Vetores e geometria analítica - Apostilas - Química Parte1, Notas de estudo de Química

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA Lenimar Nunes de Andrade versão 0.0 – 27/outubro/2000 Sumário 1 Vetores 1 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Segmentos orientados e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 Definição de segmento orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.2 Módulo, direção e sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.3 Eqüivalência de segmentos orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Produto de um escalar por um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Adição e subtração de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Coordenadas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Vetores unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.4 Definição analı́tica das operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Comprimento de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Ponto médio de um segmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Exercı́cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Produtos de vetores 19 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Projeções ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Propriedades do produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.3 Produto interno em coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4 Bases ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial . . . . . . . . 26 2.4 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Interpretação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Exercı́cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Referências Bibliográficas 39 i 1.2. SEGMENTOS ORIENTADOS E VETORES 3 Se −→ AB e −→ CD tiverem a mesma direção e não forem colineares, dizemos que −→ AB e −→ CD têm o mesmo sentido quando AC∩BD = /0. (figura 1.5). Caso AC∩BD 6= /0 dizemos que −→AB e −→CD têm sentidos contrários. (figura 1.6). Se −→ AB e −→ CD forem colineares, então comparamos os sentidos de −→ AB com −−→ C′D′, onde −−→ C′D′ é eqüivalente a −→ CD situado em outra reta suporte e, neste caso, dizemos que −→ AB e −→ CD têm os mesmos sentidos se e somente se −→ AB e −−→ C′D′ também tiverem. Observações: • Sob um ponto de vista formal, a direção do segmento orientado é o conjunto de retas formado pela reta suporte e todas as suas paralelas. • Dados dois pontos A e B, podemos definir a partir deles dois segmentos orientados −→AB e−→ BA. Neste caso dizemos que eles um deles é o oposto do outro e que eles têm sentidos contrários. • Não faz sentido comparar sentidos de segmentos orientados de direções diferentes. Por exemplo, na figura 1.4 nada podemos afirmar se −→ AB e −→ EF têm o mesmo sentido ou não – simplesmente seus sentidos não se comparam. Quando A = B o segmento AB reduz-se ao ponto A e, neste caso, o segmento orientado −→ AA é chamado segmento orientado nulo. Neste caso, o sentido e a direção são indefinidos. 