Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica

(Parte 1 de 2)

Lenimar Nunes de Andrade versao 0.0 – 27/outubro/2000

Sumario

1.1 Introducao1
1.2 Segmentos orientados e vetores1
1.2.1 Definicao de segmento orientado1
1.2.2 Modulo, direcao e sentido2
1.2.3 Equivalencia de segmentos orientados3
1.2.4 Vetores4
1.3 Operac oes com vetores5
1.3.1 Produto de um escalar por um vetor5
1.3.2 Adicao e subtracao de vetores5
1.4 Sistema de coordenadas7
1.4.1 Coordenadas no plano7
1.4.2 Coordenadas no espaco8
1.4.3 Vetores unitarios8
1.4.4 Definicao analıtica das operacoes com vetores9
1.5 Comprimento de um vetor10
1.6 Ponto medio de um segmento de reta10
1.7 Dependencia e independencia linear1
1.8 Exercıcios resolvidos12
1.9 Exercıcios propostos15
2.1 Introducao19
2.2 Produto interno19
2.2.1 Projec oes ortogonais20
2.2.2 Propriedades do produto interno21
2.2.3 Produto interno em coordenadas2
2.2.4 Bases ortogonais e ortonormais23
2.3 Produto vetorial24
2.3.1 Propriedades do produto vetorial25
2.3.2 Interpretacao geometrica do modulo do produto vetorial26
2.4 Produto misto27
2.4.1 Interpretacao geometrica27
2.4.2 Propriedades do produto misto28
2.5 Exercıcios resolvidos29
2.6 Exercıcios propostos3

2 Produtos de vetores 19 Referencias Bibliograficas 39

Capıtulo 1 Vetores

1.1 Introducao

O estudo de vetores iniciou-se no final do seculo XIX. Eles constituem os instrumentos ideais para o desenvolvimento de muitos conceitos importantes da Fısica e da Matematica.

Existem basicamente tres maneiras de se introduzir o estudo de vetores: geometricamente, analiticamente e axiomaticamente.

No metodo geometrico, os vetores sao representados por segmentos de reta orientados (setas) e as operacoes com eles sao definidas geometricamente.

No metodo analıtico, os vetores e correspondentes operacoes sao descritos em termos de numeros, chamados componentes dos vetores. A descricao analıtica resulta naturalmente da descricao geometrica, desde que seja introduzido um sistema de coordenadas.

No metodo axiomatico nao se faz qualquer tentativa para se descrever um vetor ou as operacoes algebricas com vetores. Neste caso, vetores e operacoes vetoriais sao considerados conceitos nao definidos, relativamente aos quais sabe-se apenas que eles satisfazem um certo conjunto de axiomas. Um tal sistema algebrico, com axiomas apropriados, chama-se espaco vetorial. Em todos os ramos da Matematica se encontram espacos vetoriais e eles sao apresentados em cursos de Algebra Linear.

Neste texto, inicialmente introduzimos vetores geometricamente. Depois, utilizamos o metodo analıtico para introduzir outros conceitos.

1.2 Segmentos orientados e vetores

Nesta secao sao definidos geometricamente segmentos orientados e vetores. Tentamos definir formalmente todos os conceitos envolvidos, algo que nem sempre e facil de ser colocado em pratica mantendo-se a simplicidade do texto.

1.2.1 Definicao de segmento orientado

A reta suporte de dois pontos dados A e B, e a unica reta que passa por eles. O conjunto de pontos formado por A, B e os pontos da reta suporte que estejam entre eles chama-se segmento AB, denotado por AB. Neste caso, A e B chamam-se os extremos do segmento. A figura 1.1 mostra um segmento de extremos A e B, com reta suporte r.

Um segmento orientado −→ AB e definido por um segmento AB mais a escolha de um dos seus extremos. O extremo escolhido chama-se ponto inicial (ou origem) do segmento orientado e o outro extremo chama-se ponto final.

2 CAPITULO 1. VETORES

Figura 1.1: Segmento AB Figura 1.2: Segmento orientado Figura 1.3: Segmentos colineares

Graficamente, um segmento orientado −→ AB costuma ser representado como sendo uma seta de A para B (figura 1.2). Formalmente, um segmento orientado −→AB pode ser definido como um par (AB,A) formado pelo segmento AB e um ponto inicial A.

A reta suporte de um segmento orientado −→ AB e a mesma reta suporte do segmento AB.

Dizemos que dois segmentos orientados sao colineares quando eles tem a mesma reta suporte (figura 1.3).

mento do segmento AB, ou seja, e a distancia entre os pontos A e B.

Dizemos que dois segmentos orientados tem a mesma direcao quando eles tem retas suportes coincidentes ou paralelas.

