Apostila Matemática Básica 09 (Mackenzie) Trigonometria

Apostila Matemática Básica 09 (Mackenzie) Trigonometria

A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo.

Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por Be por C as medidas dos ângulos internos, respectivamente nos vértices B e C.

TEOREMA DE PITÁGORAS:Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.

Definições: 1.Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

abhipotenusa BânguloaoopostocatetoBsen achipotenusa CânguloaoopostocatetoCsen

2.Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

achipotenusa BânguloaoadjacentecatetoBcos abhipotenusa CânguloaoadjacentecatetoCcos

3.Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos catetosoposto e adjacente a esse ângulo.

cb Bânguloaoadjacentecateto

bc Cânguloaoadjacentecateto

Observação:

Note que Bcos a c a b

Em geral, utilizaremos xcos xsen xtg , para o ângulo x.

VALORES NOTÁVEIS 1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a.

)30(sen
)60(sen

2) Considere o quadrado de medida de lado a.

)45(sen

Resumindo:

Dados dois pontos distintos A e B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes, denominadas arcos, que indicaremos porou .

As unidades usuais para arcos de circunferência são: grau e radiano.

Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Definimos:

GRAU: é o arco unitário correspondente a 360

1 da circunferência que contém o arco a ser medido.

RADIANO: é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. (oradiano571 )

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, possibilitando a obtenção da equação de conversão de unidades, através de uma regra de três simples, em que é a medida em graus e em radianos.

medida em grausmedida em radianos
180

Considere uma circunferência orientada, de centro O e raio unitário. Imagine um ponto A se deslocando sobre a circunferência.

Existe uma diferença muito importante para se graduar uma reta e uma circunferência: enquanto que na reta cada ponto corresponde a um único número real, na circunferência cada ponto corresponde a uma infinidade de números reais e todos diferem de múltiplos inteiros de 2 .

A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1.

Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo correspondente, de onde calculamos:

p x

A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno, definindo o chamado ciclo trigonométrico.

Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores:

sen0 = yA = 0cos0 =xA = 1 sen2 = yB= 1 cos2 =xB = 0 sen = yC= 0cos =xC = -1

sen23 = yD = 1 cos23 =xD = 0

sen2 = yA = 0cos2 =xA = 1

Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos trigonométricos.

Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente. O que é periodicidade? Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7. Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas.

Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x), fDomx . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f.

Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada.

sen(x) = sen(x + 2) = sen(x + 4) == sen(x + k2), k  Z.

Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas: 1) Seno

Seno é função periódica de período 2

cos(x) = cos(x + 2) = cos(x + 4) == cos(x + k2), k  Z.

2) Cosseno

Cosseno é função periódica de período 2

tg(x) = tg(x + ) = tg(x+ 2) == tg(x + k), k  Z.

3) Tangente Tangente é função periódica de período

Generalizando: y = a sen(kx) e y = acos(kx)p =
Generalizando: y = atg(kx)p =

Exemplos: 1) Determine o período de cada função: a). y = 3 sen(x)p = 2

e) y = cos(3x/5)p =

2) Determine o período de cada função:

a). y = tg(2x)p = 2 b). y = 2 tg(x)p =

y = sen x Propriedades a)Dom = b)Img = [-1, 1]

c)Período = 2 d)sen (-x) = - sen (x)

GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO y = cos x Propriedades a)Dom = b)Img = [-1, 1]

c)Período = 2 d)cos (-x) = cos (x)

GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE y = tg x Propriedades

b)Img = c)Período = d)tg (-x) = -tg (x)

tg x =

cotg x = x com Zk

sec x =

FÓRMULAS DE ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Sendo“a” e “b” dois números reais.

sen(a + b) = sena.cosb + cosa.senbsen(a – b) = sena.cosb – cosa.senb cos(a + b) = cosa.cosb - sena.senbcos(a – b) = cosa.cosb + sena.senb tg(a + b) = tgb.tga tgbtga 1tg(a - b) = tgb.tga tgbtga 1

Exemplos 1) Calcule a) )15cos( Solução:

FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a)

A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de multiplicação:

=cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1

cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a = sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a

tg(2a) = tg (a+a) = atg1 tga2 tga.tga1 tgatga

Ou seja, cos 2a = asenacos22 sen 2a = 2 sen a . cos a cos 2a = 2 cos2a – 1 tg 2a =

Exemplos

1) Sabendo que 3

Solução

xouk26 xRxS

FÓRMULAS DE BISSECÇÃO As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo:

Seguindo essa idéia, temos

acos acosa tg

pba , ou seja,

qp b qp a e substituindo nas fórmulas de adição e subtração, obtemos as relações de prostaférese dadas por qp cos

sen p- sen q = 2 qp cos

cos p + cos q = 2 qp cos

cos p - cos q = 2 qp sen tg p + tg q = )qcos().pcos( tg p - tg q = )qcos().pcos(

Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x,

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS lembrando que 1x1 . Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o

valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição 2y 2

Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas.

