Baixe resistencia dos materiais e outras Notas de estudo em PDF para Resistência dos materiais, somente na Docsity! RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS SENAI/SC Resistência dos Materiais 2 José Fernando Xavier Faraco Presidente da FIESC Sérgio Roberto Arruda Diretor Regional do SENAI/SC Antônio José Carradore Diretor de Educação e Tecnologia do SENAI/SC Marco Antônio Dociatti Diretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC SENAI/SC Resistência dos Materiais 5 SUMÁRIO 1 Sistema Internacional de Unidades (SI) ...................................................................... 7 1.1 Outras Unidades................................................................................................... 7 2 Vínculos Estruturais..................................................................................................... 9 2.1 Introdução............................................................................................................. 9 2.1.1 Vínculos de 1ª classe..................................................................................... 9 2.1.2 Vínculos de 2ª Classe.................................................................................... 9 2.1.3 Engatamento de 3ª Classe ............................................................................ 9 2.2 Estrutura ............................................................................................................. 10 2.2.1 Tipos de estruturas: ..................................................................................... 10 3 Equilíbrio de Forças e Momentos .............................................................................. 12 3.1 Tração e Compressão ........................................................................................ 12 3.2 Método das Projeções ........................................................................................ 13 3.3 Momento de uma Força...................................................................................... 18 3.3.1 Exercícios Resolvidos.................................................................................. 20 4 Carga Distribuída....................................................................................................... 24 4.1 Introdução........................................................................................................... 24 4.1.1 Exemplos de Cargas Distribuídas ............................................................... 24 5 Tração e Compressão ............................................................................................... 26 5.1 Tração e Compressão ........................................................................................ 26 5.2 Materials Dúcteis a Frágeis ................................................................................ 27 5.2.1 Material Dúctil .............................................................................................. 27 5.2.2 Material Frágil .............................................................................................. 28 5.3 Tensão Normal Φ................................................................................................ 28 5.4 Lei de Hooke....................................................................................................... 29 5.5 Fator de Segurança ............................................................................................ 30 5.5.1 Carga Estática ............................................................................................. 30 5.5.2 Carga Intermitente ....................................................................................... 30 5.5.3 Carga Alternada........................................................................................... 31 5.6 Tensão Admissível Φ ou Φ adm......................................................................... 32 5.7 Exercícios ........................................................................................................... 32 6 Sistemas Estaticamente Indeterminados (Hiperestáticos) ........................................ 38 6.1 Introdução........................................................................................................... 38 6.2 Tensão Térmica.................................................................................................. 39 6.3 Exercícios ........................................................................................................... 40 7 Torção........................................................................................................................ 47 7.1 Introdução........................................................................................................... 47 7.2 Momento Torçor ou Torque ................................................................................ 47 7.3 Potência ( P ) ...................................................................................................... 48 7.4 Tensão de Cisalhamento na Torção (τ).............................................................. 49 7.5 Distorção ( γ )...................................................................................................... 50 7.6 Ângulo de Torção ( θ ) ........................................................................................ 50 7.7 Dimensionamento de Eixos - Árvore .................................................................. 50 7.8 Exercícios ........................................................................................................... 54 8 Cisalhamento Puro .................................................................................................... 61 8.1 Definição............................................................................................................. 61 8.2 Força Cortante Q ................................................................................................ 61 8.3 Tensão de Cisalhamento ( τ ) ............................................................................. 61 8.4 Deformação do Cisalhamento ............................................................................ 62 8.5 Tensão Normal ( σ ) e Tensão de Cisalhamento ( τ )......................................... 62 8.6 Pressão de Contato σd........................................................................................ 63 8.6.1 Pressão de Contato (Esmagamento) .......................................................... 63 SENAI/SC Resistência dos Materiais 6 8.7 Distribuição ABNT NB14 .................................................................................... 64 8.8 Tensão Admissível e Pressão Média de Contato ABNT NB14 - Material Aço ABNT 1020 ............................................................................................................... 