1.2.3 Eqüivalência de segmentos orientados Dizemos que dois segmentos orientados −→ AB e −→ CD são eqüivalentes (ou eqüipolentes ) quando eles têm o mesmo módulo, mesma direção e o mesmo sentido. Outra maneira de definir segmentos eqüivalentes: os segmentos −→ AB e −→ CD são eqüivalentes quando o ponto médio do segmento AD coincidir com o ponto médio do segmento BC. Segue da definição de eqüivalência que o segmento −→ AB é eqüivalente a si próprio e que−→ AB eqüivalente a −→ CD implica −→ CD eqüivalente a −→ AB. Além disso, −→ AB eqüivalente a −→ CD e −→ CD eqüivalente a −→ EF implica −→ AB eqüivalente a −→ EF (figura 1.7). Figura 1.7: Segmentos orientados eqüivalentes Exemplo 1.2 Todos os segmentos orientados da figura 1.7 têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido; logo, são eqüivalentes. 4 CAPÍTULO 1. VETORES 1.2.4 Vetores O vetor definido pelo segmento orientado −→ AB é o conjunto de todos os segmentos orientados que são eqüivalentes a −→ AB. Qualquer um dos segmentos orientados desse conjunto é chamado representante do vetor. Exemplo 1.3 Na figura 1.7 os nove segmentos orientados mostrados são distintos. Mas, como eles são eqüivalentes, podem ser considerados como sendo representantes do mesmo vetor −→ AB. Usaremos a mesma notação −→ AB para representar tanto o segmento orientado quanto o vetor determinado por ele. Aqui há o que se chama abuso de notação: dois conceitos distintos denotados da mesma maneira. Vetores também são denotados por letras latinas minúsculas encimadas por uma setinha (~a, ~b,~c. . . ) ou por letras latinas em negrito (a, b, c, . . . ). Dizemos que dois vetores são iguais quando os segmentos orientados −→ AB e −→ CD que os re- presentam são eqüivalentes. Neste caso escrevemos −→ AB = −→ CD para denotar a igualdade de vetores. Figura 1.8: Hexágono regular e paralelepı́pedo retângulo Exemplo 1.4 Considerando o hexágono regular da figura 1.8, temos as seguintes igualdades de vetores: • −→AF =−→OE =−→BO =−→CD • −→FE =−→AO =−→OD =−→BC • −→ED =−→FO =−→OC =−→AB Considerando agora o paralelepı́pedo retângulo da mesma figura, temos as seguintes igualda- des: • −−→A′B′ =−−→D′C′ =−−→H ′G′ =−−→E ′F ′ • −−→A′E ′ =−−→B′F ′ =−−→D′H ′ =−−→C′G′ • −−→A′D′ =−−→B′C′ =−−→E ′H ′ =−−→F ′G′ O vetor nulo, denotado por~0, é definido como sendo aquele que tem por representante um segmento orientado nulo. Se~a for um vetor representado por −→ AB, definimos o vetor oposto a~a como sendo o vetor−~a cujo representante é −→ BA. Observação: 1.3. OPERAÇÕES COM VETORES 5 • Os conceitos de vetor e segmento orientado costumam ser confundidos. Vetor é um conjunto, enquanto que segmento orientado é apenas um dos elementos desse conjunto. Costuma-se escrever “vetor −→ AB” quando o correto seria “vetor do qual −→ AB é um repre- sentante”. • O que estamos definindo como vetor costuma ser chamado por alguns autores de vetor livre. Um segmento orientado também costuma ser chamado de vetor ligado. 1.3 Operações com vetores Definimos agora três operações com vetores: produto por escalar, adição e subtração. 1.3.1 Produto de um escalar por um vetor Algumas grandezas fı́sicas como massa, densidade, temperatura, volume, energia se defi- nem sem a necessidade de uma direção ou um sentido. Essas grandezas são chamadas escala- res. Neste texto, usaremos a palavra escalar como sendo um número real. Figura 1.9: Produto por um escalar Dados k 6= 0 e −→AB 6=~0, denotaremos por k−→AB o novo vetor que tem a mesma direção que−→ AB, tem comprimento igual a |k|‖−→AB‖, tem o mesmo sentido que −→AB se k > 0 e tem sentido contrário a −→ AB se k < 0 (figura 1.9). Além disso, definimos 0 −→ AB =~0 e k~0 =~0. Note que, por definição, os vetores~v e k~v são sempre colineares, para qualquer escalar k ∈R e qualquer vetor~v. 1.3.2 Adição