Lógica Matemática

Lógica Matemática

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Lógica Matemática Genilson Gomes da Silva

1 Proposição

Definição 1.1 Chama-se proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, sendo ele verdadeiro ou falso.

Por exemplo, são proposições as três afirmações seguintes:

(a): O número 17 é primo. (b): Fortaleza é a capital do Maranhão. (c): Todo número primo maior do que 2 é ímpar.

Observação 1.1 Uma Proposição P é verdadeira se já é um axioma (uma afirmação de sentido verdadeiro sem a necessidade de uma demonstração) da teoria ou então pode ser reduzida (ou provada) a partir dos axiomas da teoria.

1.1 Princípios da Lógica

A Lógica Matemática repousa sobre dois princípios fundamentais que permite todo seu desenvolvimento posterior, e que dão validade a todos os atos do pensamento e do raciocínio. São eles:

1. Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

2. Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

1.2 Proposições Simples e Proposições Compostas

O primeiro passo na construção de um linguagem simbólica, mais adequada à formulação dos conseitos da Lógica, é a apresentação do que chmamos proposição simples.

Definição 1.2 Chama-se proposição simples aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.

As proposições simples são em geral designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r,s,..., chamadas letras proposicionais. São exemplos de proposição simples:

p : A lua é um satélite da terra. q : Pedro é estudante. r : Todos os homens são mortais. s : O número 25 é quadrado perfeito.

Definição 1.3 Chama-se proposição composta aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.

Em geral designamos proposições compostas por letra latinas maiúsculas P,Q,R,S,..., que também chamamos de letras proposicionais. São exemplos de proposição composta:

P : Se pedro é estudante, então é feliz. Q : Carlos é professor e Pedro é estudante. R : Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa.

1.3 Conectivos

Podemos perceber nos exemplos anteriores, que as proposições compostas P, Q e R, são combinações de proposições simples separadas por conectivos.

Definição 1.4 Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras.

A Lógica dispões de cinco conectivos: “e, “ou, “não, “seentão ... e “... se e
somente se

Vejamos alguns exemplos:

P : Carlos é professor e Pedro é estudante. Q : Mário foi ao cinema ou Marcelo ficou em casa. R : Não está chovendo. S : Se pedro é estudante, então é feliz.

T : Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC2 = AB2 + BC2 .

1.4 Tabela-Verdade

Além de proposições a Lógica dispõe de uma função chamada Valor Lógico que nos permite associar a cada proposição simples um de dois valores lógicos.

Segundo o Princípio do terceiro excluido, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem valor lógico V (vedadeiro) ou valor lógico F (falsidade).

p V F

Porém, se a proposição for composta seu valor lógico depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, desta forma para que se possa determinar o valor lógico de uma proposição composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade.

Para representar o valor lógico de uma dada proposição p, usa-se a seguinte notação:

V(p). Vejamos os seguintes exemplo:

p: Fortaleza é a capital do Maranhão. q: O número 17 é primo.

Temos:

2 Operações Lógicas sobre Proposições

Definição 2.1 Se p é uma proposição, assim a proposição representada por ∼ p é a negação de p, cujo valor lógico é vedade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira.

Vejamos a tabela-verdade da negação:

p ∼ p V F F V

Definição 2.2 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p∧q (que lê-se: “p e q ) é a conjunção de p e q, cujo valor lógico é vedade (V) quando p e q são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

Vejamos a tabela-verdade da conjunção:

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Definição 2.3 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p∨q (que lê-se: “p ou q ) é a disjunção de p e q, cujo valor lógico é vedade (V) quando pelo menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) as proposições p e q são ambas falsas.

Vejamos a tabela-verdade da disjunção:

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

A palavra “ou pode ter dois significados, por exemplo:

Vejamos as seguintes proposições compostas:

P : Sou homem ou estudo matemática. Q : João é cearense ou pernambucano.

Na proposição P temos que pelo menos um das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. Neste caso diz-se que este “ou é inclusivo (∨). Mas na proposição Q, temos que as proposições simples não podem se ambas verdadeiras, pois não é possível ocorrer “João é cearense e pernambucano . Neste caso o “ou é exclusivo, e representado por ∨

Definição 2.4 Seja p e q proposições, assim a proposição representada por p ∨ q (que lê-se: “p ou q ou “p ou q, mas não ambas ) é a disjunção exclusiva de p e q, cujo valor lógico é vedade (V) somente quando p verdadeira ou q é verdadeiras, mas não quando ambas são verdadeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Vejamos a tabela-verdade da disjunção exclusiva:

p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F

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