64 8.8.1 Rebites......................................................................................................... 64 8.8.2 Parafusos..................................................................................................... 65 8.8.3 Pinos............................................................................................................ 65 8.9 Exercícios ........................................................................................................... 65 9 Força Cortante Q e Momento Fletor M...................................................................... 68 9.1 Convenção de Sinais.......................................................................................... 68 9.2 Força Cortante Q ................................................................................................ 69 9.3 Momento Fletor M............................................................................................... 69 9.4 Exercícios ........................................................................................................... 70 10 Flexão...................................................................................................................... 81 10.1 Introdução......................................................................................................... 81 10.2 Flexão Pura ...................................................................................................... 81 10.3 Flexão Simples ................................................................................................. 82 10.4 Tensão de Cisalhamento na Flexão ................................................................. 86 10.5 Tensão Normal na Reflexão ............................................................................. 87 10.6 Dimensionamento na Flexão ............................................................................ 87 10.7 Deformação na Flexão ..................................................................................... 89 10.8 Exercícios ......................................................................................................... 92 10.9 Aço e sua Classificação.................................................................................. 101 Referências Bibliográficas .......................................................................................... 108 SENAI/SC Resistência dos Materiais 7 1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Sistema MKS Giorgi Comprimento M m (metro) Massa K Kg (quilograma) Tempo s s (segundo) Ainda na Mecânica, ha dois outros sistemas, conforme mostram as tabelas a seguir. Sistema CGS Comprimento C cm (centímetro) Massa G g (grama) Tempo s s (segundo) Sistema MK*S ou MKS Técnico Comprimento M m (metro) Força K* kgf (quilograma-força) Tempo S s (segundo) 1.1 Outras Unidades Nome Símbolo Fator de Multiplicação Exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 Peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 Tera T 1012 = 1 000 000 000 000 Giga G 109 = 1 000 000 000 Mega M 106 = 1 000 000 Quilo k 103 = 1000 Hecto h 102 = 100 Deca da 10 Deci d 10-1 = 0,1 Centi c 10-2 = 0,01 Mili m 10-3 = 0,001 Micro p. 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 SENAI/SC Resistência dos Materiais 10 2.2 Estrutura Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade de receber a transmitir esforços. 2.2.1 Tipos de estruturas: Estruturas Hipoestáticas Estes tipos de estruturas são instáveis quanto à elasticidade, sendo bem pouco utilizadas no decorrer do nosso curso. A sua classificação como hipoestáticas é devido ao fato de o número de equações da estática ser superior ao número de incógnitas. Exemplo: número de equações > número de incógnitas Estruturas Isostáticas A estrutura é classificada como isostática quando o número de reações a serem determinadas é igual ao número de equações da estática. Exemplo: a) b) SENAI/SC Resistência dos Materiais 11 Estruturas Hiperestáticas A estrutura é classificada como hiperestática, quando as equações da estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios. Para tornar possível a solução destas estruturas, devemos suplementar as equações da estática com as equações do deslocamento. Exemplos: Número de equações < número de incógnitas SENAI/SC Resistência dos Materiais 12 3 EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS Para que um determinado corpo esteja em equilibrio, é necessário que sejam satisfeitas as condições: Resultantes de Força A resultante do sistema de forças atuante será nula. Resultantes dos Momentos A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do plano de forças será nula. Equações Fundamentals da Estática Baseados, concluímos que para forças coplanares, ∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0 e ∑M = 0. Força Axial ou Normal F É definida como força axial ou normal a carga que atua na direção do eixo longitudial da peça. A denominação normal ocorre, em virtude de ser perpendicular, a secção transversal. 3.1 Tração e Compressão A ação da força axial atuante, em uma peça, originará nesta tração ou compressão. Tração na Peça A peça estará tracionada quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior. SENAI/SC Resistência dos Materiais 15 Novamente como no exemplo anterior, o nó C é o mais conveniente. Porém, neste exemplo, temos a oportunidade de apresentar mais um artifício, que poderá ser utilizado sempre que for necessário. Este artifício (mudança de plano) torna-se conviniente, sempre que duas ou mais forças estiverem colineares ou defasadas 90º. Os cabos 1, 2, 3 estão tracionados, portanto teremos o nó C com o sistema de forças a seguir. Exemplo 1 Uma carga de 2000 kgf está suspensa conforme mostra 1, 2 e 3 a figura ao lado. Determinar as forças normais atuantes nas barras Solução: Iniciamos os cálculos pelo nó D. A carga de 2000 kgf traciona a barra 3, portanto teremos o sistema de forças abaixo. ΣFy = 0 F3 = 2000kgf ΣFy = 0 F2 = P cos45° F2= 0,707 ΣFx = 0 F1= P sen F1 = 0,707 P SENAI/SC Resistência dos Materiais 16 A barra 3, tracionada, tende a “puxar" o nó A para baixo, sendo impedida pela barra 2 que o “puxa" para cima, auxiliada pela barra 1 que o “empurra" para cima para que haja equilíbrio. Temos, portanto a barra 1 tracionada e a barra 2 comprimida, resultando no sistema de forças atuante no nó A representado na figura. ΣFx = 0 F1 sen 60º = F2 sen 45º F1 = ΣFy = 0 F1 cos 60º + cos 45º = 2000 (II) Substituindo a equação I na equação II temos: F2 cos 45º . cos 60º + F2 cos 45º = 2000 sen 60º F2 . 0,707 . 