Condução de calor nao-linear, Provas de Engenharia Mecânica

Baixe Condução de calor nao-linear e outras Provas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE TECNOLOGIA E CIÊNCIA FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Procedimento Para Solução de Problemas de Condução de Calor Com Condutividade Térmica Dependente da Temperatura 04 – 07 – 01 Julho/2008 - 2 - REITOR Ricardo Vieiralves de Castro VICE-REITOR Maria Christina Paixão Maioli SUB-REITORA DE GRADUAÇÃO Lená Medeiros de Menezes DIRETOR DO CENTRO DE TECNOLOGIA E CIËNCIAS Maria Georgina Muniz Washington DIRETOR DA FACULDADE DE ENGENHARIA Profª. Maria Eugênia Gouvêa CHEFE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÄNICA Prof. Francisco José da Cunha Pires Soeiro COORDENADOR DE PROJETO DE GRADUAÇÃO Prof. Carlos Alberto Pereira Correia ORIENTADOR Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama CO-ORIENTADOR Prof. Norberto Mangiavacchi AUTOR Leon Matos Ribeiro de Lima BANCA EXAMINADORA Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama Prof. Carlos Alberto Pereira Correa Prof. Norberto Mangiavacchi - 5 - ABSTRACT In most part of engineering projects, heat conduction problems are simplified in the intent that the equations system allows exact solution. Nevertheless, such simplifications are, in fact, distortions of the real physical phenomenon, which can induce us to very imprecise results. One of the most utilized artifices in heat transfer modeling is to assume thermal conductivity invariant with temperature, which makes the diffusive term in the conduction equation to be linear. Still, every material, with no exceptions, has temperature dependent thermal conductivity. The analytical procedures that take in account such dependence are restricted to a limited set of problems. This work presents a systematic procedure for exact solution of heat transfer problems in bodies with temperature dependent thermal conductivity, by means of a sequence of linear problems, where the solution is given by the limit of the sequence. The method employs the Kirchoff transform, which is the unknown in each sequence element, and has a biunivocal relation with temperature. This last condition allows that, by solving the system in terms of the transform, we obtain the temperature field of the body. In this work, the method is employed to several problems and results are shown and analyzed. In cases of more complex geometries the Finite Element Method (FEM) or the Finite Differences Method (FDM) is applied. These methods are numerical procedures well diffused in PDE’s solution, widely used in engineering, and little discussed in undergraduate courses in UERJ. For this reason, this work also counts with some resolution examples of linear heat transfer problems by means of such techniques, with details of each step of the numerical formulations, in order to provide a source of consultation on FEM and FDM applications in classical cases of heat transmission. - 6 - ÍNDICE 1 - Introdução 8 1.1 - Formas de Transmissão de Calor 9 1.2 - Modelo de Resolução Proposto 9 2 - Conceitos Básicos 10 2.1 - Condução 10 2.2 - Convecção 12 2.3 - Radiação 13 3 - Calculando a Distribuição de Temperaturas de um Corpo 15 4 - Procedimento Linear 23 4.1 - Equações Governantes 23 4.2 - Transformada de Kirchoff 23 4.3 - Construindo a Solução a Partir da Seqüência de Problemas Lineares 28 4.4 - Convergência 29 4.5 - Exemplos 30 4.5.1 - Exemplo 1 30 4.5.2 - Exemplo 2 34 4.5.3 - Exemplo 3 38 5 - Métodos Numéricos em Problemas de Transmissão de Calor 42 5.1 - Diferenças Finitas 42 5.1.1 - Exemplo 1 45 5.1.2 - Exemplo 2 46 5.1.3 - Exemplo 3 47 5.2 - Elementos Finitos 48 5.2.1 - Em Busca da Forma Fraca das Equações Governantes 49 5.2.2 - Discretização do Domínio em Elementos Finitos 50 5.2.3 - Formulação do Elemento Finito Triangular Linear 51 5.2.4 - Formulação de Forma do Elemento 52 5.2.5 - Derivada das Funções de Forma do Elemento 55 5.2.6 - Forma Fraca por Elemento com as Temperaturas Nodais 56 5.2.7 - Atribuição das Temperaturas Nodais aos Elementos da Malha 64 5.2.8 - Exemplo 1 65 5.2.9 - Exemplo 2 68 6 - Simulações Numéricas 71 6.1 - Exemplo 1 72 6.2 - Exemplo 2 75 6.3 - Exemplo 3 77 6.4 - Exemplo 4 80 Conclusão 85 Referências 86 Publicações 88 - 7 - SÍMBOLOS c calor específico iΦ transformada de kirchoff do elemento i da seqüência g r vetor aceleração da gravidade h coeficiente de troca de calor por convecção k condutividade térmica K tensor condutividade térmica L comprimento n r vetor unitário normal exterior ω transformada de kirchoff Ω região do espaço ocupada pelo corpo que conduz calor Ω∂ fronteira do domínio Ω q taxa de transferência de calor q r vetor fluxo de calor por unidade de área q& geração interna de energia por unidade de volume R raio ρ densidade σ constante de stefan-boltzmann T temperatura T tensor tensão ∞T temperatura de referência u energia interna v r vetor velocidade - 10 - 2 – CONCEITOS BÁSICOS 2.1 – Condução Sempre que existir um gradiente de temperatura dentro de um sistema ou entre sistemas em contato térmico, haverá transferência de calor por condução. Desta forma, em um corpo com diferenças internas de temperatura, existe um fluxo de calor por condução dos pontos de maior temperatura para os de menor temperatura, seja ele corpo rígido ou fluido. Este fluxo será tanto maior ou menor dependendo da condutividade (ou condutibilidade, como alguns autores preferem) térmica do material, que representa, em poucas palavras, a facilidade com que o calor é conduzido, e é sempre uma função da temperatura, seja qual for o material. A Lei de Fourier relaciona o fluxo de calor por condução com o gradiente de temperaturas e é expressa por: )(TgradKq −= r (2.1) onde: q r é o vetor