Figura 1.5: Mesmos sentidos Figura 1.6: Sentidos contrarios

1.2. SEGMENTOS ORIENTADOS E VETORES 3

AB e

AB e −→CD tem o

AB e

−→CD forem colineares, entao comparamos os sentidos de −→ e equivalente a

−→CD situado em outra reta suporte e, neste caso, dizemos que −→

AB e −→CD tem os

mesmos sentidos se e somente se −→

Observacoes:

• Sob um ponto de vista formal, a direcao do segmento orientado e o conjunto de retas formado pela reta suporte e todas as suas paralelas.

• Dados dois pontos A e B, podemos definir a partir deles dois segmentos orientados −→

AB e−→ BA. Neste caso dizemos que eles um deles e o oposto do outro e que eles tem sentidos contrarios.

• Nao faz sentido comparar sentidos de segmentos orientados de direcoes diferentes. Por exemplo, na figura 1.4 nada podemos afirmar se −→

AB e −→EF tem o mesmo sentido ou nao – simplesmente seus sentidos nao se comparam.

Quando A = B o segmento AB reduz-se ao ponto A e, neste caso, o segmento orientado −→ A e chamado segmento orientado nulo. Neste caso, o sentido e a direcao sao indefinidos.

1.2.3 Equivalencia de segmentos orientados

Dizemosquedoissegmentosorientados −→

eles tem o mesmo modulo, mesma direcao e o mesmo sentido.

Outra maneira de definir segmentos equivalentes: os segmentos −→

AB e −→CD sao equivalentes quando o ponto medio do segmento AD coincidir com o ponto medio do segmento BC.

Segue da definicao de equivalencia que o segmento −→

AB e equivalente a si proprio e que−→AB equivalente a −→CD implica −→CD equivalente a

equivalente a −→EF implica −→AB equivalente a

Figura 1.7: Segmentos orientados equivalentes

Exemplo 1.2 Todos os segmentos orientados da figura 1.7 tem o mesmo modulo, a mesma direcao e o mesmo sentido; logo, sao equivalentes.

4 CAPITULO 1. VETORES

1.2.4 Vetores

O vetor definido pelo segmento orientado −→ AB e o conjunto de todos os segmentos orientados que sao equivalentes a −→ AB. Qualquer um dos segmentos orientados desse conjunto e chamado representante do vetor.

Exemplo 1.3 Na figura 1.7 os nove segmentos orientados mostrados sao distintos. Mas, como eles sao equivalentes, podem ser considerados como sendo representantes do mesmo vetor −→ AB.

Usaremos a mesma notacao −→AB para representar tanto o segmento orientado quanto o vetor determinado por ele. Aqui ha o que se chama abuso de notacao: dois conceitos distintos denotados da mesma maneira. Vetores tambem sao denotados por letras latinas minusculas encimadas por uma setinha (~a,

~b,~c...) ou por letras latinas em negrito (a, b, c,).

Dizemos que dois vetores sao iguais quando os segmentos orientados −→

AB e −→CD que os re- presentam sao equivalentes. Neste caso escrevemos −→

AB = −→CD para denotar a igualdade de vetores.

Figura 1.8: Hexagono regular e paralelepıpedo retangulo

Exemplo 1.4 Considerando o hexagono regular da figura 1.8, temos as seguintes igualdades de vetores:

Considerando agora o paralelepıpedo retangulo da mesma figura, temos as seguintes igualdades:

O vetor nulo, denotado por~0, e definido como sendo aquele que tem por representante um segmento orientado nulo.

Se~a for um vetor representado por −→ AB, definimos o vetor oposto a~a como sendo o vetor −~a

Observacao:

1.3. OPERAC OES COM VETORES 5

• Os conceitos de vetor e segmento orientado costumam ser confundidos. Vetor e um conjunto, enquanto que segmento orientado e apenas um dos elementos desse conjunto.

Costuma-se escrever “vetor −→

AB” quando o correto seria “vetor do qual −→ AB e um repre- sentante”.

• O que estamos definindo como vetor costuma ser chamado por alguns autores de vetor livre. Um segmento orientado tambem costuma ser chamado de vetor ligado.

1.3 Operacoes com vetores Definimos agora tres operacoes com vetores: produto por escalar, adicao e subtracao.

1.3.1 Produto de um escalar por um vetor

Algumas grandezas fısicas como massa, densidade, temperatura, volume, energia se definem sem a necessidade de uma direcao ou um sentido. Essas grandezas sao chamadas escalares. Neste texto, usaremos a palavra escalar como sendo um numero real.

