Livro de Teoria dos Números

Livro de Teoria dos Números

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UNIDADE I – NÚMEROS INTEIROS: 1.1 - Números inteiros. 1.2 - Propiedades dos inteiros; 1.3 - Valor absoluto de um inteiro; 1.4 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE I – INDUÇÃO MATAMÁTICA: 2.1 - Elemento mínimo de um conjunto de inteiros. 2.2 - Princípio da boa ordenação; 2.3 - Princípio de indução finita; 2.4 - Indução matemática; 2.5 - Exemplos de demonstração por indução matemática e outras formas de indução matemática; 2.6 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE I – DIVISIBILIDADE: 3.1 - Relação de divisibilidade em Z. 3.2 - Conjunto dos divisores de um inteiro; 3.3 - Divisores comuns de dois inteiros; 3.4 - Algoritmo da divisão; 3.5 - Paridade de um inteiro; 3.6 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE IV – MÁXIMO DIVISOR COMUM: 4.1 - Máximo divisor comum de dois inteiros. 4.2 - Existência e unicidade do mdc; 4.3 - Inteiros primo entre si; 4.4 - Caracterização do mdc de dois inteiros; 4.5 - Mdc de vários inteiros; 4.6 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE V – ALGORITMO DE EUCLIDES MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM: 5.1 - Algoritmo de EUCLIDES. 5.2 - Múltiplos comuns de dois inteiros; 5.3 - Mínimo múltiplo comum de dois inteiros; 5.4 - Relação entre o mdc e o mmc; 5.5 - Mmc de vários inteiros; 5.6 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE VI – NÚMEROS PRIMOS: 6.1 - Números primos e compostos. 6.2 - Teorema fundamental da Aritmética; 6.3 - Formula que dão primos; 6.4 - Crivo de ERATÓSTENES; 6.5 - Primos gêmeos; 6.6 - Seqüências de inteiros consecutivos compostos; 6.7 - Conjectura de GOLDBACH; 6.8 - Método de fatoração de FERMAT; 6.9 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE VII – EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES: 7.1 - Generalidades. 7.2 - Condição de existência de solução; 7.3 - Solução da equação ax + by = c; 7.4 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE VIII – CONGRUÊNCIAS: 8.1 - Inteiros congruentes. 8.2 - Caracterização de Inteiros congruentes; 8.3 - Propriedades das congruências; 8.4 - Sistemas completos de restos; 8.5 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE IX – CONGRUÊNCIAS LINEARES: 9.1 - Generalidades. 9.2 - Condição de existência de solução; 9.3 - Solução da congruência ax b(mod. m); 9.4 - Resolução de equações diofantinas lineares por congruências; 9.5 - Inverso de um inteiro; 9.6 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE X – SISTEMAS DE CONGRUÊNCIAS LINEARES: 10.1 - Generalidades. 10.2 - Teorema do resto chinez; 10.3 - Questões Resolvidas e Propostas.

UNIDADE XI – TEOREMA DE FERMAT E WILSON: 1.1 - Teorema de Fermat. 1.2 - Teorema de Wilson; 1.3 - Questões Resolvidas e Propostas.

Embora existam diversos tipos de números em Matemática (reais, complexos, etc.), o nome

2, -1, 0, 1, 2, 3,Também é usado o nome “Aritmético”, proveniente de arithmós, que em grego

"Teoria dos Números" é tradicionalmente reservado para o estudo dos Números Inteiros, isto é, -3, - significa “número".

A Teoria dos Números, a mais pura disciplina dentro da mais pura das Ciências a

Matemática e tem uma longa história, originando-se nas antigas civilizações da humanidade. Listamos primeiro alguns nomes famosos de matemáticos que contribuirão para o estudo da teoria dos números:

Dentre outros

Pitágoras (569-500 a. C.) Euclides (_ 350 a. C.) Eratóstenes (276-196 a. C.) Diofante (_ 250 d. C.) Plutarco (_ 100 d. C.) Marin Mersenne (1588-1648) Pierre de Fermat (1601-1665) Blaise Pascal (1623-1662) Christian Goldbach (1690-1764) Leonhard Euler (1707-1783) Joseph Louis Lagrange (1736-1813) John Wilson (1741-1793) Adrien Marie Legendre (1752-1833) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) P. L. Tchebychef (1821-1894) Frederick Nelson Cole (1861-1927) Axel Thue (1863-1922) Jacques Salomon Hadamard (1865-1963) Charles de la Vallé e Poussin (1866-1962)

A teoria dos números veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber: 1) Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos. 2) Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos. 3) Teoria algébrica dos números: utiliza álgebra abstrata e estuda os números algébricos. 4) Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos.

