Apostila de Limites e Derivadas

Apostila de Limites e Derivadas

(Parte 1 de 2)

ÁREA1 - Faculdade de Ciência e Tecnologia

Cursos de Engenharia

Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Álvaro Fernandes Serafim

Apostila de limites e derivadas

“Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema, mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema. Seu problema pode ser modesto; porém, se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva, e caso você o resolva sozinho, então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta”

George Polya

Última atualização: 26/10/2007

Qual o valor de a ?

Álvaro Fernandes 2

Limite e continuidade3
Noção intuitiva de limite3
Tabelas de aproximações4
Cálculo de uma indeterminação do tipo 0/06
Fórmulas de simplificações e propriedades dos limites8
Continuidade10
Limites infinitos12
Limites no infinito13
Expressões indeterminadas15
Limite fundamental exponencial17
Limite fundamental trigonométrico19
Funções limitadas21
Aplicação 1: Problema da área sob o arco de uma parábola23
Aplicação 2: Problema do circuito RL em série24
Derivada25
A reta tangente25
A reta normal28
A derivada de uma função num ponto28
Derivadas laterais29
Regras de derivação31
Derivada da função composta (Regra da cadeia)3
Derivada da função inversa35
Derivada das funções elementares36
Derivada da função exponencial36
Derivada da função logarítmica37
Derivada das funções trigonométricas37
Derivada das funções trigonométricas inversas40
Tabela de derivadas42
Derivadas sucessivas43
Derivada na forma implícita45
Derivada de uma função na forma paramétrica50
Diferencial54
Aplicações da derivada56
A regra de L’Hospital56
Interpretação cinemática da derivada58
Taxa de variação61
Análise gráfica das funções64
Máximos e mínimos64
Funções crescentes e decrescentes67
Critérios para determinar os extremos de uma função68
Concavidade e inflexão70
Assíntotas horizontais e verticais72
Esboço gráfico75

Índice Problemas de otimização......................................................................................................... 80

Álvaro Fernandes 3

Limite e continuidade

Noção intuitiva de limite

Considere a função ()fxx=−21. Esta função está definida para todo x∈ℜ, isto é, qualquer que seja o número real ox, o valor ()oxfestá bem definido.

Graficamente:

Considere agora uma outra função ()gx

1 . Esta função está definida

{}∀∈ℜ−x1. Isto significa que não podemos estabelecer uma imagem quando x assume o valor 1.

Quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto bc resulte em a.

indeterminação no valor de x

0 0 simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante.

Álvaro Fernandes 4

Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está muito próximo de 1, em outras palavras, queremos responder a seguinte pergunta:

Qual o comportamento da função g quando x assume valores muito próximos (ou numa vizinhança) de 1, porém diferentes de 1?

A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto 1x= que gera a indeterminação.

Estudemos os valores da função ()gx

1 quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações.

Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1:

• por valores de x pela direita:

• por valores de x pela esquerda:

Tabelas de aproximações

As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1: (tabela A) x 0 0,5 0,75 0,9 0,9 0,99 0,99 g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,9 1,99 1,99

Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1:(tabela B)

x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001

Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, convencionaremos:

“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”.

2ou limx

Álvaro Fernandes 5

Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites laterais.

∗ Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x→−1. Temos então que:

∗ Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela B), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x→+1. Temos então que:

Definição intuitiva de limite (para um caso geral)

Seja f uma função definida num intervalo I⊂ℜ contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é L∈ℜ, e escrevemos

()limxa fxL→=, se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais xa xa fx fxL→→==. Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em

símbolo()limxa fx→.

Ainda com relação à função ()gx

1 , podemos então concluir, pela definição, que:

e

De forma equivalente,

2

Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para determinar o limite de uma função, caso ele exista?

Não! Há uma forma bem mais simples, como veremos a seguir.

Obs: O sinal negativo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela esquerda.

Obs: O sinal positivo no expoente do no 1 simboliza apenas que x se aproxima do número 1 pela direita.

Álvaro Fernandes 6

Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo 0 0, deveremos simplificar* a expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x.

de Briot-Ruffini para dividir polinômios, etc

* Para simplificar a expressão você deve utilizar fatoração, conjugado de radical, dispositivo prático Vejamos os exemplos seguintes.

