variaveis aleatorias

variaveis aleatorias

(Parte 1 de 3)

Sumario

1. Capıtulo 5 - Probabilidade 1 2. Capıtulo 6 - Variaveis Aleatorias Discretas 4 3. Capıtulo 7 - Variaveis Aleatorias Contınuas 9 Referencias 1

Observacao 1. A maioria dos exercıcios dessa lista foram tirados do nosso livrotexto (referencia [1]), entretanto a numeracao aqui nao e equivalente a numeracao do livro.

1. Capıtulo 5 - Probabilidade

Exercıcio 1. Lance um dado ate que a face 5 apareca pela primeira vez. Enumere os possıveis resultados desse experimento.

solucao. O numero 5 representa a face 5 e a letra Q representa qualquer face diferente da face 5. Assim o espaco amostral e dado pelo conjunto

Exercıcio 2. Tres jogadores A, B e C disputam um torneio de tenis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando sao disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais sao os resultados possıveis do torneio?

Exercıcio 3. Considere o exercıcio 1. Atribua probabilidade (5/6)k(1/6) a cada ponto de S com k letras iguais a Q seguidas de 5.

(1) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos amostrais e igual a um; (2) Calcule a probabilidade de que a face 5 apareca apos tres lancamentos do dado.

Alem disso,

P(De que a face 5 apareca apos 3 lancamentos) = P(s2) =

2 MAURO C. M. CAMPOS

Exercıcio 4. Dentre seis numeros positivos e oito negativos, dois numeros sao escolhidos ao acaso, sem reposicao e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? solucao. Sejam x e y os numeros escolhidos ao acaso e sem reposicao e considere o evento

Segue que

Observacao 2. Ao longo do texto temos que

Exercıcio 5. Considere a figura ao lado do exercıcio 20 do capıtulo 5 do livro-texto. Essa figura apresenta um sistema com tres componentes funcionando independen- temente, com confiabilidades p1, p2 e p3. Obtenha a confiabilidade do sistema.

solucao. Seja C a confiabilidade do sistema, isto e, C = P(Do sistema funcionar).

Considere Ai = o componente i esta funcionando, onde i = 1,2,3. Assim

Como os eventos Ai sao independentes, segue que

Observe que C e uma funcao de p1,p2 e p3, ou seja,

Exercıcio 6. Um empresa produz circuitos em tres fabricas, denotadas por I, I e I. A fabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a I e I produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por essas fabricas nao funcione sao 0,01, 0,04 e 0,03 respectivamente.

(1) Escolhido ao acaso um circuito da producao conjunta das tres fabricas, qual a probabilidade do circuito nao funcionar; (2) Suponha que o circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual a probabilidade do circuito ter sido fabricado por I.

solucao. Considere os eventos

Ai = O circuito escolhido da producao conjunta foi fabricado pela fabrica I, onde i = 1,2,3 e

B = O circuito escolhido da producao conjunta nao funciona. Assim

Alem disso, segue do teorema de Bayes que

I LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 3

Exercıcio 7. Suponha que de N objetos, n (admita n < N) sejam escolhidos ao acaso e com reposicao. Qual e a probabilidade de que nenhum objeto seja escolhido mais de uma vez? solucao. O = {o1,...,oN} representa o o conjunto dos N objetos. Assim o espaco amostral pode ser escrito como

A = A amostra nao contem objetos repetidos, que na notacao de conjunto pode ser escrito como

A = {(s1,...,sn) ∈ S;s1 6=6= sn}.

Agora observe que

|A| = N(N − 1)(N − 2) ·· [N − (n − 1)].

Assim

N(N − 1)(N − 2) ·· (N − n + 1)

Observacao 3. O exercıcio 7 e equivalente ao exercıcio 53 do capıtulo 5 do livrotexto. Alem disso, o exercıcio 62 do capıtulo 5 do livro-texto e uma aplicacao do exercıcio 53.

Exercıcio 9. Existem 4 bolas numa urna, numeradas por 0, 011, 101 e 110. Selecione uma bola ao acaso da urma e considere os eventos

Ai = Na bola selecionada, o numero 1 aparece na posicao i,

(2) Mostre que os eventos Ai sao mutuamente independentes, mas nao sao independentes.

solucao. De fato

para todo i e P(A) = P(∅) = 0. Os eventos Ai sao mutuamente independentes, pois

para todo i 6= j. Mas

Portanto, os eventos A1, A2 e A3 nao sao independentes.

4 MAURO C. M. CAMPOS

2. Capıtulo 6 - Variaveis Aleatorias Discretas

Exercıcio 10. Considere uma urna contendo tres bolas vermelhas e cinco pretas. Retire tres bolas, sem reposicao, e defina uma v.a. aleatoria X igual ao numero de bolas pretas. Obtenha a distribuicao de X.

solucao. Observe que X assume valores no conjunto {0,1,2,3}. Portanto a distribuicao de X e dada por

Exercıcio 1. Repita o problema anterior, mas considerando extracoes com reposicao.

solucao. Novamente observe que X assume valores no conjunto {0,1,2,3}. Porem, nesse caso, a distribuicao de X e dada por

Exercıcio 12. Suponha que uma moeda perfeita e lancada ate que cara apareca pela primeira vez. Seja X o numero de lancamentos ate que isso aconteca. Obtenha a distribuicao de X.

solucao. Observe que X assume valores no conjunto {1,2,3,...}. Portanto a distribuicao de X e dada por

para x = 0,1,2,3,

Exercıcio 13. Repita o problema anterior, considerando agora que a moeda e viciada, sendo a probabilidade de cara dada por p, onde 0 < p < 1.

solucao. Nesse caso, a distribuicao de X e dada por

para x = 0,1,2,3,

Exercıcio 14. Uma moeda perfeita e lancada quatro vezes. Seja Y o numero de caras obtidas. Calcule a distribuicao de Y .

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