Nesta notas faremos o estudo da primeira Teoria, um conceito chave em Teoria elementar dos Números é o conceito de divisibilidade. Enquanto nos números reais, por exemplo, pode-se dividir qualquer número por outro (não nulo), obtendo como resultado um número real, nos inteiros é diferente. Um inteiro a só é divisível pelo inteiro b quando existir um inteiro c tal que a = bc. Nesse caso, diz-se também que b é um divisor de a, ou que b divide a, ou ainda que a é múltiplo de b. Por exemplo, 8 é divisível por 2, mas não é por 3. Mesmo que a não seja divisível por b, pode-se sempre encontrar, de modo único, inteiros c (quociente) e r (resto) tais que a = bc + r.

2, 3, -3, 17,São compostos 6 = 2x3, -8 = (-2) x 4, ... Os números 0, 1 e –1 não são primos nem

Todo inteiro a é divisível por 1, -1, a, -a. Estes são os divisores triviais de a. Um inteiro é dito primo quando só possui os divisores triviais. Um inteiro de valor absoluto maior que 1 e que não seja primo (isto é, possua divisores não triviais) é dito composto. Por exemplo: São primos: 2, - compostos. Euclides foi o primeiro a demonstrar que existe uma infinidade de números primos.

O máximo divisor comum dos inteiros não nulos a e b tem a propriedade de ser múltiplo de qualquer divisor comum de a e b e pode ser encontrado pelo algoritmo de Euclides. Quando o máximo divisor comum de a e b for 1, então seus únicos divisores comuns são 1 e –1. Nesse caso, a e b são ditos primos entre si, ou relativamente primos. Por exemplo, 9 e 14 são primos entre si.

As propriedades mais cruciais dos números inteiros, e que não têm similares nos reais ou nos complexos, são o Princípio da Boa Ordenação, segundo o qual qualquer conjunto não vazio de inteiros limitado inferiormente possui um elemento mínimo, e o Princípio de Indução, segundo o qual se uma propriedade P(n), referente ao inteiro n, for verdadeira para n = a, e a veracidade de P(n) acarretar a veracidade de P(n + 1), então P(n) é verdadeira para todo inteiro maior que ou igual a a.

A partir das propriedades usuais da adição e da multiplicação de inteiros, da relação <, e do

Princípio da Boa Ordenação (ou do de Indução, que lhe é equivalente), é possível construir toda a Teoria dos Números. Um de seus resultados mais importantes é o Teorema Fundamental da

Aritmética, segundo o qual todo inteiro (diferente de 0, 1 e –1) pode ser escrito de modo único como um produto de fatores primos.

Uma das características da Teoria dos Números é que ela inclui problemas extremamente simples de enunciar e ao mesmo tempo incrivelmente difíceis de resolver. Um exemplo é a conjectura de Feuerbach: "todo número par é a soma de dois números primos"; ninguém até hoje conseguiu decidir se isto é verdadeiro ou falso. Outro exemplo é o famoso Último Teorema de

Fermat: "Dado um inteiro n maior que 2, é impossível encontrar inteiros não nulos x, y, z tais que x n

+ y n

= zn ". Este teorema, enunciado no século XVII por Fermat, que só foi demonstrado em 1995, por Wiles.

Gauss, o "príncipe dos matemáticos", dizia que a Matemática era a rainha das ciências, e a

Aritmética, a rainha das Matemáticas. Gauss desenvolveu muita a Teoria dos Números. Aos 2 anos, em 1799, publicou em latim suas "Investigações Aritméticas", onde introduziu o importante conceito de congruência para números inteiros.

O matemático inglês Hardy, grande especialista em Teoria dos Números, orgulhava-se, em 1940, de que "nenhuma descoberta sua havia feito, nem provavelmente viria a fazer, direta ou indiretamente, alguma diferença para o conforto da humanidade". No entanto, 50 anos depois, um obscuro matemático americano descobriria uma falha no recém lançado processador Pentium, ao realizar cálculos "inúteis" sobre primos gêmeos (números primos que diferem de 2).

Mas já no próprio momento em que Hardy escrevia aquela frase, durante a segunda guerra mundial, três americanos desenvolviam um sistema de código secreto, chamado SRA, baseado nas dificuldades insuperáveis para descobrir os fatores primos de um número muito grande. Criava-se um novo ramo a Criptografia, a ciência dos códigos, fortemente baseado em Teoria dos Números. Com o advento dos computadores e da computação algébrica, a Criptografia ganhou um novo impulso. Neste momento, a proliferação de senhas bancárias e de cartões de crédito, bem como a crescente necessidade de criptografar dados confidenciais que inundam a Internet, faz da Criptografia um dos ramos mais em moda da Matemática aplicada. E um dos mais úteis, para desespero póstumo de Hardy.

