Apostila de GeoGebra (UFPR, Verão de 2009)

Apostila de GeoGebra (UFPR, Verão de 2009)

(Parte 1 de 6)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE VERÃO – 2009 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - UFPR

Ge Gebra

Aplicações ao Ensino da Matemática

Curitiba Março - 2009

Ge Gebra APLICAÇÕES AO ENSINO DA MATEMÁTICA

PROFESSOR ORIENTADOR: DR. CARLOS HENRIQUE DOS SANTOS Professor do Departamento de Matemática da UFPR

Alana Renata Ribeiro

Francieli Triches

Inajara da Silva Freitas Leandra Karina da Cruz

Luzia Regis Narok Pereira

Graduandas do Curso de Matemática da UFPR geogebraufpr@gmail.com

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Ilustração 1 - Janela de download1
Ilustração 2 - Tela inicial do GeoGebra12
Ilustração 3 - Barra de ferramentas de acesso rápido13
Ilustração 4 - Ícone seleção14
Ilustração 5 - Ícone ponto14
Ilustração 6 – Ícone reta15
Ilustração 7 - Ícone propriedades15
Ilustração 8 - Ícone polígono15
Ilustração 9 - Ícone curvas16
Ilustração 10 - Ícone medidas16
Ilustração 1 - Ícone simetrias17
Ilustração 12 - Ícone de ferramentas extras17
APRESENTAÇÃO9
1 CONTEÚDOS MATEMÁTICOS DOS PCN’S10
1.1 TÓPICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL10
1.2 TÓPICOS DO ENSINO MÉDIO10
2 CONHECENDO O GEOGEBRA1
2.1 ORIGEM1
2.2 INSTALAÇÃO DO PROGRAMA1
2.3 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA12
3 DEFINIÇÕES E TEOREMAS19
3.1 PONTO, RETA E PLANO19
3.2 CÍRCULO19
3.3 DIÂMETRO20
3.4 SEMICÍRCULO20
3.5 SEGMENTO20
3.5.1 Medida de segmento20
3.6 POLIGONAL21
3.7 PONTO MÉDIO21
3.8 PARALELAS21
3.9 SEMIRRETA21
3.10 ÂNGULO21
3.10.1 Classificação de ângulos2
3.10.2 Bissetriz2
3.1 PERPENDICULARES2
3.12 MEDIATRIZ23
3.13 CONJUNTO CONVEXO23
3.14 DISCO23
3.15 SEMIPLANO23
3.16 POLÍGONO23
3.16.1 Polígono convexo23
3.16.2 Polígono regular24
3.17.1 Arco de círculo24
3.17.2 Corda25
3.17.3 Círculo circunscrito25
3.17.4 Círculo inscrito25
3.18 TRIÂNGULO25
3.18.1 Cevianas26
3.18.2 Classificação dos triângulos26
3.18.3 Elementos notáveis do triângulo26
3.18.4 Pontos notáveis do triângulo26
3.19 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS27
3.19.1 Casos de congruência:27
3.20 TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA27
3.21 SEMELHANÇA de triângulos28
3.21.1 Casos de semelhança28
3.2 Região poligonal28
3.23 ÁREA28
3.24 PERÍMETRO29
3.25 QUADRILÁTEROs29
3.26 EQUIVALÊNCIA DE Polígonos29
3.27 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA EQUIVALÊNCIA29
3.28 TEOREMA DE TALES30
3.29 TEOREMA DE PITÁGORAS30
3.30 PROBLEMA GERAL DE QUADRATURA30
4 EXPLORAÇÃO DE FUNÇÕES31
4.1 FUNÇÃO31
4.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO31
4.3 PARTE ALGÉBRICA31
4.4 EQUAÇÕES32
5 criação de ferramentas, ANIMAÇÕES E EXPORTAÇÃO34
6 REFERÊNCIAS36
7.1 Atividade 01 – Ponto, reta e segmento 0138
7.2 Atividade 02 – Ponto, reta e segmento 0239
7.3 Atividade 03 – Círculos39
7.4 Atividade 04 – Arcos40
7.5 Atividade 05 – Segmento, ponto médio, mediatriz e perpendicular40
7.6 Atividade 06 – Paralelas40
7.7 Atividade 07 – Ângulos e bissetrizes41
7.8 Atividade 08 – Triângulos41
7.9 Atividade 09 – Construção de triângulos a partir de elementos dados43
7.9.1 Construir triângulo ABC, sendo dados:43
7.9.2 Construir o triângulo ABC, retângulo em A, dados:43
7.9.3 Construir triângulo ABC, dados dois ângulos B =60° e C =45°, e43
hc=2,5cm4
7.9.5 Construir o triângulo ABC, dados4
7.10 Atividade 10 – Congruência45
7.1 Atividade 1 – Áreas e perímetro45
7.12 Atividade 12 – Quadriláteros45

