Livro de Cálculo I

Livro de Cálculo I

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c)Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte: Se 0 < a < 1, então f será decrescente.

Se a > 1, então f será decrescente.

Considere a função y = ax, denominada função exponencial, em que a base a é um número positivoe diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que, nessas condições, axé um número positivo, para todo x∈IR, onde IR é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais po- sitivos por R+*, poderemos escrever a função exponencial como segue:

f: R → R*+; y = ax, 0 < a ≠ 1 Essa é bijetora, pois:

a) É injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.

b)É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa.

Vamos determinar a da função y = ax , onde 0 < a ≠ 1.

Permutando x por y, vem:

x = ay→ y = logax Portanto a função logarítmica é então:

Mostramos, a seguir, os gráficos das funções exponencial (y = ax) e logarítmica

(y = logax), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1.

Observe que, sendo as funções inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricas em relação à reta y = x.

Cálculo I– Função

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

•Para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.

•Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES.

•O conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais.

•O domínio da função y = axé o conjunto R dos números reais.

Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função exponencial. Isso ocorre porque as funções são inversas entre si.

UEA– Licenciatura em Matemática

UNIDADE I Limites

TEMA 02 LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS

2.1O papel dos limites de funções reais

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

O motivo para isso é que nem tudo o que queremos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estudos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções...

Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e continuidade. Na verdade, esse cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no fim), que é uma conseqüência do estudo de continuidade de funções.

2.2Idéia intuitiva de limite

Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R – {1} →R definida por: lim

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1.

Ao analisar o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que a função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) quanto por valores x > 1 (à direita de 1).

Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x = 1.

Pela esquerda de x = 1

Pela direita de x = 1

Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

limx→1 f(x) = 2

Esse resultado pode ser visto por meio da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

2.3Limite de uma função real

tence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais

Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que per-

Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:

limx→ +∞f(x) = Ld O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:

limx→ +∞f(x) = Le Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz–se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos:

Cálculo I– Limites

UEA– Licenciatura em Matemática limx→ c f(x) = L

O que significa que, para qualquer e > 0 e arbitrário, existe um d > 0, que depende de e, tal que

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