Túneis no espaço-tempo

Túneis no espaço-tempo

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4Gazeta de Física artigos

“Wormholes”:

Túneis no

Espaço-Tempo

Francisco Lobo *

Paulo Crawford * Existem soluções das equações de Einstein que descrevem túneis ou wormholestransitáveis no espaço- -tempo. Poder-se-á utilizar uma geometria destas para efectuar viagens interstelares rápidas? Esta questão tem sido avançada nos últimos tempos. No entanto, a matéria que constitui um tal wormhole(transitável) tem densidade de energia negativa, o que viola algumas condições de energia fundamentais. Por isso, ela se designa por matéria exótica. Apesar desta e doutras dificuldades, não existe uma prova irrefutável da inexistência de wormholes, pelo que nada nos impede de os considerar possíveis.

Mostramos aqui como construir wormholestransitáveis e analisamos as condições necessárias para uma viagem confortável de seres humanos através deles. Trata-se do desenvolvimento da ideia de Carl Sagan no seu livro Contacto, que deu origem ao filme com o mesmo nome.

5Gazeta de Física wormholes: túneis no espaço-tempo

Introdução É frequente os escritores de ficção científica considerarem buracos negrospara viagens interestelares rápidas. Imaginam viajantes intrépidos lançando-se num buraco negro e encontrando-se subitamente numa região distante do universo. Para ilustrar tais buracos recorre-se normalmente a soluções esfericamente simétricas das equações de Einstein, por serem as mais fáceis de tratar. No entanto, podem levantar-se objecções muito sérias às viagens interestelares através de buracos negros esfericamente simétricos.

Em primeiro lugar, no caso mais simples, conhecido por buraco negro de Schwarzschild, as forças de maréna vizinhança do buraco podem produzir acelerações tão grandes que esmagariam qualquer viajante, comprimindo-o transversalmente e esticando-o na direcção longitudinal. Em segundo lugar, a fronteira do buraco, conhecida por horizonte de acontecimentos, pode ser considerada uma “membrana” com um só sentido, através da qual os objectos entram mas não podem sair. Logo, uma viagem nos dois sentidos é estritamente proibida a não ser que o buraco negro tenha carga eléctrica, sendo então a sua geometria dada pela solução de Reissner-Nordstrom, e o objecto de saída seja um buraco branco. Os buracos brancos possuem anti-horizontes, que são superfícies instáveis face a pequenas perturbações e das quais só podem emergir objectos ou luz mas nada pode entrar. Como resultado dessa instabilidade, o anti-horizonte pode converter-se em horizonte, num intervalo de tempo extremamente pequeno. Esta conversão, que ocorre pouco depois da criação do anti-horizonte, impede na prática uma travessia nos dois sentidos.

Uma outra solução das equações de Einstein, sem simetria esférica mas com simetria em torno de um eixo, é a solução de Kerr, que descreve buracos negros em rotação. Esta geometria possui no seu interior túneis que ligam regiões assimptoticamente planas do espaço-tempo. Se aceitarmos a formação dos túneis de Kerr, estes não existiriam por muito tempo devido à presença de horizontes de Cauchy: superfícies nulas (i.e., luminosas) para além das quais se quebra a previsibilidade. Estes horizontes de Cauchy também são instáveis relativamente a pequenas perturbações. Um pacote de ondas luminosas incidente sofreria um blue-shift, com um aumento exponencial da energia ao aproximar-se do horizonte de Cauchy, dando origem a campos gravitacionais intensos que fechariam os túneis, convertendo-os possivelmente em singularidades físicas. Logo, o interior de um buraco negro de Kerr não deve possuir túneis a ligar regiões diferentes do espaço-tempo, mas singularidades que também esmagariam qualquer viajante.

Se fosse possível a formação e a estabilização dos túneis de Kerr, estes possuiriam singularidades em forma de anel. Se a física fosse puramente clássica e o buraco negro suficientemente grande e com rotação elevada, um viajante facilmente atravessaria a singularidade. No entanto, a teoria quântica de campos prevê que as singularidades quebram o estado de vácuo (quântico), irradiando um fluxo intenso de partículas de altas energias que certamente mataria qualquer viajante.

Os wormholes(tradução à letra: buracos de verme) oferecem um mecanismo para viagens interstelares rápidas. A Fig. 1 apresenta um diagrama de um wormhole que liga dois universos diferentes; a Fig. 2 apresenta duas regiões distantes do mesmo universo. Ambos os wormholessão descritos pela mesma solução das equações de Einstein, a solução de Schwarzschild, diferindo apenas nas suas topologias. Saliente-se que estas equações não impõem restrições à topologia das soluções.

Mas também existe uma série de objecções às viagens interestelares utilizando os wormholesde Schwarzschild. As forças de maré de origem gravitacional na garganta destes wormholestêm a mesma ordem de grandeza que as do horizonte do buraco negro de Schwarzschild.

Fig. 1 Diagrama de um wormholeque liga dois universos diferentes.

Fig. 2 Diagrama de um wormholeque liga duas regiões distintas de um espaço-tempo.

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Fig. 3. Processo de expansão e contracção de um wormholede Schwarzschild.