0,5 + 0,707 F2 = 2000 0,866 1,115 F2 = 2000 F2 = 1793,72kgf Substituindo F2 na equação I temos: F1 = = F1 = 1464,38kgf Exemplo 2 A construção dada está em equilibrio. A carga P aplicada em D é de 2,0 tf. Determinar as forças normais atuantes nos cabos, utilizando o método do polígono de forças. Solução: F2 cos45º (I) F2 cos 45º 1793,72 x 0,707 sen 60º 0,866 SENAI/SC Resistência dos Materiais 17 Neste caso, como temos apenas 3 forças a serem determinadas, o nosso polígono será um triângulo de forças. Sabemos que F3 = P, como estudamos em exemplos anteriores. Para traçarmos o triângulo de forças, vamos utilizar o nó C, procedendo da seguinte forma: 1. Traçamos o vetor força F3 = P, que sabemos ser vertical. 2. A F2 forma com F3 um ângulo de 37º, sabemos ainda que, o vetor F2 tem o seu início no final do vetor F3, portanto, com uma inclinação de 37º em relação ao final do vetor F3, traçamos o vetor F2. 3. O vetor F1 forma 90º com o vetor F3, sabemos que o início de F3 é o final de F1, teremos, portanto, o triângulo de forças abaixo. Pela lei dos senos temos: F2 = = = 2500kgf F1 = F2 sen 37º = 2500 x 0,6 Observação: Como se pode perceber, a carga 1,4 tf foi transformada para 1400 kgf. Exemplo 3 A estrutura representada na figura está em equilíbrio. A carga P aplicada em D é de 3,0 tf. Determinar as forças normais atuantes nas barras 1, 2 e 3 utilizando o método do polígono de forças. Solução: Observando a figura a seguir, concluímos que as barras 1 e 3 estão tracionadas, e a barra 2 está comprimida. Teremos, portanto o esquema de forças a seguir. Novamente para este caso, teremos um triângulo de forças. Sabemos que F3 = 3,0 tf, como já foi estudado. Através de C, traçaremos o triângulo de forças. F1 F2 F3 sen 37º sen 90º sen 53º P 2000 sen 53º 0,8 = = F1 = 1500 kgf F2 = 2500 kgf SENAI/SC Resistência dos Materiais 20 3.3.1 Exercícios Resolvidos Ex. 1 O suporte vertical ABC desliza livremente sobre o eixo AB, porém é mantido na posição da figura através de um colar preso no eixo. Desprezando o atrito, determinar as reações em A e B, quando estiver sendo aplicada no ponto C do suporte, uma carga de 5kN. ∑ MA = 0 24 RB = 5 x 30 RB = 6,25 kN ∑ FH = 0 RAH - RB = 6,25 kN ∑ FV = 0 Reação em A: RA = √ R2 AV + R2 AH. RA = √ 52 + 6,252 RA = 8 kN Ex. 2 A figura a seguir, representa uma junta rebitada, composta por rebites de diâmetros iguais. Determinar as forças atuantes nos rebites. Como os diâmetros dos rebites são iguais, na vertical as cargas serão iguais: O rebite B, por estar na posição intermediária, não possui reação na horizontal. O rebite A está sendo "puxado" para a direta, portanto possuirá uma reação horizontal para a esquerda. O rebite C, ao contrário de A, esta sendo "empurrado" para a esquerda, portanto possuirá reação horizontal para a direita. RAV = 5 kN RAV = RB = RCV = 3000 = 1000N 3 SENAI/SC Resistência dos Materiais 21 Esforços Horizontais ∑ MA = 0 ∑ FH = 0 200 RCH = 600 x 3000 RAH = RCH = 9000N Força atuante nos rebites A e C: RA = √ R2AV + R2AV RA= √ 10002 + 90002 Como RA e RC são iguais, temos que: RA e RC = 9055 N Ex. 3 Determinar a intensidade da força F, para que atue no parafuso o torque de 40Nm. A distância a (centro do parafuso ao ponto de aplicação da carga F) será determinada por: a = 21,7 cm a = 0,217 m ∑ M0 = 0 0,217 F = 40 F = 40 ≈ 184N 0,217 Ex. 4 Um grifo a utilizado para rosquear um tubo de d = 20mm a uma luva como mostra a figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força de aperto aplicada for 40N. O somatório de momentos em relação à articulação A soluciona o exercício: ∑ MA = 0 30F = 180 x 40 → F = 180 x 40 30 F=240N RA = 9055N RCH = 9000N a = = 20 20 cos23º 0,92 SENAI/SC Resistência dos Materiais 22 Ex. 5 A figura dada representa uma alavanca de comando submetida a um conjugado horário de 90Nm exercido em 0. Projetar a alavanca para que possa operar com força de 150N. Solução: Para projetar a alavanca, precisamos determinar a dimensão y. Para determinarmos y, precisamos que as unidades sejam coerentes, por esta razão, transformaremos Nm para N.mm 90 Nm = 90000 Nmm dimensão y dimensão x ∑ M0 = 0 Como x é a hipotenusa do triângulo ABO temos: 150 (200 + y) = 90000 y = - 200 x = = y = 400 mm x ≈ 445 mm Solução: Esforços na Viga AC 90000 150 y cos 26º 400 0,9 SENAI/SC Resistência dos Materiais 25 Exercícios Resolvidos Ex. 1 Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela ação das cargas distribuídas, conforme as figuras dadas. A resultante da carga distribuída de intensidade q e comprimento l será ql, e atuará no ponto l/2 em relação a A ou B, como já foi estudado anteriormente. Teremos, então: ∑ MA = 0 ∑ MB = 0 RB . 8 = 30 . 8 . RB l = ql . RA l = ql . l 2 l 2 RB = ql . l 2 RA = ql . l 2 RB = 8 2 30 . 8 . 8 8 . 2 RA = RB = 120 N.m SENAI/SC Resistência dos Materiais 26 5 TRAÇÃO E COMPRESSÃO 5.1 Tração e Compressão Podemos afirmar qua uma peça está submetida a esforço de tração ou compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área da secção transversal da peça, na direção do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da peça ("puxada"), a peça estará tracionada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior do peça, a barra estará comprimida ("empurrada"). Peça tracionada Peça comprimida Deformação transversal ( γ t ) Determina-se através do produto entre a deformação unitária ( γ ) e o coeficiente de Poisson (v). como , podemos escrever ou γ t = -vγ ∆l Φ γ = = l E vΦ γ t = E ∆l γ t = -v l SENAI/SC Resistência dos Materiais 27 Onde: γ t - deformação transversal adimensional Φ - tensão normal atuante [Pa ; ............] E - módulo de elasticidade do material [Pe ; ..............] γ - deformação longitudinal adimensional v - coeficiente de Poisson adimensional ∆l - alongamento [m ; ................] l - comprimento inicial [m; ...............] 5.2 Materials Dúcteis a Frágeis Os materiais, conforme as suas características, são classificados como dúcteis ou frágeis. 5.2.1 Material Dúctil O material é classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de tração, apresenta deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, para atingir o rompimento. Ex.: aço; alumínio; cobre; bronze; latão; níquel; etc. Diafragma Tensão deformação do aço ABNT 1020 Ponto O - Início de ensaio carga nula Ponto A - Limite de proporcionalidade Ponto B - Limite superior de escoamento Ponto C - Limite inferior de escoamento Ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material Ponto E - Limite máximo de resistência Ponto F - Limite de ruptura do material SENAI/SC Resistência dos Materiais 30 Deformação Longitudinal ( γ ) Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c) de uma peça submetiea à ação da carga axial. Sendo definida através das relações: 5.5 Fator de Segurança O fator de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo. O projetista poderá obter o fator em normas ou determiná-lo em função da circunstâncias apresentadas. Os esforços são classificados em 3 tipos: 5.5.1 Carga Estática A carga é aplicada na peça e permanece constante; como exemplos, podemos citar: Um parafuso prendendo uma luminária. Uma corrente suportando um lustre. 