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Algebra Linear Sergio Luıs Zani

Sumario

1.1 Introducao e Exemplos7
1.2 Propriedades12
1.3 Exercıcios13

1 Espacos Vetoriais 7

2.1 Introducao e Exemplos15
2.2 Intersecao e Soma de Subespacos17
2.3 Exercıcios20

2 Subespacos Vetoriais 15

3.1 Introducao e Exemplos23
3.2 Geradores24
3.3 Exercıcios27

3 Combinacoes Lineares 23

4.1 Introducao e Exemplos31
4.2 Propriedades34
4.3 Exercıcios35

4 Dependencia Linear 31

5.1 Base37
5.2 Dimensao38
5.3 Dimensao de Soma de Subespacos Vetoriais41
5.4 Coordenadas45
5.5 Exercıcios47

5 Base, Dimensao e Coordenadas 37 3

4 SUMARIO

6.1 Introducao, Exemplos e Propriedades51
6.2 Exercıcios56

6 Mudanca de Base 51 7 Exercıcios Resolvidos – Uma Revisao 59

8.1 Introducao e Exemplos71
8.2 O Espaco Vetorial L (U, V )73
8.3 Imagem e Nucleo79
8.4 Isomorfismo e Automorfismo85
8.5 Matriz de uma Transformacao Linear87
8.5.1 Definicao e Exemplos87
8.5.2 Propriedades89
8.6 Exercıcios Resolvidos93
8.7 Exercıcios97

8 Transformacoes Lineares 71

9.1 Definicao, Exemplos e Generalidades105
9.2 Polinomio Caracterıstico1
9.3 Exercıcios114

9 Autovalores e Autovetores 105

10.1 Definicao e Caracterizacao115
10.2 Exercıcios123
1.1 Exercıcio131

1 Forma Canonica de Jordan 125

12.1 Produto Interno133
12.2 Norma136
12.3 Distancia138
12.4 Angulo139
12.5 Ortogonalidade140
12.6 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt145
12.8 Isometria150
12.9 Operador Auto-adjunto153

6 SUMARIO 6 SUMARIO

Capıtulo 1 Espacos Vetoriais

1.1 Introducao e Exemplos

Neste capıtulo introduziremos o conceito de espaco vetorial que sera usado em todo o decorrer do curso.

Porem, antes de apresentarmos a definicao de espaco vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funcoes f : R → R, denotado por F(R) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais que denotaremos por Mm(R), ou simplesmente, por Mm. A soma de duas funcoes f e g de F(R) e definida como sendo a funcao f + g ∈

Note tambem que se λ ∈ R podemos multiplicar a funcao f pelo escalar λ, da seguinte forma (λf)(x) = λ(f(x)), resultando num elemento de F(R).

Com relacao a Mn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n, A = (aij)n×n e B = (bij)n×n, colocando A + B = (aij + bij)n×n, que e um elemento de Mn.

Com a relacao a multiplicacao de A = (aij)n×n por um escalar λ ∈ R, e natural definirmos λA = (λaij)n×n, o qual tambem pertence a Mn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adicao de seus elementos e multiplicacao de seus elementos por escalares, tem comum? Vejamos:

Verifica-se facilmente a partir das propriedades dos numeros reais que, com relacao a quaisquer funcoes f,g e h em F(R) e para todo λ,µ ∈ R, sao validos os seguintes resultados:

8 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

Agora, com relacao a quaisquer matrizes A,B e C em Mm e para todo λ,µ ∈ R, tambem sao validos os seguintes resultados:

Podemos ver que tanto o conjuntos das funcoes definidas na reta a valores reais como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicacao por escalares adequadas apresentam propriedades algebricas comuns. Na verdade muitos outros conjuntos munidos de operacoes apropriadas apresentam propriedades semelhantes as acima. E por isso que ao inves de estudarmos cada um separadamente estudaremos um conjunto arbitrario e nao vazio, V, sobre o qual supomos estar definidas uma operacao de adicao, isto e, para cada u,v ∈ V existe um unico elemento de V associado, chamado

1.1. INTRODUC AO E EXEMPLOS 9 a soma entre u e v e denotado por u + v, e uma multiplicacao por escalar, isto e, para cada u ∈ V e λ ∈ R existe um unico elemento de V associado, chamado de o produto de u pelo escalar λ e denotado por λu.

Definicao 1.1 Diremos que um conjunto V como acima munido de uma adicao e de uma multiplicacao por escalar e um espaco vetorial se para quaisquer u,v e w em V e para todo λ,µ ∈ R sao validas as seguintes propriedades:

EV1 u + v = v + u para quaisquer u,v ∈ V ;

EV2 u + (v + w) = (u + v) + w para quaisquer u,v,w ∈ V ; EV3 existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V ; EV4 para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0; EV5 λ(µu) = (λµ)u para quaisquer u ∈ V e λ,µ ∈ R; EV6 (λ + µ)u = λu + µu para quaisquer u ∈ V EV7 λ(u + v) = λu + λv para quaisquer u,v ∈ V e λ ∈ R; EV8 1u = u para qualquer u ∈ V.