fluxo de calor (energia por unidade de tempo e área); )(ˆ TKK = , sendo K o tensor condutividade térmica, simétrico e positivo definido, e T é a temperatura. No caso de materiais isotrópicos, 1kK = , onde k é um escalar positivo. Para estes casos o fluxo de calor passa a ser apenas: )(Tkgradq −= r (2.2) Esta equação nos permite conhecer a taxa de transferência de energia térmica, mas não nos permite determinar o campo de temperaturas, ou seja, a distribuição de temperaturas, num dado corpo. A equação da conservação da energia (Primeira Lei da Termodinâmica), tomada para corpos opacos, rígidos e em repouso, nos dará meios para tanto. Em sua forma integral, a Equação da Conservação da Energia completa é dada por - 11 - ∫∫∫ ∫∫ Ω∂ΩΩ Ω∂Ω ⋅−++⋅+⋅=      ⋅+ ttt tt dSnqdVqdSnvTdVvgdVvvu dt d rr & rrrrrr ρρ 2 1 (2.3) onde: tt t t q q n T g v u ΩΩ∂ Ω de fronteira a é instante no espaço no região uma é área e tempode unidadepor energia de fluxo vetor é volume;e tempounidadepor energia de interna geração a representa exterior; unitário normal vetor o é nsão; tensor teo é gravidade; da aceleração vetor o é ocidade; vetor velo é interna; energia a é densidade; a representa r & r r r ρ Levando em conta a conservação da massa e da quantidade de movimento, a equação fica, na forma local qvgradTqdiv Dt Du & rr ++−= )()(ρ (2.4) Pela condição de corpo rígido temos que [ ]Tvgradvgrad )()( rr −= . Logo, como TTT = , 0)( =vgradT r (2.5) A condição de corpo em repouso resulta em 0≡v r , ou seja, [ ] t u vugrad t u Dt Du ∂ ∂ =⋅+ ∂ ∂ = r )( (2.6) Considerando que a energia interna é tal que )(ˆ Tuu = e dT du c = (2.7) - 12 - onde c representa o calor específico do material, e as condições de corpo rígido, opaco e em repouso, a equação da energia passa e ser, então, dada pela equação (sem mudança de fase) qqdiv t T c & r +−= ∂ ∂ )(ρ (2.8) que também pode ser chamada equação da condução de calor. Neste trabalho será levada em conta a equação da condução em regime estacionário, para corpos homogêneos com isotropia térmica: [ ] 0)( =+ qTkgraddiv & (2.9) 2.2 – Convecção A convecção é uma forma de transmissão de calor que combina condução térmica e movimento. De acordo com o que provoca o transporte mecânico de massa a convecção é classificada em natural ou forçada. Na convecção natural o deslocamento de massa ocorre apenas devido à alteração na densidade da porção que recebeu ou cedeu alguma parcela de calor. Na convecção forçada o movimento é provocado por algum fator externo. Por exemplo, a convecção promovida por um ventilador é forçada, enquanto que a convecção térmica utilizada em geladeiras caseiras é natural. As correntes de convecção natural transferem a energia interna armazenada no fluido essencialmente da mesma maneira que as correntes de convecção forçada. Entretanto, a intensidade do movimento de mistura é geralmente menor na convecção natural e, portanto, as taxas de transmissão de calor são menores do que na convecção forçada. Ainda assim muitos dispositivos em engenharia dependem basicamente de convecção natural para arrefecimento. Neste trabalho a convecção será considerada apenas para fins de condição de contorno dos problemas abordados. A Lei de Newton do Resfriamento (devida de fato a Fourier) representa o fluxo de calor transferido por convecção natural pela equação ( )∞−= TThq (2.10) - 15 - 3 – CALCULANDO A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURAS DE UM CORPO A distribuição de temperatura num determinado corpo contínuo, rígido, opaco e em repouso, sujeito a troca de calor por convecção e radiação na superfície, em regime permanente, é obtida a partir da solução do sistema de equações diferenciais parciais seguinte (assumindo que o corpo ocupe a região Ω com fronteira Ω∂ ): [ ] [ ] ( ) Ω∂−+−=⋅− Ω=+ ∞ sobre )( em 0)( 4 GTTThnTkgrad qTkgraddiv αεσ r & (3.1) Muitas vezes o efeito da radiação é desprezível em relação à convecção, e a condutividade térmica pode ser aproximada para uma constante. Com isso, o sistema anterior passa a ser [ ] [ ] ( ) Ω∂−=⋅− Ω=+ ∞ sobre )( em 0)( TThnTkgrad k q Tgraddiv r & (3.2) que é uma equação diferencial parcial linear sujeita a condição de contorno linear. Este é um problema clássico de engenharia, e conta com amplo ferramental de resolução. Por exemplo, consideremos um corpo cilíndrico de raio R e comprimento L, que gera energia uniformemente a uma taxa q& (W/m³). Se L for muito maior do que R (L>>R), é razoável supor que as duas extremidades estejam isoladas termicamente. O corpo troca calor por convecção com o ambiente, que está a uma temperatura ∞T , que não é afetada pela temperatura do corpo. Assumindo condutividade térmica k constante, a equação da energia para este problema (em regime permanente) e os balanços de fluxo de calor na superfície, em coordenadas cilíndricas, são descritos por ( ) Lzz z T RrTTh r T k Rrq z T k r T r rr k === ∂ ∂ =−= ∂ ∂ − <≤=+ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ ∞ e 0 em 0 em 0 em 0 2 2 & (3.3) - 16 - cuja solução é única e representada por ( ) ∞++−= Th Rq rR k q T 24 22 && (3.4) Imaginando agora um caso mais prático, considere um cabo elétrico, muito comprido, de cobre, com 10 mm de diâmetro, pelo qual passa uma corrente elétrica, sujeito a condução apenas na direção radial, trocando calor por convecção com o ambiente, que está a uma temperatura média de 25°C (298 K). Assumindo condutividade térmica k constante e igual a 399 W/mK (para temperatura de 293 K), e coeficiente de troca de calor por convecção (ou coeficiente de filme) h igual a 30 W/m²K, se o fio conduz uma corrente de 5 A submetida a uma tensão de 200 volts, o campo de temperaturas em qualquer seção transversal do fio será aproximadamente como mostra a figura seguinte: Figura 3.1 – campo de