5.5.2 Carga Intermitente Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu esforço atinja o máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de tempo. Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo inter- valo de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente. Exemplo: o dente de uma engrenagem ∆l Φ γ = = l E SENAI/SC Resistência dos Materiais 31 5.5.3 Carga Alternada Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo positivo para o máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situação para o material. Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc. Para determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir: k = x . y . z . w - Valores para x (fator do tipo de material) x = 2 para materiais comuns x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga - Valores para y (fator do tipo de solicitação) y = 1 para carga constante y = 2 para carga intermitente y = 3 para carga alternada - Valores para z (fator do tipo de carga) z = 1 para carga gradual z = 1,5 para choques leves z = 2 para choques bruscos - Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação) w = 1 a 1,5 para aços w = 1,5 a 2 para fofo Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ k ≤ 3 aplicado a σe (tensão de escoa- mento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σr (tensão de ruptura do ma- terial) para o material frágil). Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos mos- tra a equação para sua obtenção. SENAI/SC Resistência dos Materiais 32 5.6 Tensão Admissível Φ ou Φ adm Para o nosso estudo, restringir-nos-emos somente ao primeiro caso (região elástica) que é o que freqüentemente ocorre na prática. A tensão admissível é determinada através da relação Φe (tensão de escoamento) coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, Φr (tensão de ruptura) coeficiente de segurança para os materiais frágeis. 5.7 Exercícios Ex.1 A barra circular representada na figura, é de aço, possui d = 20 mm e comprimento l = 0,8 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 10 kN. Pede-se que determine para a barra: a) Tensão normal atuante ( Φ ) b) O alongamento ( ∆l ) c) A deformação longitudinal ( γ ) d) A deformação transversal ( γt ) Eaço = 210 GPa (módulo de elasticidade do aço) Vaço = 0,3 (coeficiente de Passion) Solução: a) Tensão normal atuante Φ e Φadm = Fs Φ r Φadm = Fs Materiais dúcteis Materiais frágeis Φ = = 4F F Βd2 A Φ = 4 x 10000N Β (20 x 10 -3 m)2 Φ = x 10 6 MPa 4 x 10000 Β x 20 2 N m2 Φ = 31,8 x 10 6 N m2 Φ = 31,8 MPa Φ = 4 x 10000N Β x 20 2 x 10 –6 m2 SENAI/SC Resistência dos Materiais 35 c) Deformação longitudinal (γ 1 e γ 2) Secção 1 : Secção 2 : d) Deformação transversal (γt 1 e γt 2) Secção 1 : Secção 2 : e) Alongamento total da peça Ex. 3 Uma barra circular possui d = 32 mm, e o seu comprimento l = 1,6 m. Ao ser tracionada por uma carga axial de 4 kN, apresenta um alongamento ∆l = 114 :m. Qual o material da barra? γ1 = ∆l1 l1 γ1 = 0,073:m 0,6 m γ1 = 0,121 x 10 -3 : γ2 = ∆l2 l2 γ2 = 0,039 :m 0,6 m γ2 = 0,65 x 10 -3 : γ t 1 = - v aço . γ 1 γ t 1 = - 0,3 x 122 γt 1 = - 0,37 x 10 – 3 :m γt 1 = - 0,37 : γ t 2 = - v aço . γ 2 γ t 2 = - 0,3 x 43 γt 2 = - 13 x 10 – 4 :m γt 2 = - 13 : ∆l = ∆l1 + ∆l2 ∆l = 73 + 39 ∆l = 112 :m SENAI/SC Resistência dos Materiais 36 Solução: 1 - Tensão normal na barra. 2 - Módulo de elasticidade do material. Pela lei de Hooke, tem-se: portanto, o módulo de elasticidade será: Conforme tabela 2 em anexo constatou-se que o material utilizado é o alumínio. Exercícios 1. Determinar o alongamento de uma barra prismática de comprimento l, secção transversal de área S e módulo de elasticidade E, submetida à força de tração P. Solução: A tensão normal nas secções tranversais é Φ = P/S. A deformação longitudinal é , = ∆l / l. Por definição, o módulo de elasticidade é E = Φ / ,; então: Φ = = 4F F Βd2 A Φ = 4 x 4000N Β (32 x 10 -3 m)2 Φ = x 10 6 Pa 16000N Β x 322 Φ = 5 MPa Φ . l E ∆l = Φ . l ∆l E = 5 x 10 6 Pa x 1,6 m 114 x 10 -6 m E = 5 x 1,6 114 E = x 10 12 Pa E = 7,0 x 10 -10 Pa E = 70 GPa ES E = = Pl Φ S∆l , ∆l = Pl onde SENAI/SC Resistência dos Materiais 37 2. Uma barra de 3 m de comprimento tem secção transversal retangular de 3 cm por 1 cm. Determinar o alongamento produzido pela força axial de 6 kg, sabendo-se que E = 2.100 t/cm2. Solução: 3. A barra de aço da tem secção transversal de área S = 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais que aí se indicam. Determinar o alongamento do barra, sabendo-se que E = 2.100 t/cm2. Solução: Estando a barra em equilíbrio, cada uma de suas partes também estará em equilíbrio. O trecho AB está submetido à tração de 10 t. O seu alongamento é: A força que atua no trecho BC obtém-se determinando a resultante das forças que atuam à esquerda de uma secção situada entre B e C. Nessas condições, esse trecho está submetido à força de tração de 7 t. O mesmo resultado se obtém considerando as forças que atuam à direita da secção considerada. O seu alongamento é: Analogamente, a força que atua numa secção compreendida entre C e D deve ser de 9 t, para equilibrar a força que atua em D. O seu alongamento é: O alongamento do barra é, então: ∆l = = = 0,0003 cm 6 x 300 Pl 2 x 10 6 x 3 ES ∆1 = = = 0,095 cm 10.000 x200Pl 2,1 x 10 6 x 10 ES ∆2 = = 0,1 cm 7.000 x 300 2,1 x 10 6 x 10 ∆3 = = 0,171 cm 9.000 x 400 2,1 x 10 6 x 10 ∆l = ∆1 + ∆2 + ∆3 = 0,366 cm SENAI/SC Resistência dos Materiais 40 A tensão térmica atuante será: σ = E . α . ∆t Onde: F - força axial térmica [N; kN; .................] σ - tensão normal térmica [MPa; N/mm2; ...............] α - coeficiente de dilatação linear do material [ ºC ] –1 ∆t - variação de temperatura [ ºC ] 6.3 Exercícios Ex. 1 A figura dada representa uma viga I de aço com comprimento l = 4m e área de secção transversal A= 2800 mm2 engastadas nas paredes A e B, livre de tensões a uma temperatura de 17ºC. Determinar a força térmica e a tensão térmica, originada na viga, quando a temperatura subir para 42ºC. E aço = 2,1 x 10 5 MPa α aço = 1,2 x 10 -5 ºC -1 Solução : Transformando a unidade de área para o SI, temos: A = 2.800 x 10 -6 m2 A variação de temperatura no sistema é: ∆t = 42 - 17 = 25º Transformando a unidade do módulo de elasticidade para Pascal, temos: E aço = 2,1 x 10 5 MPa = 2,1 x 10 11 N/m2 σ = = A . E . α . ∆tF A A SENAI/SC Resistência dos Materiais 41 Ex. 2 O conjunto representado na figura é constituído por uma secção transversal, A1=3600 mm2 e comprimento de 500 mm e uma secção transversal, A2 = 7200 mm2 e comprimento de 250 mm. Determinar as tensões normais atuantes nas secções trans- versais das partes 1 e 2 da peça, quando houver uma variação de temperatura de 20ºC. O material da peça é aço. E aço = 2,1 x 10 5 MPa α aço = 1,2 x 10 –5 ºC -1 Solução: A carga axial atuante na peça é a mesma que atua como reação nos engastamentos. Para determinar esta força, é importante lembrar que o somatório dos deslocamentos é nulo, portanto, podemos escrever que: Como l1 = 2l2 e A2 = 2A1, podemos escrever a equação anterior desta forma: Transformando as unidades para o SI, temos: l1 . α aço . ∆t - = α aço . ∆t - A1 . E Fl1 A2 . E Fl2 2l2 . α aço . ∆t - = l2 . α aço . ∆t - A1 . E 2Fl2 2A1 . E aço Fl2 2l2 . α aço . ∆t – l2 . α aço . ∆t = - A1 . E 2Fl2 2A1 . E aço Fl2 l2 . α aço . ∆t = - 2 3 A1 . E aço Fl2 F = . A1 . E aço . α aço . 