Livro de Cálculo I

Livro de Cálculo I

(Parte 3 de 13)

8.g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu gráfico é

9. Seja

Tem–se: a)Df = IR; Im f = {–1,1} b)Gráfico de f

Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não.

Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que existe uma função h: A C, tal que:

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A.

Representando essa situação por diagrama de flechas, temos:

Exemplos a)Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). Solução f(x) = 2x – 1

UEA– Licenciatura em Matemática g(x) = 3 – 4x (fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1 = 6 – 8x – 1

= 5 – 8x (gof)(x) = 3 – 4(2x – 1) = 3 – 8x + 4

= 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x) = 5 – 8x – 7 + 8x

= –2 a)Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0).

Solução: (fog)(x) = 2x + 1 f(x) = –2x + 3 g(0) = ? (fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1 g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1

Solução: (1) 1 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1 (2) 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ –1/2 Fazendo-se (1) (2), temos que:

– D(f) = {x∈IR/ x ≤ 1 e x ≠ –1/2}

2.Determine o valor de k para que fog(x) = gof(x), dadas f(x) = 2kx +1 e g(x) = 2– 3x. Solução:

f(x) = 2kx +1 g(x) = 2– 3x fog(x) = gof(x)

2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1) 4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3 4k = –1 k = –1/4

3.Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que f(2x –1) = 3 – x.

Solução f(2x –1) = 3 – x 2x – 1 = –1 x = 0 f(–1) = 3 – 0 f(–1) = 3 x + 1 = t x = t – 1

3 – x > 0 x < 3 D(f) = ]–;3[

1.4Função polinomial do 1.grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1.grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax+ b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Na função f(x) = ax+ b, o número aé chamado de coeficiente de x, e o número bé chamado termo constante.

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1. grau, y= ax+ b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Oxe Oy.

•Se a > 0, então f será crescente.

Cálculo I– Função

UEA– Licenciatura em Matemática

Para a > 0: se x1< x2, então ax1< ax2. Daí, ax1+ b < ax2+ b, de onde vem f(x1) < f(x2).

•Se a < 0, então f será decrescente;

Para a < 0: se x1< x2, então ax1> ax2. Daí, ax1+ b > ax2+ b, de onde vem f(x1) > f(x2).

Observação –Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a):

Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox. Exemplos:

a) f(x) = 2x
b) g(x) = –2x

1.Esboce os gráficos. c) h(x) = 2 I x I

Solução:

a)O gráfico de f é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2).

b)O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2).

c)Primeiro, eliminemos o módulo y = –2x

2.Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2.

Solução: Primeiro, eliminemos o módulo

Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma:

para x ≥ 1, f(x) = x + 1 para x < 1, f(x) = –x + 3

Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma.

Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfico de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtémse do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas unidades.

1.5Função quadrática (função polinomial do 2. grau)

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2.grau, qualquer função fde IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2+ bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Gráfico

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