Resolução dos exercicios do Halliday

Resolução dos exercicios do Halliday

(Parte 1 de 5)

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

03. MOVIMENTO RETILÍNEO2
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO2
VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA3
VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR3
ACELERAÇÃO4
ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL4
Exemplo:6
ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE7
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS8
158
1910
341
381
411
4312
4512
5413
5714
6114
6915
7815
7916

Prof. Romero Tavares da Silva

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03. Movimento retilíneo

Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento.

Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação a um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta parece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas não está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em uma cama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceriam parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referencial específico

Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar. Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Desse modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo como o único existente.

Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento de translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo com esse movimento descreverão a mesma trajetória.

Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matematicamente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal maneira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.

Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que tenham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresentar um movimento retilíneo.

Posição e deslocamento

A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é conhecida em todos os instantes.

PQ
xixf

Vamos considerar que esse movimento componha-se de uma trajetória retilínea que tem como posição inicial o ponto P com coordenada xi no instante ti e posição final com coordenada xf no instante tf . O deslocamento ∆x é uma medida da dife- rença entre as posições inicial xi que a partícula ocupou e a sua posição final xf

∆x = xi - xf e o intervalo de tempo é expresso como:

∆t = tf - ti x Q xf

xiP α

ti tf t

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À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P, na figura anterior. No limite quando ∆t → 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste ponto específico.

Velocidade média e velocidade escalar média

A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofisticação dos nossos instrumentos de medida.

A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso:

t percorridadistânciav ∆

Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida cotidiana essa informação é suficiente para descrever uma viagem.

Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo necessário para esse evento.

t xv ∆

Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, deveríamos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento, que foi definido anteriormente.

No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos praticamente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidades média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é a distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslocamento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo considerado.

Velocidade instantânea e velocidade escalar

A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo num dado momento.

Ela é definida como:

dtdxt xLimv t = ∆

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Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o início e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa o que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada um dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda viagem.

A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indicação de direção e sentido.

No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A sua característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Portanto a equação que define este tipo de movimento é:

X = v t Aceleração

A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia com o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou diminuindo à medida que o corpo se movimenta.

Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nós definimos a aceleração média deste intervalo como:

tv t v a if if ∆

Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo considerado, deveremos calcular a aceleração instantânea:

dtdvt va Limt = ∆

Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a sua aceleração será positiva pois:

t va

Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa.

Aceleração constante - um caso especial

O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade é uma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula em outros.

Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula se

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