Análise Matematica I - Apostilas - Matemática Part1, Notas de estudo de Matemática

Baixe Análise Matematica I - Apostilas - Matemática Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! V y ANALISE MATEMATICA I ANÁLISE MATEMÁTICA | Sos VS tao ANA SÁ BENTO LOURO 2002 Índice 1 Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões 1 1.1 Noções topológicas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Indução matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Sucessões de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade 13 2.1 Generalidades sobre funções reais de variável real . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Limites. Limites relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Continuidade: propriedades das funções cont́ınuas. Teorema de Bolzano . . 23 2.4 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial 37 3.1 Derivadas. Regras de derivação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. . . . . . . . 46 3.3 Indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5 Aplicações da fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Funções Reais de Variável Real: Primitivação 67 4.1 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Primitivação por partes e por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3 Primitivação de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4 Primitivação de funções algébricas irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5 Primitivação de funções transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5 Funções Reais de Variável Real: Cálculo Integral 95 5.1 Integral de Riemann: Definição e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Classes de funções integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 Teoremas Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.4 Áreas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.5 Integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões Definição 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é aberto se A = int(A). Definição 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderência de A ao conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x é aderente a A se x ∈ A. A diz-se fechado se A = A. NOTAS: 1. Das definições, conclui-se facilmente que A = int(A) ∪ fr(A). 2. A é fechado se, e só se, fr(A) ⊂ A. 3. A é fechado se, e só se, R \ A é aberto, isto é, R \ A = int(R \ A) = ext(A). EXEMPLO 1: Sejam A =]0, 1], B = [0, 1], C = [0, 1[, D =]0, 1[. B é fechado, D é aberto, A e C não são fechados nem abertos. EXEMPLO 2: A = { 1 n , n ∈ N } não é fechado nem aberto (note que fr(A) = A ∪ {0}). EXEMPLO 3: A = { 1 n , n ∈ N } ∪ {0} é fechado. Definição 1.1.6 Sejam a ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que a é ponto de acumulação de A se toda a vizinhança de a intersecta A \ {a}. Ao conjunto dos pontos de acumulação de A chama-se derivado de A. Diz-se que a é ponto isolado de A se a ∈ A e existe uma vizinhança de a que não intersecta A \ {a}. EXEMPLO 1: Seja A = { 1 n , n ∈ N } . 0 é ponto de acumulação de A. Todos os pontos de A são isolados. EXEMPLO 2: Seja A = [0, 1[∪{2}. O conjunto dos pontos de acumulação de A é [0, 1]. 2 é ponto isolado de A. NOTA: Se a ∈ int(A), então a é ponto de acumulação de A. Definição 1.1.7 Sejam x ∈ R e A um subconjunto de R. Diz-se que x é majorante de A se x ≥ a, ∀a ∈ A. Diz-se que x é minorante de A se x ≤ a, ∀a ∈ A. Definição 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A é majorado se admitir majorantes. Diz-se que A é minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A é limitado. 1.1 Noções topológicas em R 3 EXEMPLO 1: A = {x ∈ R : x2 < 1} é limitado. EXEMPLO 2: ]−∞, 1[ é majorado. EXEMPLO 3: [1,+∞[ é minorado. EXEMPLO 4: A = {x ∈ R : |x| > 1} não é majorado nem minorado. Teorema 1.1.1 A é limitado se, e só se, ∃M > 0, |x| ≤M, ∀x ∈ A. Demonstração: Se A for limitado, sejam ν um minorante de A e µ um majorante de A; se M for o maior dos dois números |ν| e |µ|, então |x| ≤M, ∀x ∈ A (se µ = ν = 0, toma-se M > 0, qualquer). Reciprocamente, se ∃M > 0, |x| ≤ M, ∀x ∈ A, isto é, −M ≤ x ≤ M, ∀x ∈ A, então M é majorante de A e −M é minorante de A. Definição 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que β é o supremo de A se β for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto é, se β for o menor dos majorantes de A); representa-se por β = sup(A). Se β, supremo de A, pertencer a A, diz-se que β é o máximo de A; neste caso, representa-se por β = max(A). Definição 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que α é o ı́nfimo de A se α for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto é, se α for o maior dos minorantes de A); representa-se por α = inf(A). Se α, ı́nfimo de A, pertencer a A, diz-se que α é o mı́nimo de A; neste caso, representa-se por α = min(A). EXEMPLO 1: Seja A = {x ∈ R : x2 < 1}. Então inf(A) = −1 e sup(A) = 1. A não tem máximo nem mı́nimo. EXEMPLO 2: Seja A =]− 1, 1]. Então inf(A) = −1 e sup(A) = max(A) = 1. EXEMPLO 3: sup(]−∞, 1[) = 1. Não existe ı́nfimo deste conjunto. Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto mino- rado tem ı́nfimo. Não daremos aqui a demonstração do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos números reais, que não está nos propósitos deste curso. Teorema 1.1.3 Seja A um subconjunto de R. Então β = sup(A) se, e só se, β é majo- rante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Analogamente, α = inf(A) se, e só se, α é minorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x < α + ε. 4 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões Demonstração: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ı́nfimo proceder- -se-ia de modo análogo. Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) então β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β − ε. Fá-lo-emos pela contra-rećıproca, isto é, negando a tese chegaremos à negação da hipótese (trata-se da bem conhecida proposição da lógica formal A⇒ B equivalente a ∼ B ⇒ ∼ A). Se β não for majorante de A, β não é o supre- mo de A (definição de supremo) e o problema fica resolvido. Se ∃ε > 0, ∀x ∈ A, x ≤ β−ε, então β não é o supremo de A visto que β − ε é majorante de A e β − ε < β. Reciprocamente, vamos mostrar que se β é majorante de A e ∀ε > 0, ∃x ∈ A : x > β−ε, então β = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rećıproca. Se β não for o supremo de A, então ou não é majorante ou é majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que β. No último caso, seja γ esse majorante. Então, fazendo ε = β − γ (> 0) temos ∀x ∈ A, x ≤ γ = β − ε, que é a negação da hipótese. 