temperatura em cabo elétrico. - 17 - Note que a temperatura é praticamente igual em toda a área, como podemos comprovar pela diferença entre as temperaturas máxima e mínima: 08334900,298max =T K 08333333,298min =T K 00001566,0minmax =−TT K No entanto, se analisarmos a distribuição de temperatura de um outro corpo cilíndrico, com cinco metros de diâmetro, de fibra de vidro (suponhamos que seja isotrópico), com condutividade térmica a 293 K igual a 0,035W/mK, fonte de energia interna igual a 10 W/m³, veremos que há gradientes de temperatura consideráveis: Figura 3.2 – campo de temperatura em corpo cilíndrico com 2,5m de raio. 84523810,744max =T K 41666667,298min =T K - 20 - Corpo cilíndrico de raio R = 10 m com fluxo apenas na direção radial, trocando calor por convecção com o ambiente, com condutividade térmica variável e dada por )01,0exp(700 Tk −= (3.6) A temperatura ambiente é 298K, o coeficiente de filme h é 30 W/m²K e a geração interna de calor uniforme e igual a 100 W/m³. O campo de temperatura é dado por ( )            −+−−= 75 236 exp10 2800 1 ln100 22rT (3.7) e graficamente representado por Figura 3.4 – curvas de temperatura para corpo com condutividade térmica variável 2° problema - 21 - Igual ao anterior exceto pela condutividade térmica, que será a média da utilizada acima, ou seja, k = ~13 W/mK. A solução do problema e o gráfico do campo de temperatura são apresentados a seguir. ( ) 3 944 10 13 25 22 +−= rT (3.8) Figura 3.5 – campo de temperatura para corpo com condutividade térmica constante As diferenças entre os resultados são evidentes. Por exemplo, no primeiro problema, a temperatura em r = 5 m é 412 K, enquanto que no segundo, também para r = 5 m, a temperatura é 458 K. Há projetos de engenharia onde essa diferença de 46°C (que não é pequena) é determinante, podendo decidir se o projeto é factível ou não. O problema em que levamos em conta a dependência da temperatura para a condutividade térmica é simples, permitindo a obtenção da solução analítica com facilidade. No entanto, a maioria dos casos envolve geometrias mais complexas. Normalmente, em situações nas quais os métodos analíticos de solução não são praticáveis e a condutividade térmica não pode ser tomada como constante, devido a - 22 - restrições de design que exigem maior precisão na determinação do campo de temperatura, utiliza-se métodos numéricos, que fornecem uma solução aproximada. Uma aplicação de metodologia numérica de resolução pode ser vista em De Andrade e Zaparoli [2], onde, a cada iteração, a condutividade térmica é calculada a partir do campo de temperatura do passo anterior. Este tipo de procedimento possui sempre um erro associado, porém, há problemas de engenharia que não abrem muito espaço para aproximações. - 25 - ( ) ( ) x T Tk x T dT dG x G xx zyxTGzyxTG xx ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = → − → )( ),,(ˆˆ),,(ˆˆ lim 0 000 0 (4.11) Note que ( ) ( ) ∫=− ),,(ˆ ),,(ˆ000 000 )(),,(ˆˆ),,(ˆˆ zyxT zyxT dkzyxTGzyxTG ξξ (4.12) logo x T Tkdk x zyxT T ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ )()( ),,(ˆ 0 ξξ (4.13) Dessa forma, as equações 4.7 a 4.9 resultam em, respectivamente, x T Tk x ∂ ∂ = ∂ ∂ )( ω (4.14) y T Tk y ∂ ∂ = ∂ ∂ )( ω (4.15) z T Tk z ∂ ∂ = ∂ ∂ )( ω (4.16) ou seja, )()( Tkgradgrad =ω (4.17) A relação acima independe de sistema de coordenadas. Desta forma, o problema original pode ser reescrito como segue: [ ] [ ] ( ) Ω∂−=⋅− Ω=+ ∞ − sobre )(ˆ)( em 0)( 1 Tfhngrad qgraddiv ωω ω r & (4.18) - 26 - onde )(ˆ 1 ω−≡ fT . O problema acima permanecer não-linear, mas esta não-linearidade está associada apenas ao contorno, não à equação diferencial parcial escrita para o interior do corpo. Como a condutividade térmica é positiva para todo domínio (do contrário estaríamos violando a 2ª Lei da Termodinâmica, com fluxo de calor no sentido da menor para a maior temperatura) é possível notar que domínio o todopara 0 e 0 0 >>⇒> ω ω d dT dT d k (4.19) ou seja, a temperatura é uma função estritamente crescente de ω – existe uma relação biunívoca entre ω e T. A conseqüência disso é muito importante, pois garante que, em se conhecendo ω, seja possível obter T, e vice-versa. Em outras palavras, a partir da solução em ω do sistema (4.18) tem-se a solução de (4.4). Mais ainda, podemos concluir que a transformada de Kirchoff sempre terá inversa. Por exemplo, se tivermos    ≥ < = 02 01 para para TTk TTk k (4.20) sendo k1 e k2 constantes, a transformada é dada por      ≥ < = ∫ ∫ 02 01 para para 0 0 TTdξk TTdξk T T T Tω (4.21) ou ainda ( ) ( )   ≥− <− = 002 001 para para TTTTk TTTTk ω (4.22) cuja inversa é - 27 -       ≥+= <+= = 00 2 00 1 para para TTT k T TTT k T T ω ω (4.23) Somemos, agora, as inversas definidas nos intervalos T < T0 e T ≥ T0. Para que esta soma valha para todo ( )+∞∞−∈ ,T introduzimos uma função F da seguinte forma:       ≥++= <++= = 00 2 00 1 para para TTFT k T TTFT k ω T T ω (4.24) Somando, temos F kk TT 2 11 22 21 0 +      ++= ω (4.25) F kk TT +      ++= 21 0 2 1 2 1 ω (4.26) F deve ser uma função tal que, em T < T0, 10 / kTT ω+= , e em T ≥ T0, 20 / kTT ω+= , mantendo a equação (4.23). Desta forma, F é determinada a partir de: para T < T0,       −=⇒ ⇒+      ++=+ 21 21 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 kk F F kk T k T ω ω ω (4.27) para T ≥ T0,       −−=      −=⇒ ⇒+      ++=+ 2112 21 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 kkkk F F kk T k T ωω ω ω (4.28) - 30 - O limite da seqüência [ ],...,, 210 ΦΦΦ , denotada aqui por ∞Φ existe e é, de fato, uma solução do problema. Para provar esta assertiva, comecemos mostrando que ∞Φ é uma solução de (4.34). Em outras palavras [ ] [ ] ( ) Ω∂−Φ=⋅Φ− Ω=+Φ ∞∞ − ∞ ∞ sobre )(ˆ)( em 0)( 1 Tfhngrad qgraddiv r & (4.38) Desde que ∞β seja dado por [ ] ∞∞∞−∞ Φ−−Φ= αβ Tfh )(ˆ 1 (4.39) temos que (4.35) e (4.38) coincidem. Então, ∞Φ é uma solução. Agora, levando em conta que a seqüência é não-decrescente e tem um limite superior, garantimos a convergência, uma vez que a solução de (4.38) pertence ao mesmo espaço de soluções de (4.35) para cada i, Helmberg, 1974 [5], John, 1982 [6]. Vejamos agora três exemplos de aplicação do procedimento apresentado. 