Figura 1.9: Produto por um escalar

AB o novo vetor que tem a mesma direcao que−→

Note que, por definicao, os vetores~v e k~v sao sempre colineares, para qualquer escalar k ∈ R e qualquer vetor~v.

1.3.2 Adicao e subtracao de vetores

Figura 1.10: Soma e diferenca de dois vetores

A soma de ~a e~b, denotada por ~a+~b, e um novo vetor ~c que satisfaz uma das seguintes alternativas:

6 CAPITULO 1. VETORES

• Se~a e~b forem colineares de mesmo sentido, entao~c tem comprimento igual a soma dos comprimentos de~a e~b, mesma direcao e mesmo sentido que eles.

• Se ~a e ~b forem colineares e de sentidos contrarios, entao ~c tem comprimento igual ao maior menos o menor comprimento de~a e~b, mesma direcao e o mesmo sentido do vetor de maior comprimento.

A diferenca~a−~b dos vetores~a e~b e definida como sendo a soma de~a com o vetor oposto a~b (figura 1.10), isto e,

Figura 1.1: Soma de varios vetores

A soma de varios vetores (digamos,~a,~b,~c, e ~d) pode ser feita arrumando-se representantes dos vetores colocados de tal forma que o ponto final de um corresponda ao ponto inicial de outro (figura 1.1); com isso, a soma~a+~b+~c+ ~d e o vetor cujo ponto inicial e o ponto inicial do primeiro vetor~a e cujo ponto final e o ponto final do ultimo vetor ~d.

Observacoes:

• Em um paralelogramo cujos lados estao relacionados com ~a e~b, uma diagonal corresponde a soma e a outra corresponde a diferenca entre~a e~b.

• Tambem e possıvel definir a soma da seguinte maneira: considerando o triangulo ABC com lados −→ AB e ~BC, o terceiro lado do triangulo e a soma

Se~a,~b e~c sao vetores, m e n sao escalares, entao sao validas as seguintes propriedades:

1.4. SISTEMA DE COORDENADAS 7

Figura 1.12: Comutatividade Figura 1.13: Associatividade

As demonstracoes dessas propriedades sao consequencias imediatas das definicoes. A comutatividade e a associatividade da adicao (propriedades 1 e 2) estao ilustradas nas figuras 1.12 e 1.13, respectivamente.

1.4 Sistema de coordenadas

Tendo em vista o estudo analıtico de vetores, vamos agora introduzir sistemas de coordenadas.

1.4.1 Coordenadas no plano

Em um plano, podemos considerar duas retas que se cruzem em um unico ponto, definir um lado positivo e um lado negativo para cada reta, uma escala de unidades nessas retas e chamar o ponto de encontro dessas retas de origem. Neste caso, chamamos cada uma dessas retas de eixos.

Figura 1.14: Sistema de eixos no plano

Dado qualquer ponto do plano, as projecoes desse ponto nos eixos escolhidos chamam-se coordenadas do ponto. A projecao de cada ponto P e obtida atraves da intersecao de um eixo com uma reta que passe por P e que seja paralela ao outro eixo. Assim, e possıvel associar a cada ponto do plano um par ordenado de coordenadas (a,b). Reciprocamente, podemos associar a cada par de coordenadas um ponto P do plano (figura 1.14). Vamos fazer algo parecido com isso no espaco tridimensional.

8 CAPITULO 1. VETORES

Figura 1.15: Sistema de eixos ortogonais Figura 1.16: Planos coordenados

1.4.2 Coordenadas no espaco

Consideremos no espaco euclidiano tridimensional, um sistema de eixos ortogonais que consista em tres eixos Ox, Oy e Oz dois a dois ortogonais e com uma origem comum O (figura 1.15). Esses eixos sao chamados eixos coordenados.

Nesse sistema, os planos que contem os pares de eixos (Ox,Oy), (Ox,Oz) e (Oy,Oz) sao denotados por xOy, xOz e yOz, respectivamente (figura 1.16). Esses planos sao chamados planos coordenados.

Para cada ponto P do espaco tridimensional, podemos associar um conjunto ordenado (a,b,c) formado por tres numero reais (chamado terno de numero reais) da seguinte forma: a, b e c sao as projecoes de P nos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente. Cada projecao pode ser obtida atraves da intersecao com o eixo com um plano paralelo a um dos planos coordenados que passe por P (figura 1.17). O conjunto de todos os ternos ordenados e denotado por R3. Simbolicamente,

Cada terno (a,b,c) ∈ R3 pode ser associado a um ponto P no espaco tridimensional da seguinte forma: identificamos no eixo Ox o ponto de coordenada a e no eixo Oy o ponto de coordenada b. Considerando as retas paralelas a esses eixos que passam por esses pontos, o ponto de encontro delas e um ponto P′ = (a,b,0). Finalmente, “subimos” (se c > 0) ou “descemos” (se c < 0) tantas unidades quanto for o valor de c (figura 1.17).

