Analise Matematica I

Analise Matematica I

(Parte 1 de 7)

Indice

1.1 No»c~oes topol¶ogicas em R1
1.2 Indu»c~ao matem¶atica5
1.3 Sucess~oes de n¶umeros reais7

1 No»c~oes Topol¶ogicas, Indu»c~ao Matem¶atica e Sucess~oes 1

2.1 Generalidades sobre fun»c~oes reais de vari¶avel real13
2.2 Limites. Limites relativos16
2.3 Continuidade: propriedades das fun»c~oes cont¶‡nuas. Teorema de Bolzano23
2.4 Continuidade uniforme30

2 Fun»c~oes Reais de Vari¶avel Real: Limites e Continuidade 13

3.1 Derivadas. Regras de deriva»c~ao37
3.2 Teoremas Fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy46
3.3 Indetermina»c~oes52
3.4 Teorema de Taylor57
3.5 Aplica»c~oes da f¶ormula de Taylor61

3 Fun»c~oes Reais de Vari¶avel Real: C¶alculo Diferencial 37

4.1 Primitivas imediatas67
4.2 Primitiva»c~ao por partes e por substitui»c~ao72
4.3 Primitiva»c~ao de fun»c~oes racionais75
4.4 Primitiva»c~ao de fun»c~oes alg¶ebricas irracionais85
4.5 Primitiva»c~ao de fun»c~oes transcendentes91

4 Fun»c~oes Reais de Vari¶avel Real: Primitiva»c~ao 67

5.1 Integral de Riemann: Deflni»c~ao e propriedades95
5.2 Classes de fun»c~oes integr¶aveis104
5.3 Teoremas Fundamentais106
5.4 ¶Areas de flguras planas108

i ¶INDICE

6.1 Fun»c~oes Trigonom¶etricas Inversas139
6.2 No»c~oes Topol¶ogicas142
6.3 Indu»c~ao Matem¶atica145
6.4 Sucess~oes146
6.5 Continuidade152
6.6 Continuidade Uniforme155
6.7 Diferenciabilidade. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy157
6.8 F¶ormula de Taylor163
6.9 Estudo de uma fun»c~ao165
6.10 Primitiva»c~ao168
6.1 Integrais173
6.12 C¶alculo de ¶areas177

Cap¶‡tulo 1

No»c~oes Topol¶ogicas, Indu»c~ao Matem¶atica e Sucess~oes

1.1 No»c~oes topol¶ogicas em R

Deflni»c~ao 1.1.2 Sejam a 2 R e A um conjunto de n¶umeros reais. Diz-se que a ¶e interior a A se existir uma vizinhan»ca de a contida em A. Diz-se que a ¶e fronteiro a A se toda a vizinhan»ca de a intersecta A e R n A. Diz-se que a ¶e exterior a A se existir uma vizinhan»ca de a contida em R n A.

NOTA: Um ponto ¶e exterior a A se, e s¶o se, ¶e interior a R n A.

Deflni»c~ao 1.1.3 O conjunto dos pontos interiores a A chama-se interior de A e representa-se por int(A). O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e representa-se por ext(A). O conjunto dos pontos fronteiros a A chama-se fronteira de A e representa-se por fr(A).

2 1. No»c~oes Topol¶ogicas, Indu»c~ao Matem¶atica e Sucess~oes

Deflni»c~ao 1.1.4 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ¶e aberto se A = int(A).

Deflni»c~ao 1.1.5 Seja A um subconjunto de R. Chama-se fecho ou aderencia de A ao conjunto A = A ∪ fr(A). Diz-se que x ¶e aderente a A se x 2 A. A diz-se fechado se A = A.

NOTAS: 1. Das deflni»c~oes, conclui-se facilmente que A = int(A) [ fr(A). 2. A ¶e fechado se, e s¶o se, fr(A) ‰ A. 3. A ¶e fechado se, e s¶o se, R n A ¶e aberto, isto ¶e, R n A = int(R n A) = ext(A).

Deflni»c~ao 1.1.6 Sejam a 2 R e A um subconjunto de R. Diz-se que a ¶e ponto de acumula»c~ao de A se toda a vizinhan»ca de a intersecta Anfag. Ao conjunto dos pontos de acumula»c~ao de A chama-se derivado de A. Diz-se que a ¶e ponto isolado de A se a 2 A e existe uma vizinhan»ca de a que n~ao intersecta A n fag.

;n 2 N¾ . 0 ¶e ponto de acumula»c~ao de A. Todos os pontos de A s~ao isolados.

NOTA: Se a 2 int(A), ent~ao a ¶e ponto de acumula»c~ao de A.

Deflni»c~ao 1.1.7 Sejam x 2 R e A um subconjunto de R. Diz-se que x ¶e majorante de A se x ‚ a; 8a 2 A. Diz-se que x ¶e minorante de A se x • a; 8a 2 A.

Deflni»c~ao 1.1.8 Seja A um subconjunto de R. Diz-se que A ¶e majorado se admitir majorantes. Diz-se que A ¶e minorado se admitir minorantes. Se A for majorado e minorado, diz-se que A ¶e limitado.

