Apostila de GeoGebra (UFPR, Verão de 2009), Notas de estudo de Matemática

Baixe Apostila de GeoGebra (UFPR, Verão de 2009) e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE VERÃO – 2009 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - UFPR Ge Gebra Aplicações ao Ensino da Matemática Curitiba Março - 2009 Ge Gebra APLICAÇÕES AO ENSINO DA MATEMÁTICA PROFESSOR ORIENTADOR: DR. CARLOS HENRIQUE DOS SANTOS Professor do Departamento de Matemática da UFPR Alana Renata Ribeiro Francieli Triches Inajara da Silva Freitas Leandra Karina da Cruz Luzia Regis Narok Pereira Graduandas do Curso de Matemática da UFPR geogebraufpr@gmail.com Esta apostila está licenciada sob a Licença Creative Commons-Atribuição-Compartilhamento pela mesma Licença. Você está livre para copiar, distribuir, exibir e criar obras derivadas desta apostila, nos termos desta licença. O texto completo da licença está disponível no endereço: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ 5 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO.......................................................................................................9 1 CONTEÚDOS MATEMÁTICOS DOS PCN’S.....................................................10 1.1 TÓPICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL.....................................................10 1.2 TÓPICOS DO ENSINO MÉDIO....................................................................10 2 CONHECENDO O GEOGEBRA........................................................................11 2.1 ORIGEM .......................................................................................................11 2.2 INSTALAÇÃO DO PROGRAMA...................................................................11 2.3 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA .......................................................12 3 DEFINIÇÕES E TEOREMAS.............................................................................19 3.1 PONTO, RETA E PLANO.............................................................................19 3.2 CÍRCULO .....................................................................................................19 3.3 DIÂMETRO...................................................................................................20 3.4 SEMICÍRCULO.............................................................................................20 3.5 SEGMENTO .................................................................................................20 3.5.1 Medida de segmento............................................................................20 3.6 POLIGONAL.................................................................................................21 3.7 PONTO MÉDIO ............................................................................................21 3.8 PARALELAS.................................................................................................21 3.9 SEMIRRETA.................................................................................................21 3.10 ÂNGULO ..................................................................................................21 3.10.1 Classificação de ângulos......................................................................22 3.10.2 Bissetriz................................................................................................22 3.11 PERPENDICULARES ..............................................................................22 3.12 MEDIATRIZ ..............................................................................................23 3.13 CONJUNTO CONVEXO...........................................................................23 3.14 DISCO ......................................................................................................23 3.15 SEMIPLANO ............................................................................................23 3.16 POLÍGONO ..............................................................................................23 3.16.1 Polígono convexo.................................................................................23 3.16.2 Polígono regular ...................................................................................24 3.16.3 Classificação dos polígonos.................................................................24 3.17 SUBCONJUNTOS DO CÍRCULO: ...........................................................24 3.17.1 Arco de círculo .....................................................................................24 3.17.2 Corda ...................................................................................................25 3.17.3 Círculo circunscrito...............................................................................25 