1.3 Sucessões de números reais 7 1.3 Sucessões de números reais Definição 1.3.1 Chama-se sucessão de números reais a toda a aplicação de N em R. Os elementos do contradomı́nio chamam-se termos da sucessão. Ao contradomı́nio chama-se conjunto dos termos da sucessão. NOTA: É usual designarem-se os termos da sucessão por un, em detrimento da notação u(n), habitual para as aplicações em geral. Definição 1.3.2 A expressão designatória que define a sucessão chama-se termo geral da sucessão. EXEMPLO 1: un = n 2 EXEMPLO 2: un = cos(n). NOTA: Podem-se definir sucessões sem explicitar o termo geral. É o caso da definição por recorrência. Exemplo: u1 = 1, u2 = 2, un+2 = un+1 + un (sucessão dos números de Fibonacci). Por vezes dão-se apenas alguns termos da sucessão que induzem o leitor a “inferir” os restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . . Definição 1.3.3 Uma sucessão diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado. EXEMPLO 1: un = n 2 é limitada inferiormente, mas não superiormente. EXEMPLO 2: un = −n é limitada superiormente, mas não inferiormente. EXEMPLO 3: un = (−n)n não é limitada superiormente nem inferiormente. EXEMPLO 4: un = cos(n) é limitada. Definição 1.3.4 Dadas duas sucessões de números reais u e v, chama-se soma, dife- rença e produto de u e v às sucessões u+v, u−v e uv de termos gerais, respectivamente, un + vn, un − vn e un vn. Se vn 6= 0, ∀n ∈ N, chama-se sucessão quociente de u e v à sucessão u/v de termo geral un/vn. Definição 1.3.5 Uma sucessão u diz-se crescente se un ≤ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estri- tamente crescente se un < un+1, ∀n ∈ N; diz-se decrescente se un ≥ un+1, ∀n ∈ N; diz-se estritamente decrescente se un > un+1, ∀n ∈ N; diz-se monótona se for cres- cente ou decrescente; diz-se estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. 8 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões EXEMPLO 1: un = n 2 é estritamente crescente. EXEMPLO 2: un = −n é estritamente decrescente. EXEMPLO 3: un = (−n)n não é monótona. Dadas duas sucessões u e v, se v é uma sucessão de números naturais, a composição u ◦ v ainda é uma sucessão, de termo geral uvn . Por exemplo, se u é a sucessão 1, 2, 1, 3, 1, 4, . . . e vn = 2n− 1, então uvn = 1; se zn = 2n, então uzn = n + 1; se sn = 4, então usn = 3. Definição 1.3.6 Dadas duas sucessões u e w, dizemos que w é subsucessão de u se existir v, sucessão de números naturais, estritamente crescente, tal que w = u ◦ v. EXEMPLOS: Das sucessões consideradas anteriormente, u ◦ v e u ◦ z são subsucessões de u, mas u ◦ s não é subsucessão de u. NOTAS: 1. Toda a subsucessão de uma sucessão limitada é limitada. 2. Uma sucessão pode não ser limitada e ter subsucessões limitadas. Exemplo: un = { n, se n par 1 n , se n ı́mpar 3. Toda a subsucessão de uma sucessão monótona é monótona. Definição 1.3.7 Diz-se que a sucessão u é um infinitamente grande (ou que tende para +∞), e representa-se un → +∞, se ∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un > L. Diz-se que u é um infinitamente grande em módulo se |un| → +∞, isto é, ∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ |un| > L. Diz-se que u tende para −∞, e representa-se un → −∞, se ∀L ∈ R+, ∃p ∈ N : n > p⇒ un < −L. EXEMPLO 1: un = n 2 → +∞. EXEMPLO 2: un = −n→ −∞. EXEMPLO 3: Seja un = (−n)n. Então |un| = nn → +∞. 1.3 Sucessões de números reais 9 NOTAS: 1. Se u é tal que un → +∞, un → −∞ ou |un| → +∞ então u é não limitada. A rećıproca não é verdadeira. Por exemplo, a sucessão un = { n, se n par 1 n , se n ı́mpar é não limitada e un 6→ +∞, un 6→ −∞, |un| 6→ +∞ 2. O facto de un → +∞ não implica que u seja crescente (nem que exista uma ordem a partir da qual seja crescente). Exemplo: un = n+ (−1)n. Das definições, conclui-se imediatamente que Teorema 1.3.1 Sejam u e v sucessões tais que, a partir de certa ordem, un ≤ vn. Então, a) un → +∞⇒ vn → +∞, b) vn → −∞⇒ un → −∞. Definição 1.3.8 Sejam u uma sucessão e a ∈ R. Diz-se que u converge para a (ou tende para a ou, ainda, que o limite da sucessão é a), e representa-se un → a, se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ |un − a| < ε. EXEMPLO: un = 1 n → 0. De facto, seja ε > 0, qualquer; se tomarmos p = Int ( 1 ε ) (se x ∈ R, chamamos parte inteira de x ao maior inteiro menor ou igual a x e representamo-la por Int(x)) então, para n > p tem-se 1 n ≤ 1 p+ 1 < ε. NOTAS: 1. Em linguagem de vizinhanças, a definição é equivalente a: ∀ε > 0 ∃p ∈ N : n > p⇒ un ∈ Vε(a). 2. Podeŕıamos escrever ainda, de forma equivalente, ∀ε > 0 ∃p ∈ N : |un − a| < ε, ∀n > p. 3. Consideremos o conjunto R = R∪{−∞,+∞}, em que −∞ e +∞ são dois objectos matemáticos, não reais e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, a relação de ordem: i) se x, y ∈ R, x < y em R se, e só se, x < y em R. ii) −∞ < x < +∞, ∀x ∈ R. 12 1. Noções Topológicas, Indução Matemática e Sucessões Definição 1.3.12 Uma sucessão u diz-se de Cauchy (ou fundamental) se ∀ε > 0 ∃p ∈ N : m,n > p⇒ |un − um| < ε. EXEMPLO: un = 1 n é sucessão de Cauchy. De facto, sejam m,n > p; então ∣ ∣ 1 n − 1 m ∣ ∣ ≤ 1 n + 1 m < 1 p + 1 p = 2 p . Seja ε > 0, qualquer; para concluir, basta tomarmos p > 2 ε . NOTA: Na definição de sucessão convergente, introduzimos um elemento externo à su- cessão, o limite. A sucessão converge se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” do limite. Na definição de sucessão de Cauchy apenas comparamos os elementos da sucessão uns com os outros. Dizemos que a sucessão é de Cauchy se, a partir de certa ordem, todos os elementos da sucessão “estão perto” uns dos outros. Teorema 1.3.13 Uma sucessão real é convergente se, e só se, for de Cauchy. NOTA: Este teorema permite-nos mostrar que uma sucessão é convergente sem ter que calcular o seu limite. Consideremos a sucessão: un = 1 + 1 22 + 1 32 + · · ·+ 1 n2 Podemos tomar, sem perda de generalidade, n > m; então |un − um| = ∣ ∣ 1 (m+ 1)2 + 1 (m+ 2)2 + · · ·+ 1 n2 ∣ ∣ = 1 (m+ 1)2 + 1 (m+ 2)2 + · · ·+ 1 n2 ≤ ≤ 1 m(m+ 1) + 1 (m+ 1)(m+ 2) + · · ·+ 1 (n− 1)n = = ( 1 m − 1 m+ 1 ) + ( 1 m+ 1 − 1 m+ 2 ) + · · · ( 1 n− 1 − 1 n ) = 1 m − 1 n ≤ 1 m Se p > 1 ε e n ≥ m > p, obtemos |un − um| < ε pelo que a sucessão é de Cauchy, portanto convergente. Caṕıtulo 2 Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade 2.1 Generalidades sobre funções reais de variável real Definição 2.1.1 a) Dados dois conjuntos A e B chama-se função definida em A com valores em B, a toda a correspondência entre A e B que a cada elemento de A faça corresponder um e um só elemento de B. Ao conjunto A chama-se domı́nio da função. b) Representa-se a função por y = f(x) em que x é a variável independente e toma valores em A (x ∈ A) e y é a variável dependente, pois os seus valores dependem dos valores que toma a variável x, que toma valores em B (y ∈ B). c) À expressão ou fórmula que traduz o modo como a variável y depende da variável x chama-se expressão anaĺıtica ou representação anaĺıtica da função f . d) Uma função f diz-se real de variável real quando A ⊂ R e B ⊂ R. Definição 2.1.2 Seja f uma função real de variável real. a) Chama-se domı́nio de definição ou de existência de f ao conjunto dos valores reais que têm imagem pela função f , isto é, ao conjunto dos números reais para os quais a expressão anaĺıtica de f está bem definida. b) Chama-se contradomı́nio de f ao conjunto dos valores reais que são imagem pela função f dos elementos do domı́nio. Definição 2.1.3 Dada uma função f : D ⊂ R → R, chama-se gráfico da função f ao conjunto {(x, y) : x ∈ D, y ∈ R, y = f(x)}. 14 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade Definição 2.1.4 Uma função f : D ⊂ R → R diz-se: a) crescente se x < y =⇒ f(x) ≤ f(y). b) estritamente crescente se x < y =⇒ f(x) < f(y). c) decrescente se x < y =⇒ f(x) ≥ f(y). d) estritamente decrescente se x < y =⇒ f(x) > f(y). Definição 2.1.5 Uma função diz-se a) monótona se é crescente ou decrescente. b) estritamente monótona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Definição 2.1.6 Uma função f : D ⊂ R → R diz-se: a) par se f(x) = f(−x), ∀x ∈ D. b) ı́mpar se f(x) = −f(−x), ∀x ∈ D. Definição 2.1.7 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) é um máximo de f se f(x) ≤ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de máximo. Definição 2.1.8 Sejam f : D ⊂ R → R e c ∈ D. Diz-se que f(c) é um mı́nimo de f se f(x) ≥ f(c), ∀x ∈ D. A c chama-se ponto de mı́nimo. Estes valores têm a designação comum de extremos de f . A Figura 2.1 ilustra as definições anteriores. Figura 2.1: Extremos de uma função. 2.2 Limites. Limites relativos 17 Definição 2.2.4 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı́nio de f . Diz-se que o limite de f em a é +∞ se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ f(x) > 1 δ e escreve-se lim x→a f(x) = +∞. Definição 2.2.5 Seja f : D ⊂ R → R e a um ponto aderente ao domı́nio de f . Diz-se que o limite de f em a é −∞ se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ f(x) < −1 δ e escreve-se lim x→a f(x) = −∞. NOTA: As definições de lim x→+∞ f(x) = +∞, lim x→−∞ f(x) = +∞, lim x→+∞ f(x) = −∞ e lim x→−∞ f(x) = −∞, podem dar-se de forma análoga. Em todo o caso, se tivermos em conta a definição de vizinhança em R (ver página 9), podemos unificar todas as definições do seguinte modo: se a, b ∈ R, diz-se que lim x→a f(x) = b se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(b). Teorema 2.2.1 Se f : D ⊂ R → R e a ∈ R é um ponto aderente a D, então lim x→a f(x) = b se, e só se, para cada sucessão (xn) de limite a, (xn) ⊂ D, a sucessão (f(xn)) tem por limite b. NOTA: Observe-se que não exigimos que a seja ponto de acumulação de D. Se a é ponto isolado de D então f tem limite igual a f(a) quando x→ a. De facto, as únicas sucessões de pontos do domı́nio que tendem para a são as sucessões que, a partir de certa ordem, são constantemente iguais a a. Teorema 2.2.2 O limite de f em a, quando existe, é único. NOTAS: 1. Este teorema permite-nos usar a expressão “b é o limite de f(x) quando x tende para a”, em vez de “b é limite de f(x) quando x tende para a” e permite que se use a notação lim x→a f(x) = b. 2. Se a ∈ D (isto é, f está definida em a), o limite b, se existe, coincide com f(a). Com efeito, neste caso, a verifica as condições a ∈ D e |a − a| < ε ∀ε > 0, o que implica que |f(a)− b| < δ, ∀δ > 0, ou seja, f(a) = b. EXEMPLO: Consideremos a função f : R → R definida por f(x) = { x2, se x 6= 0 1, se x = 0 (ver Figura 2.3). 18 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade Figura 2.3 Não existe lim x→0 f(x). Como o domı́nio de f é R o limite, se existisse teria de ser igual a f(0), como vimos na observação anterior. Teŕıamos então de provar que ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |x| < ε⇒ |f(x)− 1| < δ. Mas, se δ = 1 2 , qualquer que seja ε > 0, existe sempre x tal que |x| < ε e f(x) < 1 2 , o que implica que |f(x)− 1| > 1 2 . Teorema 2.2.3 Se lim x→a f(x) = b e lim x→a g(x) = c então: a) lim x→a [f(x) + g(x)] = b+ c; b) lim x→a [f(x)− g(x)] = b− c; c) lim x→a [f(x)g(x)] = b c; d) Se c 6= 0, lim x→a f(x) g(x) = b c . Teorema 2.2.4 Se lim x→a f(x) = 0 e g é uma função limitada numa vizinhança de a então lim x→a [f(x)g(x)] = 0. NOTA: O facto de g ser limitada é essencial. Por exemplo, se f(x) = x e g(x) = 1 x , lim x→0 f(x)g(x) = 1 6= 0, o que não contradiz o teorema, visto g não ser limitada. Teorema 2.2.5 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se lim x→a g(x) = b e lim x→b f(x) = c então lim x→a (f ◦ g)(x) = c. 2.2 Limites. Limites relativos 19 Definição 2.2.6 Sejam f : D ⊂ R → R e B um subconjunto próprio de D (isto é, B ⊂ D e B 6= D). Suponhamos que a é um ponto aderente a B. Diz-se que f tem limite b, quando x tende para a, segundo B, ou que b é o limite relativo a B de f quando x tende para a, se o limite da restrição de f a B quando x tende para a é b. Designa-se este limite por lim x → a x ∈ B f(x) = b ou lim x→a, x∈B f(x) = b. São importantes os limites relativos que se seguem: 1. B = D \ {a}. Diz-se então que f(x) tende para b quando x tende para a por valores diferentes de a: lim x → a x 6= a f(x) = b. 2. B = {x : x ∈ D ∧ x < a}. Neste caso escreve-se lim x → a x < a f(x) = b ou lim x→a− f(x) = b ou f(a−) = b e diz-se limite à esquerda de f no ponto a. 3. B = {x : x ∈ D ∧ x > a}. Neste caso escreve-se lim x → a x > a f(x) = b ou lim x→a+ f(x) = b ou f(a+) = b e diz-se limite à direita de f no ponto a. Os limites à esquerda e à direita recebem a designação comum de limites laterais. Para se poderem definir estes limites, o ponto a tem que ser ponto de acumulação de B. NOTAS: 1. lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = b ⇔ lim x → a x 6= a f(x) = b. Mas pode existir só um dos limites laterais (ou os dois com valores distintos) sem que exista lim x → a x 6= a f(x). 2. lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = b não implica que lim x→a f(x) = b a não ser que f(a) = b. No exemplo da página 17, f(0−) = f(0+) = 0 e f(0) = 1. 3. lim x → a x 6= a f(x) não se distingue de lim x→a f(x) quando a 6∈ D, devendo então a ser ponto de acumulação de D. 22 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade Teorema 2.2.7 É condição necessária e suficiente para que f tenha limite finito no ponto a que ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ Vε(a) |f(x)− f(y)| < δ. 2.3 Continuidade: propriedades das funções cont́ınuas. Teorema de Bolzano 23 2.3 Continuidade: propriedades das funções cont́ı- nuas. Teorema de Bolzano Definição 2.3.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. Diz-se que f é cont́ınua em a se existir lim x→a f(x). Como vimos anteriormente, o facto de a ∈ D implica que lim x→a f(x) = f(a). Podemos escrever f é cont́ınua em a se ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ D ∧ |x− a| < ε⇒ |f(x)− f(a)| < δ, ou, em termos de vizinhanças ∀δ > 0 ∃ε > 0 : x ∈ Vε(a) ∩D ⇒ f(x) ∈ Vδ(f(a)). Os pontos em que uma função não é cont́ınua dizem-se pontos de descontinuidade. Definição 2.3.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a ∈ D. a) f é cont́ınua à esquerda em a se f(a−) = lim x→a− f(x) = f(a). b) f é cont́ınua à direita em a se f(a+) = lim x→a+ f(x) = f(a). NOTAS: 1. Se f for cont́ınua à esquerda e à direita no ponto a então f é cont́ınua em a. 2. Se a for um ponto isolado, resulta da definição que f é cont́ınua em a. Teorema 2.3.1 Toda a função constante é cont́ınua em todos os pontos do seu domı́nio. Do Teorema 2.2.3, conclui-se facilmente: Teorema 2.3.2 Se f e g são cont́ınuas no ponto a então f + g, f − g e fg são cont́ınuas nesse ponto; se g(a) 6= 0 então também f g é cont́ınua em a. Analogamente, do Teorema 2.2.5 se deduz: Teorema 2.3.3 Sejam f : D ⊂ R → R e g : E ⊂ R → R tais que g(E) ⊂ D. Se g é cont́ınua no ponto t0 e f é cont́ınua no ponto x0 = g(t0), então f ◦ g é cont́ınua em t0. Definição 2.3.3 Uma função f diz-se cont́ınua no conjunto B ⊂ D se é cont́ınua em todos os pontos de B. 24 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade Teorema 2.3.4 (Teorema do valor intermédio de Bolzano) Seja f uma função cont́ınua num intervalo I, a e b dois pontos de I tais que f(a) 6= f(b). Então, qualquer que seja o número k estritamente compreendido entre f(a) e f(b), existe pelo menos um ponto c, estritamente compreendido entre a e b, tal que f(c) = k. Demonstração: Podemos supor, sem perda de generalidade, que a < b. Consideremos o intervalo [a, b]. Como f(a) 6= f(b) teremos f(a) < f(b) ou f(a) > f(b). Admitamos que f(a) < f(b). Seja k tal que f(a) < k < f(b). Seja o conjunto C = {x : x ∈ [a, b] ∧ f(x) < k}. Como f(a) < k, a ∈ C, pelo que C 6= ∅. Visto que b é um majorante de C podemos afirmar, pelo Teorema 1.1.2 que existe c = supC. Como C ⊂ [a, b], c ∈ [a, b]. Dado que f é cont́ınua em [a, b] e c é aderente a C, existem todos os limites relativos tendo-se, em particular, lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ C f(x) = f(c). Mas se x ∈ C, f(x) < k, o que implica que lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ C f(x) ≤ k, donde f(c) ≤ k (2.1) Por outro lado, c é um ponto aderente a [a, b] \C. Como b ∈ [a, b] \C este conjunto é não vazio e lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ [a, b] \ C f(x) = f(c). Mas se x ∈ [a, b] \ C, então f(x) ≥ k, o que implica que lim x→c f(x) = lim x → c x ∈ [a, b] \ C f(x) ≥ k, donde f(c) ≥ k. (2.2) De (2.1) e (2.2) conclui-se que f(c) = k. NOTA: Se f não for cont́ınua em [a, b], pode existir k ∈ [f(a), f(b)] tal que 6 ∃c ∈ [a, b] : f(c) = k (ver Figura 2.6). EXEMPLO: Seja f(x) = x3 − x2 + x. Usando o teorema anterior podemos provar que existe c tal que f(c) = 10. De facto, como f é cont́ınua em R podemos considerar a sua restrição ao intervalo [0, 3] e facilmente se verifica que f(0) = 0 < 10 < f(3) = 21. 2.3 Continuidade: propriedades das funções cont́ınuas. Teorema de Bolzano 27 a) f(I) é limitado. b) f(I) é fechado. a) Suponhamos que f(I) não é limitado. Então para cada n ∈ N existe xn ∈ I tal que |f(xn)| ≥ n. Como I é limitado a sucessão (xn) também é limitada, portanto, (xn) tem uma subsucessão (xnk) convergente (Teorema 1.3.10). Seja x = limn f(xnk); x ∈ I porque I é fechado. Visto que f é cont́ınua, lim n f(xnk) = f(x), mas esta conclusão é incompat́ıvel com a suposição |f(xn)| ≥ n ∀n ∈ N (Teorema 1.3.4) b) Temos de provar que existem x0 e x1 ∈ I tais que f(x0) = sup x∈I f(x) e f(x1) = inf x∈I f(x). Suponhamos que não existe x0 ∈ I tal que f(x0) = sup x∈I f(x), isto é, L = sup x∈I f(x) não é atingido. Então L− f(x) 6= 0, ∀x ∈ I. Portanto, g(x) = 1 L− f(x) é uma função cont́ınua em I. Provámos em a) que toda a função cont́ınua num intervalo limitado é limitada o que implica que g é limitada. Pelo Teorema 1.1.3 temos que ∀δ > 0 ∃c ∈ I : f(c) > L− δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : L− f(c) < δ ⇒ ∀δ > 0 ∃c ∈ I : g(c) = 1 L− f(c) > 1 δ o que contradiz o facto de g ser limitada. Analogamente, se prova a existência de x1 ∈ I tal que f(x1) = inf x∈I f(x). Portanto, f(I) é fechado. Corolário 1 Toda a função cont́ınua num intervalo fechado e limitado tem, nesse inter- valo, um máximo e um mı́nimo. NOTAS: 1. Os dois resultados anteriores mantêm-se válidos se substituirmos “intervalo fechado limitado” por “conjunto fechado limitado não vazio”. 