Um wormholede Schwarzschild é dinâmico. Expande-se a partir de uma circunferência nula (dois universos desligados) até um valor máximo na garganta, e depois contrai-se para um valor nulo (Fig. 3). Este processo de expansão e contracção é tão rápido que é impossível efectuar uma viagem sem se ser esmagado pela contracção. Tal como o buraco branco, o wormholede Schwarzschild possui um anti-horizonte e é altamente instável relativamente a pequenas perturbações.

Fig. 4 Kip Thorne atavessa um wormhole.

Em 1986 Kip Thorne e Michael Morris descobriram [1] uma solução das equações de Einstein que descreve um wormholetransitável (Fig. 4). É uma solução relativamente simples, inspirada em parte por um desafio de Carl Sagan sobre a possibilidade real de viagens interstelares rápidas, ideia que é utilizada no seu livro Contacto, que deu origem ao filme com o mesmo nome (Fig. 5).

Fig. 5 O diagrama de imersão do wormholetransitável utilizado em Contacto em que uma personagem viaja da Terra a Vega.

Propriedades do Wormhole Transitável Como vimos, existem várias objecções à possibilidade de se realizarem viagens interstelares através de buracos negros ou de wormholesde Schwarzschild. Para se tornar transitável um wormholedeverá possuir as seguintes propriedades:

1. Geometria esfericamente simétrica e estática. É uma condição imposta para simplificar os cálculos. 2. Ser solução das equações de Einstein. 3. Conter uma garganta (um fragmento estreito do espaço-tempo, extremamente curvo) ligando duas regiões assimptoticamente planas do espaço-tempo. 4. Ausência de horizontes para permitir a viagem nos dois sentidos. 5. Forças de maré pequenas, para não destruir possíveis viajantes. 6. Permitir que um viajante possa atravessar o wormhole num tempo próprio e num tempo coordenado razoáveis. Este último é medido por um observador muito afastado das fontes do campo gravítico. 7. A matéria e os campos que geram a curvatura do espaço-tempo são descritas por um tensor de energia- -momento com significado físico. 8. A solução deve ser estável para pequenas perturbações durante a passagem do viajante. 9. Finalmente, o wormholedeve ser construído com uma quantidade de matéria finita, certamente inferior ao conteúdo material do universo, e num intervalo de tempo finito, claramente inferior à idade do universo.

1. A métrica Na ausência de campo gravítico, a geometria do espaço- -tempo é plana, i.e., se dois acontecimentos A e B são infinitesimalmente próximos então existe um conjunto infinito de sistemas de coordenadas tais que as diferenças das coordenadas temporal e espaciais, dt, dx, dy, e dz medidas num dado sistema de coordenadas, estão relacionadas pela expressão invariante conhecida por métrica do espaço-tempo [2]

Os campos gravíticos deformam o espaço-tempo de tal modo que a Eq. (1) deixa de ser válida. Para o caso de um wormhole, vamos considerar um espaço-tempo estático e esfericamente simétrico dado pela métrica onde !=!(r)e b=b(r)são funções arbitrárias da coordenada radial; b(r)determina a forma do wormhole (por isso se designa função de forma); !(r)determina o redshiftde origem gravitacional (e é designada função de redshift). A coordenada radial rtem um significado geométrico específico, em que 2"ré a circunferência de um círculo centrado na garganta do wormhole. Portanto, r é não-monótona uma vez que diminui de +#até um valor mínimo, b0, na garganta, aumentando novamente para +#.

Num espaço-tempo estático e assimptoticamente plano, as superfícies não-singulares onde g00=-e2$0 identificam os horizontes. Por exemplo, o wormholede Schwarzschild possui um horizonte precisamente na garganta, r=2GM/c. Logo, a condição do wormhole não possuir qualquer horizonte corresponde ao facto de !(r)ser finita em qualquer ponto do espaço-tempo.

Os cálculos subsequentes e a respectiva interpretação física serão simplificados utilizando uma base de vectores ortonormados, associados ao referencial próprio de um conjunto de observadores em repouso no sistema de coordenadas com (r,%,&)constante,

Eq. (1) e as equações de Einstein, ,

Nessa base a métrica toma localmente a forma dada pela que relacionam a curvatura do espaço-tempo com as distribuições de massa-energia representadas pelo tensor energia-momento,, ficam aqui reduzidas as três equações, como veremos adiante.

2. O tensor energia-momento Sabe-se que a única solução de vácuo ( ) e esfericamente simétrica das equações de Einstein é a solução de Schwarzschild. Mas, como o wormholede Schwarzschild não é transitável, somos obrigados a exigir um tensor energia-momento não nulo para construir um wormhole transitável.

Na base ortonormada o tensor de Einstein, , tem a mesma estrutura algébrica do tensor energia-momento, , portanto, este tensor só tem três componentes não-nulas que são . Como os observadores estáticos utilizam os vectores de base ortonormados, cada uma das componentes do tensor de energia-momento tem uma interpretação física simples:

em que ’(r)é a densidade de massa-energia total; ((r)é a tensão por unidade de área medida na direcção radial

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(i.e., a pressão radial a menos de um sinal negativo); e p(r)é a pressão medida nas direcções angulares (direcções ortogonais à direcção radial).