Exemplo 2. Determine ()limx gx→1 , onde ()gx matemática! Quando a variável x está cada vez mais próxima de 1, a função g está cada vez mais próxima de quanto? Devemos então simplificar a expressão da função g e depois fazer a substituição direta.

1xlimx glim

Logo, limx

Chegamos à mesma conclusão da análise feita pelas tabelas de aproximações, porém de uma forma mais rápida e sistemática.

Não mais utilizaremos as tabelas de aproximações para casos semelhantes a este!!

Vale lembrar que a expressão limx x

1 2 significa que a função ()gx

1 está tão próxima de 2 assim como x está suficientemente próximo de 1, porém diferente de 1. Graficamente podemos verificar isso:

Gráfico da função ()gx x

Álvaro Fernandes 7

Exemplo 3. Determine

Se você construir as tabelas de aproximações, constatará que a função mais próximo de 1/4 a medida que x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.

Exemplo 4. Determine

Exemplo 5. Determine

Precisaremos antes do

Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini.

Teorema de D’Alembert: Um polinômio ()xf é divisível por ()ax−, ℜ∈a, se, e somente se, a é uma raiz de ()xf, isto é, ()0af=.

()xf ()ax− ()xr ()xq

Como o ponto 1x= anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por 1x−. Assim,

()* Usamos então o dispositivo de Briot- Ruffini para dividir estes polinômios

Obs.: Faça uma revisão deste dispositivo num livro de matemática do ensino médio.

1 2 0 3 -5 2 2 5 0 = resto

1 4 -3 -1 4 1 0 = resto

Álvaro Fernandes 8

Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites. Produtos notáveis:

Fatorações:

Conjugado de radicais:

Proposição (unicidade do limite).

então ele é único.

Principais propriedades dos limites.

Se ()x flim ax→ e ()x glim ax→ existem, e k é um número real qualquer, então:

x flim xf lim ax e) kklim ax =→ .

Álvaro Fernandes 9

Ufa, quanto trabalho!!! Bastaria substituir o ponto 1x=diretamente na expressão, obtendo logo

Atividades (grupo 1). Calcule os limites abaixo:

b) g) x2x x1lim h) i)

Atividades (grupo 2). Calcule os limites indicados:

a) ()fx

e

b) ()gx c) ()hx

, calcule: ()limx hx→1 d) ()

e

Álvaro Fernandes 10

Continuidade

Definição: Seja 0x um ponto do domínio de uma função f. Dizemos que f é contínua no ponto 0x se:

Na verdade esta função é contínua em ℜ, isto é, em todos os pontos da reta (do seu domínio).

Exemplo 8. Algumas funções que não são contínuas no ponto 0x:

a) b) c)

Pois

a) não existe ()x flimxx→

Exemplo 9. Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:

Soluções: a)Calculando o limite, temos: ()()()()42

16x lim

Álvaro Fernandes 1 b) Calculando o limite, temos:

x1 lim

Como os limites laterais são iguais, temos que ()4x glim

Atividades (grupo 3).

Determine, se possível, a constante ℜ∈ a de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto ox, sendo:

xf o2

Atividades (grupo 4).

Determine, se possível, as constantes ℜ∈ba e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto ox, sendo:

Propriedades das funções contínuas. Se as funções f e g são contínuas em um ponto 0x, então:

i) fg é contínua em 0x;

i) f ± g é contínua em 0x; i) f / g é contínua em 0x desde que ()0xg0≠.

Álvaro Fernandes 12

Limites infinitos

infinito (∞−∞+ou), dizemos então que o limite é infinito.

Quando resolvemos um limite e não encontramos como resposta valores numéricos, mas sim

Exemplo 10. Calcule 1x 1x lim

Neste caso, quando fazemos a substituição de x por −1 na expressão

Esta não é uma situação especial. Sempre que na substituição de x ocorrer 0 0k k, ≠, o resultado do limite será sempre zero, naturalmente.

E se na substituição do valor de x ocorrer k k0 0, ≠?

Vamos analisar esta situação num caso particular e depois formalizar uma regra.