2. A hipótese intervalo (ou conjunto) fechado é necessária como se pode ver pelos exemplos seguintes: 1) Seja f(x) = x. f é cont́ınua em ]− 1, 1[ e não tem nesse intervalo máximo nem mı́nimo. 2) A função g(x) = { 1 x , se x 6= 0 0, se x = 0 é cont́ınua em ]0, 1], mas não tem máximo nesse intervalo. 28 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade 3) A função h(x) = 1 x sen ( 1 x ) é cont́ınua em ]0, 1] e não tem máximo nem mı́nimo nesse intervalo. Teorema 2.3.6 Se f é uma função cont́ınua e injectiva num intervalo I, então a função inversa é também cont́ınua. Definição 2.3.4 Sejam F e f duas funções de domı́nios DF e Df , respectivamente. Diz- -se que F é um prolongamento de f se Df ⊂ DF e F (x) = f(x), ∀x ∈ Df . Definição 2.3.5 Seja a um ponto aderente a D (domı́nio de f). Diz-se que f é pro- longável por continuidade ao ponto a se existir um prolongamento F de f , com domı́nio D ∪ {a}, sendo F cont́ınua em a. Teorema 2.3.7 Para que uma função f seja prolongável por continuidade ao ponto a, é necessário e suficiente que tenha limite nesse ponto. Existindo o limite, o prolongamento por continuidade é a função g : Df ∪ {a} → R g(x) = { f(x), se x ∈ Df lim x→a f(x), se x = a EXEMPLO: Consideremos a função f : R \ {0} → R definida por f(x) = sen(x) x (ver Figura 2.7). Sabemos que lim x→0 f(x) = 1. Figura 2.7 Pelo teorema anterior f é prolongável por continuidade ao ponto 0 e o prolongamento é a função g : R → R definida por: g(x) = { sen(x) x , se x 6= 0 1, se x = 0 Definição 2.3.6 Diz-se que f tem uma descontinuidade remov́ıvel no ponto a se existir uma função g cont́ınua em a, que apenas difere de f em a. 2.3 Continuidade: propriedades das funções cont́ınuas. Teorema de Bolzano 29 EXEMPLO: Seja f(x) =    x2 − 2x− 3 x− 3 , se x 6= 3 3, se x = 3 Como lim x → 3 x 6= 3 f(x) = 4, f tem uma descontinuidade remov́ıvel em x = 3. A função g(x) =    x2 − 2x− 3 x− 3 , se x 6= 3 4, se x = 3 é cont́ınua no seu domı́nio. 32 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade Consideremos o conjunto {xn : xn = 1 n , n = 1, 2, 3, . . .} e seja δ > 0. Observando a definição de limite, para cada n, o maior εn que podemos tomar é εn = δ n(n+ δ) (Figura 2.9). Ora inf{εn : εn = δ n(n+ δ) } = 0, pelo que não existe ε > 0 tal que |x− xn| < ε⇒ |f(x)− f(xn)| < δ, n = 1, 2, 3, . . . Conclúımos assim que dado δ > 0 não podemos escolher ε > 0 que, na definição de limite, seja válido simultaneamente para todos os xi, i = 1, 2, 3, . . .. Definição 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f é uniformemente cont́ınua em A se ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ A, |x− y| < ε⇒ |f(x)− f(y)| < δ. EXEMPLO 1: A função f(x) = sen(x) é uniformemente cont́ınua em R, isto é, é verda- deira a proposição ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x− y| < ε⇒ |sen(x)− sen(y)| < δ. De facto, sendo δ > 0 bastará escolher ε = δ e sabendo que |sen(x)| ≤ |x| ∀x ∈ R temos: |sen(x)− sen(y)| = ∣ ∣ ∣ ∣ 2 cos ( x+ y 2 ) sen ( x− y 2 )∣ ∣ ∣ ∣ = 2 ∣ ∣ ∣ ∣ cos ( x+ y 2 )∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ sen ( x− y 2 )∣ ∣ ∣ ∣ ≤ 2 ∣ ∣ ∣ ∣ sen ( x− y 2 )∣ ∣ ∣ ∣ ≤ 2 ∣ ∣ ∣ ∣ x− y 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = |x− y|. EXEMPLO 2: A função f(x) = 1 x não é uniformemente cont́ınua em ]0, 2[, como vimos atrás. EXEMPLO 3: A função f(x) = x2 (Figura 2.10) não é uniformemente cont́ınua em R, isto é, é falsa a proposição ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ R, |x− y| < ε⇒ |x2 − y2| < δ. Da igualdade |x2 − y2| = |x − y||x + y| podemos concluir que x e y podem estar tão próximos quanto se queira e a diferença entre as suas imagens ser arbitrariamente grande 2.4 Continuidade uniforme 33 Figura 2.10 (basta pensar em pontos x e y cuja diferença seja sempre inferior a ε, mas que estejam arbitrariamente longe da origem). Os gráficos da Figura 2.11 procuram ilustrar esta situação. Figura 2.11 34 2. Funções Reais de Variável Real: Limites e Continuidade EXEMPLO 4: Provemos, a partir da definição, que a função f(x) = 7 − x2 é uniforme- mente cont́ınua em [−10, 1], isto é, que é verdadeira a proposição ∀δ > 0 ∃ε > 0 ∀x, y ∈ [−10, 1], |x− y| < ε⇒ |7− x2 − (7− y2)| < δ. Seja δ > 0. Como |7− x2 − (7− y2)| = | − x2 + y2| = |x− y||x+ y| ≤ 20|x− y|, teremos |x− y| < ε⇒ |7− x2 − (7− y2)| < δ se ε < δ 20 . Definição 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Diz-se que f é lipschitziana em A se ∃M > 0 : |f(x)− f(y)| ≤M |x− y|, ∀x, y ∈ A. Teorema 2.4.1 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. Se f é lipschitziana em A, então f é uniformemente cont́ınua em A. Demonstração: Usando a definição, basta tomar ε = δ M . EXEMPLO 1: A função f(x) = x2 é lipschitziana em [0, 1]. De facto, |x2 − y2| = |x+ y| |x− y| ≤ (|x|+ |y|) |x− y| ≤ 2 |x− y| ∀x, y ∈ [0, 1]. A função é pois uniformemente cont́ınua em [0, 1]. Vimos atrás que f(x) = x2 não é uniformemente cont́ınua em R. O facto da função ser uniformemente cont́ınua depende do conjunto. É claro que se uma função for uniformemente cont́ınua num conjunto C é uniformemente cont́ınua em todos os subconjuntos de C. EXEMPLO 2: Os cálculos efectuados atrás permitem-nos concluir que f(x) = 7 − x2 é lipschitziana em [−10, 1]. Teorema 2.4.2 Sejam f : D ⊂ R → R e A ⊂ D. f é uniformemente cont́ınua em A se, e só se, para quaisquer sucessões (xn) e (yn) de elementos de A tais que lim n (xn− yn) = 0 se tem também lim n (f(xn)− f(yn)) = 0. EXEMPLO 1: Consideremos novamente a função f(x) = 1 x no intervalo ]0, 1]. Sejam xn = 1 n e yn = 1 2n , n ∈ N. São sucessões de elementos do intervalo ]0, 1] e lim(xn − yn) Caṕıtulo 3 Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial 3.1 Derivadas. Regras de derivação. Definição 3.1.1 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim x→a f(x)− f(a) x− a ou, fazendo x− a = h, lim h→0 f(a+ h)− f(a) h · Designa-se a derivada de f no ponto a por f ′(a) ou df dx (a). Se f tem derivada finita no ponto a, diz-se que f é diferenciável em a. Designando por P e Qi, i = 1, 2, 3, 4, respectivamente, os pontos do gráfico de f que têm abcissas a e xi, a razão f(xi)− f(a) xi − a é o declive da recta PQi, secante ao gráfico de f (veja-se a Figura 3.1). Se f é diferenciável no ponto a, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) à recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ′(a); a recta tangente terá então a equação: y = f(a) + f ′(a)(x− a). Definição 3.1.2 Sejam f : D ⊂ R → R e a um ponto interior a D. Chama-se derivada à esquerda de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim x→a− f(x)− f(a) x− a 38 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial Figura 3.1: Interpretação geométrica da derivada. ou, fazendo x− a = h, lim h→0− f(a+ h)− f(a) h , e designa-se por f ′(a−). Chama-se derivada à direita de f no ponto a ao limite, se existir (em R), lim x→a+ f(x)− f(a) x− a ou, fazendo x− a = h, lim h→0+ f(a+ h)− f(a) h , e designa-se por f ′(a+). NOTA: É evidente que f ′(a) existe se, e só se, existem e são iguais f ′(a+) e f ′(a−). EXEMPLO 1: Consideremos a função f : R → R definida por f(x) = |x| = { x, se x ≥ 0 −x, se x < 0 cujo gráfico se apresenta na Figura 3.2. f ′(0+) = lim x→0+ f(x)− f(0) x− 0 = limx→0+ x x = 1; f ′(0−) = lim x→0− f(x)− f(0) x− 0 = limx→0− −x x = −1. Como f ′(0+) 6= f ′(0−), f não tem derivada no ponto 0. 3.1 Derivadas. Regras de derivação. 39 Figura 3.2 EXEMPLO 2: A função f : R → R definida por f(x) = { x sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 não tem derivadas laterais em x = 0 (ver Figura 3.3). De facto, a função definida por f(x)− f(0) x− 0 = x sen ( 1 x ) x = sen ( 1 x ) não tem limite quando x→ 0, não existindo sequer limites laterais. Figura 3.3 EXEMPLO 3: A função f : R → R definida por f(x) = 3√x (ver Figura 3.4) tem derivada +∞ em x = 0, pois 42 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial Para o produto, temos (f · g)′(a) = lim x→a (f · g)(x)− (f · g)(a) x− a = lim x→a f(x) · g(x)− f(a) · g(a) x− a = lim x→a f(x) · g(x)− f(a) · g(x) + f(a) · g(x)− f(a) · g(a) x− a = lim x→a (f(x)− f(a)) · g(x) + f(a) · (g(x)− g(a)) x− a = lim x→a ( g(x) · f(x)− f(a) x− a + f(a) · g(x)− g(a) x− a ) = lim x→a g(x) · lim x→a f(x)− f(a) x− a + f(a) · limx→a g(x)− g(a) x− a = g(a) · f ′(a) + f(a) · g′(a) onde se usou o facto de a diferenciabilidade de g em a implicar a sua continuidade no mesmo ponto. Finalmente, para o quociente podemos começar por considerar o caso particular de f ser a função constante com o valor 1 em todos os pontos do seu domı́nio. Obtemos então: ( 1 g )′ (a) = lim x→a ( 1 g ) (x)− ( 1 g ) (a) x− a = limx→a 1 g(x) − 1 g(a) x− a = lim x→a g(a)− g(x) g(x) · g(a) x− a = limx→a g(x)− g(a) x− a · ( − 1 g(x) · g(a) ) = − 1 g(a) · lim x→a 1 g(x) · lim x→a g(x)− g(a) x− a = − 1 g(a) · 1 g(a) · g′(a) = − g ′(a) (g(a))2 . Portanto, notando que f g = f · 1 g , temos: 3.1 Derivadas. Regras de derivação. 43 ( f g )′ (a) = f ′(a) · ( 1 g ) (a) + f(a) · ( 1 g )′ (a) = f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a) (g(a))2 . Corolário 1 Se f1, f2, . . . , fp são funções diferenciáveis no ponto a, a sua soma e o seu produto também o são e verificam-se as igualdades: (f1 + f2 + · · ·+ fp)′(a) = f ′1(a) + f ′2(a) + · · ·+ f ′p(a) (f1 · f2 · · · fp)′(a) = p ∑ i=1 f1(a) · · · f ′i(a) · · · fp(a). Em particular, se p ∈ N e f é diferenciável em a também o é a função h(x) = (f(x))p e tem-se h′(a) = p · (f(a))p−1 · f ′(a). Teorema 3.1.3 Se g : E → R é diferenciável no ponto a e f : D → R é diferenciável no ponto b = g(a), então f ◦ g é diferenciável em a e (f ◦ g)′(a) = f ′(b) · g′(a) = f ′(g(a)) · g′(a). Teorema 3.1.4 Sejam I um intervalo, f : I → R uma função estritamente monótona e cont́ınua, g : J = f(I) → R a sua inversa. Se f é diferenciável no ponto a e f ′(a) 6= 0, então g é diferenciável em b = f(a) e g′(b) = 1 f ′(a) = 1 f ′(g(b)) . EXEMPLO 1: Consideremos a função g(x) = arc sen(x), função inversa da função f(x) = sen(x) no intervalo [−π 2 , π 2 ]. Teremos então g′(x) = 1 f ′(g(x)) = 1 cos(g(x)) = 1 cos(arc sen(x)) = 1 √ 1− sen2(arc sen(x)) = 1√ 1− x2 . EXEMPLO 2: Consideremos a função g(x) = arc cos(x), função inversa da função f(x) = cos(x) no intervalo [0, π]. Teremos então g′(x) = 1 f ′(g(x)) = − 1 sen(g(x)) = − 1 sen(arc cos(x)) = − 1√ 1− cos2(arc cos(x)) = − 1√ 1− x2 . 44 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial De forma análoga se pode mostrar que (arc tg(x))′ = 1 1 + x2 e (arc cotg(x))′ = − 1 1 + x2 . Se f : D ⊂ R → R é uma função diferenciável em todos os pontos de A ⊂ D, podemos definir a função que a cada x de A faz corresponder f ′(x). Obtemos, assim, uma nova função, de domı́nio A, que representamos por f ′ e a que chamamos função derivada (ou apenas derivada) de f em A. De modo análogo, se f ′ for diferenciável em A, definimos f ′′ = (f ′)′ (segunda derivada); se f ′′ for diferenciável em A, definimos f ′′′ = (f ′′)′, . . . se f (n−1) (derivada de ordem n−1) for diferenciável em A, definimos f (n) = (f (n−1))′, derivada de ordem n de f em A. Definição 3.1.3 Se f ′ for cont́ınua em A, dizemos que f é de classe C1 em A e representamos por f ∈ C1(A). Se n ∈ N e f (n) é cont́ınua em A, dizemos que f é de classe Cn em A e representamos por f ∈ Cn(A). Se f ∈ Cn(A), ∀n ∈ N, dizemos que f é de classe C∞ e representamos por f ∈ C∞(A). EXEMPLO 1: As funções f(x) = cos(x), g(x) = sen(x) e h(x) = ex são de classe C∞ em R. EXEMPLO 2: A função f(x) =    x2 sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 é diferenciável em R, f ′(x) =    2x sen ( 1 x ) − cos ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e f ′ não é cont́ınua em 0. Temos, assim, f /∈ C1(R). EXEMPLO 3: Se f (n)(x) e g(n)(x) existem, tem-se obviamente, (f + g)(n)(x) = f (n)(x) + g(n)(x). 