Livro de Cálculo I

Livro de Cálculo I

(Parte 4 de 13)

O gráfico de uma função polinomial do 2. grau, y = ax2+ bx + c, com a ≠0, é uma curva chamada parábola.

•a > 0, então f terá concavidade voltada para cima; •a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo.

Observação –A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ, chamado discriminante, a saber:

•quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; •quando Δé zero, há só uma raiz real;

•quando Δ é negativo, não há raiz real.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:

Exemplo: (PUC) Determine as coordenadas do vértice da

Cálculo I– Função parábola y = –x2+ 2x – 5. a) (1,–4) b) (0,–4) c) (–1,–4) d) (2,–2) e) (1,–3) Solução:

1.y = –x2+ 2x – 5, então a = –1, b = 2 e c = –5

2.= b2– 4ac = 2– 4.(–1).(–5) = –16

5.Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4) Imagem

O conjunto-imagem Im da função y = ax2+ bx + c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

a < 0

Exemplo:

(USP) Construir o gráfico da função f(x) = –x2+ 2x –1, no plano cartesiano.

Solução:

(1)f(x) = –x2+ 2x –1, então a = –1, b = 2 e c = –1

(2)= b2– 4ac, então = 2– 4.(–1).(–1) = 0, logo as raízes de f são

(6)f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1) (7)Então o gráfico pode ser dado por:

Observação:

1. Função polinomial– Uma função f: IR → IR dada por

f(x) = a0xn+ a1xn–1++ an – 1x + an
em que a0, a1, a2,, ansão números fixos,

denomina-se função polinomial de grau n (n a)f(x) = x2– 4 é uma função polinomial de grau 2, e seu gráfico é a parábola

UEA– Licenciatura em Matemática

O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eixo de simetria paralela ao eixo Oy.

b)g(x) = (x – 1)3é uma função polinomial de grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de y = x3, transladando-o uma unidade para a direita.

2.Função racional –Uma função f é uma função dada por onde p e q são duas funções polinomiais; o domínio de f é o conjunto {x∈IR|q(x) ≠ 0}.

a)é uma função racional definida para todo x 0. Como , segue que o gráfico de f é obtido do gráfico de y = 1/x, transladando-o uma unidade para cima (veja Ex. 3).

b)é uma função racional com domínio {x∈IR|x ≠ 0}. Observe que . À medida que I x I vai crescen- do , 1/x vai aproximando-se de zero, e o gráfico de g vai, então “encostando” na reta y = x (por cima se x > 0; por baixo se x < 0). À medida que x aproxima-se de zero, o grá- fico de g vai encostando na curva.

c)é uma função racional com

Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é obtido do gráfico de y = , transladando-o duas unidades para a esquerda.

Cálculo I– Função

1. Calcule: a)f(–1) esendo f(x) = –x2+ 2x b)g (0), g (2) e g() sendo c)sendo f(x) = x2e ab ≠ 0

2. Simplifiquesendo dados:

a)f(x) = x2e p = 1 b)f(x) = 2x + 1 e p = 2 c)f(x) = 1/x e p = 2 d)f(x) = e p = –3 e)f(x) = 5 e p = 2

3.Simplifique (h ≠ 0) sendo f(x) igual a:

a)2x + 1 b) x2 c)–2x2+ 3 d) 5

4. Dê o domínio e esboce o gráfico. a)f(x) = 3x c)h(x) = d)g(x) = e)f(x) =

5. Determine o domínio das funções: a)b) c) d) e)

1.6 Função exponencial

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IR IR+definida por f(x) = ax, com a IR+e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+(reais positivos, maiores que zero).

Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: 1.y = 2x(nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

2.y = (1/2)x(nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:

UEA– Licenciatura em Matemática

Nos dois exemplos, podemos observar que:

a)O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes.

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