Exemplo 1. Estude o seguinte limite: lim x x→0

Devemos analisar os limites laterais. Vamos recorrer às tabelas de aproximações:

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x)=1/x 1 10 100 10 10.0

Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela direita), ()fxx=1 cresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:

x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x)=1/x -1 -10 -100 -10 -10.0

Cada vez que tomamos x suficientemente próximo de zero (pela esquerda), ()fxx=1 decresce indefinidamente. Simbolizamos esta situação assim:

Conclusão: Como os limites laterais são distintos, então lim x x→0

Álvaro Fernandes 13

Regra (generalização)

Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite ocorrer k k0 0, ≠ , então diremos que a resposta do limite é:

ocorre see ocorre se
ocorre see ocorre se

Desta regra podemos perceber que 0k→∞±. Se o denominador tende ao infinito com o numerador constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos agora.

Limites no infinito

Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x cresce indefinidamente (+∞→x) ou quando ela decresce indefinidamente (−∞→x). Em algumas situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode também crescer indefinidamente (figura 2) ou decrecer indefinidamente (figura 3).

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Exemplo 12.

Álvaro Fernandes 14

As tabelas abaixo apresentam situações de operações com infinito que usaremos com freqüencia. Produto:

Soma:

Produto por constante:

Quociente:

Potências: Se n é um natural não nulo, então:

e

par. é se n, n,n

Atividades (grupo 5)Calcule os limites:

a) 2x xlim

Atividades (grupo 6). Calcule os limites:

b) c) d) indeterminação! indeterminação!

Álvaro Fernandes 15

Expressões indeterminadas

Vimos que 0 0 é uma expressão de indeterminação matemática. Também são:

∞∞e .

A indeterminação do tipo ∞∞. Exemplo 13. Calcule os limites abaixo:

b) c)

Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞∞, pois quando +∞→x as expressões do numerador e denominador também tendem a ∞+. Não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:

lim lim lim x 1xlim lim

Observamos que nas três situações analisadas as indeterminações do tipo ∞∞ produziram respostas distintas (como era esperado, por isso que é indeterminação!) Você deve ter notado que para resolver indeterminações deste tipo a idéia é colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e no denominador.

Álvaro Fernandes 16

Atividades (grupo 7). 1. Calcule os limites abaixo:

A indeterminação do tipo ∞ - ∞ Exemplo 14. Calcule os limites abaixo:

a) 3x xxlim −

Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo ∞ - ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:

Usando a mesma técnica da indeterminação anterior

Atividades (grupo 8). 1. Calcule os limites abaixo:

A indeterminação do tipo 0 × ∞ Exemplo 15. Calcule os limites abaixo:

. b) ()x

Álvaro Fernandes 17

Podemos observar que estas expressões geram indeterminações do tipo 0 × ∞, mas não podemos afirmar, a priori, o valor delas. Vejamos:

2limTransformamos a indeterminação 0 × ∞ em ∞ ⁄ ∞ . Daí você
0...x
Novamente transformamos a indeterminação para ∞ ⁄ ∞. Usando a

3lim x técnica da racionalização:

() +∞=∞+===⋅==

xx3limxxx x3limx x3lim x .

Atividades (grupo 9). 1. Calcule os limites abaixo:

Limite fundamental exponencial (a indeterminação do tipo 1∞)

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é aplicado no cálculo de juros.

Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente:

e ≅ 2,7182818

Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial ()xexf= é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano.

Proposição:ex

A prova desta proposição envolve noções de séries. Utilizaremos o recurso das tabelas de aproximações e gráfico para visualizar este resultado.

Álvaro Fernandes 18

Tabela

100 2,7048.. 1000 2,7169.. 100.0 2,7182..

Faça uma tabela para x → - ∞. Gráfico:

Exemplo 16. Calcule os limites abaixo:

. b)

Nestes dois casos percebemos indeterminações do tipo 1∞Vejamos as soluções...

a) 5

b) Neste caso, usaremos uma mudança de variável

x et 11limt

+=+=−−=−

Atividades (grupo 10). 1. Calcule os limites abaixo:

. b)

. c)

Álvaro Fernandes 19

Conseqüências importantes do limite fundamental exponencial:

1a lim

e

Atividades (grupo 1). Resolva os dois limites acima com as sugestões a seguir:

• No item (i) faça a mudança de variável t 1x= e use o limite fundamental exponencial.