1.4.3 Vetores unitarios

Dizemos que~v e unitario 1 quando seu comprimento for igual a 1. Denotam-se os vetores

1Tambem chamado versor

1.4. SISTEMA DE COORDENADAS 9

Figura 1.20: Vetores i, j, k

Dado qualquer ponto P do espaco, podemos associar a esse ponto um vetor que tenha como representante o segmento orientado que vai da origem O a P. Reciprocamente, para cada vetor, considerando um representante −→OP que inicie na origem podemos associa-lo ao seu ponto terminal P. Dessa forma, as coordenadas (x,y,z) do ponto P podem ser identificadas com o

1.4.4 Definicao analıtica das operacoes com vetores

10 CAPITULO 1. VETORES

1.5 Comprimento de um vetor

Figura 1.21: Vetor no plano Figura 1.2: Vetor no espaco tridimensional

1.6 Ponto medio de um segmento de reta

m3). Comparando cada coordenada, obtemos

Assim as coordenadas do ponto medio e a media aritmetica das coordenadas dos pontos extremos do segmento. Por exemplo, o ponto medio M do segmento AB onde A = (−1,3,7) e

1.7. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAR 1 1.7 Dependencia e independencia linear

Tres vetores~a,~b e~c sao linearmente independentes quando

semelhante. Reciprocamente, se ~a e~b forem colineares, existe k ∈ R tal que ~a = k~b e, neste caso, temos~a−k~b =~0 de onde podemos concluir que~a e~b sao LD.

Mostramos assim que dois vetores sao LD se e somente se forem colineares e que tres vetores sao LD se e somente se forem coplanares. Se um conjunto de vetores contem o vetor nulo, entao esse conjunto de vetores sera ne-

12 CAPITULO 1. VETORES

Se ~a e~b forem LI, entao consideremos uma combinacao linear deles ~v = x~a+y~b (figura 1.23). Variando os valores dos escalares x,y no conjunto dos numeros reais podemos obter todos os vetores do plano. Dessa forma, qualquer vetor ~v do plano pode ser escrito como

~v = x~a+y~b+z~c (figura 1.24). Podemos assim obter todos os vetores do espaco tridimensional se atribuirmos a x,y,z valores reais. No espaco tridimensional, qualquer conjunto de tres vetores LI e chamado uma base.

Exemplo 1.10 Os vetores {~i,~j,~k} nao sao coplanares. Logo, sao LI, e, consequentemente, formam uma base do espaco tridimensional. Neste caso dizemos que eles sao a base canonica do espaco tridimensional.

(veja exercıcio R7 a seguir). Neste caso, dizemos que x,y,z sao as coordenadas de~v na base

{~a,~b,~c}. Uma base deve ser considerada como sendo um conjunto ordenado, onde nao se deve trocar

Solucao: Com relacao as operacoes de adicao, subtracao e produto por escalar, podemos operar com vetores como se estivessemos operando com numeros reais. Por exemplo, “passar um termo para o outro membro da equacao trocando o sinal do mesmo”. Dessa forma a

1.8. EXERCICIOS RESOLVIDOS 13

0. Logo, os vetores sao LI e portanto formam uma base do R3 .

Solucao: a) Os pontos dados sao vertices de um triangulo se os vetores −→

AB e −→AC nao forem colineares. Como −→

AB e −→AC nao sao colineares e, consequentemente, os pontos dados formam um triangulo.

14 CAPITULO 1. VETORES

Portanto, o sistema linear anterior so possui a solucao trivial x = y = z = 0 e, consequentemente,

vetores LI.

R 8 Mostre que as diagonais de um paralelogramo interceptam-se ao meio.

Solucao: Na figura 1.25, seja P o ponto de encontro das duas diagonais do paralelogramo

R 9 Seja ABCD um quadrilatero qualquer e P, Q, R e S os pontos medios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que PQRS e um paralelogramo (figura 1.26).

Estamos usando aqui o fato de que os pontos P, Q, R e S sao pontos medios dos lados do

−→RQ. Pela definicao de igualdade de vetores, temos que

PQRS e um paralelogramo.

R 10 No triangulo equilatero ABC sejam M e N os pontos medios dos lados AB e BC, respectivamente. Mostre que MBN tambem e um triangulo equilatero (figura 1.27).

1.9. EXERCICIOS PROPOSTOS 15

Figura 1.25: Exercıcio R8 Figura 1.26: Exercıcio R9 Figura 1.27: Exercıcio R10

(Parte 1 de 2)

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