e subtração de vetores Figura 1.10: Soma e diferença de dois vetores A soma de ~a e ~b, denotada por ~a +~b, é um novo vetor ~c que satisfaz uma das seguintes alternativas: 8 CAPÍTULO 1. VETORES Figura 1.15: Sistema de eixos ortogonais Figura 1.16: Planos coordenados 1.4.2 Coordenadas no espaço Consideremos no espaço euclidiano tridimensional, um sistema de eixos ortogonais que consista em três eixos Ox, Oy e Oz dois a dois ortogonais e com uma origem comum O (figura 1.15). Esses eixos são chamados eixos coordenados. Nesse sistema, os planos que contém os pares de eixos (Ox,Oy), (Ox,Oz) e (Oy,Oz) são denotados por xOy, xOz e yOz, respectivamente (figura 1.16). Esses planos são chamados planos coordenados. Para cada ponto P do espaço tridimensional, podemos associar um conjunto ordenado (a,b,c) formado por três número reais (chamado terno de número reais) da seguinte forma: a, b e c são as projeções de P nos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente. Cada projeção pode ser obtida através da interseção com o eixo com um plano paralelo a um dos planos coordenados que passe por P (figura 1.17). O conjunto de todos os ternos ordenados é denotado por R3. Simbolicamente, R3 = {(x,y,z) | x,y,z ∈ R} Cada terno (a,b,c) ∈ R3 pode ser associado a um ponto P no espaço tridimensional da seguinte forma: identificamos no eixo Ox o ponto de coordenada a e no eixo Oy o ponto de coordenada b. Considerando as retas paralelas a esses eixos que passam por esses pontos, o ponto de encontro delas é um ponto P′ = (a,b,0). Finalmente, “subimos” (se c > 0) ou “descemos” (se c < 0) tantas unidades quanto for o valor de c (figura 1.17). Exemplo 1.5 Para marcar o ponto P =(−1,−2,4), inicialmente identificamos o ponto (−1,−2,0); depois, “subimos” 4 unidades. Veja figura 1.18. Analogamente, para desenharmos o ponto Q = (1,3,−2), marcamos (1,3,0) no plano xOy e, depois, “descemos” 2 unidades (fig. 1.19). 1.4.3 Vetores unitários Dizemos que ~v é unitário 1 quando seu comprimento for igual a 1. Denotam-se os vetores unitários nas direções e sentidos positivos dos eixos x, y, z por~i, ~j e~k, respectivamente. Ou seja, considerando os pontos O = (0,0,0), A = (1,0,0), B = (0,1,0) e C = (0,0,1) (figura 1.20) temos~i = −→ OA, ~j = −→ OB e~k = −→ OC. 1Também chamado versor 1.4. SISTEMA DE COORDENADAS 9 Figura 1.17: Ponto no espaço Figura 1.18: P = (−1,−2,4) Figura 1.19: Q = (1,3,−2) Figura 1.20: Vetores i, j, k Dado qualquer ponto P do espaço, podemos associar a esse ponto um vetor que tenha como representante o segmento orientado que vai da origem O a P. Reciprocamente, para cada vetor, considerando um representante −→ OP que inicie na origem podemos associá-lo ao seu ponto terminal P. Dessa forma, as coordenadas (x,y,z) do ponto P podem ser identificadas com o vetor ~v = x~i + y~j + z~k com x,y,z ∈ R. Temos aqui mais um abuso de notação: costuma-se escrever ~v = x~i+ y~j + z~k = (x,y,z). Sejam A = (a1,a2,a3) e B = (b1,b2,b3) dois pontos dados. Como −→ OA + −→ AB = −→ OB, temos−→ AB = −→ OB−−→OA. Portanto, −→ AB = (b1−a1)~i+(b2−a2)~j +(b3−a3)~k. 1.4.4 Definição analı́tica das operações com vetores Podemos dar uma definição analı́tica das operações com vetores: sejam~v = v1~i+v2~j +v3~k, ~w = w1~i+w2~j +w3~k e k ∈ R, então definimos: k~v = (kv1)~i+(kv2)~j +(kv3)~k ~v+~w = (v1 +w1)~i+(v2 +w2)~j +(v3 +w3)~k. Eqüivalentemente, podemos denotar as expressões acima por: ~v = (v1,v2,v3), ~w = (w1,w2,w3) e definir k~v = (kv1,kv2,kv3) ~v+~w = (v1 +w1,v2 +w2,v3 +w3). Definimos também −~v =−v1~i− v2~j− v3~k = (−v1,−v2,−v3). 