4.5 – Exemplos 4.5.1 –Exemplo 1 Seja uma região ocupada por um corpo esférico com geração de calor uniforme, inserida num único meio, com h = 1 e T∞ = 0, em um certo sistema de unidades. 1 sobre 10 em 01 1 2 2 ==− <≤=+            rT dr dT k r dr dT kr dr d r (4.40) Assume-se que T representa uma temperatura absoluta e 23 += Tk . A solução é facilmente alcançada e dada por - 31 - ( ) 2/12 1 9 1 3 2       + − +−= r T (4.41) Agora, empreguemos o procedimento proposto. Com a transformada de Kirchoff, o problema resulta em 1 sobre 3 2 9 4 3 2 )(ˆ 10 em 01 1 1/2 1 2 2 =    ++−==− <≤=+            − rf dr d r dr d r dr d r ω ω ω ω (4.42) O procedimento linear para obter os elementos da seqüência é representado como segue: i i i i i i r dr d r dr d r dr d r Φ−    Φ++−= =+Φ= Φ − <≤=+            Φ + + + αβ βα 2/1 i1 1 12 2 3 2 9 4 3 2 1 sobre 10 em 01 1 (4.43) ou, simplesmente por 1 sobre 3 2 9 4 3 2 10 em 01 1 2/1 i1 1 12 2 =    Φ++−Φ−Φ= Φ − <≤=+            Φ + + + r dr d r dr d r dr d r i ii i i αα (4.44) Como o problema só tem sentido físico para T > 0, temos que kmin > 2. Desta forma, podemos trabalhar com qualquer α ≥ 1/2. Usemos α = 3! A solução geral da equação 10 para 01 1 12 2 <≤=+            Φ + r dr d r dr d r i (4.45) - 32 - é 10 para 6 1 2 1 <≤+−=Φ ++ rC r ii (4.46) onde a constante Ci+1, para i > 0, é obtida das condições de contorno. Em outras palavras 2/1 1 6 1 3 2 9 4 3 2 6 1 3 6 1 3 3 1             +−++−    +−−    +−= + iii CCC (4.47) Então,       +−+=+ iii CCC 3 2 3 1 1 3 1 1 (4.48) A constante C0 é obtida a partir de 18 5 6 1 3 3 1 00 =⇒    +−= CC (4.49) Se usássemos α = 20, teríamos       +−+=+ iii CCC 3 2 3 1 1 20 1 1 (4.50) e a constante C0 seria obtida de 60 11 6 1 20 3 1 00 =⇒    +−= CC (4.51) A tabela 4.1 apresenta uma comparação entre os valores obtidos para Ci com os dois valores distintos de α. - 35 - ( ) Ω∂−=− Ω=+    ∞ − sobre )(ˆ em 0 1 1 Tfh dr d q dr d r dr d r ω ω ω & (4.58) Tomemos a solução como sendo o limite da seqüência de problemas lineares cujas soluções são Φ1, Φ2, Φ3, ..., Φ∞ e onde cada elemento da seqüência é dado por [ ] iii i i i Tfh dr d q dr d r dr d r Φ−−Φ= Ω∂+Φ= Φ − Ω=+    Φ ∞ − + + + αβ βα )(ˆ sobre em 0 1 1 i1 1 1 & (4.59) onde 0 2/1 0 2 00 00 00 1 2 4 11 )(ˆ k kTk TT Tk f ii i         +      Φ−−+−+Φ =Φ− (4.60) Resolvendo a equação que carrega o termo difusivo temos que 1 2 1 4 ++ +−=Φ ii Cr q& (4.61) com 211 4 R q C ii & +Φ= ++ em r = R. A constante Ci+1 pode ser determinada a partir da condição de contorno (r = R):       −=Φ⇒ ⇒+Φ== Φ − + + + ii ii i R q R q dr d β α βα 2 1 2 1 1 1 & & (4.62) - 36 - Reescrevendo Ci+1 apenas em função de Φi temos [ ] 211 4)(ˆ2 1 R q TfhR q C iii && +       Φ+−Φ−= ∞ − + αα (4.63) Lembrando que )(ˆ 1 if Φ − é calculada a partir de (4.60). Finalmente, a solução geral de (4.58) será ∞∞ +−=Φ Cr q 2 4 & (4.64) A partir da transformada – equação (4.57) – podemos determinar a solução de (4.55), utilizando a solução encontrada para ∞Φ : 0 2/1 0 2 00 00 00 2 4 11 k kTk TT Tk T         +      Φ−−+−+Φ = ∞∞ (4.65) Utilizemos os seguintes valores para os parâmetros físicos e geométricos para encontrar o valor da constante C: k0 = 10 W/mK; h = 30 W/m²K; T∞ = 298 K; 100=q& W/m³; R = 10 m. Levando em conta a condição de convergência da seqüência 10 30 min =≥ k h α temos que 3≥α . Analisemos três valores para α: 1, 3 e 200. - 37 - α = 1 α = 3 α = 200 i Ci 1 11910,0000000000 5636,6666666667 2547,0500000000 2 -6907,0031850511 5637,6634876935 2593,4065822827 3 2532,9936227818 5637,6634887006 2639,0690201930 4 11846,3023660300 5637,6634887006 2684,0469723106 5 -6779,6079387972 5637,6634887006 2728,3504909214 20 -3320,3791438943 5637,6634887006 3318,4827811853 30 8162,8359947414 5637,6634887006 3643,7922373002 40 6769,0540807767 5637,6634887006 3923,4710262886 50 2633,4824388331 5637,6634887006 4163,9195819009 75 8845,3296413020 5637,6634887006 4627,6479356905 100 3944,9871584594 5637,6634887006 4945,4595712770 150 -3262,7667081292 5637,6634887006 5312,5417762152 200 -1356,4651868267 5637,6634887006 5484,9568706465 250 10231,8800607091 5637,6634887006 5565,9386252994 300 10167,3606861651 5637,6634887006 5603,9749949109 350 3490,8219642144 5637,6634887006 5621,8403201039 400 -4114,4594062589 5637,6634887006 5630,2314952960 450 5091,0823332555 5637,6634887006 5634,1727513335 500 1226,1778444351 5637,6634887006 5636,0239222082 750 255,3961523117 5637,6634887006 5637,6260096718 1000 -5323,2140271331 5637,6634887006 5637,6626319634 1250 -3488,5920928178 5637,6634887006 5637,6634691163 1500 2949,7403570522 5637,6634887006 5637,6634882529 1750 5206,9611311792 5637,6634887006 5637,6634886903 2000 6186,3269573446 5637,6634887006 5637,6634887003 2500 9944,4073327144 5637,6634887006 5637,6634887006 3000 -627,8248247291 5637,6634887006 5637,6634887006 4000 568,4609335424 5637,6634887006 5637,6634887006 5000 3005,7036367856 5637,6634887006 5637,6634887006 Tabela 4.2 – comparação entre resultados obtidos com α = 1, α = 3 e α = 200. Resolvendo o sistema (4.55) por métodos clássicos chegamos à solução: 0 0 2 22 2 4 44 k kr q MMr q T +      −++− = && (4.66) onde a constante de integração M é calculada a partir de - 40 - Figura 4.1 – curva de temperatura representando solução do sistema (4.70). Empreguemos o procedimento iterativo proposto para o mesmo problema. Plotando as soluções obtidas a partir da centésima