1) Função arco-seno (arcsen) tais que sen y = x.

Assim, definimos a função

Exemplos

1) Calcule a) y = arcsen(1/2) Solução

y = arcsen(1/2) sen y = 1/2 . Lembrando que y

, temos y = /6, ou seja,

b) y = arcsen(0) Solução

c) y = arcsen(-1/2) Solução

y = arcsen(-1/2) sen y = -1/2 . Lembrando que y

, temos y = /6, ou seja,

d) y = arcsen(1) Solução

2) Função arco-cosseno (arccos) A cada x [–1,1] associa-se um único y ,0 tais que cosy = x.

Exemplos

1) Calcule a) y = arccos(1/2) Solução

b) y = arccos(0) Solução

c) y = arccos(-1/2) Solução y = arccos(-1/2) cos y = -1/2. Lembrando que y ,0 temos y = 2/3, ou seja,

d) y = arccos(1) Solução

3) Função arco-tangente (arctg) tais que tg y = x.

Assim, definimos a função

Exemplos

1) Calcule a) y = arctg(1) Solução

b) y = arcsen(3) Solução

y = arctg(3) tg y = 3 . Lembrando que y

, temos y = /3, ou seja,

c) y = arctg(-1) Solução

EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA 1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado:

2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível traçar um triângulo retângulo. (norte) A

5 milhas
(leste)
(sul) B

3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28 dias. a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia? b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à lua de 385.000km).

4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno, cosseno e tangente.

a)1470ºb) –1020ºc) 4

(a) sen 1620º(b) sen (-990º)

5) Determine o valor de

6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule: a) sen (a+b)b) cos(a-b)c) tg (a+b)

Se o barco percorreu 5 milhas na direção leste, quanto ele teve que andar para retornar á rota original?

7) Resolva a expressão matemática a) x = sen ( /6)- cos (2 /3)-3*sen( ) b) y=tg( /4)+2*sen(5 /6) – [sen ( /3)-cos( /6)]

8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é: a) –1b)-0,5c) zerod)0,5e) 1,0

10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a imagem e o período: a) y = 4 sen xb) y=1 - sen xc) y = 2 sen x/4

1) Calcule : a) sen (9 /4) e cos (9 /4)

b) sen (-2/3) esen (-2/3)

c) sen 8 e cos8

a) sen =1;cos=-1; tg=1; sec=1;
b) sen =0;cos=0; tg=0; sec=0;
c) sen = -1/2;cos= 1/2; tg= -1; sec=2.

12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2 ) que satisfaça as equações:

a) y = sen (8)b) z= 4 sen (8)
c) x = cos (4/7)d) p=3 cos(/4+/2)

13. Determine o período das funções:

sen)sen()sen( .

a) sen ( -)b) sen (  + ) c) cos (/2 -)

15. Sabendo-se que sen = -1/3, calcule:

a) sen (+/2)b) cos75º c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /2+/3)

16. Usando as fórmulas de adição, calcule:

18. Mostre que

1) a) 2

1 tg ,

5senb)

3 tg ,

4 cos ,

2) 52 3) a) /14 radb) 770.0 km

4) a) 1470º equivale a 30º portando sen 30º = ½; cos 30º = 3/2 e tg 30º = 3/3

b) – 920 º equivale a 60º portando sen 60º = 3/2 , cos 60º =1/2 e tg 60º = 3
c) 25/4 equivale a /4 portando sen /4 = 2/2 , cos /4 = 2/2 e tg /4 = 1
d) -5/2 equivale a 3/2 portando sen 3/2 = -1 , cos 3/2 = 0 e tg 3/2 = indefinida

5) a) zerob) 1

6) a) 1b) 3/2c)indefinido

7) a) -1b) 2 8) e 9) a) 2 sen xb) -sen x -cos x

10) a) Dom = , Im = [-4, 4], p=2b) ) Dom = , Im = [0, 1], p=2
c) Dom = , Im = [-2, 2], p=8
12) a) /2,, /4 e 5/4, 0
b) 0 e , /2 e 3/2, 0 e , /2 e 3/2
c) 7/6 e 1/6, /3 e 5/3, 3/4 e 7/4, /3 e 5/3

1) a) 2/2 e 2/2 b) -3/2 e -1/2c) 0 e 1 13) a) /4b) /4c) 7 /2d) 8

14) –2sen 15) a) – 1/3b) 1/3c) -1/2

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