Livro de Cálculo I

Livro de Cálculo I

(Parte 7 de 13)

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto ado seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

∃f(a)

∃limx→a f(x) limx→a f(x) = f(a)

3.2Propriedade das funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: f(x) ±g(x) é contínua em a; f(x) . g(x) é contínua em a; f(x) g(x) é contínua em a (g(a) ≠0).

3.3Generalização sobre continuidade de uma função

Dizer que uma função f é contínua em um ponto asignifica que f(a) existe e que f leva pontos “próximos” de aem pontos “próximos” de f(a). Isso pode ser resumido precisamente na seguinte definição:

Definição:

Uma função f : B → é contínua em um ponto a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.

Note que, se o domínio de f for um intervalo, B=(b,c), b<c, a definição está exigindo as três seguintes condições: 1) a∈B; 2)existe limx→a f(x) e

3) limx→a f(x) = f(a).

3.4O teorema de Weierstrass

Toda função contínua num intervalo fechado [a,b] assume um máximo e um mínimo em

[a,b].

Entretanto é importante observar que ele garante que uma função, sendo contínua num intervalo fechado, certamente admitirá ponto de extremo, tanto máximo como mínimo, poden-

Cálculo I– Limites do ser interior ao intervalo ou em qualquer das extremidades.

Observação:

No gráfico, observamos que a função admite um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, ambos interiores ao intervalo.

Entretanto o ponto de máximo global da função ocorre na extremidade b, e o ponto de mínimo global ocorre na extremidade ado intervalo.

Também é conveniente observar que o Teorema só vale se a função é contínua num intervalo fechado. Se a continuidade for num intervalo aberto, não é possível garantir a existência de máximo e mínimo globais.

Exemplos:

1Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

À medida que x aproxima–se de 2, f(x) aproxima–se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade limx→ 2 f(x) = 0.4. Sempre que se veri- fique a igualdade f(c) = limx→ c f(x), diz–se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções.

à O limite de g(x) à medida que x se aproxima de

2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas limx→ 2 g(x) ≠ g(2) e consequentemente g não é contínua em x = 2.

3.a função f(x) = 2x + 1 definida em IR é contínua em 1, pois

Notemos que f é contínua em IR, pois para todo a ∈IR, temos:

4.A função definida em IR é descontínua em 1, pois

Observemos que f é contínua em IR – {1} pois, para todo a IR – {1}, temos:

5.Dada a função, verificar se existe algum ponto de descontinuidade .

Como limx→ 3f(x) = limx→ 3(x + 1) = 4; limx→ 3+ f(x) =

= limx→ 34 = 4 e f(3) = 4 temos que limx→ 3 f(x) = f(3) o que implica que a função é contínua no ponto x = 3.

Para k ≤ 3, limx→ kf(x) = limx→ k (x + 1) = limx→ kx + limx→ k 1 = k + 1 e f(k) = k + 1

Para k > 3, limx→ kf(x) = limx→ k 4 = 4 e f(k) = 4

Então, f é contínua em IR e não há ponto de descontinuidade.

Em geral, restringimos a análise aos valores de x que não verificam as condições de existência de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3).

6.Verifique se a funçãoé contínua em x = 3.

Cálculo de f(3):

Cálculo de limx® 3 f(x) =

Como limx® 3 f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3

Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.

TEMA 04 PROPRIEDADES DOS LIMITES

4.1 Introdução

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x→a.

•Se f(x) = C onde C é constante, então

Lim f(x) = Lim C = C.

•Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b.

•Se f e g são duas funções, k uma constante,

A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

(5)Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

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