Baixe Apostila Matemática Básica 09 (Mackenzie) Trigonometria e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! TRIGONOMETRIA A trigonometria é uma parte importante da Matemática. Começaremos lembrando as relações trigonométricas num triângulo retângulo. Num triângulo ABC, retângulo em A, indicaremos por B̂ e por Ĉ as medidas dos ângulos internos, respectivamente nos vértices B e C. TEOREMA DE PITÁGORAS: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. 222 cba  Definições: 1. Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. a b hipotenusa B̂ânguloaoopostocateto B̂sen  a c hipotenusa Ĉânguloaoopostocateto Ĉsen  2. Em todo triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. a c hipotenusa B̂ânguloaoadjacentecateto B̂cos  a b hipotenusa Ĉânguloaoadjacentecateto Ĉcos  3. Em todo triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida dos catetos oposto e adjacente a esse ângulo. c b B̂ânguloaoadjacentecateto B̂ânguloaoopostocateto B̂tg  b c Ĉânguloaoadjacentecateto Ĉânguloaoopostocateto Ĉtg  Observação: Note que B̂cos B̂sen a c a b c b B̂tg  . Em geral, utilizaremos xcos xsen xtg  , para o ângulo x. VALORES NOTÁVEIS 1) Considere o triângulo eqüilátero de medida de lado a. 2 1 a 2 a )30(sen  2 3 a 2 3a )30cos(  3 3 3 1 2 3a 2 a )30(tg  2 3 a 2 3a )60(sen  2 1 a 2 a )60cos(  3 2 a 2 3a )60(tg  A figura a seguir ilustra a graduação, em radianos, de uma circunferência de raio 1. Ao marcarmos o ponto P na circunferência de raio 1, temos um triângulo retângulo correspondente, de onde calculamos: p p x 1 x cos  ; p p y y sen  1 ; 122  pp yx obtendo-se 1 22  sencos A figura acima mostra que no eixo x temos o valor do cosseno e no eixo y, temos o seno, definindo o chamado ciclo trigonométrico. Para os pontos A, B, C e D podemos obter os seguintes valores: sen0 = yA = 0 cos0 =xA = 1 sen 2  = yB = 1 cos 2  =xB = 0 sen = yC = 0 cos =xC = -1 sen 23  = yD = 1 cos 23  =xD = 0 sen2 = yA = 0 cos2 =xA = 1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Estudaremos as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, nos ciclos trigonométricos. Veremos a periodicidade e os gráficos das funções seno cosseno e tangente. O que é periodicidade? Para que fique bem claro o que este termo quer dizer, vamos exemplificar com os dias da semana, de 7 em 7 dias eles se repetem, chamamos este fato de periódico, e o período é 7. Estas três funções que serão apresentadas são ditas funções periódicas. Definição: Uma função f é periódica se existir um número real p > 0 tal que f(x+p) = f(x), fDomx . Neste caso, o menor valor de p que satisfaz tal condição é chamado período de f. Observação: o gráfico de uma função periódica é caracterizado por ter seu “desenho” se repetindo. Assim, para desenharmos a curva toda, basta desenharmos a parte correspondente a um período e copiar à direita e à esquerda infinitas cópias da parte desenhada. Vamos analisar a periodicidade destas três funções trigonométricas: 1) Seno sen(x) = sen(x + 2 ) = sen(x + 4 ) =..... = sen(x + k2 ), k  Z. Seno é função periódica de período 2 2) Cosseno cos(x) = cos(x + 2 ) = cos(x + 4 ) =..... = cos(x + k2 ), k  Z. Cosseno é função periódica de período 2 3) Tangente tg(x) = tg(x +  ) = tg(x+ 2 ) =..... = tg(x + k ), k  Z. Tangente é função periódica de período  Generalizando: y = a sen(kx) e y = a cos(kx) p = k 2 Generalizando: y = a tg(kx) p = k  Exemplos: 1) Determine o período de cada função: a). y = 3 sen(x) p = 2 b) y = 3 sen(2x) p =   2 2 c). y = 2 sen(x/2) p =   4 2/1 2 d) y = 3 cos(2x) p =   2 2 e) y = cos(3x/5) p = 3 10 5/3 2    2) Determine o período de cada função: a). y = tg(2x) p = 2  b). y = 2 tg(x) p =  a). y = tg(x/2) p =   2 2/1 FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO: ARCO DUPLO (2a) A partir das fórmulas de adição e subtração, podemos obter as seguintes fórmulas de multiplicação: cos(2a) = cos(a+a) = cos a cos a – sen a sen a = cos2a – sen2a = =cos2a –(1- cos2a ) = 2 cos2a -1 sen(2a) = sen(a+a) = sen a cos a + sen a cos b = 2 sen a cos a tg(2a) = tg (a+a) = atg1 tga2 tga.tga1 tgatga 2    Ou seja, cos 2a = asenacos 22  sen 2a = 2 sen a . cos a cos 2a = 2 cos2a – 1 tg 2a = .atg1 tga2 2 cos 2a= 1 – 2 sen2a Exemplos 1) Sabendo que 3 1 )x(tg  , calcule tg(2x). Solução tg(2x) = 4 3 8 9 3 2 9 8 3 2 9 1 1 3 1 2 .xtg1 xtg2 2      2) Resolva a equação 1)x(sen3)x2cos(  . Solução 02)x(sen3)x(sen2 1)x(sen3)x(sen)x(sen1 1)x(sen3)x(sen)x(cos 1)x(sen3)x2cos( 2 22 22     