Livro de Cálculo I

Livro de Cálculo I

(Parte 2 de 13)

Exemplos:

1.Verificar se o gráfico abaixo representa uma função.

Cálculo I– Função

Solução: Dado o gráfico, temos que:

Observe que existem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função ou aplicação.

2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou aplicação.

Solução: Dado o gráfico abaixo, temos:

Observe que todas as retas verticais que traçarmos, tocarão em um e único ponto no gráfico. Logo g é uma função ou aplicação.

3.Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos que:

•O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real

•f(–1) = (–1)3= –1, f(0) = 03= 0, f(1) = 13= 1

Domínio de funções

O domínio de uma função representa o conjunto de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos:

a)O domínio de uma função polinomial é sempre real.

b)Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este diferentede zero.

c)Radical com índice par no numerador possui radicando maior ou igual a zero.

d)Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero.

Exemplos: 1.Qual é o domínio mais amplo para a função

Solução: , então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio

Solução:

→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}.

3.Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se:

a)Df= IR b)Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em IR, existe x real tal que x3= y.

UEA– Licenciatura em Matemática c)O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3.

d)f(–1)=(–1)3= –1; f(0) = 03= 0; f(1) = 13= 1. e)Gráfico de f:

Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR}

Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também cresce, pois y = x3, sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x (veja: 23= 8; 3= 27, etc.); quando x se aproxima de zero, y aproximase de zero mais rapidamente que x((1/2)3 = 1/8; (1/3= 1/27 etc.). esta análise dá-nos uma idéia da parte do gráfico correspondente a x > 0. Para x < 0, é só observar que f(–x) = –f(x).

4.Seja f a função dada por . Tem–se:

a)Df= {x∈IR| x ≥ 0} b)Im f = {x∈IR/ y ≥ 0} c)f(4) = =2 (o valor que f assume em 4 é 2).

d) e) f)Gráfico de f:

A função f é dada pela regra . Quando x cresce, y também cresce sendo o crescimento de Y mais lento que o de x

; quando x se aproxima de zero, y também aproxima-se de zero, só que mais lentamente que .

5.Considere a função g dada por. Tem–se:

a)Dg = {x∈IR| x ≠ 0} b)Esta função associa a cada x ≠ 0 o real g(x) = 1/x d)Gráfico de g:

Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando, y = 1/x vai aproximando-se de Zero à medida que x vai aproximando-se de zero, y = 1/x vai-se tornando cada vez maior

Você já deve ter uma idéia do que acontece para x < 0.

Observação – Quando uma função vem dada por uma regra do tipo x |→y, y = f(x), é comum referir-se à variável y como variável dependente, e à variável x como variável independente.

6.Dada a função f(x) = – x2+ 2x, simplifique:

a)b) 13

Cálculo I– Função

Solução:

a) assim

Observe: f(1) = –12+2 = 1.

b)primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos f(x + h) = – (x + h)2+ 2(x + h) = –x2– 2xh – h2+ + 2x + 2h.

Então,

ou seja, = – 2x – h + 2, h ≠ 0.

7.Função constante– Uma função f: A → IR dada por f(x) = k, k constante, denomina-se função constante.

a)f(x) = 2 é uma função constante; tem-se:

(i)Df = IR; Im f = {2} (i)Gráfico de f

Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}.

O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2).

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