3 2 F = x 3600 x 10 –6 x 2,1 x 10 11 x 1,2 x 10 –5 3 2 F = 120960 N SENAI/SC Resistência dos Materiais 42 Força axial térmica: F = A . E . α . ∆t F = 2800 x 10 –6 x 2,1 x 10 11 x 1,2 x 10 –5 x 25 F = 176.400 N - Tensão térmica Ex. 3 Uma barra circular de alumínio possui comprimento l = 0,3m e temperatura de 17ºC. Determine a dilatação e o comprimento final da barra quando a temperatura atingir 32ºC. α ∆l = 2,4 x 10 –5 ºC -1 Solução: 1 - Dilatação da barra ∆l = l0 α ∆t ∆l = 0,3 x 2,4 x 10 -5 x (32 –17) ∆l = 10,8 x 10 -5 m ou ∆l = 108 x 10 -6 m ∆l = 108 µm σ = = 176.400 N F 2800 x 10 –6 m2 A σ = 63 x 10 6 N/m2 σ = 63 MPa SENAI/SC Resistência dos Materiais 45 Determinar as tensões normais no tubo de Cu, e no tubo de aço. Solução: A carga de 24 kN atua simultaneamente nos tubos de Cu e Aço; portanto, podemos escrever que: F aço + F cu = 24 kN (I) A carga aplicada nos tubos, fará com que estes sofram uma variação da sua medida linear inicial. É facil observar que as duas variações serão as mesmas. Como os comprimentos são iguais, podemos escrever que: Secções transversais dos tubos ∆l aço = ∆l cu F aço . l aço F cu . l cu A aço . E aço A cu . E cu = F aço F cu A aço . E aço A cu . E cu = A aço . E aço F aço = = F cu (II) A cu . E cu π A cu = . (D2 cu – d2 cu) 4 A cu = 700 π mm2 π A cu = . (80 2 – 60 2) 4 π A aço = . (D2 aço – d2 4 A aço = 900 π mm2 π A aço = . (100 2 – 80 2 4 SENAI/SC Resistência dos Materiais 46 Substituindo os valores de área, obtidos na equação II, temos: Substituindo a relação na equação I, temos 2,41 Fcu + Fcu = 24 3,41 Fcu = 24 Fcu = 7 kN Como Faço + Fcu = 24 Faço = 24 - 7 Faço = 17 - Tensão normal no tubo de aço Transformando o valor das cargas para newtons a as áreas para m2, temos: Faço = 17000 N Fcu = 700 N Aaço = 900π x 10 -6 m2 Acu = 700π x 10 -6 m2 900π . 210 F aço = . F cu 700π . 112 F aço = 2,41 . F cu σ aço = = = 6 x 10 6 17000 F aço 900π x 10 -6 A aço N m2 σ aço = 6 MPa σ cu = = = 3,18 x 10 6 7000 F cu 700π x 10 -6 A cu N m2 σ cu = 3,18 MPa SENAI/SC Resistência dos Materiais 47 7 TORÇÃO 7.1 Introdução Uma peça submete-se a esforço de torção, quando atua um torque em uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade oposta. 7.2 Momento Torçor ou Torque O torque atuante na peça representada na figura é definido através do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da secção transversal (pólo). Tem-se portanto: MT = 2F . S Onde: MT - Momento de torçor ou torque [Nm; .............] F - Carga aplicada [ N ] S - Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo [m; ....] Para as transmissões mecânicas construídas por polias, engrenagens, rodas de atrito, correntes, etc., o torque é determinado através de: MT = FT . r Onde: MT - Torque [ Nm ] FT - Força tangencial [ N ] r - raio da peça [ m ] SENAI/SC Resistência dos Materiais 50 7.5 Distorção ( γ ) O torque atuante na peça provoca na secção transversal desta, o deslocamento do ponto A da periferia para uma posição A'. Na longitude do eixo, origina-se uma deformação de cisalhamento denominada distorção γ , que é determinada em radianos, através da tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material. Onde: γ - distorção [ rad ] τ - tensão atuante [ Pa ] G - módulo de elasticidade transversal do material [ Pa ] 7.6 Ângulo de Torção ( θ ) O deslocamento do ponto A para uma posição A', descrito na distorção, gera, na secção transversal da peça, um ângulo torção ( θ ) que é definido através da fórmula. Onde: θ - ângulo de torção [ radianos ] MT - momento torçor ou torque [Nm; Nmm; ...................] l - comprimento da peça [m; mm; ....................] Jp - momento polar de inércia [m4; mm4 ; ...............] G - módulo de elasticidade transversal do material [Pa; ...................] 7.7 Dimensionamento de Eixos - Árvore Denomina-se: eixo Quando funcionar parado, suportando cargas. eixo - Árvore Quando girar, com o elemento de transmissão. Para dimensionar uma árvore; utiliza-se a τ (tensão admissível do material) indicada para o caso. Tem-se então: γ = τ G γ = τ G τ = ( I ) MT Wp SENAI/SC Resistência dos Materiais 51 Para o eixo maciço, tem-se Substituindo II em I, tem-se: Como MT = , pode-se escrever que: Mas, ω = 2 π . f, portanto: Porém f = , então tem-se que: Onde: d - diâmetro da árvore [ m ] MT - torque [ N.m ] P - potência [ W ] ω - velocidade angular [ rad/s ] τ - tensão admissível do material [ Pa ] f - freqüência [ Hz ] n - rotação [ rpm ] Wp = ( II ) π . d 3 16 τ = 16 MT π . d 3 P W d = 1,72 MT τ 3 d = 1,72 P ω . τ 3 d = 16 MT π . τ 3 d = 1,72 P 2π . f . τ 3 d = 0,932 3 P f . τ n 60 d = 0,932 60 . P n x τ 3 d = 3,65 3 P n . τ SENAI/SC Resistência dos Materiais 52 a) Movimento circular Definições Importantes: - Velocidade angular ( ω ) - Freqüência ( f ) - Rotação ( n ) - Velocidade periférica ou tangencial ( V p ) Onde: ω - velocidade angular [ rad/s ] f - freqüência [ Hz ] n - rotação [ rpm ] V p - velocidade periférica [ m/s ] b) Dimensionamento de árvores vazadas Para dimensionar árvores vazadas, utiliza-se: Onde: τ - tensão admissível do material [ Pa ] MT - torque [ Nm ] W p - módulo de resistência polar de secção circular vazada cuja pressão é: ω = 2 π . f = = V p π . n r 30 ω = = = n ω 60 2π V p 2π . r n = = 60 . f = 30 ω π 30 V p π . r V p = ω . r = 2π . r . f = π . r . n 30 τ = ( I ) MT W p W p = . π 16 (D 4 – d 4) D SENAI/SC Resistência dos Materiais 55 Ex. 2 Dimensionar a árvore maciça de aço, para que transmita com segurança uma potência de 7355 W (≈ 10 cv), girando com uma rotação de 800rpm. O material a ser utilizado e o ABNT 1040L, com τ = 50 MPa (tensão admissível de cisalhamento na torção). Solução: Ex. 3 O eixo-árvore representado na figura, possui diâmetro d = 40 mm, e comprimento l = 0,9 m, gira com uma velocidade angular ω = 20π rad/s movido por um torque MT = 200 Nm. Determinar para o movimento da árvore: a) força tangencial b) velocidade periférica c) potência d) tensão máxima atuante Solução: a) força tangencial b) velocidade periferica V p = 20π rad/s . 20 x 10 -3 m V p = 0,4π m/s V p = 1,26 m/s d = 3,65 N n x τ 3 P d = 3,65 7355 800 x 50 x 10 6 3 d = 3,65 x 10 -2 m 7355 800 x 50 3 d ≈ 2,1 x 10 –2 m d ≈ 2,1 cm d ≈ 21 mm FT = MT r FT = = 600 200 Nm 20 x 10 -3 m FT = 10 4 N = 10.000 N SENAI/SC Resistência dos Materiais 56 c) potência P = FT . V p P = 10.000 x 1,26 P ≈ 12.600 W d) tensão máxima atuante Ex. 4 No exercício anterior, determine a distorção ( γ ) e o ângulo de torção ( θ ). Gaço = 80 GPa Solução: a) distorção ( γ ) b) ângulo de torção ( θ ) τ max. = = MT Wp 16 MT π d 3 τ max. = 16 x 200 Nm π x 4 3 x 10 –6 m 3 τ max. = 16 x 200 Nm π (4 x 10 –2 m) 3 τ max. = = 16 x π . 