UNIDADE I – NÚMEROS INTEIROS 1 - Introdução:

A noção de número está, através dos tempos, associada a todos os tipos de atividades humanas. A primeira concepção de número data do período paleolítico. Poucos progressos se fizeram neste campo até se dar a transição para o período neolítico, durante o qual já existia uma atividade comercial importante entre diversas povoações. Esta atividade promoveu a formação de linguagens, cujas palavras exprimiam coisas muito concretas e poucas abstrações, mas onde já havia lugar para alguns termos numéricos simples. Estes termos numéricos destinavam-se apenas a estabelecer a distinção entre um, dois e muitos. Depois de durante milênios ter utilizado os números para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e propriedades dos próprios números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos ramos mais profundos da matemática.

A Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitágoras e os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem atual, números racionais). Aliás, na antiguidade a designação número aplicava-se só aos inteiros maiores do que um. Esta crença foi profundamente abalada quando usaram o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal de um quadrado unitário. Com efeito, a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles cujos catetos têm comprimento um e assim, pelo teorema de Pitágoras, a medida da hipotenusa é igual à raiz quadrada de dois, que não pode ser expresso como quociente de inteiros.

Ao descobrirem que a diagonal de um quadrado de lado 1 não era uma razão entre dois inteiros (em linguagem atual, que a raiz quadrada de 2 é um número irracional) os Pitagóricos consideraram quebrada a harmonia do universo, já que não podiam aceitar a raiz quadrada de dois como um número, mas não podiam negar que esta raiz era a medida da diagonal de um quadrado unitário. Convencidos de que os deuses os castigariam caso divulgassem aquilo que lhes parecia uma imperfeição divina, tentaram ocultar a sua descoberta. Segundo reza a lenda, o primeiro membro da seita pitagórica que divulgou esta descoberta morreu afogado.

Este fato teve grandes repercussões na história da ciência que se fizeram sentir até finais do século XIX. De cada vez que as necessidades do cálculo levavam a introduzir novos entes numéricos gerava-se uma enorme desconfiança à sua volta, o que levava a atribuir-lhes designações curiosas. Assim, os números irracionais eram designados por números inexprimíveis e por números incalculáveis. Durante muitos séculos os números reais (fracionarias ou racionais e irracionais) foram apenas concebidos como medidas de grandezas e só nos finais do século XIX, principalmente por obra dos matemáticos alemães Dedekind e Cantor, se construiu uma teoria dos números reais independente da geometria.

4) Conjunto dos inteiro positivos (0). = x/x01,2,3,4,z . Os inteiros positivos são também denominados inteiros naturais e por isso o conjunto dos inteiros positivos é habitualmente designados pela letra *+ = .

1.2 - Propriedades dos Inteiros: O conjunto Z dos inteiros munidos das operações de adição (+) e multiplicação () possui as propriedades fundamentais que a seguir enumeramos, onde a, b e c são inteiros quaisquer, isto é, elementos de z: 1) Lei comutativa para multiplicação e adição: a + b = b + a e ab = ba.

2) Lei associativa para multiplicação e adição: a + b+ c = a +b + ce (ab)c = a(bc).

3) Existência da identidade para adição e multiplicação: 0 + a = a e a1 = 1a = a. 4) Existência do inverso em relação à adição, -a, para todo inteiro a: a + (- a) = (-a) + a = 0.

5) Lei distributiva: ab + c= ab + ac.

6) Lei do cancelamento da multiplicação 0a = 0 e se ab = 0, então a = 0 ou b = 0.

Também existe uma “relação de ordem” entre os inteiros, representada pelo sinal “< (menor que)” que possui as seguintes propriedades: 7) Se a0, então a < 0 ou 0 < a.

8) Se ab, e b < c então, a < c. 9) Se ab, então a + c < b + c. 10) Se ab, então 0 < c, então ac < bc.

1) Se ab, então c < 0, então bc < ac.

12) (Lei da Tricotomia) Para quaisquer inteiros a e b, vale exatamente uma das seguintes afirmações: a < b, a = b ou a > b.

13) Suponha que ab, e seja c um inteiro qualquer. Então a + cb+c acbc se c > 0, mas acbc, se c < 0.

Destas propriedades podem ser deduzidas muitas outras propriedades dos inteiros.

1.3 - Valor absoluto de um Inteiro: Definição: Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se indica por a, tal que:

a se ao a

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