10 CAPÍTULO 1. VETORES Exemplo 1.6 Sejam ~v = 2~i +~j + 3~k e ~w = 4~i− 5~j− 2~k. Então 5~v = 10~i + 5~j + 15~k, −~w = −4~i+5~j +2~k,~v−4~w =−14~i+21~j +11~k. 1.5 Comprimento de um vetor Seja ~v = a~i + b~j. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da figura 1.21, temos: ‖~v‖2 = a2 +b2 e daı́ ‖~v‖= √ a2 +b2. Figura 1.21: Vetor no plano Figura 1.22: Vetor no espaço tridimensional Consideremos agora ~v = a~i + b~j + c~k. No triângulo retângulo ORQ da figura 1.22, temos ‖−→OQ‖2 = ‖−→OR‖2 + ‖−→RQ‖2. Como ‖−→OR‖ = a e ‖−→RQ‖ = b, temos ‖−→OQ‖2 = a2 + b2. Usando também o Teorema de Pitágoras no triângulo OQP, temos ‖−→OP‖2 = ‖−→OQ‖2 + ‖−→QP‖2, e daı́ ‖−→OP‖2 = a2 +b2 + c2, ou seja, ‖~v‖= √ a2 +b2 + c2. Exemplo 1.7 O comprimento de~v = 2~i−3~j+5~k é ‖~v‖= √ 22 +(−3)2 +52 =√38. Um vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido que~v é dado por~u = ~v‖~v‖ = 2√ 38 ~i− 3√ 38 ~j + 5√ 38 ~k. 1.6 Ponto médio de um segmento de reta Sejam A = (a1,a2,a3) e B = (b1,b2,b3) dois pontos no R3. Seja M = (m1,m2,m3) o ponto médio de AB. Então −→ AM = −→ MB, ou seja, (m1−a1,m2−a2,m3−a3) = (b1−m1,b2−m2,b3− m3). Comparando cada coordenada, obtemos m1−a1 = b1−m1 =⇒ m1 = a1 +b12 m2−a2 = b2−m2 =⇒ m2 = a2 +b22 m3−a3 = b3−m3 =⇒ m3 = a3 +b32 Assim as coordenadas do ponto médio é a média aritmética das coordenadas dos pontos extremos do segmento. Por exemplo, o ponto médio M do segmento AB onde A = (−1,3,7) e B = (5,4,1) é dado por M = (−1+52 , 3+4 2 , 7+1 2 ) = (2,7/2,4). 1.8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 13 Solução: Devemos ter neste caso que ~v = −4~u, ou seja, n~i + m2~j−m~k = −4(14~i−~j + 12~k) =−~i+4~j−2~k. Comparando os coeficientes de~i, ~j e~k nos dois membros obtemos as seguintes igualdades: n =−1, m2 = 4, −m =−2, ou seja, m = 2,n =−1. R 3 Consideremos os vetores ~a = a1~i + a2~j + a3~k, ~b = b1~i + b2~j + b3~k, ~c = c1~i + c2~j + c2~k e seja D = ∣∣∣∣∣∣ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ∣∣∣∣∣∣ . Mostre que se D = 0 então ~a,~b e~c são LD e se D 6= 0 então ~a,~b e~c são LI. Solução: Sejam x,y,z∈R tais que x~a+y~b+z~c =~0. Então, x(a1~i+a2~j+a3~k)+y(b1~i+b2~j+ b3~k)+z(c1~i+c2~j+c2~k) =~0 que é eqüivalente a (a1x+b1y+c1z)~i+(a2x+b2y+c2z)~j+(a3x+ b3y+ c3z)~k =~0 de onde obtemos que x,y,z devem ser solução do sistema   a1x+b1y+ c1z = 0 a2x+b2y+ c2z = 0 a3x+b3y+ c3z = 0 É claro que x = y = z = 0 é solução desse sistema. Além disso, se D 6= 0 essa solução é única e, portanto, os vetores dados são LI. Se D = 0 o sistema é indeterminado, isto é, admite uma infinidade de soluções e conseqüentemente os vetores dados são LD. R 4 Sejam ~u = 2~i−~j,~v = ~j +2~k e ~w =~i+2~j−~k. a) O conjunto β = {~u,~v,~w} é uma base de R3? b) Escreva o vetor ~a = 4~i+2~j−4~k como combinação linear de ~u, ~v e ~w. Solução: a) Seja D = ∣∣∣∣∣∣ 2 −1 0 0 1 2 1 2 −1 ∣∣∣∣∣∣ . Desenvolvendo este determinante obtemos D =−12 6= 0. Logo, os vetores são LI e portanto formam uma base do R3. b) Sejam x,y,z∈R tais que~a = x~u+y~v+z~w =⇒ 4~i+2~j−4~k = x(2~i−~j)+y(~j+2~k)+z(~i+ 2~j−~k) =⇒ 4~i + 2~j−4~k = (2x + z)~i +(−x + y + 2z)~j +(2y− z)~k. Portanto, (x,y,z) é solução do sistema    2x + z = 4 −x + y + 2z = 2 2y − z = −4 Resolvendo este sistema obtemos x = 1,y =−1,z = 2 e daı́ concluı́mos que ~a =~u−~v+2~w. R 5 Sejam A(1,2,4), B(2,3,2) e C(2,1,−1). a) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo? b) Determine D de modo que ABCD seja um paralelogramo. Solução: a) Os pontos dados são vértices de um triângulo se os vetores −→ AB e −→ AC não forem colineares. Como −→ AB = B− A = (1,1,−2) e −→AC = C− A = (1,−1,−5) devemos verificar se existe k ∈ R tal que −→AB = k−→AC =⇒ (1,1,−2) = (k,−k,−5k) =⇒ k = 1 e k = −1 e k = 2/5, o que é absurdo – não existe tal k. Logo, os vetores −→ AB e −→ AC não são colineares e, conseqüentemente, os pontos dados formam um triângulo. b) Basta determinar D = (x,y,z) tal que −→ AD = −→ AB + −→ AC. Temos então que D−A = (B− A)+ (C−A) ou seja (x− 1,y− 2,z− 4) = (1,1,−2)+ (1,−1,−5) =⇒ (x− 1,y− 2,z− 4) = (2,0,−7) de onde obtemos x = 3,y = 2,z =−3. Portanto o ponto D procurado é D = (3,2,−3). 14 CAPÍTULO 1. VETORES R 6 Se {~u,~v,~w} for uma base do R3, mostre que {~u +~v,~u− 2~w,~u + 3~v−~w} também é uma base do mesmo espaço. Solução: Sejam x,y,z ∈ R tais que x(~u +~v)+ y(~u− 2~w)+ z(~u + 3~v−~w) =~0. Efetuando os produtos pelos escalares indicados, obtemos: x~u + x~v + y~u− 2y~w + z~u + 3z~v− z~w =~0 que é eqüivalente a x~u+y~u+z~u+x~v+3z~v−2y~w−z~w =~0, ou seja, (x+y+z)~u+(x+3z)~v+(−2y− z)~w =~0. Como ~u, ~v e ~w são LI, devemos ter:    x + y + z = 0 x + 3z = 0 − 2y − z = 0 O determinante dos coeficientes de x,y,z nesse sistema é: ∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 1 0 3 0 −2 −1 ∣∣∣∣∣∣ = 5 6= 0. Portanto, o sistema linear anterior só possui a solução trivial x = y = z = 0 e, conseqüentemente, os três vetores ~u+~v,~u−2~w,~u+3~v−~w são LI, logo, formam uma base do R3. R 7 Sejam ~u, ~v e ~w vetores LI e ~a um vetor tal que ~a = x1~u + y1~v+ z1~w e ~a = x2~u + y2~v + z2~w onde x1,x2,y1,y2,z1,z2 ∈ R. Mostre que neste caso x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. Solução: Se ~a = x1~u + y1~v + z1~w e ~a = x2~u + y2~v + z2~w então subtraindo as duas equações membro a membro obtemos: ~0 = (x1− x2)~u +(y1− y2)~v +(z1− z2)~w. Como ~u,~v e ~w são LI, devemos ter x1− x2 = y1− y2 = z1− z2 = 0, ou seja, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. Mostramos assim que só existe uma maneira de escrever um vetor ~a como combinação linear de outros vetores LI. R 8 Mostre que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se ao meio. Solução: Na figura 1.25, seja P o ponto de encontro das duas diagonais do paralelogramo ABCD. Sejam ~a = −→ AD = −→ BC, ~b = −→ AB = −→ DC, ~c = −→ AP, ~d = −→ PC, ~e = −→ DP e ~f = −→ PB. Devemos mostrar que ~c = ~d e que ~e = ~f . Nos triângulos APB e DPC temos as seguintes igualdades de vetores:~b =~c+~f e~b =~e+ ~d. Daı́,~c+~f =~e+ ~d. Como ~c e ~d são colineares, temos que existe k1 ∈ R tal que ~d = k1~c. Analogamente, existe k2 ∈R tal que ~f = k2~e. Substituindo na igualdade~c+~f =~e+ ~d, obtemos~c+k2~e =~e+k1~c, ou seja, (1− k1)~c +(k2− 1)~e =~0. Como ~c e ~e são LI, temos que 1− k1 = 0 e k2− 1 = 0. Logo, k1 = k2 = 1 o que implica~c = ~d e~e = ~f . R 9 Seja ABCD um quadrilátero qualquer e P, Q, R e S os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que PQRS é um paralelogramo (figura 1.26). Solução: Na figura 1.26, sejam ~a = −→ DS = −→ SA,~b = −→ AP = −→ PB,~c = −→ BQ = −→ QC e ~d = −→ CR = −→ RD. Estamos usando aqui o fato de que os pontos P, Q, R e S são pontos médios dos lados do quadrilátero. Como −→ SP = ~a +~b e −→ QR = ~c + ~d, temos −→ SP + −→ QR = ~a +~b +~c + ~d. Por outro lado, −→ AB + −→ BC + −→ CD + −→ DA =~0, ou seja, 2~a + 2~b + 2~c + 2~d =~0 =⇒ ~a +~b +~c + ~d =~0. Logo,−→ SP+ −→ QR =~0 =⇒−→SP =−−→QR =⇒−→SP =−→RQ. Pela definição de igualdade de vetores, temos que PQRS é um paralelogramo. R 10 No triângulo eqüilátero ABC sejam M e N os pontos médios dos lados AB e BC, respec- tivamente. Mostre que MBN também é um triângulo eqüilátero (figura 1.27). 