7.9.4 Construir o triângulo ABC dadas as três alturas. ha=4,5cm, hb=3,5cm e 7.13 Atividades 13 – Construção de quadriláteros a partir de elementos dados 46

7.13.1 Construir um quadrado dados:46
7.13.2 Construir um retângulo dados:46
7.13.3 Construir um losango dados:46
7.13.4 Construir um paralelogramo ABCD dados:46
7.13.5 Construir um trapézio ABCD dados:47
7.13.6 Construir um trapézio isósceles dados:47
7.13.7 Construir um trapézio retângulo em A dados:47
7.14 Atividade 14 – Tales47
7.15 Atividade 15 – Semelhança48
7.16 Atividade 16 – Equivalência de áreas48
7.19 Atividade 19 – Macros50

O GeoGebra é um software de acesso livre, (é permitido utilizar, copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais) e por isso mesmo poder vir a ser um importante aliado dos professores como recurso metodológico. Permite a abordagem de diversos conteúdos trabalhados na Educação Básica (Ensino Fundamental e Médio), especialmente Geometria e Funções.

Por meio da construção interativa de figuras e objetos, podemos melhorar a compreensão dos alunos através da visualização, percepção dinâmica de propriedade, estímulo heurístico à descoberta e obtenção de conclusões "validadas" na experimentação.

O presente trabalho é fruto de uma pesquisa, que tem como principal objetivo formular material didático de apoio ao professor, apresentando instruções de utilização do programa na abordagem de conteúdos matemáticos. O uso do software facilita a compreensão e aprofundamento dos conceitos por parte dos alunos. Pretendemos mostrar que é possível utilizá-lo como ferramenta que desperte no aluno, de níveis fundamental e médio, o interesse pela busca do conhecimento matemático através da dinamicidade presente no GeoGebra.

1 CONTEÚDOS MATEMÁTICOS DOS PCN’S

O GeoGebra possibilita trabalhar de forma dinâmica em todos os níveis da

Educação Matemática. A abordagem que apresentamos está embasada nas exigências dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’S), tanto do Ensino Fundamental quanto do Médio, apresentamos a seguir os conteúdos que serão abordados em cada nível. Lembrando que o leque de possibilidades e de aplicações está em constante estudo e desenvolvimento por nossa equipe, a presente apostila retrata o estágio atual do trabalho.

1.1 TÓPICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

Vários conteúdos matemáticos que estão presentes nos PCN’S terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental, podem ser abordados de forma dinâmica em sala de aula com a utilização do GeoGebra. São exemplos: o estudo de figuras planas, perímetros, áreas, medida de ângulos, os Teorema de Tales e Pitágoras, o Teorema Fundamental da Semelhança, eixos coordenados e planos cartesianos.

1.2 TÓPICOS DO ENSINO MÉDIO

Da mesma forma as sugestões para aplicação do software no Ensino Médio são: a) No primeiro ano: noções de funções, trigonometria do triângulo retângulo.

Geometria plana (semelhança, congruência e representações de figuras planas). b) No segundo ano: funções trigonométricas. Trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta. Comprimentos, perímetros e áreas, c) No terceiro ano: geometria analítica: representações do plano cartesiano e equações; interseção e posições relativas de figuras planas.

2 CONHECENDO O GEOGEBRA

2.1 ORIGEM

O programa desenvolvido por Markus Hohenwarter, professor da

Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o estudo da Matemática, e de maneira a facilitar sua utilização, pode ser encontrado com facilidade em sites de busca ou no endereço: w.geogebra.at Reunindo Geometria, Álgebra e Cálculo, o software permite relações entre suas respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino.