iteração em diante (plotar os resultados desde o primeiro elemento da seqüência prejudicaria a visualização) podemos ver claramente o processo de convergência para a solução mostrada pela figura anterior, obtida por métodos clássicos de resolução de sistema de EDP’s – o campo de temperatura do centésimo elemento da seqüência é o mais inferior da figura. - 41 - Figura 4.2 – seqüência de soluções obtidas pelo método iterativo (curvas em azul) comparada com a solução dada por (4.72) e (4.73) (curva em vermelho). Figura 4.3 – comparação do resultado final obtido pelo procedimento iterativo com a solução dada por (4.72) e (4.73). É fácil notar o comportamento crescente da seqüência de problemas lineares e o processo de convergência para a solução exata do sistema (4.70). - 42 - 5 – MÉTODOS NUMÉRICOS EM PROBLEMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR Considere o seguinte problema: [ ] [ ] ( ) Ω∂−+−=⋅− Ω=+ ∞ sobre )( em 0)( 4 GTTThnTkgrad qTkgraddiv αεσ r & (5.1) Este modelo descreve a distribuição de temperaturas de um certo corpo que ocupa uma região Ω. Para que conheçamos o valor da temperatura em cada ponto do domínio Ω é preciso resolver a EDP sujeita às condições de contorno definidas sobre ∂Ω. Os métodos analíticos de solução, quando praticáveis, provêem solução exata do sistema (5.1). No entanto, o número de problemas de engenharia que podem ser resolvidos analiticamente é extremamente limitado, seja devido à presença de termos não-lineares ou em conseqüência de geometrias complexas. Os métodos numéricos são uma alternativa para muitos dos casos não alcançados pelo ferramental analítico conhecido, porém fornecem sempre soluções que carregam algum erro associado. Nos procedimentos numéricos o domínio, antes contínuo, é discretizado, bem como a EDP definida nele, que pode ainda ser discretizada no tempo (o que não é necessário para problema (5.1), que não possui dependência do tempo). Os métodos de análise numérica, ao tratar a solução em um número finito de pontos discretos, simplificam a resolução do sistema de equações diferenciais transformando-o num sistema de equações algébricas. Dentre os métodos numéricos clássicos de resolução de EDP’s estão o Método das Diferenças Finitas (MDF), o Método de Volumes Finitos (MVF) e o Método de e Elementos Finitos (MEF). Neste trabalho serão empregados o MDF e o MEF. 5.1 – Diferenças Finitas O MDF consiste em reescrever equações diferenciais de forma que as derivadas sejam tomadas em intervalos finitos, ao invés de infinitesimais. Ou seja, a derivada da função )(ˆ xff = , definida por - 45 - “quinas” – T1,1, T1,nc, Tnl,1, Tnl,nc – não fazem parte do sistema linear, podendo ser calculados pela média aritmética dos dois nós “vizinhos”. Desta forma, para este exemplo, a solução aproximada do problema (5.5) seria obtida da solução de um sistema de 38 equações lineares (generalizando, para placas retangulares, são 4−×ncnl equações). Quanto à resolução do sistema linear há diversas metodologias, sejam aproximadas (e.g. métodos iterativos de Gauss-Seidel ou Jacobi) ou exatas (por meio de decomposição LU, inversão direta da matriz dos coeficientes, entre outros caminhos). 5.1.1 – Exemplo 1 Vejamos uma aplicação do MDF para o problema 2-D representado por (5.5), com os seguintes valores para as propriedades físicas: h = 50 W/m²K; k = 5 W/mK; T∞ = 300 K; q& = 50 W/m³; A placa tem 15m de largura e 10m de altura. É utilizada uma malha 4040× , e para resolver o sistema de equações lineares empregamos o método iterativo Gauss-Seidel. O resultado é apresentado na figura 5.2. - 46 - Figura 5.2 – campo de temperaturas em placa retangular. Todas propriedades físicas são constantes. Como esperado, a distribuição de temperaturas apresenta várias simetrias. 5.1.2 – Exemplo 2 Consideremos o mesmo problema do exemplo anterior porém com geração interna de energia dependente da posição – ),(ˆ yxqq =& . Utilizemos 22 22 yxq +=& (5.8) O campo de temperaturas calculado é graficamente representado a seguir. - 47 - Figura 5.3 – campo de temperaturas em placa com geração de energia dependente da posição. 5.1.3 – Exemplo 3 Ainda fazendo pequenas mudanças no mesmo problema, consideremos o coeficiente de troca de calor por convecção h variável com a posição, mantendo a relação para q& dada pela equação (5.8). Utilizemos as seguintes funções para h (absolutamente arbitrárias e sem comprometimento físico): ( ) Hyhxhh yh L x hh Lxhyhh xhyhh ==+= ==     = === === para K, W/m1 , 1 0 para K, W/m1 , sen para K, W/m1 , 0 para K, W/m1 , 3 44 2 33 3 22 4 1 2 1 π (5.9) Resultado: - 50 - ∫ ∫ Ω Ω Ω      + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ −      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ = =Ω      +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ dqw y T k y w x T k x w y T wk yx T wk x dq y T k yx T k x w & & (5.14) Agora, pelo teorema de Gauss ou da divergência, temos que ∫∫ ΓΩ Γ      ∂ ∂ + ∂ ∂ =Ω            ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ dnj y T ki x T kwd y T wk yx T wk x rrr (5.15) Fazendo qj x T ki x T k rrr = ∂ ∂ − ∂ ∂ − (5.16) a equação (5.13) pode ser reescrita como ( ) 0=Γ⋅−Ω      + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∫∫ ΓΩ dnqwdqw y T k y w x T k x w rr & (5.17) O fluxo de calor nq rr ⋅ que cruza a fronteira Γ é igual a ( )∞−TTh , o qual, inserido na segunda integral de (5.17), resulta em ( ) ( )∫∫ Γ ∞ Γ Γ−=Γ⋅ dhThTwdnqw rr (5.18) e a equação (5.17) passa a ser dada por ( ) 0=Γ−−Ω      + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∫∫ Γ ∞ Ω dhThTwdqw y T k y w x T k x w & (5.19) 5.2.2 – Discretização do domínio em elementos finitos - 51 - O solução pelo MEF consiste em discretizar o domínio do problema em uma malha de elementos finitos interligados