3.17.4 Círculo inscrito......................................................................................25 3.18 TRIÂNGULO.............................................................................................25 3.18.1 Cevianas ..............................................................................................26 3.18.2 Classificação dos triângulos.................................................................26 3.18.3 Elementos notáveis do triângulo ..........................................................26 3.18.4 Pontos notáveis do triângulo ................................................................26 3.19 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS ........................................................27 3.19.1 Casos de congruência:.........................................................................27 3.20 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA ....................................27 3.21 SEMELHANÇA de triângulos ...................................................................28 3.21.1 Casos de semelhança..........................................................................28 3.22 Região poligonal.......................................................................................28 3.23 ÁREA........................................................................................................28 3.24 PERÍMETRO ............................................................................................29 3.25 QUADRILÁTEROs ...................................................................................29 3.26 EQUIVALÊNCIA DE Polígonos ................................................................29 3.27 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA EQUIVALÊNCIA ..........................29 3.28 TEOREMA DE TALES .............................................................................30 3.29 TEOREMA DE PITÁGORAS....................................................................30 3.30 PROBLEMA GERAL DE QUADRATURA ................................................30 4 EXPLORAÇÃO DE FUNÇÕES..........................................................................31 4.1 FUNÇÃO ......................................................................................................31 4.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ......................................................................31 4.3 PARTE ALGÉBRICA ....................................................................................31 4.4 EQUAÇÕES .................................................................................................32 5 criação de ferramentas, ANIMAÇÕES E EXPORTAÇÃO..................................34 6 REFERÊNCIAS..................................................................................................36 7 ANEXO...............................................................................................................38 ATIVIDADES.............................................................................................................38 7.1 Atividade 01 – Ponto, reta e segmento 01....................................................38 7.2 Atividade 02 – Ponto, reta e segmento 02....................................................39 7.3 Atividade 03 – Círculos.................................................................................39 7.4 Atividade 04 – Arcos.....................................................................................40 7.5 Atividade 05 – Segmento, ponto médio, mediatriz e perpendicular ..............40 7.6 Atividade 06 – Paralelas ...............................................................................40 7.7 Atividade 07 – Ângulos e bissetrizes ............................................................41 7.8 Atividade 08 – Triângulos .............................................................................41 7.9 Atividade 09 – Construção de triângulos a partir de elementos dados. ........43 7.9.1 Construir triângulo ABC, sendo dados: ................................................43 7.9.2 Construir o triângulo ABC, retângulo em A, dados:..............................43 7.9.3 Construir triângulo ABC, dados dois ângulos Bˆ =60° e Cˆ =45°, e......43 7.9.4 Construir o triângulo ABC dadas as três alturas. ha=4,5cm, hb=3,5cm e hc=2,5cm. ..........................................................................................................44 7.9.5 Construir o triângulo ABC, dados.........................................................44 7.10 Atividade 10 – Congruência .....................................................................45 7.11 Atividade 11 – Áreas e perímetro .............................................................45 