Resolvendo a equação de 2º grau em sen(x), temos: 25169)2(2432  xexistenão2 4 53 ou k2 6 5 xouk2 6 x 2 1 4 53 4 53 )x(sen            Conjunto solução:            Zk,k2 6 5 xouk2 6 xRxS FÓRMULAS DE BISSECÇÃO As fórmulas de bissecção podem ser obtidas do seguinte modo: 2 )b2cos(1 bsen)b2cos(1bsen2bsen21)b2cos( 222   e, se considerarmos b= 2 a , obtemos 2 1 2 2 acosasen   . Seguindo essa idéia, temos 2 1 2 2 acosasen   2 1 2 2 acosacos   acos acosa tg    1 1 2 2 RELAÇÕES DE PROSTAFÉRESE Fazendo      qba pba , ou seja,           2 qp b 2 qp a e substituindo nas fórmulas de adição e subtração, obtemos as relações de prostaférese dadas por sen p + sen q = 2 qp cos 2 qp sen2     sen p - sen q = 2 qp cos 2 qp sen2     cos p + cos q = 2 qp cos 2 qp cos2     cos p - cos q = 2 qp sen 2 qp sen2     tg p + tg q = )qcos().pcos( )qp(sen  tg p - tg q = )qcos().pcos( )qp(sen  FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Nosso problema agora é procurar, se existirem, valores de y para os quais sen y = x, lembrando que 1x1  . Dado x, o valor de y correspondente tal que sen y = x determina uma função. Mas, para que o valor de x determinado seja único, teremos que usar a restrição 2 y 2    . Para solucionarmos esta questão, temos que estudar as funções trigonométricas inversas. 1) Função arco-seno (arcsen) A cada x  [–1,1] associa-se um único y      2 , 2 tais que sen y = x. Assim, definimos a função arcsen : [–1,1]      2 , 2 x )x(arcseny  3) Função arco-tangente (arctg) A cada x  [–1,1] associa-se um único y        2 , 2 tais que tg y = x. Assim, definimos a função arcsen : [–1,1]        2 , 2 x )x(arctgy  Exemplos 1) Calcule a) y = arctg(1) Solução y = arctg(1)  tg y = 1 . Lembrando que y        2 , 2 , temos y =  /4, ou seja,   4 1arctg   . b) y = arcsen( 3 ) Solução y = arctg( 3 )  tg y = 3 . Lembrando que y        2 , 2 , temos y =  /3, ou seja,   3 3arctg   . c) y = arctg(-1) Solução y = arctg(-1)  tg y = -1 . Lembrando que y        2 , 2 , temos y =  /4, ou seja,   4 1arctg   . EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA 1) Em cada um dos casos, calcule o seno, o cosseno, a tangente do ângulo agudo assinalado: 2) Um barco deveria sair do porto da cidade A e ir até o porto da cidade B em uma linha reta, (no sentido norte-sul). Entretanto, uma correnteza fez com que o barco sofresse um desvio de na direção leste. Ultrapassando o trecho de correnteza o capitão necessitou efetuar uma correção no rumo no barco de 45º para a esquerda, de tal forma que ao reencontrar a rota original é possível traçar um triângulo retângulo. (norte) A 5 milhas (leste) (sul) B 3) A lua é satélite natural da Terra e faz uma revolução em torno do sol em aproximadamente 28 dias. a) De quantos radianos é o movimento da lua em um dia? b) Qual a distância percorrida pela lua em uma revolução completa? (adote a distância da terra à lua de 385.000km). 4) Reduza os arcos à primeira volta, represente-os graficamente e calcule o valor de seu seno, cosseno e tangente. a)1470º b) –1020º c) 4 25 d) 2 5  5) Determine o valor de (a) sen 1620º (b) sen (-990º) 6) Sendo sen a = 1/2 e cos b = -1/2, sabendo que a e b são arcos do 2º quadrante, calcule: a) sen (a+b) b) cos(a-b) c) tg (a+b) Se o barco percorreu 5 milhas na direção leste, quanto ele teve que andar para retornar á rota original? 7) Resolva a expressão matemática a) x = sen (/6)- cos (2/3)-3*sen() b) y = tg(/4)+2*sen(5/6) – [sen (/3)-cos(/6)] 8) (MACK) O valor se sen 55º.cos35º+sen35º.cos55º é: a) –1 b) -0,5 c) zero d)0,5 e) 1,0 9) Simplifique as expressões: a) )x5(sen)x9(sen  b) sen (x-900º) + cos (x-540º) 10) Construa o gráfico (dois períodos completos) das seguintes funções, explicitando o domínio, a imagem e o período: a) y = 4 sen x b) y=1 - sen x c) y = 2 sen x/4 11) Calcule : a) sen (9/4) e cos (9/4) b) sen (-2/3) e sen (-2/3) c) sen 8 e cos8 12. Encontre os valores do ângulo no intervalo [0, 2) que satisfaça as equações: a) sen =1; cos=-1; tg=1; sec=1; b) sen =0; cos=0; tg=0; sec=0; c) sen = -1/2; cos= 1/2; tg= -1; sec=2. 13. Determine o período das funções: a) y = sen (8) b) z= 4 sen (8) c) x = cos (4/7) d) p=3 cos(/4+/2) 14. Simplifique a expressão          cos 2 sen)sen()sen( . 15. Sabendo-se que sen  = -1/3, calcule: a) sen (  - ) b) sen (  + ) c) cos (/2 - ) 16. Usando as fórmulas de adição, calcule: a) sen (+/2) b) cos75º c) cos (5/6), (sugestão 5/6 = /2+/3) 17. Mostre que  cossen22sen . 18. Mostre que 2 2cos 2 1 cos2   .