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Introdução à Solução de Problemas de EngenhariaIntrodução à Solução de Problemas de EngenhariaIntrodução à Solução de Problemas de Engenharia

Faculdade deEngenhariaLaboratório de Engenharia Elétrica

Programa Prodenge / Sub-Programa Reenge Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Curso deMATLAB 5.1Curso de MATLAB 5.1

2a EDIÇÃORevista e Ampliada

2a EDIÇÃO Revista e Ampliada

I

Curso de MATLAB

Estas notas sobre o uso da versão 5.1 do MATLAB são o resultado do trabalho persistente dos alunos da Faculdade de Engenharia da UERJ, bolsistas de iniciação Tecnológica do Projeto REENGE - Joana Figueiredo Konte, Jorge Luís Pinheiro Teixeira, Pat Evie Alves - e da estagiária Luciana Faletti que se encarregaram de dar corpo à segunda edição de um curso de Introdução à Solução de Problemas de Engenharia usando a metodologia da Profa. Delores M. Etter, autora da obra ‘ Engeneering Problem Solving with MATLAB ’ que inspirou, de perto, a confecção desta apostila. A este grupo entusiasmado de jovens, aderiram outros estagiários do Laboratório de Engenharia Elétrica, como Hélio Justino Mattos Filho. A todos eles os cumprimentos pelo êxito e pela forma como se envolveram de corpo e alma na execução das tarefas. O sucesso obtido na implementação de ambos os cursos não é sem dúvida fruto de uma obra isolada. Dela participaram, com entusiasmo a equipe tecnicoadministrativa do Laboratório de Engenharia Elétrica, cujos membros contribuíram com a dedicação que lhes é peculiar, através do suporte e infra-estrutura e o envolvimento direto com os alunos e com a coordenação do projeto. Um muito obrigado à equipe formada pelos funcionários Alberto Avelar Santiago, André Vallim Stachlewski, José Emílio Gomes, Jair Medeiros Júnior, João Elias Souza da Costa, Luiz Roberto Franco Fagundes Filho, Marcos Augusto Mafra, Antônio Marcos Medeiros Corrêa, Sueli Ferreira dos Santos e pela Srta. Carla Aparecida Caldas de Almeida, do curso de Pós- Graduação ‘latu-senso’ em Engenharia Mecatrônica da UERJ. Uma palavra de reconhecimento especial ao diretor Dr. Nival Nunes de Almeida, coordenador geral do REENGE, pelo apoio e pelo incentivo dado à viabilização de inúmeras atividades no âmbito da faculdade como um todo e do LEE em particular. À Profa. Maria Eugênia Mosconi de Golveia, vice-diretora da faculdade de Engenharia uma palavra de gratidão pelo empenho em viabilizar juntamente com o diretor as solicitações de estágio interno no LEE. Ao grupo de colaboradores silenciosos da administração pelo apoio nas atividades no âmbito de suas competências, o obrigado sincero da Orientação do trabalho. Ao CNPq que patrocinou as bolsas que permitiram este trabalho mediante os recursos alocados pela FINEP, o nosso agradecimento.

Bernardo Severo da Silva Filho Orientador e chefe do Lab. De Engenharia Elétrica

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Índice

Método Simples6 Arquivos MAT e ASCII6 Operador dois pontos8 Comando Input8 Imprimindo matrizes 1 Comando format11 Comando disp12 Comando fprintf12

Magic Square17 Matriz de Zeros17 Matriz de um’s17 Matriz identidade17 Triângulo de Pascal17

Hierarquia em operações aritméticas19 Limites Computacionais 21

Funções matemáticas elementares30 Funções trigonométricas 31 Funções hiperbólicas 32 Funções de Arquivos M32 Aplicação à solução de problemas: sinais de sonar34

Operações aritméticas com complexos37 Coordenadas polares e retangulares37

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Comando break47 Aplicação à solução de problemas: fibras óticas47

Desvio médio, variância e desvio padrão56 Comando sort60 Histograma 61 Aplicação à solução de problemas: análise do sinal de voz64