1.1 No»c~oes topol¶ogicas em R 3

Deflni»c~ao 1.1.9 Seja A um subconjunto majorado de R. Diz-se que fl ¶e o supremo de A se fl for majorante de A e for menor que todos os outros majorantes de A (isto ¶e, se fl for o menor dos majorantes de A); representa-se por fl = sup(A). Se fl, supremo de A, pertencer a A, diz-se que fl ¶e o m¶aximo de A; neste caso, representa-se por fl = max(A).

Deflni»c~ao 1.1.10 Seja A um subconjunto minorado de R. Diz-se que fi ¶e o ¶‡nflmo de A se fi for minorante de A e for maior que todos os outros minorantes de A (isto ¶e, se fi for o maior dos minorantes de A); representa-se por fi = inf(A). Se fi, ¶‡nflmo de A, pertencer a A, diz-se que fi ¶e o m¶‡nimo de A; neste caso, representa-se por fi = min(A).

Teorema 1.1.2 Em R, todo o conjunto majorado tem supremo e todo o conjunto minorado tem ¶‡nflmo.

N~ao daremos aqui a demonstra»c~ao do Teorema. Isso levar-nos-ia a um estudo mais profundo do conjunto dos n¶umeros reais, que n~ao est¶a nos prop¶ositos deste curso.

4 1. No»c~oes Topol¶ogicas, Indu»c~ao Matem¶atica e Sucess~oes

Demonstra»c~ao: Demonstraremos a propriedade para o supremo. Para o ¶‡nflmo proceder- -se-ia de modo an¶alogo.

Vamos primeiro demonstrar que se β = sup(A) ent~ao fl ¶e majorante de A e ∀" > 0; 9x 2 A : x > fl ¡ ". F¶a-lo-emos pela contra-rec¶‡proca, isto ¶e, negando a tese chegaremos µa nega»c~ao da hip¶otese (trata-se da bem conhecida proposi»c~ao da l¶ogica formal A ) B equivalente a » B ) » A). Se fl n~ao for majorante de A, fl n~ao ¶e o supremo de A (deflni»c~ao de supremo) e o problema flca resolvido. Se 9" > 0; 8x 2 A; x • fl¡", ent~ao fl n~ao ¶e o supremo de A visto que fl ¡ " ¶e majorante de A e fl ¡ " < fl.

Reciprocamente, vamos mostrar que se fl ¶e majorante de A e 8" > 0; 9x 2 A : x > fl ¡", ent~ao fl = sup(A). Usamos, de novo, a contra-rec¶‡proca. Se fl n~ao for o supremo de A, ent~ao ou n~ao ¶e majorante ou ¶e majorante mas existe, pelo menos, outro majorante de A menor que fl. No ¶ultimo caso, seja ° esse majorante. Ent~ao, fazendo " = fl ¡ ° (> 0) temos 8x 2 A; x • ° = fl ¡ ", que ¶e a nega»c~ao da hip¶otese.

1.2 Indu»c~ao matem¶atica

Para demonstrar que certas propriedades s~ao v¶alidas no conjunto dos n¶umeros naturais, N, usa-se o Princ¶‡pio de Indu»c~ao Matem¶atica que passamos a enunciar: Uma propriedade ¶e v¶alida para todos os n¶umeros naturais se:

2. Para todo o n natural, se a propriedade ¶e v¶alida para n, ent~ao ela ¶e v¶alida para n + 1.

EXEMPLO 1:Vamos mostrar, usando o Princ¶‡pio de Indu»c~ao Matem¶atica, a f¶ormula da soma de uma progress~ao geom¶etrica:

2. Se admitirmos que a propriedade ¶e v¶alida para n, ent~ao:

ap = nX

EXEMPLO 2: Usando o Princ¶‡pio de Indu»c~ao Matem¶atica, vamos demonstrar a seguinte igualdade (Bin¶omio de Newton):

p=0 nCp an¡p bp =

6 1. No»c~oes Topol¶ogicas, Indu»c~ao Matem¶atica e Sucess~oes

(como s ¶e vari¶avel muda, podemos substitu¶‡-la por p)

1.3 Sucess~oes de n¶umeros reais 7

1.3 Sucess~oes de n¶umeros reais

Deflni»c~ao 1.3.1 Chama-se sucess~ao de n¶umeros reais a toda a aplica»c~ao de N em R. Os elementos do contradom¶‡nio chamam-se termos da sucess~ao. Ao contradom¶‡nio chama-se conjunto dos termos da sucess~ao.

NOTA: ¶E usual designarem-se os termos da sucess~ao por un, em detrimento da nota»c~ao u(n), habitual para as aplica»c~oes em geral.

Deflni»c~ao 1.3.2 A express~ao designat¶oria que deflne a sucess~ao chama-se termo geral da sucess~ao.

NOTA: Podem-se deflnir sucess~oes sem explicitar o termo geral. ¶E o caso da deflni»c~ao

restantes. Exemplo: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,

Por vezes d~ao-se apenas alguns termos da sucess~ao que induzem o leitor a \inferir" os

Deflni»c~ao 1.3.3 Uma sucess~ao diz-se limitada superiormente se o conjunto dos seus termos for majorado; diz-se limitada inferiormente se o conjunto dos seus termos for minorado; diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for limitado.

EXEMPLO 1: un = n2 ¶e limitada inferiormente, mas n~ao superiormente.

EXEMPLO 2: un = −n ¶e limitada superiormente, mas n~ao inferiormente. EXEMPLO 3: un = (¡n)n n~ao ¶e limitada superiormente nem inferiormente.

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