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 47 Analogamente, f(x)− f(a) x− a ≥ 0 ∀x ∈]a, a+ ε[ ∩ D, o que implica que lim x→a+ f(x)− f(a) x− a ≥ 0, isto é, f ′(a+) ≥ 0. Teorema 3.2.2 Se f(a) for máximo relativo e existirem derivadas laterais em a, então f ′(a−) ≥ 0 e f ′(a+) ≤ 0. Se f for diferenciável em a, então f ′(a) = 0. NOTA: Se f é diferenciável, a condição f ′(a) = 0 é necessária, mas não suficiente para que f tenha um extremo em a. Consideremos, por exemplo, a função f(x) = x3; f ′(0) = 0 e f não tem extremo em 0. Teorema 3.2.3 (Teorema de Rolle) Seja f uma função cont́ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenciável em ]a, b[. Se f(a) = f(b), então existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0. Demonstração: Pelo Teorema de Weierstrass, a função f , cont́ınua no intervalo [a, b], tem máximo M e mı́nimo m neste intervalo. Se M = m então f é constante em [a, b] e, portanto, f ′(x) = 0 ∀x ∈]a, b[, não havendo mais nada a provar. Se M 6= m, a hipótese f(a) = f(b) implica que ou o máximo ou o mı́nimo é atingido num ponto c ∈]a, b[. Então, pelos teoremas anteriores, f ′(c) = 0. Geometricamente, o teorema afirma que na representação gráfica da função há pelo menos um ponto em que a tangente é paralela ao eixo dos xx (ver Figura 3.7). Figura 3.7: Interpretação geométrica do Teorema de Rolle. Corolário 1 Entre dois zeros de uma função diferenciável num intervalo há, pelo menos, um zero da sua derivada. 48 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial Corolário 2 Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função diferenciável num intervalo existe, no máximo, um zero da função. Teorema 3.2.4 (Teorema de Darboux) Seja I ⊂ R um intervalo aberto, f : I → R uma função diferenciável em I. Se existirem a, b ∈ I, a < b, tais que f ′(a) 6= f ′(b) então, para todo o k entre f ′(a) e f ′(b), existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = k. Demonstração: Começamos por fazer a demonstração num caso especial e, usando este, passaremos ao caso geral. Suponhamos que f ′(a) < k = 0 < f ′(b). (3.1) Como f é diferenciável em I, é cont́ınua em I, pelo que é cont́ınua em [a, b] e, portanto, f tem um ponto de mı́nimo em [a, b]. Visto que f ′(a) = lim x→a f(x)− f(a) x− a < 0, existe ε1 > 0 tal que f(x)− f(a) x− a < 0, ∀x ∈]a, a + ε1[, pelo que f(x) < f(a), ∀x ∈]a, a + ε1[. Analogamente se mostra que existe ε2 > 0 tal que f(x) < f(b), ∀x ∈]b−ε2, b[. Conclui-se, assim, que nem a nem b são ponto de mı́nimo de f em [a, b], isto é, existe c ∈]a, b[ onde f atinge o seu mı́nimo em [a, b]; como f é diferenciável, f ′(c) = 0. Fica assim demonstrado o teorema no caso especial de (3.1). Obviamente, a demonstração no caso f ′(a) > k = 0 > f ′(b) (3.2) seria semelhante (mostrar-se-ia, neste caso, que existe um ponto de máximo diferente de a e b). Passemos ao caso geral. Suponhamos que f ′(a) < k < f ′(b). (3.3) A função g(x) = f(x)−kx é diferenciável em I (g′(x) = f ′(x)−k) e g′(a) = f ′(a)−k < 0 < f ′(b)−k; estamos assim nas condições do caso (3.1): existe c ∈]a, b[ tal que g ′(c) = 0, isto é, f ′(c) = k. O caso f ′(a) > k > f ′(b) (3.4) resolve-se com a mesma técnica, usando (3.2). 3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. 49 NOTAS: 1. Apenas com a condição de diferenciabilidade no intervalo (não se pede que a derivada seja cont́ınua!), mostra-se que a derivada verifica uma propriedade semelhante à do Teorema de Bolzano. 2. A derivada pode não ser cont́ınua. Por exemplo, a função: f(x) =    x2 sen ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 é diferenciável em R: f ′(x) =    2 x sen ( 1 x ) − cos ( 1 x ) , se x 6= 0 0, se x = 0 e f ′ não é cont́ınua em 0. Teorema 3.2.5 (Teorema de Lagrange) Seja f uma função cont́ınua no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b) e diferenciável em ]a, b[. Então existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = f(b)− f(a) b− a . Demonstração: A função ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a) b− a x é cont́ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Além disso, ϕ(a) = ϕ(b). Pelo Teorema de Rolle existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas ϕ′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a) b− a , o que implica ϕ′(c) = 0⇔ f ′(c)− f(b)− f(a) b− a = 0⇔ f ′(c) = f(b)− f(a) b− a . Geometricamente, o teorema anterior afirma que na representação gráfica da função há pelo menos um ponto em que a tangente é paralela à corda que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) (ver Figura 3.8). NOTA: O Teorema de Rolle é um caso particular deste teorema. Trata-se do caso em que f(a) = f(b). 52 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial 3.3 Indeterminações A partir do Teorema de Cauchy pode-se demonstrar a seguinte regra que é muito usada no cálculo do limite de um quociente f g quando assume a forma 0 0 ou ∞ ∞ . Teorema 3.3.1 (Regra de Cauchy) Sejam f e g duas funções diferenciáveis em ]a, b[ (a < b) tais que a) g′(x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[, b) lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = 0 ou lim x→a f(x) = lim x→a g(x) = +∞; então, se existir lim x→a f ′(x) g′(x) , também existe lim x→a f(x) g(x) e estes limites são iguais. Corolário 1 Sejam I um intervalo aberto, c ∈ I, f e g duas funções diferenciáveis em I \ {c}. Se g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {c}, e lim x→c f(x) = lim x→c g(x) = 0 ou lim x→c f(x) = lim x→c g(x) = +∞, então lim x→c x6=c f(x) g(x) = lim x→c x6=c f ′(x) g′(x) sempre que o segundo limite exista (em R). NOTA: Convém notar que pode existir lim x→a f(x) g(x) e não existir lim x→a f ′(x) g′(x) . É o que acontece com as funções f(x) = x2 cos ( 1 x ) , g(x) = x. De facto, lim x→0 f(x) g(x) = lim x→0 x cos ( 1 x ) = 0 e f ′(x) g′(x) = 2x cos ( 1 x ) + sen ( 1 x ) pelo que não existe lim x→0 f ′(x) g′(x) . EXEMPLO 1: Consideremos a função h definida por sen(x) x . Ao calcular lim x→0 h(x) en- contramos a indeterminação 0 0 . Sendo f(x) = sen(x) e g(x) = x, estamos nas condições da regra de Cauchy. Como lim x→0 f ′(x) g′(x) = lim x→0 cos(x) = 1, podemos concluir que lim x→0 h(x) = 1. 3.3 Indeterminações 53 EXEMPLO 2: Seja h(x) = ex − 1 x . No cálculo de lim x→0 ex − 1 x surge a indeterminação 0 0 . Tomando f(x) = ex − 1 e g(x) = x estamos nas condições da regra de Cauchy. Como lim x→0 (ex − 1)′ (x)′ = lim x→0 ex = 1 podemos concluir que lim x→0 ex − 1 x = 1. EXEMPLO 3: Ao calcular lim x→π 2 h(x) = lim x→π 2 tg(x)− 5 sec(x) + 4 obtemos a indeterminação ∞ ∞· Considerando f(x) = tg(x) − 5 e g(x) = sec(x) + 4, estamos nas condições da regra de Cauchy. Como lim x→π 2 f ′(x) g′(x) = lim x→π 2 sec2(x) sec(x) tg(x) = lim x→π 2 sec(x) tg(x) = lim x→π 2 1 sen(x) = 1, podemos concluir que lim x→π 2 tg(x)− 5 sec(x) + 4 = 1. EXEMPLO 4: Seja h(x) = 3x − 2x x . Ao calcular lim x→0 3x − 2x x encontramos a indetermi- nação 0 0 . Considerando f(x) = 3x − 2x, g(x) = x e aplicando a regra de Cauchy obtemos lim x→0 3x − 2x x = log ( 3 2 ) , pois lim x→0 f ′(x) g′(x) = lim x→0 (3x log(3)− 2x log(2)) = log(3)− log(2) = log ( 3 2 ) . EXEMPLO 5 : A indeterminação 0×∞ surge ao calcularmos lim x→0+ h(x) = lim x→0+ xα log(x), com α > 0. Como lim x→0+ h(x) = lim x→0+ xα log(x) = lim x→0+ log(x) 1 xα e lim x→0+ (log(x))′ ( 1 xα )′ = lim x→0+ 1 x − α xα+1 = − lim x→0+ xα α = 0, podemos concluir que lim x→0+ h(x) = 0. 