Função número aleatório66 Função Densidade de Probabilidade66 Modelo uniforme68 Modelo normal68 Histograma: comando hist71 Aplicação à Solução de Problemas: simulador de vôo73

Energia de um sinal75 Cálculo de SNR76 Adicionando um ruído a um sinal existente77

Matriz transposta79 Somatório de produtos79 Comando sum80 Multiplicação de matrizes80 Matriz Power81 Matriz inversa81 Determinante 82 Aplicação à Solução de Problemas: peso molecular de proteínas82

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Comando rot9084 Comando fliplr84 Comando flipud84 Comando reshape85 Comando diag85 Comando triu86 Comando tril87 Aplicação à Solução de Problemas: alinhamento de imagens87

Coordenadas retangulares 91 Legendas 91

Coordenadas Polares 92 Transformações retangular/polar 93 Gráficos de barras e degrau94

Divisão de matrizes104 Matriz Inversa104 Aplicação à Solução de Problemas: análise de um circuito elétrico105

Interpolação linear 107 Função table1107 Função table2109 Comando spline110 Aplicação à Solução de Problemas: braço robótico112

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Comando polyval115

Regressão Linear113 Comando polyfit114

Comando polyval116 Operações Aritméticas 117 Aplicação à Solução de Problemas: balões meteorológicos118

Regra Trapezoidal e Regra de Simpson122 Comando Quadratura 122 Aplicação à Solução de Problemas: análise de escoamento de um óleo num oleoduto123

Derivação por expressão de diferença126 Comando diff127

Aproximação de Primeira Ordem (método de Euler)130 Comando ODE131 Aplicação à solução de problemas: aceleração de uma turbina UDF numa aeronave133

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Fatoração Triangular 143 Fatoração QR144

Função de Transferência Analógica149 Função de Transferência Digital151

Filtros IIR156 Filtros FIR157 Aplicação à solução de problemas: filtros para separação de canais158

Transformada de Laplace173 Transformada de Fourier173 Transformada Z174

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Cap. 1 - Uma Introdução à Solução de Problemas1

Capítulo 1 – Uma Introdução à Solução de Problemas

A solução de problemas é parte essencial não somente dos cursos de engenharia mas também dos cursos de Matemática, Física, Química e Ciência da Computação. Logo, é importante uma base sólida em solução de problemas. Também é de grande auxílio um embasamento suficiente para trabalhar em todas estas áreas, para que não tenhamos que aprender uma técnica para problemas de matemática, e uma técnica diferente para problemas de física, e assim por diante. A técnica de solução de problemas que apresentamos trabalhos para problemas de engenharia e pode ser seguida de perto para resolver problemas em outras áreas; mas, supõe-se que estamos usando o MATLAB para ajudar a resolvê-los.

O processo ou metodologia para resolução de problemas que usaremos ao longo do texto possui cinco passos:

Descreveremos cada um dos passos usando o exemplo do cálculo da distância entre dois pontos em um plano.

O primeiro passo é enunciar o problema claramente. É extremamente importante que o enunciado seja conciso para evitar desentendimentos. Para este exemplo, o enunciados do problema é: Calcule a distância em linha reta entre dois pontos num plano.

O segundo passo é descrever cuidadosamente a informação que é dada para resolver o problema e então identificar os valores a serem calculados. Estes itens representam a entrada e a saída para o problema e agregadamente podem ser chamados entrada/saída, ou I/0. Para muitos problemas, é útil usar um diagrama que mostra a entrada e a saída. Algumas vezes, este tipo de diagrama é chamado de “caixa preta” porque não estamos definindo para este ponto todos os passos para determinar a saída, mas estamos mostrando a informação que é usada para calcular a saída. Para este exemplo, poderíamos usar o diagrama na figura 1.1.

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Cap. 1 - Uma Introdução à Solução de Problemas2

Figura 1.1 – Diagrama I/O 3. EXEMPLO MANUAL

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