através de nós. Os elementos podem ser de vários tipos, seja com relação ao número de graus de liberdade, seja com o formato do elemento. Em malhas 2-d são muito utilizados os elementos triangulares, que podem ser lineares (nós apenas nos vértices), mini (nós nos vértices e no centróide), ou quadráticos (nós nos vértices e no meio de cada lado do triângulo). Neste problema utilizaremos elementos triangulares lineares. No problema discreto de condução de calor as incógnitas passam a ser as temperaturas nodais, ou seja, os valores do campo de temperatura avaliados nos nós da malha. Para uma malha de N nós, as temperaturas nodais serão armazenadas numa única matriz, da seguinte forma:             = NT T T M 2 1 T (5.20) onde T1 é a temperatura correspondente ao nó 1, T2 é a temperaturas correspondente ao nó 2, e assim por diante, até o número total de nós da malha N. O Método de Elementos Finitos transforma a equação diferencial governante do problema em um sistema de equações algébricas que podemos representar por FKT = (5.21) onde K é a matriz dos coeficientes, em geral denominada matriz de rigidez, de ordem NN × , e F é a matriz coluna de termos independentes, em geral denominada vetor de forças, de ordem 1×N . T é a matriz (5.20). A essência do MEF baseia-se na idéia, comum na engenharia, de resolver um problema complexo dividindo-o em problemas menores e simples. Veremos agora, na formulação do elemento finito, que a equação (5.19) é resolvida isoladamente para cada elemento, de maneira a compor uma aproximação para a solução do problema original dado por (5.10) e (5.11). 5.2.3 – formulação do elemento finito triangular linear - 52 - O elemento finito triangular linear é um dos mais simples e caracteriza-se, como já foi dito, por possuir nós apenas nos vértices. A partir dos valores das temperaturas nos vértices do triângulo pode-se calcular a temperatura em qualquer ponto do elemento por interpolação linear. Figura 5.5 – elemento triangular linear, com referência ao sistema de eixos cartesianos. No elemento triangular, a matriz de incógnitas é organizada da seguinte forma:           = 3 2 T T TI eT (5.22) onde TI, TJ e TK são as temperaturas nos nós I, J e K, respectivamente. 5.2.4 – Funções de forma do elemento: O MEF provê uma solução aproximada para cada nó da malha. Como já dissemos, a temperatura no interior de cada elemento, numa malha de elementos triangulares lineares, pode ser facilmente obtida por interpolação linear. A seguinte relação permite o cálculo da temperatura interpolada em qualquer ponto do triângulo: xa=T (5.23) x y I (xI,yI) J (xJ,yJ) K (xK,yK) - 55 - N é a matriz que contém as funções de interpolação dos graus de liberdade nodais, isto é, as temperaturas nodais TI, TJ e TK. Esta matriz é usualmente denominada matriz de funções de forma. 5.2.5 – Derivada das funções de forma do elemento As derivadas do campo de temperatura, na formulação do elemento finito, podem ser facilmente determinadas a partir da equação (5.33) e representadas por ( ) eegradTgrad BTNT ==)( (5.37) De maneira análoga ao campo de temperatura, a função de teste ),(ˆ yxw é calculada, dentro do elemento, por ew Nw= (5.38) sendo           = K J I e w w w w (5.39) E o gradiente de w é calculado por ( ) ee wwgradwgrad BN ==)( (5.40) Tanto para a temperatura quanto para a função teste, a matriz B é tal que ( )             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ == y N y N y N x N x N x N grad 321 321 NB (5.41) - 56 - Calculando as derivadas das funções de forma em relação às coordenadas cartesianas, chega-se a       −−− −−− = IJKIJK JIIKKJ t xxxxxx yyyyyy A2 1 B (5.42) 5.2.6 – Forma fraca por elemento com as temperaturas nodais A equação (5.19), forma fraca do problema original, tomada para cada elemento é representada por ( ) 0=Γ−−Ω      + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∫∫ Γ ∞ Ω ee dhThTwdqw y T k y w x T k x w & (5.43) ou por ( ) 0=Ω−Γ−Γ+Ω ∫∫∫∫ ΩΓ ∞ ΓΩ eeee dqwdwhTwhTddkgradTgradw & (5.44) Agora, inserindo em (5.44) as equações (5.33), (5.37), (5.38) e (5.40), chegamos a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0=Ω−Γ−Γ+Ω ∫∫∫∫ ΩΓ ∞ ΓΩ eeee dqdhTdhdk TeTeeTeeTe &NwNwNTNwBTBw (5.45) Levando em conta que Te e we são constantes em Ωe e Γe, podemos reescrever a equação (5.45) da seguinte forma: ( ) 0=         Ω−Γ−Γ+Ω ∫∫∫∫ ΩΓ ∞ ΓΩ eeee dqdhThdkd TTeTeT Te &NNTNNTBBw (5.46) Como we é completamente arbitrário, a equação acima resulta em 0=Ω−Γ−Γ+Ω ∫∫∫∫ ΩΓ ∞ ΓΩ eeee dqdhThdkd TTeTeT &NNTNNTBB (5.47) - 57 - Utilizando a forma compacta apresentada em (5.21) tomada por elemento temos eee FTK = (5.49) onde ∫∫ Ω∂Ω += ee hdLkdA TTe NNBBK (5.50) ∫∫ Ω∂ ∞ Ω += ee dLhTdAq TTe NNF & (5.51) A seguir resolveremos cada uma das integrais. Depois de calculadas o sistema de equações algébricas estará pronto para ser resolvido. Cálculo de ∫ Ωe kdAT BB : Como B depende apenas das coordenadas dos vértices, que são constantes por elemento, a integral acima pode ser calculada por ∫ Ω = e t TT kAkdA BBBB (5.52) Vale lembrar que a matriz B é facilmente calculada pela equação (5.42). Note que, tendo em vista que B é uma matriz de ordem 32× , a ordem do produto t T kABB será, evidentemente, 33× . Cálculo de ∫ Ω∂ e hdLT NN : Vamos renomear alguns elementos, apenas para facilitar o desenvolvimento. [ ]321 NNN=N (5.53) - 60 - Figura 5.6 – malha triangular. Os lados em azul e o lado em vermelho destacam o contorno da malha. O triângulo com lado grifado em vermelho é mostrado com detalhes na próxima figura. Figura 5.7 – elemento triangular com lado compondo o contorno, mostrando as coordenadas dos vértices. A integral de linha (5.62) é calculada sobre o lado em vermelho, que possui um comprimento S. Substituindo (5.61) em (5.62), ficamos com a