4 3 10 6 N m 2 τ max. = 15,9 γ = = τ G 15,9 x 10 6 80 x 10 9 γ = 15,9 x 10 6 8 x 10 10 γ = 1,9875 x 10 –4 θ = MT x l J p x G SENAI/SC Resistência dos Materiais 57 O momento polar de inércia do circulo é dado por: portanto: Ex. 5 Um eixo-árvore de secção transversal constante, e diâmetro igual a 50mm, transmite uma potência de 60 kW a uma freqüência de 30 Hz Pede-se determinar no eixo: a) a velocidade angular b) a rotação c) o torque atuante d) a tensão máxima atuante Solução: a) velocidade angular ω = 2π . f ω = 2π x 30 ω = 60π rad/s b) rotação do eixo Cada volta do eixo corresponde a 2π rad; de onde conclui-se que o eixo gira a uma freqüência de 30 Hz ou rotação de 1800 rpm. J p = π d 4 32 θ = 32 MT x l π d 4 x G θ = 32 x 200 Nm x 0,9 π (4 x 10 -2) 4 x 80 x 10 9 x N m 2 θ = 32 x 200 Nm x 0,9 π 4 x 10 -8 m 2 x 80 x 10 9 θ = 32 x 200 x 0,9 π x 4 4 x 10 -8 x 80 x 10 8 θ = 8,95 x 10 –3 SENAI/SC Resistência dos Materiais 60 Solução: a) Torque atuante no haste A secção que apresenta maior perigo para cisalhar na torção é a junção entre a boca da chave e a haste; e o torque qua atua na secção é calculado por: MT = 250 x 180 = 45.000 Nmm b) Tensão admíssivel A tensão máxima que deverá atuar na secção perigosa é de: Como a unidade MPa equivale a N/mm2, utiliza-se: τ = 100 N/mm2 c) Dimensionamento da haste c.1) O módulo de resistência polar da secção circular é dado por c.2) Diâmetro da haste τ = = = 100 MPa σ e k 650 6,5 Wp = π d 3 16 τ = = MT 16 MT π d 3 16 π d 3 d = 16 MT πτ 3 d = 16 x 45.000 π x 100 3 d = 13 mm SENAI/SC Resistência dos Materiais 61 8 CISALHAMENTO PURO 8.1 Definição Um elemento de construção submete-se a esforço de cisalhamento, quando sofre a açãao de uma força cortante. Além de provocar cisalhamento, a força cortante da origem a um momento fletor, considerado desprezível. Cisalhamento em uma secção Cisalhamento em duas secções 8.2 Força Cortante Q Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área de secção transversal da peça. 8.3 Tensão de Cisalhamento ( τ ) A ação da carga cortante sobre a área da secção transversal da peça causa nesta uma tensão de cisalhamento, que é definida através da relação entre a intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento. Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento, utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o dimensionamento. Se os elementos possuirem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a área de secção transversal pelo número de elementos (n). Tem-se então: τ = Q A cis τ = Q N . A cis SENAI/SC Resistência dos Materiais 62 Onde: τ - tensão de cisalhamento [Pa; ..............] Q - carga cortante [ N ] Acis - área da secção transversal da peça [ m2 ] n - número de elementos submetidos a cisalhamento [ adimensional ] Se as áreas das secções transversais forem desiguais, o esforço atuante em cada elemento será proporcional a sua área de secção transversal. 8.4 Deformação do Cisalhamento Supondo-se o caso da secção transversal retangular da figura, observa-se o seguinte: Ao receber a ação da carga cortante, o ponto C desloca-se para a posição C’, e o ponto D para a posição D’, gerando o ângulo denominado distorção. A distorção é medida em radianos (portanto adimensional), através da relação entre a tensão de cisalhamento atuante e o módulo de elasticidade transversal do material. Onde: y - distorção [ rad ] T - tensão de cisalhamento atuante [ Pa ] G - módulo de elasticidade transversal do material [ Pa ] 8.5 Tensão Normal ( σ ) e Tensão de Cisalhamento ( τ ) A tensão normal atua na direção do eixo longitudinal da peça, ou seja, perpendicular a secção transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento é tangencial à secção transversal da peça. γ = τ G SENAI/SC Resistência dos Materiais 65 8.8.2 Parafusos - Tração : σ = 140 MPa - Corte : parafusos não ajustados τ = 80 MPa parafusos ajustados τ = 105 MPa Pressão de contato média (cisalhamento simples): σ d = 225 MPa Pressão de contato média (cisalhamento duplo): σ d = 280 MPa 8.8.3 Pinos - Flexão : σ = 210 MPa - Corte : τ = 105 MPa Pressão média de contato (cisalhamento simples): σ d = 225 MPa Pressão média de contato (cisalhamento duplo): σ d = 280 MPa Em geral, a tensão admissível de cisalhamento é recomendável em torno de 0,6 à 0,8 da tensão admissível normal. τ = 0,6 à 0,8 σ 8.9 Exercícios Ex. 1 Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura. SENAI/SC Resistência dos Materiais 66 Solução: A tensão de cisalhamento atuante no plano A; é definida através da componente horizontal da carga de 300 kN, e área da secção A. Tem-se então que: Ex. 2 O conjunto representado na figura é formado por: 1 - parafuso sextavado M12. 2 - garfo com haste de espessura 6mm. 3 - arruela de pressão. 4 - chapa de aço ABNT 1020 espessura 8mm. 5 - porca M12. Supor que não haja rosca no parafuso, nas regiões de cisalhamento e esmagamento. A carga Q que atuará no conjunto é de 6 kN. Determinar: a) a tensão de cisalhamento atuante b) a pressão de contato na chapa intermediária c) a pressão de contato nas hastes do garfo. Solução: a) Tensão de cisalhamento atuante O parafuso tende a ser cisalhado nas secções AA e BB, portanto a tensão de cisalhamento será determinada por: 300.000 cos37º τ = 200 x 10 –3 x 120 x 3 240.000 x 10 6 τ = 200 x 120 τ = 10 MPa 4 Q τ = = = 2 A cis Q 2π d2 2Q π d2 2 x 6000 τ = = π (12 x 10 -3) 2 x 6000 x 10 6 π . 12 2 τ = 26,5 MPa SENAI/SC Resistência dos Materiais 67 b) Pressão de contato na chapa intermediária A carga de compressão que causa a pressão de contato entre a chapa intermediária e o parafuso é de 6kN, portanto a pressão de contato é determinada por: c) Pressão de contato nas hastes do garfo A carga de compressão que causa a pressão de contato entre o furo da haste do garfo e o parafuso é de 3 kN, pois a carga de 6kN divide-se na mesma intensidade para cada haste, portanto a pressão de contato será: Q σ di = = T ch . dp 6000 (8 x 10 –3) . (12 x 10 – 3 6000 x 10 6 σ di = 8 x 12 σ di = 62,5 MPa Q σ dh = = 2T h . dp 6000 2 x 6 x 10 –3 x 12 x 10 3 6000 x 10 6 σ dh = 2 x 6 x 12 σ dh = 41,7 MPa SENAI/SC Resistência dos Materiais 70 9.4 Exercícios Ex. 1 Determinar as expressões de força cortante ( Q ) e Momento fletor ( M ), e construir os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga concentrada P atuante na extremidade livre, conforme mostra a figura. Solução: a) Através da variável x, estudam-se todas as secções transversais da viga, da extremidade livre ao engastamento. O momento fletor máximo ocorrerá no engastamento, ou seja, para o maior valor de x. b) Expressões de Q e M 0 < x < l Q = -P M = -P . x X = 0 M = 0 x = l M = -P l c) Construção dos diagramas A equação da Q é uma constante negativa, portanto, o