Atividades (grupo 12). 1. Resolva os limites abaixo:

Limite fundamental trigonométrico

O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação é do tipo 0 0 envolvendo a função trigonométrica ()xseny=. Este limite é muito importante, pois com ele resolveremos outros problemas.

Proposição:()1x

Vamos utilizar a tabela de aproximação para verificar este resultado. Tabela x ()()x xsenxf=

±0,1 0.9983341664683.. ±0,01 0.9999833334167..

±0,001 0,9999998333333..

±0,0001 0,9999999983333..

±0,00001 0,9999999999833..

Álvaro Fernandes 20

xsenxf=, podemos perceber também este resultado

Exemplo 17. Calcule os limites abaixo:

x5senlim

1xcoslim xtglim 0x → .

Soluções:

x2 x2senlimx

2
Faça tx2=Se 0x→ então 0t→. Logo:
()()212t

tsenlim2 kxsenlim 0x =→ . Vamos usar este resultado agora:

lim x3sen x5senlim xsenlim 1xcosx 1xcoslim

1xcos 1xcosx 1xcoslimx

1xcoslim

1xcos xsenx xsenlim xcos 1limx xsenlim xcos1x xsenlim xcosx xsenlimx xtglim

Atividades (grupo 13). 1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico fundamental:

. c) ()

Álvaro Fernandes 21

Funções limitadas

Obs.: ()fD significa o domínio da função f.

Exemplo 14. Algumas funções limitadas e seus gráficos. f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x) f(x) = k f(x) = sen(2x2+3x-1)

Proposição: Se ()()xg0xflim ax e ou

→ ou

Exemplo 18

a) Calcule ()x xsenlim x +∞→ .

Solução:

+∞→ x xsenlimx resultado é zero.

Gráfico da função ()()x xsenxf=:

Observe que as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando +∞→x. O resultado do limite permanece o mesmo se −∞→x.

Álvaro Fernandes 2 xcoslim x +∞→ .

Solução: de forma análoga

Gráfico da função ()()x xcosxf=:

Observe que, da mesma forma que a função anterior, as oscilações vão reduzindo a sua amplitude quando +∞→x. O resultado do limite permanece o mesmo se−∞→x.

c) Calcule ()xcos

(Por quê?) e ()xcos é uma função limitada. Logo, ()0xcos

Atividades (grupo 14). 1. Resolva os limites abaixo usando o conceito de função limitada:

b) ()x

Álvaro Fernandes 23

Método dos retângulos.

Figura 1. Dividindo o intervalo []1,0 em n subintervalos, cada subintervalo terá comprimento n1:

1,0 ,2o subintervalo n
2 ,, no subintervalo 
1nObs.: 1n

Vamos construir retângulos (Figura 2) cujas bases são ao subintervalos e cujas alturas são as imagens dos extremos direito* de cada subintervalo pela função 2xy=:

* a altura pode ser calculada sobre qualquer ponto do subintervalo, neste caso foi tomado o extremo direito.

Figura 2. Figura 3. Calculando as área desses retângulo (h.bA=), obtemos:

1A⋅=,2
1A⋅=,2
1A⋅=,, 2

A área total desses retângulos (ntA) nos dá uma aproximação da área (Figura 1) que queremos calcular:

Álvaro Fernandes 24 n 6 (Figura 3) 10 100 1.0 10.0 100.0 tA 0,421296 0,3850 0,338350 0,333834 0,333383 0,333338 A área exata que estamos procurando (Figura 1) é calculada pelo limite:

(Calcule este limite e mostre que é igual a 1/3)

2. Problema do circuito RL em série.

No circuito da figura 4, temos uma associação em série de um resistor (símbolo R) e um indutor (símbolo L). Da segunda lei de Kirchhoff (lei das voltagens) e do estudo das equações diferenciais, pode-se mostrar que a corrente i no circuito é dada por onde E é uma bateria de voltagem fixa, c é uma constante real e t é o tempo.

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