Observacao 1.2 O elemento 0 na propriedade EV3 e unico, pois qualquer outro 0′ ∈ V satisfazendo a mesma propriedade EV3 entao, pelas propriedades EV3 e EV1 terıamos 0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0, isto e, 0 = 0′.

Observacao 1.3 Em um espaco vetorial, pela propriedade EV4, para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0. Na verdade, para cada u ∈ V existe somente um elemento v ∈ V com esta propriedade. De fato, dado u ∈ V se v e v′ em V sao tais que u+v = 0 e u + v′ = 0 entao, combinando estas equacoes com as propriedades EV1,EV2 e EV3, obtemos v = v +0 = v +(u+v′) = (v +u)+v′ = (u+v)+v′ = 0+v′ = v′, isto e v = v′. Denotaremos v por −u e u − v por u + (−v).

Observacao 1.4 As quatro primeiras propriedades referem-se apenas a operacao de adicao e sao conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade associatividade, existencia do elemento neutro e existencia do elemento inverso.

A quinta e a oitava propriedades sao exclusivas da multiplicacao por escalar e tambem podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicacao, respectivamente.

10 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

A sexta e a setima propriedades relacionam as duas operacoes e sao ambas conhecidas por distributividade.

Um outro exemplo de espaco vetorial, alem dos dois apresentados no inıcio do texto, e o conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analıtica munido da adicao e da multiplicacao por escalar. Dessa forma, o adjetivo vetorial utilizado na definicao acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referencia aos elementos de V independentemente de serem ou nao vetores.

Talvez o exemplo mais simples de espaco vetorial seja o conjunto dos numeros reais com a adicao e multiplicacao usuais. Mais geralmente, para cada n ∈ N, podemos transformar o conjunto das n-uplas ordenadas de numeros reais, Rn, em um espaco vetorial definindo a adicao de duas n-uplas ordenadas, x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn), adicionando-se coordenada a coordenada, isto e,

E uma rotina bem simples verificar que desse modo Rn e um espaco vetorial. Deixamos como exercıcio esta tarefa. Verifique tambem que os seguintes exemplos sao espacos vetoriais.

1. Sejam n ∈ N e V = Pn(R) o conjunto formado pelo polinomio nulo e por todos os polinomios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais. Definimos a adicao e a multiplicacao por escalar da seguinte maneira:

2. Sejam A ⊂ R e F(A;R) o conjunto de todas as funcoes f : A → R. Se f,g ∈

1.1. INTRODUC AO E EXEMPLOS 1

3. O conjunto das funcoes contınuas definidas num intervalo I ⊂ R munido das operacoes de adicao e multiplicacao usuais (como aquelas definidas em F(I;R)). Notacao: C(I;R).

4. O conjunto das funcoes com derivadas contınuas ate ordem k ∈ N, (k e fixo) definidas num intervalo aberto I ⊂ R munido das operacoes de adicao e multiplicacao usuais (como aquelas definidas em F(I;R)). Notacao: Cn(I;R).

5. O conjunto das matrizes m por n com coeficientes reais: Mm×n(R) munido de operacoes analogas aquelas definidas em Mn(R).

Os espacos vetoriais acima envolvem operacoes com as quais voce ja deve estar familiarizado. O proximo exemplo e um pouco mais sofisticado do que os anteriores e por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremos V = (0,∞), o semi-eixo positivo da reta real. Este conjunto quando agregado as operacoes usuais de soma e multiplicacao nao e um espaco vetorial, visto que nao possui elemento neutro para a adicao. No entanto, se para x,y ∈ V e λ ∈ R, definirmos a soma entre x e y por x ¢ y = xy, (o produto usual entre x e y) e o produto de x pelo escalar λ como λ ¡ x = xλ, entao V se torna um espaco vetorial. De fato, verifiquemos uma a uma as oito propriedades:

1. x,y ∈ V temos x ¢ y = xy = yx = y ¢ x para quaisquer x,y ∈ V ;

3. se x ∈ V entao, como 1 ∈ V, temos 1 ¢ x = 1x = x; observe que neste caso, 1 e o elemento neutro da adicao, o qual denotaremos por o;

12 CAPITULO 1. ESPACOS VETORIAIS

1.2 Propriedades

Das oito propriedades que definem um espaco vetorial podemos concluir varias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte

Proposicao 1.5 Seja V um espaco vetorial. Temos 1. Para qualquer λ ∈ R, λ0 = 0.

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