7.12 Atividade 12 – Quadriláteros ....................................................................45 7.13 Atividades 13 – Construção de quadriláteros a partir de elementos dados 46 7.13.1 Construir um quadrado dados:.............................................................46 7.13.2 Construir um retângulo dados: .............................................................46 7.13.3 Construir um losango dados: ...............................................................46 7.13.4 Construir um paralelogramo ABCD dados: ..........................................46 7.13.5 Construir um trapézio ABCD dados: ....................................................47 7.13.6 Construir um trapézio isósceles dados:................................................47 7.13.7 Construir um trapézio retângulo em A dados: ......................................47 7.14 Atividade 14 – Tales .................................................................................47 7.15 Atividade 15 – Semelhança......................................................................48 7.16 Atividade 16 – Equivalência de áreas.......................................................48 7.17 Atividade 17 – Pitágoras...........................................................................49 10 1 CONTEÚDOS MATEMÁTICOS DOS PCN’S O GeoGebra possibilita trabalhar de forma dinâmica em todos os níveis da Educação Matemática. A abordagem que apresentamos está embasada nas exigências dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’S), tanto do Ensino Fundamental quanto do Médio, apresentamos a seguir os conteúdos que serão abordados em cada nível. Lembrando que o leque de possibilidades e de aplicações está em constante estudo e desenvolvimento por nossa equipe, a presente apostila retrata o estágio atual do trabalho. 1.1 TÓPICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL Vários conteúdos matemáticos que estão presentes nos PCN’S terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, podem ser abordados de forma dinâmica em sala de aula com a utilização do GeoGebra. São exemplos: o estudo de figuras planas, perímetros, áreas, medida de ângulos, os Teorema de Tales e Pitágoras, o Teorema Fundamental da Semelhança, eixos coordenados e planos cartesianos. 1.2 TÓPICOS DO ENSINO MÉDIO Da mesma forma as sugestões para aplicação do software no Ensino Médio são: a) No primeiro ano: noções de funções, trigonometria do triângulo retângulo. Geometria plana (semelhança, congruência e representações de figuras planas). b) No segundo ano: funções trigonométricas. Trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta. Comprimentos, perímetros e áreas, c) No terceiro ano: geometria analítica: representações do plano cartesiano e equações; interseção e posições relativas de figuras planas. 11 2 CONHECENDO O GEOGEBRA 2.1 ORIGEM O programa desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática, e de maneira a facilitar sua utilização, pode ser encontrado com facilidade em sites de busca ou no endereço: www.geogebra.at Reunindo Geometria, Álgebra e Cálculo, o software permite relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino. 2.2 INSTALAÇÃO DO PROGRAMA Primeiramente, deve-se baixar a última versão do software GeoGebra, procedendo da seguinte forma: 1. Acessar o site: www.geogebra.org 2. Clicar na opção Download que fica na coluna esquerda da tela. 3. Clicar em: Download GeoGebra . 4. Aparecerá em parte da tela, a figura 1 desta atividade, onde deverá selecionar a opção de acordo com o seu sistema operacional. 5. No caso do Windows, ao aparecer a próxima tela,clicar em salvar. 6. Criar uma pasta para o GeoGebra, clicando em nova pasta. 7. Dar dois cliques na nova pasta para selecioná-la, em seguida clicar em SALVAR. Ilustração 1 - Janela de download 12 8. Aguardar... 9. Ao concluir o donwload, clicar em FECHAR. 10. Abrir o ícone GeoGebra, que deverá estar na pasta escolhida. 11. Abrir o arquivo GeoGebra, com um clique duplo. 12. Clicar em EXECUTAR. 13. Selecionar o idioma, e clicar no botão OK. 14. Clicar em AVANÇAR. 15. Selecionar Aceito os termos do Contrato de Licença (após ler, é claro!) e clicar no botão Avançar em cada tela que for aparecendo. 16. Aguardar a instalação... 17. Clicar em AVANÇAR e em seguida em CONCLUÍDO. 18. Finalmente aparecerá a tela do GeoGebra para iniciar o trabalho. Observação: Caso não consiga executar o programa, será necessário baixar a máquina virtual Java, a partir do site http://www.java.com/getjava/ 2.3 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA Vamos então conhecer a interface do GeoGebra. Ao acessar o programa temos uma janela como a seguinte. Ilustração 2 - Tela inicial do GeoGebra Ilustração 6 – Ícone reta Ilustração 7 - Ícone propriedades Ilustração 8 - Ícone polígono Ilustração 9 - Ícone curvas Ilustração 10 - Ícone medidas Ilustração 11 - Ícone simetrias Ilustração 12 - Ícone de ferramentas extras 20 ⇒ Sua construção é feita com a ferramenta círculo do ícone curvas as opções são: círculo dado dois pontos, círculo dado um ponto e o raio ou ainda com a ferramenta seletor (está no ícone de ferramentas extras) que consiste em criar um intervalo de variação para a distância. 