Livro de Cálculo I

Livro de Cálculo I

(Parte 6 de 13)

|f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d.

No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão.

O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites diferentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.

Unicidade do limite– Se Lim f(x) = A e Lim f(x) = B quando x tende ao ponto c, então A = B.

Demonstração– Se e > 0 é arbitrário, então existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que 0< |x – a| < d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 sempre que 0<|x–a|<d". Tomando d=min{d',d"}>0, temos que:

|f(x)–A| < e/2e|f(x)–B| <e/2 sempre que 0<|x–a|<d.

Pela desigualdade triangular, temos: |A–B| = |A–f(x)+f(x)–B| < |A–f(x)| + |f(x)–B|. Como e>0 é arbitrário, temos: |A–B| < e então |A–B| = 0, o que garante que A=B.

Exemplos:

1.Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a xque se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja:

limx→1 (2x + 1) = 3

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:

limx→a f(x) = b se, quando x se aproxima de a(x → a), f(x) se aproxima de b (f(x) → b).

2.Seja, agora, a função lim

Como x2+ x – 2 = (x – 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x →1), f(x) se aproxima de 3, embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x→1. E, no caso, y → 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR→ IR e g(x) = x + 2, limx→1 g(x) = limx→1 (x + 2)

= 1 + 2 = 3, embora g(x) ≠ 1 f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Cálculo I– Limites

3.Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:

Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2.

2.4Generalização do conceito de limite

Definição

Dados uma função f: B IR e um ponto de acumulação a de B, diz-se que um número ∈IR é limite de f em a, e escreve-se:

limx→a f(x) = ou f(x) → , com x → a quando vale a seguinte condição: Para todo ε> 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – | < ε.

Exemplos:

1. Consideremos a função à

Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, por- tanto, é natural suspeitar que limx→1 f(x) = 4.

Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever

|f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. Assim, dado ε> 0, se escolhermos δ= ε/2 obtemos 0 < |x – 1| < δ ⇒ 2|x – 1|< ε, ou seja, |f(x) – 4| < ε. Veja a figura abaixo:

limx→1 2(x2– 1)/(x – 1) = 4 [δ= ε/2]

2.limx→2 (3x + 4) = 10. De fato, dado ε > 0, para encon- trar um δ > 0 que nos convenha, notemos que neste caso a = 2 e |f(x) – | = |(3x + 4) – 10|. Assim, se tomarmos δ= ε/3, temos:

0 > |x – 2| < δ ⇒ |(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ= ε.

3.limx→2 (x2+ 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim, |x – 2| < δimplica 1< x < 3 e, portanto,

|x+2| < 5. Logo, se 0 < δ≤ ε/5, temos 0 < |x – 2| < δ, então |(x2+ 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ≤ε.

Portanto basta tomar 0 < δ≤ min{1,ε/5}.

4.limx→a cos x = cos a. De fato, observemos que sem- pre |cos x1– cos x2|≤||x1– x2|; confira com a figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos tomar δ = εuma vez que, nesse caso:

0 <|x – a|< δ,então: |cos x – cos a|≤||x – a| < δ = ε

UEA– Licenciatura em Matemática

1.Na função f definida por temos:

mos que limx→1 f(x) não existe.

2.Dada a função f definida porpara to-

, temos:

mos que não existelimx→0 f(x).

. Solução:

1.Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. a) 1 b) n c) 1 d) n

TEMA 03 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

3.1 Introdução

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