seguinte integral: ( ) ( ) ( )[ ] ( )654321 0 22 IIIIIIh hdLyccxbbxycbcbycacaxbabaaa S jijijiijijjiijjiji +++++= =++++++++∫ (5.63) com dLaaI S ji∫= 01 (5.64) (xK,yK) (xI,yI) (xJ,yJ) Lado pertencente ao contorno da malha - 61 - ( ) dLxbabaI S ijji∫ += 02 (5.65) ( ) dLycacaI S ijji∫ += 03 (5.66) ( ) dLxycbcbI S jiij∫ += 04 (5.67) dLxbbI S ji∫= 0 2 5 (5.68) dLyccI S ji∫= 0 2 6 (5.69) Fazendo ∆x = xJ – xI e ∆y = yJ – yI , e parametrizando as coordenadas x e y da seguinte forma: I I y S y sy x S x sx + ∆ = + ∆ = (5.70) as soluções das integrais acima são dadas por SaaI ji=1 (5.71) ( ) SxxbabaI Iijji       ∆++= 22 (5.72) ( ) SyycacaI Iijji       ∆++= 23 (5.73) ( ) SyxxyyxyxcbcbI IIIIijji       ∆∆+ ∆ + ∆ ++= 3224 (5.74) - 62 - S x xxxbbI IIji       ∆ +∆+= 3 2 2 5 (5.75) S y yyyccI IIji       ∆ +∆+= 3 2 2 6 (5.76) Cálculo de ∫ Ω∂ ∞ e dLhTTN : Utilizando a mesma representação por índices utilizada na integral (5.62), esta integral representa três integrais da seguinte forma: ( ) dLhTycxba S iii ∞∫ ++0 (5.77) com i = 1, 2, 3. Os índices i correspondem aos elementos da matriz [ ]321 NNN=N . A solução para cada Ni é, então, dada por ( )       +++ ∆ + ∆ =++ ∞∞∫ iIiIiii S iii aycxb ycxb ShTdLhTycxba 220 (5.78) Cálculo de ∫ Ωe dAqT &N : Esta integral está definida sobre toda a área do elemento triangular. A integral sobre o triângulo pode ser calculada a partir da soma das integrais sob cada lado do triângulo. A próxima figura ilustra a idéia. - 65 - 5.2.8 – Exemplo 1 Consideremos o problema de condução de calor com os seguintes parâmetros físicos: 250 5 5 5,0 = = = = ∞T h q k & em algum sistema de unidades. A placa possui largura e altura iguais a 2. O problema é matematicamente descrito pela equação HyLx y T x T <<<<=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 e 0 em 0 2 5 2 2 2 2 (5.86) sujeita às seguintes condições de contorno: ( ) ( ) ( ) ( ) HyT y T yT y T LxT x T xT x T =−−= ∂ ∂ =−= ∂ ∂ =−−= ∂ ∂ =−= ∂ ∂ para 250 2 5 0 para 250 2 5 para 250 2 5 0 para 250 2 5 (5.87) O domínio foi discretizado numa malha de elementos triangulares, conforme a figura 5.9. - 66 - Figura 5.9 – Malha de elementos finitos. Os lados pintados de preto são os que compõem o contorno. Os nós da malha estão representados pelos pontos pretos. Note que há apenas três nós por triângulo, característica do elemento linear. O campo de temperatura encontrado pelo MEF como solução aproximada é representado pela figura a seguir. - 67 - Figura 5.10 – Solução obtida pelo MEF. Comparando a solução obtida por elementos finitos com a solução obtida por diferenças finitas, a qual é mostrada na figura 5.11, é fácil perceber que ambos procedimentos chegaram a respostas praticamente iguais. - 70 - Figura 5.13 – Solução numérica do exemplo 2. - 71 - 6 – SIMULAÇÕES NUMÉRICAS O procedimento proposto neste trabalho consiste na busca da solução através de uma seqüência de problemas lineares, onde o limite da seqüência é a solução do problema original (não-linear). O método fornece a solução exata do problema, desde que se conheça o limite exato da seqüência. Entretanto, há casos em que os elementos da seqüência, constituídos de EDP’s lineares sujeitas a condições de contorno não- lineares, são restritos com relação aos recursos analíticos de solução. Uma alternativa para tais situações são os métodos numéricos, apresentados no capítulo 5. Neste capítulo trataremos quatro problemas bidimensionais de transmissão de calor por condução, utilizando a lei de Newton do resfriamento como condição de contorno. Os problemas são matematicamente descritos por ( ) Ω∂−=⋅      ∂ ∂ + ∂ ∂ − Ω=+      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ ∞ sobre em 0 TThn y T x T k q y T k yx T k x r & (6.1) onde )(ˆ Tkk = , empregando o Método de Diferenças Finitas e o Método de Elementos Finitos na resolução dos problemas lineares, elementos de cada passo do procedimento iterativo. Nos exemplos a seguir consideraremos a seguinte função da condutividade térmica com a temperatura:    ≥= <= = 02 01 para constante para constante TTk TTk k (6.2) Em todos os exemplos empregaremos o procedimento iterativo proposto neste trabalho, usando a transformada de Kirchoff e determinando a temperatura a partir da inversa da transformada. Dessa forma, conforme dito na seção 4.3, em cada elemento i da seqüência será resolvido o seguinte sistema de EDP’s lineares: [ ] [ ] Ω∂+Φ=⋅Φ− Ω=+Φ sobre )( em 0)( 1-iβα ii i ngrad qgraddiv r & (6.3) - 72 - com 1−iβ determinado a partir de ( )[ ] 1111 ˆ −∞−−− Φ−−Φ= iii Tfh αβ (6.4) Os resultados esperados são campos de temperatura com duas regiões distintas de condutividade térmica constante, divididas pela temperatura 0T . Os valores atribuídos às constantes em cada exemplo variarão um pouco, de acordo com conveniência numérica e de visualização. 6.1 – Exemplo 1 O domínio do problema é uma placa quadrada com cinco metros de lado, trocando calor por convecção com o ambiente, que está a uma temperatura 298=∞T K. O coeficiente de troca de calor por convecção h é igual a 30 W/m²K e a geração interna de energia q& é igual a 100 W/m³. A condutividade térmica, como já foi dito, é definida pela relação (6.2) e as constantes k1 e k2 são iguais a, respectivamente, 45 W/mK e 10 W/mK, usando 3040 =T K. Os problemas lineares da seqüência serão resolvidos por meio do MDF. O domínio é discretizado em uma malha 3030× (900 nós) e a constante α é igual a 3. As figuras a seguir mostram a evolução da seqüência. Figura 6.1 – malha de diferenças finitas. Figura 6.2 – iteração 1. - 75 - 6.2 – Exemplo 2 Neste exemplo a transferência de calor também ocorre numa placa quadrada, porém com lados de 4m. A geração interna de energia q& e o coeficiente de troca de calor por convecção h são constantes iguais às do problema