Glossário de Álgebra Linear

Glossário de Álgebra Linear

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Glossário de Álgebra Linear autoespaço O autoespaço associado ao autovalor c de uma matriz A é o núcleo da matriz A-cI. O autoespaço é um subespaço vetorial de Rn.

autovalor Um autovalor de uma matriz quadrada A é um escalar c tal que Av=cv é verdadeiro para algum vetor v não nulo.

autovetor Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não nulo V tal que Av=cv é verdadeiro para algum escalar c.

base Um conjunto de vetores {v1,...,vk} contido em um subespaço W é uma base para W, se:

a.{v1,...,vk} é linearmente independente

vetores v1,, vk se existem escalares a1, ..., ak tal que

combinação linear Um vetor v é uma combinação linear dos v = a1v1 +...+ akvk complemento ortogonal O complemento ortogonal de um subespaço S de Rn é o conjunto de todos os vetores vRn que são ortogonais a todos os vetores de S.

conjunto ortogonal Um conjunto de vetores em Rn é ortogonal se o produto escalar de quaisquer dois vetores deste conjunto é zero.

conjunto ortonormal Um conjunto de vetores em Rn é ortonormal se é um conjunto ortogonal de vetores e cada vetor tem comprimento 1.

consistente Um sistema de equações lineares é consistente se tem pelo menos uma solução. Ver: inconsistente.

coordenadas relativas a uma base Se uRn pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de uma base {v1,...,vn} de Rn u = a1v1 +...+ anvn os coeficientes a1,...,an são as coordenadas do vetor u relativo a esta base {v1,...,vn}.

dependência linear Uma relação de dependência linear para um conjunto de vetores {v1,...,vk} é uma equação da forma a1v1 +...+ akvk = Ö em que nem todos os escalares a1,..., ak são nulos.

diagonalizável Uma matriz é diagonalizável se ela é semelhante a uma matriz diagonal.

dimensão A dimensão de um subespaço W é o número de vetores em qualquer base de W. Se W é o subespaço nulo, dizemos que a sua dimensão é 0.

espaço coluna O espaço coluna de uma matriz é o subespaço gerado pelas colunas da matriz considerada como um conjunto de vetores.

espaço linha o espaço linha de uma matriz é o subespaço gerado pelas linhas da matriz considerada como um conjunto de vetores.

espaço vetorial Espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V de objetos (denominados vetores), munido de duas operações binárias: adição e multiplicação por escalar, satisfazendo às seguintes propriedades:

a.Associativa Quaisquer que sejam uV, vV e wV, tem-se que:

(u + v) + w = u + (v + w) b.Comutativa Quaisquer que sejam uV, vV e wV, tem-se que:

u + v = v + u c.Elemento neutro Existe um elemento ÖV tal que para todo vV :

Ö + v = v d.Elemento oposto Para cada vV, existe -vV tal que: v + (-v) = Ö e.Produto pelo escalar 1 Para todo vV, tem-se que: 1.v = v f.Distributiva da adição pelo escalar Para todo escalar cK e para todos vV e wV, vale:

c.(v+w) = c.v + c.w g.Distributiva dos escalares pelo vetor Para todos os escalares cK e dK e para todo vV, vale:

(c+d).v = c.v + d.v h.Associatividade mista Para todos os escalares cK e dK e para todo vV, vale:

(c.d).v = (d.c).v = c.(dv) forma escalonada por linhas Uma matriz está na forma escalonada por linhas, se:

1.Linhas nulas: Todas as linhas que são totalmente nulas são colocadas juntas na parte de baixo da matriz;

2.Pivot: O primeiro elemento não nulo (contado da esquerda para a direita) em cada linha não nula aparece em uma coluna à direita da primeiro elemento não nulo da linha anterior (se existir algum na linha anterior).

forma reduzida escalonada por linhas Uma matriz está na forma reduzida escalonada por linhas se:

1.Forma da matriz: escalonada por linhas;

2.Unitário: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o número 1, isto é, o pivot é , e

3.Unicidade do pivot: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o único elemento não nulo nesta coluna.

gera Um conjunto de vetores {v1,...,vk} gera um subespaço S se todo vetor de S pode ser escrito como combinação linear de v1,...,vk.

o subespaço S de todas as combinações lineares de v1,, vk.

gerado O subespaço gerado por um conjunto de vetores {v1,...,vk} é Afirmamos que este subespaço S é gerado pelo conjunto de vetores

{v1,...,vk} e que este conjunto de vetores gera S.

homogêneo Um sistema de equações lineares Ax=b é homogêneo se b=Ö. Se b é diferente de Ö, o sistema é denominado nãohomogêneo.

identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos da matriz são iguais a zero. Ver matriz identidade.

imagem de uma transformação linear A imagem da transformação linear T é o conjunto de todos os vetores T(v), onde vdom(T) = domínio de T.

inconsistente Um sistema de equações lineares é inconsistente se ele não possui qualquer solução. Ver: consistente.

inversa Uma matriz B é uma inversa para uma matriz A se A B = B A = I inversível Uma matriz é inversível se ela tem uma inversa. Uma palavra sinônima é não-singular.

linearmente dependente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente dependente se a equação a1v1 +...+ akvk = Ö tem uma solução, sendo que nem todos os escalares a1,...,ak podem ser nulos, isto é, se {v1,...,vk} satisfaz uma relação de dependência linear.

linearmente independente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente independente se, a única solução para a equação a1v1 +...+ akvk = Ö é a solução onde todos os escalares a1,...,ak são nulos, isto é, se {v1,..., vk} não satisfaz qualquer relação de dependência linear.

matriz elementar É uma matriz que pode ser obtida por operações elementares por linhas sobre a matriz identidade.

matriz identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros escalares são nulos.

matriz ortogonal Uma matriz A é ortogonal se A é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, isto é:

A-1 = At matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é:

A = At matrizes linha equivalentes Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra por uma sequência de operações elementares por linhas.

multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica do autovalor c de uma matriz A é o número de vezes que o fator (t-c) ocorre no polinômio característico de A.

multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica de um autovalor c de uma matriz A é a dimensão do autoespaço de c.

não-singular Uma matriz quadrada A é não-singular se a única solução para a equação Ax=Ö é x=Ö. Uma palavra sinônima é inversível. Ver: singular.

núcleo de uma matriz O núcleo de uma matriz A de ordem m×n é o conjunto de todos os vetores xRn tal que Ax=Ö.

núcleo de uma transformação linear O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores v do domínio de T tal que T(v) = Ö.

nulidade de uma matriz Nulidade de uma matriz é a dimensão do núcleo dessa matriz.

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