Apostila Matemática Básica 03 (Mackenzie) Funções

Apostila Matemática Básica 03 (Mackenzie) Funções

As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-texto (Stewart, vol1); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser

encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções importantes.

Definição: Dizemos que y é uma função de x se para cada valor atribuído a x existe em único valor correspondente para y. Neste caso, denotamos )x(fy=. O conjunto de valores que podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O

conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor x é chamado de imagem da função e é denotado por Im f ou If.

FUNÇÃO AFIM: y = ax+b î í linear ecoeficient : b angular ecoeficient : a

a < 0 D > 0 D = 0 D < 0

Observações:ac4b2-=D
D = Discriminante de f

D > 0 : 2 raízes reais diferentes

D = 0 : 2 raízes reais iguais D < 0 : raízes complexas não reais

FUNÇÃO MODULAR A função modular IRIR:f® é definida por f (x) = |x|, se:

f(x) = |x|f(x) = |x – 2|

Exemplos: 1) Resolver |3x – 2| = 2:

ou1x2 1-3x

2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3|

FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA ou

n par

n ímpar

Dom f= R Im f=R

GRÁFICOS DE nxy=

FUNÇÃO f GRÁFICO SIMETRIA DOMÍNIO D,

(função par)

(função ímpar)

eixo y (função par)

origem (função ímpar)

eixo y (função par)

f x x

(função ímpar)

D = IR – {0}

I = IR – {0}

Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a ¹1, chamamos função exponencial de base “a” a função f de IR fi IR que associa a cada x real o número ax.

x fi ax

Podemos escrever, também: f: IR fi IR

Exemplos de funções exponenciais em IR: a) f(x) = 2x

b) f(x) = x2 c) f(x) = ex d) x x e e) f(x) = 10x

1) Se a > 12) Se 0 < a < 1
função crescentefunção decrescente

O gráfico de f(x) = ax tem o seguinte aspecto:

Observamos que nos dois casos, a imagem da função exponencial é: Im = R+*. Dizemos, ainda, que a função f(x) = ax, corta o eixo y no ponto (0, 1).

A função logaritmo de x na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaixo:

b > 10 < b < 1

Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se 0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos os números reais.

As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos gráficos estão abaixo.

Função Seno

Função Cosseno

Função Tangente

Tipos importantes de funções:

Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio. Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.

Função composta: Sejam BA:gfie CgIm:ffi. A função CA:gffio dada por ())x(gf)x(gf=o é a função composta de f com g.

seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as compostas dão as funções identidades.

Resultado útil: Se c é um número real positivo então:

• O gráfico de f(x) + c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para cima. • O gráfico de f(x) - c é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para baixo.

• O gráfico de f(x + c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a esquerda. • O gráfico de f(x - c) é o gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita.

Ou seja,

Bibliografia:

Paulo, 2002. 2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.1. Atual editora. São Paulo, 2000.

1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:

a) y = x + 2 b) y = - x + 1 c) y = 2x d) d) 2 e) y = -2x +3

2) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R:

a) y = 2x2 b) y= - x2 +3x c) y = 4x – x2 d) y = 2x2 - 10x + 7

4) Construa os gráficos das seguintes funções: a) y = | x | +2 b) y = | x +2| c) y = x2 - 4 d) y = |x2 – 4|

5) Construa os gráficos das seguintes funções: a) xy=

a) () ()222yxyx+=+
b) () ()222y.xy.x=
c) () yxyx22+=+
d) () ()yxyx2+=+
e) () ()0y.x ,ylogxlogyxlog333>+=+
f) () 0y.x ,

6) Complete com verdadeiro ou falso, com x e y pertencentes aos reais.

xy yxxyy

g) () xx2=

7) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = 2x

b) g(x) = x2 c) h(x) = 2x + 2 d) f(x) = x2 æ- 3 e) g(x) = 3.2x f) h(x) = x2

8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada.

9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, explicitando o domínio, a imagem e o período: a) y = 3 sen x b) y = 2 - sen x

c) y = sen ÷ ł æ p

10) Calcule )x(gfo, )x(fgo, )x(ffo e )x(ggo para as seguintes funções:

1) Simplifique a expressão h

b) x

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES 1)

b) S=þ ý ü c) S=þ ý ü d) þ ý ü

4) a) y = | x | +2 b) y = | x +2| c) y = x2 - 4 d) y = |x2 – 4|

5) a) xy=

b) V

()0y.x,ylogxlogyxlog333>+=×

e) F O correto é f) F exemplo:

g) V

7) a) f(x) = 2x c) h(x) = 2x + 2

æ- 3 e) g(x) = 3.2xObservação: 3.2x „ 6x

f) h(x) = x2

9) a) b) c) d)

1) a) 2x-3+h

c) 2x+4+h

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