1.9. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 15 Figura 1.25: Exercı́cio R8 Figura 1.26: Exercı́cio R9 Figura 1.27: Exercı́cio R10 Solução: Na figura 1.27 temos ‖−→AB‖ = ‖−→BC‖ = ‖−→CA‖ = l e ‖−→MB‖ = ‖−→BN‖ = l/2. Resta mostrar apenas que ‖−−→MN‖= l/2. Como−−→MN =−→MB+−→BN = 12 −→ AB+ 12 −→ BC = 12 −→ AC, temos ‖−−→MN‖= 1 2‖ −→ AC‖= l/2. Portanto, o triângulo MBN é eqüilátero pois tem seus três lados medindo l/2. 1.9 Exercı́cios propostos A 1 Em uma partı́cula estão atuando as forças ~F1 =~i +~k, ~F2 = 3~i− 4~j +~k e ~F3 = 3~j + 4~k. Determine o módulo da resultante das forças que atuam nessa partı́cula (OBS.: a resultante é a soma de todas as forças que atuam na partı́cula). A 2 No hexágono regular ABCDEF de centro O da figura 1.28 calcule as seguintes somas dos vetores: a) −→ OA+ −→ OB+ −→ OC + −→ OD+ −→ OE + −→ OF b) −→ AE + −→ AC + −→ DO c) −→ AO+ −→ FO d) −→ AF + −→ AB+ −→ DF + −→ DB Figura 1.28: Exercı́cio A2 Figura 1.29: Exercı́cio A3 A 3 No cubo da figura 1.29, calcule as somas de vetores −→ AE + −→ AB+ −→ FG+ −→ FA e −→ CM + −−→ MG+−→ AB+ −→ AD A 4 Verifique se os pontos A(3,4,1), B(−1,0,2) e C(0,1,1) são vértices de um triângulo. Se forem, determine um ponto D de tal forma que ABCD seja um paralelogramo e o ponto de interseção das diagonais desse paralelogramo. A 5 Dê exemplo de dois vetores unitários que tenham a mesma direção que~v =−3~i+~j−4~k. A 6 Determine m para que os pontos A(3,1,0), B(1,0,1) e C(−1,m,2) sejam colineares. 18 CAPÍTULO 1. VETORES Capı́tulo 2 Produtos de vetores 2.1 Introdução Neste capı́tulo introduzimos diversos tipos de produtos vetoriais. Essas idéias são inspiradas em conceitos fı́sicos e têm aplicações a diferentes áreas da Matemática. Em particular, nos exemplos e nos exercı́cios resolvidos usamos produtos vetoriais para demonstrar resultados de Geometria Plana ou de Trigonometria bastante conhecidos tais como Teorema de Pitágoras, Lei dos Senos para um triângulo qualquer, cosseno e seno da diferença de dois ângulos, entre outros. 2.2 Produto interno A motivação para a definição de produto interno vem da Mecânica. Consideremos uma força representada pelo vetor ~F atuando sobre um corpo de tal forma que lhe provoque um deslocamento representado pelo vetor ~d (Figura 2.1). Então define-se o trabalho W realizado pela força ~F como sendo o número real dado por W = ‖~F‖‖~d‖cosα onde α é o ângulo entre os vetores ~F e ~d. Figura 2.1: Trabalho realizado pela força ~F Figura 2.2: Ângulo entre vetores Sejam ~a e~b vetores não nulos. Denotemos o ângulo1 entre eles por (̂~a,~b). No cálculo da medida do ângulo, podemos considerar representantes para esses vetores que tenham o mesmo ponto inicial (Figura 2.2). O produto interno dos vetores~a e~b é denotado por~a ·~b e é definido por ~a ·~b = ‖~a‖‖~b‖cos (̂~a,~b). Se ~a =~0 ou~b =~0, então definimos ~a ·~b =~0. 1 Estamos nos referindo ao menor ângulo de 0 a π radianos (de 0 a 180 graus). 19