3.3 DIÂMETRO Dada uma reta passando pelo centro do círculo, os pontos de interseção com o círculo determinam sobre a reta um segmento chamado diâmetro. OBSERVAÇÃO: Neste texto Circunferência e Círculo serão considerados sinônimos, mas em vários textos didáticos, é costume usar o primeiro nome para se referir apenas à borda, enquanto o segundo pode significar tanto o interior reunido com a borda quanto somente a borda. Usaremos o termo Círculo e o seu significado ficará claro no contexto. 3.4 SEMICÍRCULO Toda reta pelo centro de um círculo divide-o em dois semicírculos. 3.5 SEGMENTO É o conjunto de pontos compreendidos entre dois pontos A e B tomados sobre uma reta, juntamente com A e B, que são extremidades do segmento. É representado por AB . 3.5.1 Medida de segmento A cada segmento AB corresponde um número real positivo, que é a medida do segmento. Dizemos também que esse número é a distância entre A e B. Notação: AB. 21 3.6 POLIGONAL Uma poligonal, A1, A2,..., nA é a reunião de finitos segmentos 1 2A A , 2 3A A , ..., n-1 nA A sequenciais tendo como interseção apenas os pontos A2,A3,... An-1. Se nA coincide com A1 então a poligonal é fechada. 3.7 PONTO MÉDIO Um ponto M é chamado ponto médio de um segmento AC se M está entre A e C e AM = MC. 3.8 PARALELAS São retas que não se intersecam. 3.9 SEMIRRETA Dados dois pontos A e B sobre uma reta. A semirreta AB uuur é a reunião do segmento AB com os pontos C da reta tais que B está entre A e C. O ponto A é chamado origem da semirreta. 3.10 ÂNGULO É a figura plana formada pela reunião de duas semirretas de mesma origem. A origem comum O chama-se vértice e as semi-retas chamam-se lados. A cada ângulo corresponde um número real entre 0 e 180 que é a sua medida, nesse caso sua medida é dada em graus. ⇒ Podemos fazer ângulo de amplitude fixa, clicando na opção do ícone medidas e em dois pontos onde quer que o ângulo seja construído e abrirá uma janela pedindo a medida do ângulo. 22 3.10.1 Classificação de ângulos Os ângulos podem ser: • Reto: quando mede 90° • Agudo: possui medida α , com °0 < α < 90°. • Obtuso: possui medida β , com 9 °0 < β < 180°. • Adjacentes: ângulos que tem um lado em comum. • Complementares: ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90°. • Suplementares: ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180°. • Ângulo inscrito: tem o vértice na circunferência e os lados intersecam o círculo em dois pontos. • Ângulo central: tem o vértice no centro de um círculo. DEFINIÇÃO: Diz-se que dois segmentos AB e CD são CONGRUENTES quando possuem o mesmo comprimento, e que dois ângulos A∠ e B∠ são congruentes quando têm a mesma medida. OBSERVAÇÕES: - ângulos opostos pelo vértice possuem mesma medida. - com esta definição as propriedades da igualdade de números passam a valer para a congruência de segmentos ou de ângulos. Logo, um segmento é sempre congruente a ele mesmo, e se dois segmentos são congruentes a um terceiro, então são congruentes entre si. 3.10.2 Bissetriz É a semirreta de origem no vértice de um ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes. 3.11 PERPENDICULARES São retas que se intersecam formando ângulos de 90°. 25 3.17.2 Corda É segmento de reta que une os dois extremos de um arco. Quando dois arcos compartilham a mesma corda dizemos que eles são arcos suplementares. 3.17.3 Círculo circunscrito Diz-se que um círculo está circunscrito a um polígono quando todos os vértices do polígono pertencem ao círculo. ⇒ Para fazer um círculo com esta propriedade, é interessante fazer primeiro o polígono, caso não lhe seja exigido o raio do mesmo. Ao se exigir o raio temos que conhecer melhor os métodos de divisão de círculo em n partes iguais. Que consiste em dividir o círculo ou o ângulo central pelo número de partes desejadas. 3.17.4 Círculo inscrito Diz-se que um círculo está inscrito a um polígono se é tangente (possui apenas um ponto em comum) a todos os lados do polígono. ⇒ Seu centro é o encontro das bissetrizes do polígono e ele é tangente internamente a todos os lados do mesmo. Para determinar seu raio trace uma perpendicular a um lado do polígono passando pelo centro e essa distância será o raio do círculo. Temos a ferramenta que constrói a reta tangente a curva passando por um ponto dado não pertencente a curva. Está localizada no ícone propriedade. 