54 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial NOTAS: 1. Pode-se demonstrar a partir da Regra de Cauchy o seguinte resultado, útil quando se pretende estudar a diferenciabilidade de uma função: Sejam f uma função cont́ınua num intervalo I e a um ponto de I. Se f é diferenciável num intervalo ]a, b[⊂ I e existe lim x→a+ f ′(x) então f tem derivada à direita no ponto a e f ′(a+) = lim x→a+ f ′(x). Para tal basta notar que f ′(a+) = lim x→a+ f(x)− f(a) x− a e aplicar a regra de Cauchy. Obviamente, existe um resultado análogo para a derivada à esquerda. 2. Os śımbolos 0×∞ e ∞−∞ que podem surgir no cálculo do limite de um produto f · g ou de uma soma f + g reduzem-se a 0 0 ou ∞ ∞ pelas transformações: f · g = f 1 g = g 1 f e f + g = 1 f + 1 g 1 f · g Outra regra importante no estudo de limites, mas que é aplicável somente ao śımbolo 0 0 , é a seguinte: Teorema 3.3.2 (Regra de l’Hospital) Sejam f e g duas funções definidas num intervalo I, diferenciáveis em a ∈ I e g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ {a}. Se f(a) = g(a) = 0 e g′(a) 6= 0, então f(x) g(x) tem limite no ponto a e lim x→a f(x) g(x) = f ′(a) g′(a) . As indeterminações 1∞, 00 e∞0 surgem do cálculo de limites de funções f g e reduzem- se às indeterminações do tipo 0×∞ fazendo: f g = e log(f) g = e g · log(f). Da continuidade da função exponencial conclui-se que: lim x→a [ (f(x)) g(x) ] = e lim x→a g(x) · log(f(x)) . EXEMPLO 1: Consideremos a função h(x) = xx. A indeterminação que surge ao calcular lim x→0+ h(x) é do tipo 00 que podemos converter numa do tipo 0×∞: 3.4 Teorema de Taylor 57 3.4 Teorema de Taylor Teorema 3.4.1 (Teorema de Taylor) Seja f uma função definida num intervalo [a, b] (a < b), com derivadas cont́ınuas até à ordem n − 1 em [a, b] e com derivada de ordem n definida em ]a, b[. Então, existe um ponto c ∈]a, b[ tal que f(b) = f(a)+(b−a) f ′(a)+(b− a) 2 2! f ′′(a)+· · ·+(b− a) n−1 (n− 1)! f (n−1)(a)+ (b− a)n n! f (n)(c) (∗) Demonstração: Consideremos a função ϕ(x) = f(b)− [f(x) + (b− x)f ′(x) + (b− x) 2 2! f ′′(x)+ + · · ·+ (b− x) n−1 (n− 1)! f (n−1)(x) + (b− x)n n! A], sendo A uma constante escolhida por forma que ϕ(a) = 0. ϕ está nas condições do Teorema de Rolle: por construção, é uma função cont́ınua em [a, b], diferenciável em ]a, b[ e ϕ(a) = 0 = ϕ(b). Então existe c ∈]a, b[ tal que ϕ′(c) = 0. Mas ϕ′(x) = −[ f ′(x)− f ′(x) + (b− x)f ′′(x)− (b− x)f ′′(x) + · · · − (b− x) n−2 (n− 2)! f (n−1)(x)+ + (b− x)n−1 (n− 1)! f (n)(x)− (b− x) n−1 (n− 1)! A ] = − [ (b− x)n−1 (n− 1)! f (n)(x)− (b− x) n−1 (n− 1)! A ] = (b− x)n−1 (n− 1)! [ A− f (n)(x) ] Então ϕ′(c) = 0⇔ (b− c) n−1 (n− 1)! [ A− f (n)(c) ] = 0⇔ (b− c)n−1 = 0 ∨ f (n)(c)− A = 0. Como c ∈]a, b[ vem f (n)(c) = A. Por construção de ϕ temos ϕ(a) = 0, portanto, 0 = ϕ(a) = f(b)− [f(a) + (b− a)f ′(a) + (b− a) 2 2! f ′′(a)+ + · · ·+ (b− a) n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) + (b− a)n n! f (n)(c)], e obtemos assim (∗). 58 3. Funções Reais de Variável Real: Cálculo Diferencial NOTA: A hipótese a < b é desnecessária, como facilmente se observa na demonstração. Apenas foi introduzida para facilitar o enunciado. A expressão (∗) chama-se fórmula de Taylor de ordem n de f . Fazendo no enunciado do teorema b = a+ h, vem f(a+ h) = f(a) + h f ′(a) + h2 2! f ′′(a) + · · ·+ h n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) + hn n! f (n)(a+ θh), sendo 0 < θ < 1. Ao termo hn n! f (n)(a+θh) ou (b− a)n n! f (n)(c) chama-se resto de Lagrange da fórmula de Taylor. No caso em que a = 0, a fórmula de Taylor é conhecida por fórmula de MacLaurin: f(x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0) x2 2! + · · ·+ f (n−1)(0) x n−1 (n− 1)! + f (n)(c) xn n! , sendo 0 < c < x ou x < c < 0. EXEMPLO 1: Vamos escrever a fórmula de MacLaurin, com resto de ordem 4, da função f(x) = ex sen(x). Como f é uma função de classe C∞(R) podemos escrever a sua fórmula de MacLaurin de qualquer ordem. Em particular, para n = 4 existe c entre 0 e x tal que f(x) = f(0) + f ′(0) x+ f ′′(0) x2 2! + f ′′′(0) x3 3! + f (IV )(c) x4 4! . Calculemos as derivadas de f . f ′(x) = ex (sen(x) + cos(x)) ⇒ f ′(0) = 1 f ′′(x) = 2ex cos(x) ⇒ f ′′(0) = 2 f ′′′(x) = 2ex(cos(x)− sen(x)) ⇒ f ′′′(0) = 2 f (4)(x) = −4exsen(x) ⇒ f (4)(c) = −4ecsen(c) Logo, exsen(x) = x+ 2 x2 2! + 2 x3 3! − 4ecsen(c) x 4 4! = x+ x2 + x3 3 − ecsen(c) x 4 6 com c entre 0 e x. EXEMPLO 2: Calculemos, usando a fórmula de Taylor, o limite lim x→π log(| cos(x)|) + (x− π) 2 2 (x− π)2 · 3.4 Teorema de Taylor 59 Consideremos a função f(x) = log(| cos(x)|). É uma função de classe C∞ em D = {x ∈ R : cos(x) 6= 0}. Como π ∈ D, podemos escrever a fórmula de Taylor de ordem 3 de f em potências de x− π: existe c entre x e π tal que f(x) = f(π) + f ′(π) (x− π) + f ′′(π) (x− π) 2 2! + f ′′′(c) (x− π)3 3! Como f(π) = 0 e f ′(x) = −sen(x) cos(x) = −tg(x) ⇒ f ′(π) = 0 f ′′(x) = − 1 (cos(x))2 ⇒ f ′′(π) = −1 f ′′′(x) = − 2 sen(x) (cos(x))3 ⇒ f ′′′(c) = − 2 sen(c) (cos(c))3 temos f(x) = −(x− π) 2 2! − 2 sen(c) (cos(c))3 · (x− π) 3 3! = −(x− π) 2 2 − sen(c) (cos(c))3 · (x− π) 3 3 Calculemos o limite pedido. lim x→π log(| cos(x)|) + (x− π) 2 2 (x− π)2 = limx→π −(x− π) 2 2 − sen(c) (cos(c))3 · (x− π) 3 3 + (x− π)2 2 (x− π)2 = lim x→π − sen(c) (cos(c))3 · (x− π) 3 3 (x− π)2 = limx→π ( − sen(c) (cos(c))3 · x− π 3 ) = − sen(π) (cos(π))3 · π − π 3 = 0 visto que quando x→ π também c→ π. EXEMPLO 3: Escrevamos a fórmula de Taylor de ordem 2 da função f(x) = 1 1 + log(x) em torno do ponto 1 e mostremos que f(x) < 1− (x− 1) + 3 (x− 1) 2 2 ∀x > 1. A função f é de classe C∞ em D = {x ∈ R+ : 1 + log(x) 6= 0}. Como 1 ∈ D podemos escrever a fórmula de Taylor de ordem 2 de f em potências de x− 1: existe c entre x e 1 tal que f(x) = f(1) + f ′(1) (x− 1) + f ′′(c) (x− 1) 2 2!