anterior, assim como a temperatura de referência ∞T . Porém, a região de maior condutividade térmica está acima de 0T (igual a 312K) e é igual a 8 W/mK, enquanto que a menor condutividade térmica é igual a 1 W/mK. Usaremos 100=α e uma malha de diferenças finitas também 3030× . A seguir os resultados gráficos. Figura 6.12 – malha de diferenças finitas. Figura 6.14 – iteração 2. Figura 6.13 – iteração 1. Figura 6.15 – iteração 3. - 76 - Figura 6.16 – iteração 5. Figura 6.18 – iteração 12. Figura 6.17 – iteração 7. Figura 6.19 – iteração 17. - 77 - Figura 6.20 – resultado final (iteração 22). Observando o resultado gráfico podemos concluir mais uma vez que a distribuição de temperatura está condizente com o esperado. É possível concluir ainda que, apesar da utilização de um valor bem maior para α em relação ao exemplo anterior, a seqüência convergiu até mais rapidamente do que no exemplo 1. 6.3 – Exemplo 3 Neste exemplo e no próximo aplicaremos o MEF para resolução dos problemas lineares componentes de cada elemento da seqüência. Aqui, os valores atribuídos às constantes do problema são os seguintes: h = 30 W/m²K; T∞ = 300 K; 100=q& W/m³; - 80 - Figura 6.33– iteração 72. Figura 6.34– iteração 87 (resultado final). Figura 6.35 – resultado final (iteração 82) com plano dividindo regiões de condutividade térmica constante. 6.4 – Exemplo 4 Neste último exemplo resolveremos um problema cuja região de menor condutividade térmica, ao contrário do exemplo anterior, está acima da temperatura 0T . - 81 - A região que apresenta os maiores gradientes de temperatura possui condutividade térmica 11 =k W/mK e a que tem os menores gradientes possui condutividade térmica 452 =k W/mK. A temperatura 0T que divide ambas as regiões é igual a 300K. O problema se passa numa placa quadrada de lado igual a 2m, numa taxa de geração interna de energia de 100 W/m³, trocando calor com o ambiente por convecção – temperatura de referência de 298K e coeficiente de filme de 30W/m²K. O domínio é discretizado em uma placa 1515× . Usando 16=α obtemos os seguintes resultados: Figura 6.36 – malha de elementos finitos. Figura 6.38 – iteração 2. Figura 6.37 – iteração 1. Figura 6.39 – iteração 4. - 82 - Figura 6.40 – iteração 6. Figura 6.42 – iteração 10. Figura 6.44 – iteração 30. Figura 6.41 – iteração 8. Figura 6.43 – iteração 20. Figura 6.45 – iteração 50. - 85 - CONCLUSÃO Os resultados apresentados mostram que a metodologia proposta é confiável, simples e possui grande aplicabilidade. Ao contrário das técnicas numéricas de resolução de problemas de transmissão de calor não-linear, o procedimento aqui proposto, apesar de ser um método iterativo, garante a convergência da seqüência (desde que atendida a restrição para a constante α) e o resultado obtido será tão próximo do exato quanto quisermos – dependendo de onde se queira truncar a seqüência. Se for possível determinar o limite exato da seqüência a solução fornecida pelo método será efetivamente a exata, como mostra claramente o exemplo da seção 4.5.1. O emprego de métodos numéricos – diferenças e finitas e elementos finitos – teve o objetivo de mostrar o procedimento proposto aplicado a problemas bidimensionais, pois estão muito presentes em várias áreas de engenharia e fornecem uma boa visualização dos resultados. A pesquisa feita até que se chegasse a este trabalho resultou em dois artigos científicos publicados em congressos, conforme apresentado nas páginas 88 e 89. Estas publicações representam muito bem a importância deste trabalho de levar o nome da UERJ para o mundo científico nacional e também de reafirmar o papel da universidade de produzir resultados científicos. As grandes universidades do mundo são conhecidas pela sua capacidade de pesquisa e de praticar ciência. - 86 - REFERÊNCIAS [1] Bejan, A., 1992, “Transferência de Calor”, Editora Edgard Blücher LTDA. [2] De Andrade, C. R., Zaparoli, E. L., 2002, “Condução de Calor Bidimensional com Condutividade Térmica Dependente da Temperatura.” Em: VIII ENCITA - Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA, 2002, São José dos Campos, SP. Anais do VIII ENCITA – Encontro de Iniciação Científica e Pós- Graduação do ITA, São José dos Campos, ITA, 2002. v. 0. p. 61-66. [3] Gama, R. M. S., (a ser publicado) “An a priori upper bound estimate for conduction heat transfer problems with temperature-dependent thermal conductivity” Int. J. Non-Linear Mech. [4] Gama, R. M. S., 2000, “An upper bound estimate for a class of conduction heat transfer problems with nonlinear boundary conditions”, Int. Comm. Heat Mass Transfer, vol. 27, pp.955-964. [5] Helmberg, G., 1974, “Introduction to spectral theory in Hilbert space”, North- Holland. [6] John, F., 1982, “Partial differential equations”, Springer-Verlag. [7] Kreith, F., Bohn, M. S., 2003, “Princípios de Transferência de Calor”, Pioneira Thomson Learning. [8] Souza, R. M., 2003, “O Método de Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução de Calor”, Núcleo de Instrumentação e Computação Aplicada à Engenharia, Departamento de Engenharia Civil, Centro Tecnológico, Universidade Federal do Pará. [9] Lima, L. M. R., Gama, R. M. S. “A Procedure For Exact Solution of Nonlinear Conduction Heat Transfer Problems In a Body With Temperature Dependent - 87 - Thermal Conductivity”, 19th International Congress of Mechanical Engineering, 2007, Brasília. 19th International Congress of Mechanical Engineering, 2007. [10] Lima, L. M. R., Dongala, A. M., Gama, R. M. S., “A Procedure For Simulating The Nonlinear Conduction Heat Transfer In A Body With Temperature Dependent Thermal Condcutivity”, 11th Brazilian Congress of Thermal Sciences and Engineering, 2006, Curitiba. 11th Brazilian Congress of Thermal Sciences and Engineering, 2006.