3.18 TRIÂNGULO DEFINIÇÃO: se ABC é um triângulo, os seus ângulos ∠ABC , ∠BCA e ∠CAB são chamados de ângulos internos ou simplesmente de ângulos do triângulo. Os suplementos destes ângulos são chamados ângulos externos do triângulo. 26 3.18.1 Cevianas É todo segmento que tem uma extremidade num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao mesmo. 3.18.2 Classificação dos triângulos • Quanto aos lados: - Equilátero: possui os três lados congruentes. - Isósceles: possui dois lados congruentes; o terceiro lado chama-se base; os ângulos adjacentes à base são congruentes. - Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes. • Quanto aos ângulos: - Retângulo: quando um dos ângulos internos é reto. - Acutângulo: quando os três ângulos internos são agudos. - Obtusângulo: quando um dos ângulos internos é obtuso. 3.18.3 Elementos notáveis do triângulo - Altura: é a ceviana que une um vértice ao lado oposto, formando com esse lado um ângulo reto. - Bissetriz: é a ceviana que parte de um dos vértices do triângulo dividindo o ângulo em duas partes iguais. - Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. - Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado de um triângulo por seu ponto médio. 3.18.4 Pontos notáveis do triângulo Considerando altura, bissetriz, mediana e mediatriz elementos do triângulo temos: 27 - Ortocentro é o encontro das alturas. - Incentro é o encontro das bissetrizes. - Baricentro é o encontro das medianas. - Circuncentro é o encontro das mediatrizes. 3.19 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices de modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes. ⇒ OBS: Podemos considerar dinamicamente que um triângulo é congruente a outro quando for possível movê-lo de forma a encaixa-lo exatamente sobre o outro. 3.19.1 Casos de congruência: 1° Caso: (LAL) Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB ≅ EF , ∠ A ≅ ∠ E, e AC ≅ EG , então ∆ABC ≅ ∆EFG. 2° Caso: (ALA) Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB ≅ EF , ∠ A ≅ ∠ E e ∠ B ≅ ∠ F, então ∆ABC ≅ ∆EFG. 3º Caso: (LLL) Se dois triângulos ABC e EFG, tem três lados correspondentes congruentes, então ∆ABC ≅ ∆EFG ⇒ E LLA é caso de congruência? 3.20 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA Se uma reta paralela a um lado de um triângulo interseca os outros dois lados em pontos distintos então ela determina segmentos que são proporcionais a tais lados. 30 3.28 TEOREMA DE TALES Um feixe de retas concorrentes corta um outro feixe de retas paralelas segundo segmentos proporcionais. 3.29 TEOREMA DE PITÁGORAS Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 3.30 PROBLEMA GERAL DE QUADRATURA Construir um quadrado equivalente a um polígono dado (triângulo, retângulo, trapézio, etc). 31 4 EXPLORAÇÃO DE FUNÇÕES 4.1 FUNÇÃO Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, dizemos que uma regra f de associação de elementos de A com elementos de B é uma função de A em B se, para todo x pertencente ao conjunto A, existe um único y pertencente a B associado a x, indicado por y = f(x). 4.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO O gráfico de uma função f é um subconjunto do plano cartesiano formado pelos pares ordenados (x,y) onde y = f(x) ⇒ Para esboçarmos o gráfico de uma função no plano cartesiano, devemos atribuir alguns valores á variável x, determinando valores numéricos de y. 4.3 PARTE ALGÉBRICA O programa nos permite construir várias funções, As entradas algébricas ficam na parte inferior da tela e devem respeitar algumas notações tais como: - o sinal de multiplicação é representado por (*) - para elevar a uma potência, antes do valor da mesma, devo colocar (^) - o sinal de divisão é (/) As principais funções que o programa esboça diretamente estão disponíveis ao lado da entrada algébrica. Temos possibilidade de mudar as unidades de medida e de alterar as coordenadas cartesianas para polares. 32 ⇒ Faremos na sequência a exploração da equação da reta, da parábola e círculo, além dos gráficos das funções trigonométricas sen(x), cos(x) e tg(x) e deixaremos como desafio a função modular. 4.4 EQUAÇÕES • Reta: y= a*x+b • Parábola: y=a*x^2+b*x+c • Círculos: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 O Programa apresenta OUTRAS APLICAÇÕES, mostraremos os arquivos elaborados de algumas destas aplicações. Estes arquivos estarão disponíveis no site www.mat.ufpr.br/verao e eventuais dúvidas podem ser esclarecidas por geogebraufpr@gmail.com. ⇒ O ciclo trigonométrico que é estudado no Ensino Médio pode ser construído pelo próprio aluno, levando-o a compreender o significado geométrico das funções trigonométricas. Exemplificaremos os casos das funções seno, cosseno e tangente, deixando as demais como exercícios. ⇒ Podemos explorar Vetores, adição e translação, no Ensino Médio para a disciplina de