Função32
4.2.6. Operações Aritméticas34
4.3. Comandos35
4.3.1. Comandos Gerais35
4.3.2. Número35
4.3.3. Ângulo37
4.3.4. Ponto38
4.3.5. Vector39
4.3.6. Segmento40
4.3.7. Semi-recta40
4.3.8. Polígono40
4.3.9. Recta40
4.3.10. Cónica42
4.3.1. Função43
4.3.12. Arco e Sector43
4.3.13. Imagem45
4.3.14. Lugar Geométrico - Locus45
4.3.15. Transformações Geométricas45

4. Capítulo 4 - Entrada Algébrica 29 5. Capítulo 5 - Imprimindo e exportando desde GeoGebra 48

5.1. Imprimindo48
5.1.1. Zona Gráfica48
5.1.2. Protocolo de Construção49
5.2. Zona Gráfica como desenho49
5.3. Zona Gráfica para a área de transferência49
5.4. Protocolo de Construção como Página Web50
5.5. Documento como Página Web50

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 3

Capítulo 1

O que é o GeoGebra?

GeoGebra é um software de matemática que reúne geometria, álgebra e cálculo. O seu autor é o professor Markus Hohenwarter da Universidade de Salzburgo na Áustria.

Por um lado, GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica. Permite realizar construções tanto com pontos, vectores, segmentos, rectas, secções cónicas como com funções que a posteriori podem modificar-se dinamicamente.

Por outra parte, pode-se inserir equações e coordenadas directamente. Assim, GeoGebra tem a potência de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos; permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um conjunto de comandos próprios da análise matemática, para identificar pontos singulares de uma função, como raízes ou extremos.

Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: uma expressão na janela algébrica corresponde-se com um objecto na janela de desenho ou janela de gráficos e viceversa.

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 4

Capítulo 2

Exemplos Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos ver alguns exemplos.

2.1. Triângulo e ângulos

Para começar, há que seleccionar a opção Novo ponto (ver 3.2) na barra de ferramentas e dar um clique três vezes na área gráfica ou de desenho para criar os três vértices A, B e C do triângulo.

De seguida passa-se a escolher a opção Polígono e dar um clique sobre os pontos A, B, C e, novamente, sobre A para criar o triângulo P na janela algébrica, pode ver-se a área do triângulo.

Para passar aos ângulos do nosso triângulo, temos que escolher a opção Ângulo na barra de ferramentas e dar um clique sobre o triângulo.

Agora, passa-se a escolher a opção Mover e arrastam-se os vértices para alterar dinami- camente o triângulo. Se não precisar da janela de Álgebra e/ou do Sistema de eixos coordenados, podem-se esconder através do menu Exibir.

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 5

2.2. Função afim ymxb=+

Concentramo-nos no significado de e de mbna condiçãoymxb=+ experimentando diferentes valores para e mb. Para fazê-lo, anotaríamos as seguintes linhas como entrada no campo de texto/linha de comandos que aparece na parte inferior da janela depois de a tornar visível com a opção Exibir – campo de entrada, accionando a tecla Enter ao finalizar cada linha:

m b ymxb

Agora podemos mudar e na janela de álgebra (dê um clique com o botão do lado direito e depois a opção Editar.) ou na entrada do campo de texto.

m b

É muito simples modificar e utilizando as teclas de movimento de cursor (animação,

4.1.2) ou os sliders ou selectores (dê um clique no botão do lado direito sobre ou ; Mostrar Objecto; ver 3.2.10).

m b m b

Da mesma forma poderíamos investigar as condições, que definem as cónicas como,

2 1xyab += ,

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 6

2.3. Centróide de três pontos A, B, C

Vamos agora, construir o centróide de três pontos ou baricentro/centro de gravidade do triângulo definido pelos três pontos - ponto de intersecção das suas medianas (segmentos de recta que unem um vértice com o ponto médio do lado oposto). De três pontos introduzindo as seguintes linhas como entradas no campo de texto/linha de comandos (accionando Enter ao finalizar cada linha).

Pode, também utilizar o rato para realizar esta construção utilizando as correspondentes opções (ver 3.2) na barra de ferramentas.

C= 0,5

M_a=pontomédio[B,C] M_b=pontomédio[A,C] s_a=recta[A,M_a] s_b=retca[B,M_b] S=intersecção[s_A, S_b]−

A alternativa será calcular o centróide directamente como:

Podemos agora, explorar se é correcto para outras posições de A, B, C. Fazemo-lo seleccionando com o rato, a opção Mover (parte esquerdo da barra de ferramentas) e arrastando um dos pontos.

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 7

2.4. Dividir [AB] de acordo com a relação 7 : 10 Como o GeoGebra permite operar com vectores, resolução é simples.

De outra maneira:

Na etapa seguinte poderemos introduzir um número (por exemplo, usando um slider ou selector (3.2.10)) e redefinir o ponto como k T=A+7/10v∗(ver 3.1.7). Ao mudar pode ver-se que o ponto k T se desloca ao longo da linha recta.

Esta recta poderia ser introduzida agora parametricamente (ver 4.2.3): XTkv=+∗

Ajuda do GeoGebra | w.geogebra.at 8

(Parte 1 de 10)

Comentários