2.2 INSTALAÇÃO DO PROGRAMA

Primeiramente, deve-se baixar a última versão do software GeoGebra, procedendo da seguinte forma: 1. Acessar o site: w.geogebra.org 2. Clicar na opção Download que fica na coluna esquerda da tela. 3. Clicar em: Download GeoGebra . 4. Aparecerá em parte da tela, a figura 1 desta atividade, onde deverá selecionar a opção de acordo com o seu sistema operacional. 5. No caso do Windows, ao aparecer a próxima tela,clicar em salvar. 6. Criar uma pasta para o GeoGebra, clicando em nova pasta. 7. Dar dois cliques na nova pasta para selecioná-la, em seguida clicar em SALVAR.

Ilustração 1 - Janela de download

8. Aguardar
16. Aguardar a instalação

12 9. Ao concluir o donwload, clicar em FECHAR. 10. Abrir o ícone GeoGebra, que deverá estar na pasta escolhida. 1. Abrir o arquivo GeoGebra, com um clique duplo. 12. Clicar em EXECUTAR. 13. Selecionar o idioma, e clicar no botão OK. 14. Clicar em AVANÇAR. 15. Selecionar Aceito os termos do Contrato de Licença (após ler, é claro!) e clicar no botão Avançar em cada tela que for aparecendo. 17. Clicar em AVANÇAR e em seguida em CONCLUÍDO. 18. Finalmente aparecerá a tela do GeoGebra para iniciar o trabalho.

Observação: Caso não consiga executar o programa, será necessário baixar a máquina virtual Java, a partir do site http://www.java.com/getjava/

2.3 RECONHECIMENTO DO PROGRAMA

Vamos então conhecer a interface do GeoGebra. Ao acessar o programa temos uma janela como a seguinte.

Ilustração 2 - Tela inicial do GeoGebra

Observamos que a janela inicial está dividida em duas: à esquerda a parte algébrica, que pode ser fechada se necessário, e à direita a parte geométrica. Para reativar a parte algébrica basta ir ao item exibir do menu e clicar em “janela de álgebra”. Neste mesmo item podemos ativar/desativar os eixos, a malha e o protocolo de construção. Na tela inicial ainda temos a barra de ferramentas de acesso rápido:

Ilustração 3 - Barra de ferramentas de acesso rápido

Cada ícone desta barra tem várias opções, relacionadas com as funções descritas no desenho do ícone. Estas opções são acessadas clicando na seta do canto inferior direito de cada ícone.

Exploraremos algumas delas na sequência, para conhecermos seus nomes e utilidades. A exploração das ferramentas é fundamental para execução dos exercícios.

Para ativar cada função na parte geométrica é necessário primeiro clicar no ícone depois na janela geométrica, conforme instruções do menu de conversação que está localizado ao lado da barra de ferramentas.

Faremos o detalhamento de apenas um dos ícones e apresentaremos na sequência todas as opções disponíveis em cada ícone. Durante a realização das atividades, teremos oportunidade de explorar a maioria das ferramentas presentes no programa.

Devemos ficar alerta para dois aspectos especiais do programa: o sistema decimal recebe ponto em vez da vírgula, e a cópia de qualquer figura da tela (para colar no Paint, por exemplo) deve ser feita selecionando o que queremos e ir em “arquivo”, “exportar”, “copiar para a área de transferência (Ctrl+Shift+C)”.

Neste momento iniciaremos a exploração dos ícones da barra de ferramentas de acesso rápido do GeoGebra:

Ilustração 4 - Ícone seleção

Ilustração 5 - Ícone ponto As opções do ícone ponto são as seguintes:

Novo ponto: para criá-lo você precisa clicar primeiro no ícone, e depois na parte geométrica. O ponto será carregado na tela enquanto o botão do mouse não for solto, só depois disso é que o ponto será criado efetivamente. Durante o movimento, as coordenadas aparecem na parte algébrica, se ela estiver ativada.

Interseção de dois objetos: pode ser selecionando dois objetos e os pontos de interseção serão marcados. A outra opção é clicar na interseção dos objetos, mas neste caso somente este ponto será marcado.

Ponto médio ou centro: para utilizar esta ferramenta, clique em: - dois pontos para encontrar o ponto médio;

- em um segmento para encontrar seu ponto médio;

- em uma secção cônica para obter seu centro.

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