Física. ⇒ Para o Ensino Superior o GeoGebra apresenta aplicações, tais como integrais e derivadas, e estudo de funções. ⇒ Os sistemas de equações podem ser interpretados geometricamente como posições relativas entre retas expressas por equações algébricas. Por exemplo g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Intersecção[g, h] ⇒ Para mudar as equações podemos clicar com o botão direito do mouse em cada uma e selecionar Redefinir. Usando agora o botão esquerdo do mouse, 35 Além disso, podemos inserir textos e figuras para que os exercícios sejam melhor elaborados. Assim, se desejarmos escrever o enunciado de um exercício devemos clicar no menu extras e, em seguida, selecionar a ferramenta inserir texto, e clicar na parte geométrica para que se abra a caixa de texto. Ou ainda, inserir pequenas figuras, clicando no menu extras, e selecionando a ferramenta inserir imagem e clicando na janela geométrica para realizar a busca da figura desejada. 36 6 REFERÊNCIAS BARBOSA, J. L. M.. GEOMETRIA EUCLIANA PLANA. 9° ed. Rio de Janeiro: editora SBM, 1984. BERTHOLDI, Deise. DESENHO GEOMÉTRICO I. Universidade Federal do Paraná - Setor de Ciências Exatas - Departamento de Desenho, 2007. DANTE, L. Roberto. MATEMÁTICA. Volume único. São Paulo, ed. Ática, 2008. MARQUES, C; SILVEIRA, E. MATEMÁTICA 8ª SÉRIE. 1° ed. São Paulo, ed. Moderna, 2002. GIOVANNI, J. R.; CASTRUCI, B.; GIOVANNI Jr., J. R. A CONQUISTA DA MATEMÁTICA. 7ª série. São Paulo, ed. FTD, 1998. GENTIL; MARCONDES; GRECO; BELLOTTO; SÉRGIO. MATEMÁTICA PARA O 2° GRAU. Volume 1. 6° ed. São Paulo, ed. Ática, 1997. LIMA, E. LAGES. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR. 2ª ed. Rio de Janeiro, IMPA, 2005. ELON; PAULO CEZAR; WAGNER; MORGADO. A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO. Volume 1. 9° ed., Rio de Janeiro, ed. SBM, 2006. DOWNS, Moise. GEOMETRIA MODERNA. São Paulo, ed. Edgard Blucher. CALFA, H. G.; BARBOSA, R. C.. DESENHO GEOMÉTRICO PLANO. Volume 1. 2ª ed., Rio de Janeiro, ed. Biblioteca do Exército, 1997. 37 WAGNER, Eduardo. TEOREMA DE PITÁGORAS E ÁREAS. Coleção Iniciação Científica – OBMEP 2006. Rio de Janeiro, ed. Imprinta Express Gráfica e Editora Ltda, 2006. AMORIM, Amilton. DESENHO GEOMÉTRICO. UNESP, 2007. Disponível em: http://www2.prudente.unesp.br/dcartog/amorim/DG2007.pdf , Acesso: 22/01/2009. CARVALHO, J. Pitombeira de. EQUIVALÊNCIA E APLICAÇÃO DE ÁREAS NA MATEMÁTICA GREGA. UFG, 2006. Disponível em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/pitombeira.pdf . Acesso: 22/01/2009. RESPOSTAS A 7ª SÉRIE. UFRGS. Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab4/resps3.html#altura. Acesso: 22/01/2009. VARANDAS, M. J.. DICIONÁRIO DE GEOMETRIA. Universidade de Lisboa. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/ . Acesso em: 22/01/2009. 40 preencha a figura. 7.4 Atividade 04 – Arcos a) Construa um semi-círculo dados os pontos extremos (1, 1) e (4, 1). b) Construa um arco circular dados centro A (3, 2) e os pontos extremos B (3, 4), C (1, 2). Agora considere o mesmo centro e tome B (1, 2) e C (3, 4). Compare estes dois arcos. Que figuras formamos unindo-os? c) Construa um arco circumcircular dados os pontos: A(-5, -2), B(-2, -2), C(-2, 2). Movimente o ponto B e descreva o que acontece. d) Construa um segmento qualquer e determine a semi-círculo com extremos coincidentes com os extremos do segmento. 7.5 Atividade 05 – Segmento, ponto médio, mediatriz e perpendicular a) Construa um segmento com uma extremidade em A(3, 4) e medida 3,5 (lembre que no lugar de vírgula devemos colocar o ponto). b) Utilizando a ferramenta ponto médio, determine o ponto médio deste segmento. Renomeie o ponto de M. c) Construa a reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. O que temos? d) Construir um segmento qualquer, e sua mediatriz utilizando círculos e) Construa outro segmento qualquer, determine a sua mediatriz (o programa tem esta ferramenta localize-a). Meça este segmento, depois movimente uma das extremidades dele e verifique o que acontece com a mediatriz. f) Construa uma reta passando por dois pontos quaisquer, determine sua mediatriz. Porque isso acontece. g) Construa uma semi-reta e determine seu ponto médio. 7.6 Atividade 06 – Paralelas a) Construa uma reta e nomeia de r, construa uma círculo de raio 2,. construa 41 um ponto P sobre a círculo, trace uma reta paralela a r por P b) Construa uma reta passando por A(2,3) e B(-1,-2). Determine a reta paralela a esta passando pelo ponto C (-1,3) c) Construa um seletor. Construa um segmento dependente do seletor. Crie o ponto D(-3,2) e a reta paralela ao segmento passando por D. Calcule a distância do segmento até sua paralela. d) Construa uma reta t. Construa um seletor. Construa um ponto F sobre t. Construa uma perpendicular a t passando por F. Construa uma círculo de centro F dependente do seletor. Com a opção intersecção de dois objetos encontre a interseção da círculo e a perpendicular. Trace paralela pelas intersecções e t. Movimente o seletor e descreva o que acontece. 