diagrama será um segmento de reta paralela a linha zero da Q. A distância entre a linha zero da Q e a Iinha limite inferior do diagrama representa a intensidade da carga P. A equação do M é do 1º grau com a < 0; portanto, a sua representação será uma reta decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa Mmáx. SENAI/SC Resistência dos Materiais 71 Ex. 2 Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada, solicitada pela ação da carga concentrada P, conforme mostra a figura. Solução: a) Determinam-se as reações nos apoios através da ∑ M = 0 em relação a dois pontos da viga. Os pontos considerados ideais para o caso são A e B. ∑ MA = 0 ∑ MB = 0 RB . (a + b) = Pa RA . (a + b) = P . b b) Expressões de Q e M 0 < x < a Q = RA a < x < a + b M = RA . x Q = RA – P = RB x = 0 M = 0 M = RA . x – P(x-a) x = a M = RA . a x = a + b M = 0 c) Construção dos diagramas C1 - Diagrama da Cortante ( Q ) Com origem no linha zero da Q, traça-se o segmento de reta vertical que representa RA. No trecho 0 < x < a a Q = RA portanto uma constante, representada pelo segmento de reta paralelo, à linha zero. No ponto de aplicação da carga P, traça-se o segmento de reta vertical que corresponde a intensidade da carga P. Como P = RA + RB, conclui-se que o valor da Q que ultrapassa a linha zero é -RB que corresponde a Q que atua no trecho a < x < a + b; portanto, novamente tem-se uma paralela à linha zero. Ao atingir o apoio B, a Q = -RB, como a reação é positiva, traça-se o segmento de reta que sobe e zera o gráfico. Portanto, o gráfico sai da Iinha zero e retorna à linha zero. Pa RB = a + b P . RA = a + b SENAI/SC Resistência dos Materiais 72 C2 - Diagrama do Momento ( M ) Com origem na linha zero do M, traça-se o segmento de reta que une o momento zero em x = 0 até o M = RA . a em x = a. Observe que a equação do Momento no trecho é do 1º grau portanto, tem como gráfico um segmento de reta. Analogamente ao trecho a < xa + b utiliza-se um outro segmento de reta unindo os pontos. x = 1 M = RA . a até x = a + b M = 0. Ex. 3 Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada solicitada pela ação da carga distribuída de intensidade q conforme mostra a figura. Solução: a) A primeira providência, para solucionar este exercício, é determinar as reações de apoio. Através do equilíbrio dos momentos em relação aos pontos A a B, conclui-se que: b) Expressão de Q e M 0 < x < l Q = RA - qx x = 0 Q = RA x = l Q = - RB q . l RA = RB = 2 SENAI/SC Resistência dos Materiais 75 Ex. 5 Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada solicitada pelas cargas concentradas representadas na figura. Solução: 1. Reação de apoio ∑ MA = 0 ∑ FV = 0 4 RB = 24 x 3 + 16 x 1 RA + RB = 16 + 24 RB = 22 kN RA = 18 kN 2. Expressões de Q e M 0 < x < 1 Q = RA = 18 kN M = RA . X x = 0 M = 0 x = 1 M = 18 kNm 1 < x < 3 Q = RA – 16 = 2 kN M = RA x – 16 (x – 1) x = 3 M = 22 kNm SENAI/SC Resistência dos Materiais 76 3 < x < 4 Q = RA – 16 – 24 = - 22 kN M = RA x – 16 (x – 1) – 24 (x – 3) x = 4 M = 0 Ex. 6 Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga engastada solicitada pelas cargas concentradas, representadas na figura. 1. Expressões de Q e M 0 < x < 1,8 Q = - 5 kN M = - 5x x = 0 M = 0 x = 1,8 M = - 9 kNm A reação " R " no engastamento é determinada por: 1,8 < x < 4,0 Q = - 5 - 10 = - 15kN M = - 5x - 10 (x - 1,8) x = 4 M máx. = 42 kNm O contramomento M’ possui mesma intensidade e sentido contrário a M máx. portanto M' = 42kNm. SENAI/SC Resistência dos Materiais 77 Ex. 7 Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas na viga biapoiada carregada conforme a figura. 1. Reações de Apoio ∑ MA = 0 ∑ FV = 0 3,6 RB = 12 x 1,8 + 6 x 4,8 RA + RB = 12 + 6 RB = 14kN RA = 4 kN 2. Expressões de Q e M 0 < x < 1,8 Q = RA = 4 kN M = RA . x x = 0 M = 0 x = 1,8 M = 7,2 kNm 1,8 < x < 3,6 Q = RA – 12 = -8 kN M = RA x – 12 (x – 1,8) x = 3,6 M = - 7,2 kNm No último intervalo, com o objetivo de simplificar a resolução, utilizaremos uma variável ( x ) da direita para esquerda. SENAI/SC Resistência dos Materiais 80 c) Diagramas de Q e M c.1) Diagrama de Q No techo 0 < x < 1, a equação é do 1º grau com a < 0, portanto a sua representação é um segmento de reta decrescente qua parte da linha zero e atinge – 50 kN no apoio A. A intensidade da RA está representada pelo segmento de reta vertical que parte de – 50 kN e atinge +75 kN. No intervalo 1 < x < 4, a equação volta a ser do 1º grau com a < 0, portanto temos novamente um segmento de reta decrescente que parte de + 75 kN no apoio A, corta a linha zero em x = 2,5m e atinge o apoio B com –75 kN. A reação RB está representada pelo segmento de reta vertical qua parte de –75 kN a atinge 50 kN. No intervalo 4 < x < 5, a equação continua sendo do 1º grau com a < 0, sendo representada novamente por um segmento de reta decrescente que parte do apoio B com + 50 kN e atinge a extremidade final da viga na linha zero. c.2) Diagrama de M No intervalo 0 < x < 1, a equação do M é do 2º grau com a < 0, portanto um segmento de parábola com a concavidade voltada para baixo, que parte da linha zero na extremidade livre e atinge o apoio A com a intensidade de - 25kNm. No intervalo 1 < x < 4, tem-se novamente uma equação do 2º grau com a < 0, portanto a sua representação será uma parábola com a concavidade voltada para baixo, que parte de -25kNm no apoio A, e atinge o seu máximo em x = 2,5m com a intensidade de 31,25 kNm. O restante do diagrama determina-se por simetria. SENAI/SC Resistência dos Materiais 81 10 FLEXÃO 10.1 Introdução O esforço de flexão configura-se na peça, quando esta sofre a ação de cargas cortantes, que venham a originar momento fletor signifcativo. 10.2 Flexão Pura Quando a peça submetida à flexão, apresenta somente momento fletor nas diferentes secções transversais, e não possui força cortante atuante nestas secções, a flexão é denominada pura. No intervalo compreendido entre os pontos C e D, a cortante é nula e o momento fletor atuante é constante. Neste intervalo, existe somente a tensão normal, pois a tensão de cisalhamento é nula, portanto o valor da força cortante é zero. SENAI/SC Resistência dos Materiais 82 10.3 Flexão Simples A flexão é denominada simples, quando as secções transversais da peça estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente. Exemplos: intervalos AC e DB da figura anterior. Neste caso, atua tensão normal e tensão tangencial. Determinar M e Q para a viga simplesmente apoiada. Solução: Neste caso, é necessário determinar, inicialmente as reações R1 e R2. Igualando a zero o momento de todas as forças, em relação a O, vem: 4 R2 = 4000 x 1 donde: R2 = 1.000 kg Igualando a zero a soma das forças verticais, vem: R1 + R2 = 4.000 = R1 + 1.000 donde: R1 = 3.000 kg. SENAI/SC Resistência dos Materiais 85 Solução: Inicialmente calculam-se as reações de apoio, R1 e R2, com as equações da estática. Assim, igualando a zero o momento