Livro de Mecanica clássica em espanhol

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Apendice A

Resumen de algebra vectorial y tensorial

Se resumen aquı algunos conceptos y definiciones importantes de vectores y tensores, con pretension de sencillez y brevedad. En aras de esta sencillez, nos limitaremos al espacio Euclıdeo ordinario E3 y a coordenadas cartesianas.

A.1. Escalares, puntos y vectores

En lo que sigue restringiremos nuestra atencion a los numeros reales R y el espacio geometrico ordinario E3, espacio afin de dimension 3 y dotado de la metrica euclıdea.

Los elementos α ∈ R se denominan escalares y pueden considerarse como tensores de orden cero.

Los elementos A ∈ E3 se denominan puntos. El segmento orientado con origen en un punto A y final en otro B se denomina vector:

El conjunto de los vectores, junto con las operaciones de suma de vectores mediante la regla del paralelogramo y producto por un escalar tiene la estructura de espacio vectorial, denominandose V, espacio vectorial asociado a E3.

A.1

A.2 Apendice A. RESUMEN DE ALGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL

A.2. Producto escalar y vectorial

El modulo de un vector es la distancia entre los puntos origen y final del mismo, |v|= |−−→AB|= dist(A,B). El producto escalar de dos vectores es un escalar ∈ R, cuyo valor se define geometricamente como siendo θ el angulo formado por u y v. Cuando el producto escalar de dos vectores es nulo (u · v = 0) se dice que son normales o perpendiculares. El producto escalar es conmutativo, es decir,

A.3. Bases y coordenadas

El espacio vectorial euclıdeo V tiene dimension 3, es decir que se puede establecer una base de 3 vectores linealmente independientes (e1,e2,e3) que permite expresar un vector cualquiera v ∈ V como combinacion lineal,

Los coeficientes (v1,v2,v3) se denominan coordenadas de v en la base

(e1,e2,e3). Se puede escoger esta base de forma que sea ortonormal, es decir formada por vectores unitarios y mutuamente perpendiculares, veri- ficandose

(Donde los coeficientes δij o deltas de Kronecker se definen por δij = 0 si i 6= j y δij = 1 si i = j). En lo que sigue, salvo indicacion expresa en contra, supondremos siem- pre bases ortonormales1. Se denomina sistema de referencia cartesiano al conjunto {O;ei} formado por un punto O ∈ E3 y una base {ei} para el espacio vectorial asociado V. De esta forma, las coordenadas cartesia- nas de un punto X ∈ E3 se definen como las coordenadas del vector

En funcion de sus coordenadas en una base ortonormal, el producto escalar de dos vectores puede expresarse como

i=1 uivi = uivi. (A.6)

1Esta restriccion da lugar a los denominados tensores cartesianos.

Aptdo. A.4. Tensores de orden dos A.3

En esta formula y en lo que sigue, con objeto de simplificar la notacion, siempre que en un monomio haya unındice repetido dos veces se entendera que la expresion se suma sobre el rango del ındice, salvo que se indique expresamente lo contrario.

Mediante el producto escalar se puede asociar a un vector cualquiera v ∈ V una aplicacion lineal v[ : V → R, de forma que le haga corresponder su producto escalar por v:

V 3 x 7→ v · x ∈ R. (A.7) Esta propiedad permite identificar los vectores como tensores de orden uno.

A.4. Tensores de orden dos

Se denomina tensor de orden dos sobre un espacio vectorial V a una aplicacion lineal T : V → V, de forma que

El conjunto de tensores de orden dos sobre V se denota por V2. Se define el tensor nulo O ∈ V2 por O·v = 0 ∀v ∈ V, y el tensor identidad o unidad 1 ∈ V2 por 1 · v = v ∀v ∈ V. Ademas, en V2 se definen las propiedades y operaciones siguientes.

1. Igualdad. Dos tensores S,T ∈ V2 son iguales si y solo si

3. Producto por un escalar. Dado S ∈ V2 y α ∈ R se define el producto αS ∈ V2 por

A.4 Apendice A. RESUMEN DE ALGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL

4. Producto o composicion de tensores. Dados S,T ∈ V2 se define el producto S · T ∈ V2 por

Con estas definiciones, es facil comprobar que la suma de tensores es conmutativa y asociativa, ası como el producto por un escalar. Asimismo, el producto por un escalar y el producto de tensores son distributivos respecto de la suma.

Se definen las componentes de un tensor S en una base cualquiera {ei} como los coeficientes escalares

Por tanto, la expresion en componentes de la aplicacion de un tensor sobre un vector es v = S · u ⇒ vi = ei · v = ei · (S · ujej) = Sijuj. (A.14) Las componentes de un tensor se pueden escribir en forma de matriz,

indicando el primer ındice fila y el segundo columna de la matriz. Notese que para diferenciar la matriz de componentes del tensor respecto del tensor mismo se emplea la notacion [S] en lugar de S. La definicion de un tensor es intrınseca, independiente de la base, mientras que sus componentes son distintas segun la base elegida. Analogamente, escribiremos las componentes de un vector v en una base

(e1,e2,e3) mediante una matriz columna {v} (el empleo de llaves indicara la estructura de matriz columna). La traspuesta de esta sera una matriz fila, que denotaremos por ‖v‖ = {v}T (el empleo de doble barra vertical indicara la estructura de matriz fila):

De esta forma, en una base dada, el producto de tensores se traduce en el correspondiente producto de matrices,

Aptdo. A.5. Cambio de base A.5

Por otra parte, el desarrollo de un vector en funcion de los vectores de la base puede expresarse mediante la matriz formada por estos ultimos,

El producto tensorial (tambien llamado diadico) de dos vectores a y b se define como un tensor de orden dos, de acuerdo a

u = (a ⊗ b) · v ⇒ ui = aibjvj. (A.20) Las componentes del tensor a ⊗ b son

Mediante el producto tensorial de los vectores de la base, se puede escribir el desarrollo de un tensor en funcion de sus componentes,

A.5. Cambio de base

Establezcamos un cambio de base, desde {ei} a una nueva base {e′i}, ambas ortonormales. El cambio se puede caracterizar mediante un tensor

A que transforma los vectores de la antigua base en los de la nueva:

Desarrollando las componentes de los nuevos vectores e′i en la base ei,

Empleando la matriz de coordenadas [A] = [Aij] en la base {ei}, esta relacion puede formularse matricialmente como

A.6 Apendice A. RESUMEN DE ALGEBRA VECTORIAL Y TENSORIAL

Las componentes de [A] tienen el significado siguiente:

Asimismo, puede obtenerse una expresion directa del tensor de cambio mediante:

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