7.7 Atividade 07 – Ângulos e bissetrizes a) Construa duas retas paralela entre si. Construa uma concorrente a essas duas. Meça o ângulos formado na intersecção delas. b) Construa um ângulo de 60° utilizando a ferramenta ângulo com amplitude fixa. Determine sua bissetriz. c) Construa um ângulo qualquer, e determine sua medida. Utilizando a ferramenta bissetriz, determine sua bissetriz. d) Construa um setor circular com raio 4cm. Meça seu ângulo, determine sua área e seu comprimento. Agora altere a medida do raio e verifique o que acontece com o ângulo, com a área e com o perímetro do setor circular. e) Construa um círculo pelo centro (A) e um de seus pontos (B). Marque três outros pontos (C, D e E) da círculo. Construa os segmentos EC, ED, AC e AD. Marque o ângulo inscrito CÊD e o ângulo central CÂD. Observe, na janela algébrica a medida desses ângulos e compare-as. 7.8 Atividade 08 – Triângulos a) Explorando a ferramenta ângulo crie um triangulo retângulo isósceles b) Utilizando a ferramenta polígono, construa um triângulo qualquer. Determine uma das bissetrizes deste triângulo, utilizando a ferramenta bissetriz e através de 42 círculos. c) Construa um triângulo equilátero de lado 6 cm. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados. d) Construa um triângulo qualquer. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados. e) Movimente o triângulo acima alterando sua forma e perceba o que acontece com as outras construções, e suas medidas. f) Construa um triângulo retângulo ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. g) Construa um triângulo isósceles ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos da base. h) Construa um triângulo equilátero ABC que possa ser deslocado pela tela sem perder suas propriedades. Observe as medidas dos lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e descreva o que você observou quanto à medida dos ângulos internos. i) Construa um triângulo ABC. Utilizando a ferramenta Mediatriz (no menu que contém a ferramenta reta perpendicular), construa a mediatriz do lado AB e a do lado AC . Marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a mediatriz do lado BC, movimente um dos vértices e verifique que ela também passa por D. Trace a círculo de centro D que passa por A. Observe as posições dos pontos B e C em relação à círculo. Movimente um dos vértices do triângulo e enuncie com suas palavras a propriedade que você observou. j) Construa um triângulo ABC. Trace duas alturas desse triângulo e marque o ponto D, interseção dessas retas. Trace a terceira altura, movimente um dos vértices 45 7.10 Atividade 10 – Congruência a) Mostrar que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são também congruentes. b) Mostrar que em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes. c) Mostrar que em todo retângulo, os lados opostos são congruentes. d) Mostrar que as diagonais de um retângulo são congruentes. e) Mostrar que em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio. f) Porque o caso (LLA) não é caso de congruência? 7.11 Atividade 11 – Áreas e perímetro a) Construa um círculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a área deste círculo e o comprimento da círculo. b) Construa um círculo de centro (-2, -3) e raio 3. Calcule a área deste círculo e o comprimento da círculo c) Construa duas retas paralelas r e s. Um segmento AB qualquer sobre uma delas. Construa os pontos D e E sobre a outra. Construa os triângulos ABD e ABE, calcule suas áreas, movimente D e E e descreva o que acontece com as medidas das áreas. 7.12 Atividade 12 – Quadriláteros a) Construa um quadrado de lado 4cm. Determine a círculo inscrita e a circunscrita a este quadrado, altere a medida do lado do quadrado. Determine a medida de seus ângulos internos. b) Construa um retângulo de lados 4cm e 3cm. Utilizando as propriedades do retângulo. Movimente um de seus vértices e perceba que as propriedades são conservadas. Calcule sua área e seu perímetro. c) Construa um quadrado de lado 3 Mostre, na janela geométrica, a medida dos ângulos e dos lados do quadrado (clique sobre o objeto com o botão direito do mouse; no menu que abrirá clique em propriedades; na janela que aparecerá, selecione todos os segmentos e ângulos, com o botão control do teclado apertado; 46 em exibir rótulo, coloque Nome & Valor e clique em Aplicar).Movimente um dos vértices e confira sua construção, observando as medidas dos ângulos e dos lados. No menu, no alto da tela, clique em Exibir e, a seguir, clique em Protocolo de construção. Reveja a sequência de passos de sua construção. Ao terminar, feche essa janela. 