de todas as forças, em relação ao ponto O, vem: 11 R2 – 2000 x 2 – 1500 x 4 – 2500 x 7 = 0 e, igualando a zero a soma das forças verticais: R1 + R2 – 2000 – 1500 – 2500 = 0 Determinar as expressões e os diagramas de Q e M, para a viga Solução: A carga total sobre a viga é 120 x 10 = 1200 kg e, por simetria, cada uma das reações de apoio vale 600 kg. Considere-se, agora, a secção genérica, A, que dista x do apoio da esquerda. A força cortante nessa secção é: Q = 600 – 120 x visto que a carga distribuída, nesse trecho de comprimento x, tem como resultante 120 x e é dirigida de cima para baixo. É o que se indica na figura. A expressão de Q é válida para qualquer secção da viga; ela é uma função linear que assume os valores Q = 600 kg para x = 0 e Q = - 600 kg para x = 10 m; anula-se, portanto, na secção média da viga. O momento fletor, na secção A, é: M = 600x – 120x . E essa expressão é válida, também, para qualquer secção da viga. Trata-se de uma parábola que se anula nas extremidades, simétrica em relação à perpendicular à viga, que passa por sua seçcão média a assume o valor máximo nessa secção, isto é: M x = 5 = 600 x 5 – 120 x 5 = 120 x = 1500 kg x m x 2 5 2 10 2 2 SENAI/SC Resistência dos Materiais 86 Nas figuras acima apresentam-se os diagramas de Q e M. 10.4 Tensão de Cisalhamento na Flexão A força cortante que atua na secção transversal da peça provoca nesta uma tensão de cisalhamento, que é determinada através da fórmula Zhuravski. Se: Onde: τ - tensão de cisalhamento [PA; N/mm2; ..............] Q - força cortante atuante na secção [N; .................] b - largura da secção [m; mm; ................] J - momento de inércia da secção transversal [m4; mm4; ..............] Me - momento estático da parte hachurada da secção (acima de y) [m3; mm3; .............] Na prática, geralmente, a tensão é nula na fibra mais distante, sendo máxima na linha neutra. τ = yd bJ Q 0 h Me = yd A portanto: τ = bJ QMe SENAI/SC Resistência dos Materiais 87 10.5 Tensão Normal na Reflexão Suponha-se que a figura representada a seguir seja uma peça com secção transversal A qualquer e comprimento l, que encontra-se submetida à flexão pela ação das cargas cortantes representadas. Conforme o capítulo anterior, as fibras inferiores da peça encontram-se tracionadas, enquanto as fibras superiores se encontram comprimidas. A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada em relação à fibra mais distante da secção transversal, através da relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia baricêntrico da secção. Tem-se então: Onde σ c tensão máxima nas fibras comprimidas. Como se convenciona o momento fletor nas fibras comprimidas negativo, σ t será sempre < 0 (negativo). σ t - tensão máxima nas fibras tracionadas. Como, por convenção, o momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, σ t será sempre > 0 (positivo). 10.6 Dimensionamento na Flexão Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão, utiliza-se a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida. Tem-se, então, que: σ c = J Ma σ t = J Mb σ x = Jx M . y máx. SENAI/SC Resistência dos Materiais 90 Onde: y - distância da fibra estudada à superfície neutra [mm; .................] r - raio de curvatura do eixo da peça [mm; ..................] Pode-se perceber que o raio de curvatura R da secção transversal é maior que r, proporcionalmente ao coeficiente de Poisson. Através da lei de Hooke, encontra-se a tensão longitudinal das fibras. Considera-se agora um infinitésimo de área dA, que dista y do eixo z (LIN). A tensão que atua dA é s x portanto a força qua atua em dA: Como a resultante das forças distribuídas na secção transversal é igual a zero, pois o sistema de cargas pode ser substituído por um conjugado, tem-se então que: O momento estático ydA = 0 em relação à linha neutra, então conclui-se que a linha neutra passa pelo CG da secção. O momento estático de dA em relação à linha neutra é dado por Integrando a expressão para a superfície, encontra-se que: r = R .v σ x = E . e x σ x = E y r F = dA = ydA A Ey r E r A F = ydA = 0 E r A E r = dAy M = y 2 dA E r SENAI/SC Resistência dos Materiais 91 Como a linha neutra considerada no estudo da secção transversal é Z, conclui-se que Jz = y 2 dA; portanto: Sabe-se que: portanto, substituíndo E na equação de M, tem-se que: Obs: Como, para determinar as características geométricas das supefícies planas trabalhamos com os eixos x e y na secção transversal, o Jz é para nós o Jx. E r M = Jz σ x . r y E = σ x . r yr M = . M . y J σ x = M . y J σ = SENAI/SC Resistência dos Materiais 92 10.8 Exercícios Ex. 1 Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento representado na figura. Utilizar σ mad. = 10 MPa e h ≡ 3b. Solução: Como as cargas são simétricas aos apoios, concluí-se que: a) Expressões de Q e M 0 < x < 1 Q = - 1000N M = - 1000x x = 0 M = 0 x = 1 M = - 1000 Nm 1 < x < 2 Q = RA – 1000 = 750 N M = - 1000x + RA (x – 1) x = 2 M = - 250 Nm como o carregamento é simétrico, conclui-se que: x = 3 M = - 1000Nm x = 4 M = 0 RA = RB = 1750N SENAI/SC Resistência dos Materiais 95 b) Dimensionamento do eixo O módulo de resistência da secção circular é: W x = Tensão admissível: Diâmetro do eixo: Ex. 3 Dimensionar o eixo vazado para que suporte com segurança k = 2 o carregamento representado na figura. O material utilizado e o ABNT 1040 L com σ e = 400MPa. A relação entre os diâmetros é 0,6. π d 3 32 σ = = = 140 σ e K 280 2 σ = = M máx. π d 3 32 M máx. π d 3 32 b = 32 M máx. π σ 3 b = 32 x 2500 π x 140 x 10 6 3 b = 32 x 2500 π x 0,14 x 10 9 3 d = 57 x 10 –3 m d = 57 mm SENAI/SC Resistência dos Materiais 96 Solução: a) reações nos apoios Σ MA = 0 Σ MB = 0 1,2 RB = 800 x 1,5 + 1200 x 0,6 RA + RB = 1200 + 800 RA = 2000 –1600 RA = 400 N RB = 1600 N b) Expressões de Q e M 0 < x < 0,6 Q = RA = 400N M = RA . x x = 0 M = 0 x = 0,6 M = 240Nm 0,6 < x < 1,2 Q = RA – 1200 Q = -800N M = RA . x –1200 (x - 0,6) x = 1,2 M - 240Nm 0 < x < 0,3 Q = 800N M = -800x x = 0 M = 0 x = 0,3 M = -240Nm Portanto, o momento fletor máximo ocorrerá nos pontos x = 0,6 m e x = 1,2 m e a sua intensidade é aproximadamente 240Nm. RB = 1,2 1200 + 720 SENAI/SC Resistência dos Materiais 97 c) Dimensionamento do eixo Para dimensionar o eixo utiliza-se o valor do momento em módulo, desprezando-se desta forma o sinal negativo. Tensão admissível: Diâmetro D e d O módulo de resistência da secção circular vazada é Como, por imposição do projeto, D = 1,67d, conclui-se que: Por imposição do projeto, o diâmetro externo do eixo é 1,67 do diâmetro interno, conclui-se, então, que: D = 1,67 x 15 = 25 mm D = 25 mm σ = = = 200 σ e K 400 2 W x = = π 32 D 4 – d 4 D W x = = π 32 [(1,67 d) 4 – d 4] 1,67 d π 32 [(7,78 d) 4 – d 4] 1,67 d W x = = = π 32 6,78 d 4 1,67 d π 32 x 4 d 3 W x = d 3 π 8 σ = = = M máx. W x. M máx. π d 3 8 8 M máx. π d 3 d = 8 x 240 π x 200 x 10 6 3 d ≡ 15 x 10 –2 m d ≡ 15 mm