3. As equações de Einstein As equações de Einstein para a métrica dada pela Eq. (2), depois de referidas a uma base ortonormada, ficam:

A nossa escolha de b(r)fornecerá ’(r)através da Eq. (4); !(r)e b(r)forneceram ((r), e, portanto, p(r).

A matemática da imersão Utilizam-se diagramas de imersão para demonstrar que a métrica (2) descreve um wormhole. A geometria do espaço tridimensional com a coordenada temporal fixa tem um interesse particular. Como esta geometria é esfericamente simétrica, podemos confinar a análise a um plano equatorial (%="/2), sem perda de generalidade. O elemento de linha, com t=const.e %="/2, vem agora

O objectivo da imersão é construir uma superfície (bidimensional) do espaço euclidiano tridimensional, com a mesma geometria do plano equatorial descrito acima, i.e., queremos visualizar a camada equatorial removida do espaço-tempo e imersa no espaço euclidiano.

Utilizam-se as coordenadas cilíndricas z, re &no espaço euclidiano de imersão (Figs. 1 e 2), cuja métrica tem a seguinte forma:

A superfície de imersão apresenta uma simetria axial e pode ser descrita pela função z(r). O elemento de linha é:

que é o mesmo da Eq. (7) se identificarmos as coordenadas (r,&) do espaço de imersão com as coordenadas (r,&) do espaço-tempo do wormhole. Logo a função z(r) satisfaz a relação o que mostra o modo como b(r) condiciona a forma do wormhole.

Forças de maré e tempo de travessia no wormhole Imaginemos uma viagem através do wormhole, numa direcção radial, em que o viajante parte do repouso de uma estação espacial no universo inferior, em l=-l1, e termina numa estação espacial no universo superior, em l=+l2. Designemos por v(r) a velocidade radial do viajante, medida por um observador estático em re seja

, com )=v/c. O valor de v(r) é dado pela derivada da distância própria percorrida pelo viajante, dl, em ordem ao tempo próprio medido pelo observador estático, d(s=edt. Temos então as equações:

em que d(é o tempo próprio medido pelo viajante, que se relaciona com d(spor uma transformação de Lorentz d(=d(s/*. O sinal - refere-se à primeira parte da viagem (no universo inferior); o sinal + refere-se à segunda parte da viagem (no universo superior).

Para que seres humanos possam realizar comodamente uma viagem através de um wormholeimpomos três condições: (i) A viagem deve demorar pouco tempo, digamos menos de um ano, quer para o viajante quer para os observadores

(i) A aceleração sentida pelo viajante não deve exceder a aceleração gravítica terrestre g+. Localmente, podemos introduzir uma outra base ortonormada no referencial próprio do viajante, , definida em função da base ortonormada dos observadores estáticos, , pela transformação de Lorentz :

é o quadrivector velocidade do viajante. O quadrivector aceleração do viajante é . Logo, os dois quadrivectores são ortogonais entre si e, portanto,

. Como o viajante se move radialmente, a sua aceleração tridimensional tem apenas a componente radial, i.e., e , onde aé a intensidade da aceleração.

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Para que o viajante sinta uma aceleração menor ou igual à aceleração gravítica terrestre exige-se que

(i) As acelerações de maré, , entre as várias partes do corpo do viajante também não deverão exceder a aceleração gravítica terrestre g+. Designemos por a separação vectorial entre duas partes do corpo do viajante

(por exemplo, a separação entre a cabeça e os pés). é puramente espacial no referencial próprio do viajante, i.e., .

A aceleração de maré entre duas partes do corpo do viajante é dada pela equação do desvio geodésico: , onde são as componentes do tensor curvatura de Riemann. Com base nesta equação é ainda possível impôr condições na velocidade, v, do viajante ao atravessar o wormholee na função de redshift!, mas evitámos apresentá-las aqui.

Restrições impostas à tensão e à densidade de energia na garganta do wormhole As restrições impostas à função de forma, b(r), do wormholeimplicam que, através das equações de Einstein (4)-(6), surjam restrições na densidade de massa-energia, ’, na tensão radial, (, e na pressão lateral, p, que geram a curvatura do espaço-tempo. As restrições mais severas ocorrem na garganta do wormhole. A tensão radial na garganta é:

Para analisar as tensões na garganta e na sua vizinhança, definimos a seguinte função sem dimensões, utilizando as equações de campo (4) e (5) e substituindo as funções (e ’pelas funções be !:

(1) Na garganta ou nas suas vizinhanças: .

A condição(0>’0c2, estipulando uma tensão radial na garganta superior à densidade de massa-energia, introduz uma dificuldade na construção de um wormhole. Como a matéria usual não goza dessa propriedade, essa matéria designa-se por matéria exótica. A natureza exótica dessa matéria, está associada às medições efectuadas por observadores que se movam através da garganta com uma velocidade radial próxima da velocidade da luz, i.e., *>>1. Qualquer desses observadores medirá uma densidade de massa-energia negativa: ’c2<0 , pois wormholes: túneis no espaço-tempo

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