7.13 Atividades 13 – Construção de quadriláteros a partir de elementos dados 7.13.1 Construir um quadrado dados: a) o lado. a=3cm. b) a diagonal. BD=4cm. c) o raio da círculo circunscrita. R=2,5cm. d) o raio da círculo inscrita. r=2cm. 7.13.2 Construir um retângulo dados: a) os lados. a=4cm, b=2,5cm. b) diagonal e o lado. a=2,5, d=3,5. c) diagonal e o ângulo formado pelas mesmas. d=4cm, =120°. 7.13.3 Construir um losango dados: a) as diagonais. AC=5cm, BD=3cm. b) um lado e uma diagonal. AB=3cm, AC=4,5. c) um lado e um ângulo. AB=3cm, Cˆ =45°. 7.13.4 Construir um paralelogramo ABCD dados: a) os lados e um ângulo. AB=4cm, BC=7cm, Bˆ =45°. b) os lados e uma diagonal. AB=5cm, BC=3cm, AC=4cm. c) as diagonais e um lado. AC=5cm, BD=4cm, BC=2,5cm. d) as diagonais e o ângulo por elas formado. BD=4cm, AC=3cm, =120°. 47 e) os lados e a altura. BC=5cm, AB=3cm, hBC=2,5. 7.13.5 Construir um trapézio ABCD dados: a) os lados. AB=5,5cm, BC=3,5cm, CD=4cm, AD=3cm. b) as bases e as diagonais. AB=4,5cm, CD=3,5cm, BD=5,5cm, AC=5cm c) as bases, uma diagonal e o ângulo formado pelas diagonais. AB=4,5cm, AC=4cm, DC=2,5, AÊB=120° (E é o ponto de interseção das diagonais). d) uma base, dois lados e o ângulo formado por um dos lados com a base dada. AB=4,5cm, AD=3cm, BC=2,5, Â=60°. 7.13.6 Construir um trapézio isósceles dados: a) as bases e altura. AB=3cm, CD=4,5cm, h=2cm. b) as bases e uma diagonal. AB=4cm, CD=3cm, AC=4cm. c) as bases e o raio da círculo circunscrita. AB=5,5cm, CD=3cm, R=3cm. 7.13.7 Construir um trapézio retângulo em A dados: a) as bases e a altura. AB=3,5cm, CD=2cm, h=2,5cm. b) uma base, um lado e a altura. AB=3,5cm, BC=2,5cm, h=2cm. c) Em um losango de lado 5cm, uma das diagonais mede 8cm. Calcule a área desse losango. d) Calcule a área de um paralelogramo ABCD, em que AB = 8cm, BC = 12cm e m<ABC = 135°. 7.14 Atividade 14 – Tales a) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre o chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. Qual a altura do poste? 50 construa y=ax2+bx+c. Crie um ponto na curva descrita. Habilite o rastro deste ponto. f) Construa 4 seletores a, b, c e d, com intervalo -10 a 10. e na entrada algébrica construa a*sen(bx+c)+d; a*cos(bx+c)+d e a*tan(bx+c) +d g) Construa a círculo dada pela seguinte equação: (x-2)2+(y-3)2=2 , qual a medida do raio desta círculo? E qual é o seu centro? h) Construa o círculo dada pela seguinte equação:(x+3)2 + (y-4)2=5, qual a medida do raio desta círculo? E qual é o seu centro? i) Tente mover as círculos construídas acima. Compare o que acontece. 7.19 Atividade 19 – Macros a) Construa a macro para os seguintes pontos notáveis do Ortocentro, Baricentro, Incentro, Circuncentro. 7.20 Atividade 20 – Extras a) Construa dois círculos concêntricos, de centro (2, 1) e raios 2 e 5 respectivamente. b) Determine o círculo de centro (3, 5) e raio 4, determine o círculo tangente a este de centro (5, 3). E um tangente a estes dois de raio 3. c) Utilizando a ferramenta polígono construa um polígono qualquer, e determine suas bissetrizes e movimente os vértices dos polígonos. d) Construa uma semi-reta, determine um segmento qualquer sobre esta semi- reta, construa um círculo de raio dependente a medida do segmento. Altere a medida do segmento e veja o que acontece com o círculo. Determine a medida do segmento, e a medida do raio do círculo, e compare estas medidas ao alterar o tamanho do segmento. e) Exercício especial: Dada a figura (criar a figura no GeoGebra) com AC = BC, DC = EC, G ponto médio de DC, H ponto médio de EC, <ACE ≈ <BCD. Demonstre que AG = BH. f) De um quadrado ABCD de lado 8cm foram retirados quatro triângulos retângulos isósceles com catetos de 2cm, um de cada vértice do quadrado. Qual é a área do octógono remanescente? 51 g) Sendo ABC um triângulo isósceles de base BC(segmento), M o ponto médio de BC(segmento), e <CAM = 35°, determine a medida de <ABC. h) Em um triângulo ABC retângulo em A temos: M é ponto médio de BC(segmento), m(MÂC) = 30° e CM = 3cm. Calcule o perímetro do triângulo ABM. i) Um triângulo ABC, retângulo em A, possui um ângulo interno de 30°. Calcule a medida de um ângulo agudo formado pela altura e pela bissetriz interna, ambas relativas ao vértice A. j) Um triângulo retângulo possui um ângulo interno de 40°. Determine a medida do ângulo agudo determinado pela mediana e pela altura, ambas relativas à hipotenusa. k) Construa o Ciclo trigonométrico mostrando as funções sen, cos e tan. Você pode também localizar cotg, cossec e sec. l) Construa a função modular de x, y=|x|, lembrando que na entrada algébrica função módulo é equivalente a abs(x). uma ideia interessante é construir a partir de seletores e verificar algumas alterações que ela sofre, como y= |x+a|